专题18 条件概率5种常见考法归类（原卷版） .docx

1、专题18 条件概率5种常见考法归类思维导图核心考点聚焦考点一、利用定义求条件概率考点二、条件概率的性质及应用考点三、乘法公式考点四、全概率公式及其应用考点五、贝叶斯公式及其应用1条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，记为，读作“发生条件下发生的概率”，即(2)条件概率具有的性质0P(B|A)1；如果B和C是两个互斥事件，则P(BC|A)P(B|A)P(C|A)2、两点说明（1）一般地，每一个随机试验都是在一定条件下进行的，这里所说的条件概率是当试验结果的一部分信息已知（即在原随机试验的条件上，再加上“某事件发生”的附加条件），求另

2、一事件在此条件下发生的概率；（2）通常情况下，事件B在“事件A已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的。3、乘法公式：对任意两个事件A与B，若，则.4、全概率公式：P(B)P(Ai)P(B|Ai)注：全概率公式的来由：不难由看出，全概率被分解成了许多部分之和，它的理论和实用意义在于在较复杂情况下直接计算不易，但总伴随着某个出现，适当去构造这一组往往可以简化计算。5、贝叶斯公式设A1，A2，An是一组两两互斥的事件，且，i1，2，n，则对任意事件，有 ，注：在贝叶斯公式中，和分别称为先验概率和后验概率1、求条件概率的常用方法(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B

3、|A).(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的样本点数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的样本点数，即n(AB)，得P(B|A).2、应用全概率公式求概率的步骤(1)根据题意找出完备事件组，即满足全概率公式的的一个划分A1，A2，A3，An；(2)用Ai(i1,2,3，n)来表示待求的事件；(3)代入全概率公式求解考点剖析考点一、利用定义求条件概率1（2023全国模拟预测）为了给学生树立正确的劳动观，使学生懂得劳动的伟大意义，某班从包含甲、乙的6名学生中选出3名参加学校组织的劳动实践活动，在甲被选中的情况下，乙也被选中的概率为（）ABCD2（2024上北京昌平高二统考期末）已知

4、某班级中，喜欢文学阅读的学生占75%，喜欢文学阅读而且喜欢科普阅读的学生占30%.若从这个班级的学生中任意抽取一人、则在抽到的学生喜欢文学阅读的条件下，该学生也喜欢科普阅读的概率为（）A22.5%B30%C40%D75%3（2023上云南昆明高三云南师大附中校考阶段练习）袋子中装有大小、形状完全相同的3个白球和2个红球，现从中不放回地摸取两个球，已知第二次摸到的是红球，则第一次摸到红球的概率为（）ABCD4（2024全国模拟预测）我国的生态环境越来越好，旅游的人越来越多现有两位游客慕名来江苏旅游，他们分别从“太湖鼋头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖”这6个景点中随

5、机选择1个景点游玩记事件A为“两位游客中至少有一人选择太湖鼋头渚”，事件为“两位游客选择的景点相同”，则等于（）ABCD5（2024上内蒙古呼和浩特高三统考期末）俗话说“斜风细雨不须归”，在自然界中，下雨大多伴随着刮风.已知某地8月份刮风的概率为，下雨的概率为，既刮风又下雨的概率为.记事件为“8月份某天刮风”，事件为“8月份某天下雨”，则（）ABCD6（2024河南模拟预测）现有若干大小、质地完全相同的黑球和白球，已知某袋子中装有3个白球、2个黑球，现从袋中随机依次摸出2个球，若第一次摸出的是白球，则放回袋中；若第一次摸出的是黑球，则把黑球换作白球，放回袋中.记事件“第一次摸球摸出黑球”，事件

6、“第二次摸球摸出白球”，则（）ABCD7（2023四川宜宾统考一模）某校举办中学生乒乓球运动会，高一年级初步推选3名女生和4名男生参赛，并从中随机选取3人组成代表队参赛，在代表队中既有男生又有女生的条件下，女生甲被选中的概率为（）ABCD考点二、条件概率的性质及应用8（2024湖北武汉武汉市第六中学校联考二模）设，为任意两个事件，且，则下列选项必成立的是（）ABCD9（2023下陕西西安高二校联考阶段练习）下列说法正确的是（）AB是可能的CD10（2023云南昆明昆明一中校考模拟预测）已知事件A，B，C满足A，B是互斥事件，且，则的值等于（）ABCD11（2024上河南南阳高二南阳市第五中学校

7、校联考期末）已知，则 .12（2021上安徽安庆高二安徽省桐城中学校考期末）已知，且若，则 13（2023上江苏盐城高三盐城中学校联考阶段练习）已知是一个随机试验中的两个事件，且，则（）ABCD14（2024全国模拟预测）已知，是一个随机试验中的两个事件，若，则等于（）A3B4C5D615（2022湖北武汉武汉二中校考模拟预测）已知，分别为随机事件A，B的对立事件，则下列说法正确的是（）AB若，则 A，B对立C若A，B独立，则D若A，B互斥，则考点三、乘法公式16（2022上高二课时练习）已知，则（）ABCD17（2021高二课时练习）设P(A|B)P(B|A)，P(A)，则P(B)等于（）A

8、BCD18（2023上高二课时练习）已知，则 19（2023江苏无锡校联考三模）已知，为两个随机事件，则（）A0.1BC0.33D考点四、全概率公式及其应用20（2024全国高三专题练习）书架上有3本语文书，2本数学书，甲、乙两位同学先后从书架上任取一本书，则乙取到语文书的概率是（）ABCD21（2023河南统考模拟预测）小明参加答题闯关游戏，答题时小明可以从A，B，C三块题板中任选一个进行答题，答对则闯关成功.已知他选中A，B，C三块题板的概率分别为0.2，0.3，0.5，且他答对A，B，C三块题板中题目的概率依次为0.91，0.92，0.93.则小明闯关失败的概率是（）A0.24B0.14

9、C0.077D0.06722（2024上安徽合肥高三合肥市第八中学校联考期末）若某地区一种疾病流行，现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性，该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为0.0688，则该地区疾病的患病率是（）A0.02B0.98C0.049D0.0523（2024全国模拟预测）现有两个袋子，第一个袋子中有2个红球和3个黑球，第二个袋子中有1个红球和3个黑球随机选择一个袋子，然后从中随机摸出2个球，则恰好摸

10、出1个红球和1个黑球的概率为（）ABCD24（2024上黑龙江高二校联考期末）某人外出出差，委托邻居给家里盆栽浇一次水，若不浇水，盆栽枯萎的概率为0.8；若浇水，盆栽枯萎的概率为0.1.若邻居浇水的概率为，该人回来盆栽没有枯萎的概率为0.83，则实数的值为（）A0.9B0.85C0.8D0.7525（2024上黑龙江大庆高三校考阶段练习）某批麦种中，一等麦种占80%，二等麦种占20%等麦种种植后所结麦含有50粒以上麦粒的概率分别为0.6，0.2，则这批麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率为（）A0.48B0.52C0.56D0.6526（2023上湖南长沙高三长沙一中校考阶段练习）第19

11、届亚运会正在杭州举行，运动员甲就近选择A餐厅或者B餐厅就餐，第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.7；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.5，运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为（）A0.75B0.6C0.55D0.4527（2023全国模拟预测）某部门对一家食品店的奶类饮品和面包类食品进行质检，已知该食品店中奶类饮品占，面包类食品占，奶类饮品不合格的概率为0.02，面包类食品不合格的概率为0.01现从该食品店随机抽检一件商品，则该商品不合格的概率为（）A0.03B0.024C0.012D0.01528（2023上云南高三云南师大附中校考阶段

12、练习）随着经济的不断发展，城市的交通问题越来越严重，为倡导绿色出行，某公司员工小明选择了三种出行方式.已知他每天上班选择步行、骑共享单车和乘坐地铁的概率分别为0.2、0.3、0.5.并且小明步行上班不迟到的概率为0.91，骑共享单车上班不迟到的概率为0.92，乘坐地铁上班不迟到的概率为0.93，则某天上班小明迟到的概率是（）A0.24B0.14C0.067D0.07729（2024贵州校联考模拟预测）甲、乙、丙为完全相同的三个不透明盒子，盒内均装有除颜色外完全相同的球.甲盒装有4个白球，8个黑球，乙盒装有1个白球，5个黑球，丙盒装有3个白球，3个黑球.(1)随机抽取一个盒子，再从该盒子中随机摸

13、出1个球，求摸出的球是黑球的概率；(2)已知（1）中摸出的球是黑球，求此球属于乙箱子的概率.30（2023上上海高二上海市第二中学校考阶段练习）某工厂有四条流水线生产同一产品，已知这四条流水线的产量分别占总产量的和，又知这四条流水线的产品不合格率依次为和.(1)每条流水线都提供了两件产品放进展厅，一名客户来到展厅后随手拿起了两件产品，求这两件产品来自同一流水线的概率；(2)从该厂的这一产品中任取一件，抽取不合格品的概率是多少？考点五、贝叶斯公式及其应用31（2023上云南曲靖高三曲靖一中校考阶段练习）根据曲靖一中食堂人脸识别支付系统后台数据分析发现，高三年级小孔同学一周只去食堂一楼和二楼吃饭周

14、一去食堂一楼和二楼的概率分别为和，若他周一去了食堂一楼，那么周二去食堂二楼的概率为，若他周一去了食堂二楼，那么周二去食堂一楼的概率为，现已知小孔同学周二去了食堂二楼，则周一去食堂一楼的概率为（）ABCD32（2023上江苏常州高三统考期中）居民的某疾病发病率为，现进行普查化验，医学研究表明，化验结果是可能存有误差的已知患有该疾病的人其化验结果呈阳性，而没有患该疾病的人其化验结果呈阳性现有某人的化验结果呈阳性，则他真的患该疾病的概率是（）A0.99B0.9C0.5D0.133（2023云南大理统考模拟预测）“狼来了”的故事大家小时候应该都听说过：小孩第一次喊“狼来了”，大家信了，但去了之后发现没

15、有狼；第二次喊“狼来了”，大家又信了，但去了之后又发现没有狼；第三次狼真的来了，但是这个小孩再喊狼来了就没人信了从数学的角度解释这一变化，假设小孩是诚实的，则他出于某种特殊的原因说谎的概率为；小孩是不诚实的，则他说谎的概率是最初人们不知道这个小孩诚实与否，所以在大家心目中每个小孩是诚实的概率是已知第一次他说谎了，那么他是诚实的小孩的概率是（）ABCD34（2023河北秦皇岛校联考二模）根据某机构对失踪飞机的调查得知：失踪的飞机中有70%的后来被找到，在被找到的飞机中，有60%安装有紧急定位传送器，而未被找到的失踪飞机中，有90%未安装紧急定位传送器，紧急定位传送器是在飞机失事坠毁时发送信号，让

16、搜救人员可以定位的装置.现有一架安装有紧急定位传送器的飞机失踪，则它被找到的概率为（）ABCD35（2023上江苏常州高三江苏省前黄高级中学校考开学考试）根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以表示事件“试验反应为阳性”，以表示事件“被诊断者患有癌症”，则有，现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为，即，则（）ABCD36（2023广西南宁南宁三中校考模拟预测）第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中某学习小组设计了如下问题进行探究

17、：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球(1)从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率；(2)掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率37（2023下河北石家庄高二石家庄市第四十一中学校考阶段练习）三批同种规格的产品，第一批占25%，次品率为6%；第二批占30%，次品率为5%；第三批占45%，次品率为5%将三批产品混合，从混合产品中任取一件(1)求这件产品是次品的概率；(2)已知取到的是次品，求它取

18、自第一批产品的概率38（2023全国高二随堂练习）现在一些大的建筑工程都实行招投标制在发包过程中，对参加招标的施工企业的资质（含施工质量、信誉等）进行调查和评定是非常重要的设B=“被调查的施工企业资质不好”，A=“被调查的施工企业资质评定为不好”由过去的资料知，现已知在被调查的施工企业当中有确实资质不好，求评定为资质不好的施工企业确实资质不好的概率（精确到0.01）过关检测一、单选题1（2023上吉林长春高二东北师大附中校考期末）一枚硬币掷三次，已知一次正面朝上，那么另外两次都是反面朝上的概率为（）ABCD2（2024上广东江门高三统考阶段练习）设A，B为两个事件，已知，则（）ABCD3（20

19、23四川甘孜统考一模）某工厂生产了一批产品，需等待检测后才能销售.检测人员从这批产品中随机抽取了5件产品来检测，现已知这5件产品中有3件正品，2件次品，从中不放回地取出产品，每次1件，共取两次.已知第一次取得次品，则第二次取得正品的概率是（）ABCD4（2023湖南郴州统考一模）湖南第二届旅游发展大会于2023年9月15日至17日在郴州举行，为让广大学生知晓郴州，热爱郴州，亲身感受“走遍五大洲，最美有郴州”绿色生态研学，现有甲，乙两所学校从万华岩中小学生研学实践基地，王仙岭旅游风景区，雄鹰户外基地三条线路中随机选择一条线路去研学，记事件A为“甲和乙至少有一所学校选择万华岩中小学生研学实践基地”

20、，事件B为“甲和乙选择研学线路不同”，则（）ABCD5（2023上贵州高三校联考阶段练习）在2023亚运会中，中国女子篮球队表现突出，卫冕亚运会冠军，该队某球员被称为3分球投手，在比赛中，她3分球投中的概率为，非3分球投中的概率为，且她每次投球投3分球的概率为，则该球员投一次球得分的概率为（）ABCD6（2024上辽宁高二盘锦市高级中学校联考期末）小张小王两家计划国庆节期间去辽宁游玩，他们分别从“丹东凤凰山，鞍山千山，本溪水洞，锦州笔架山，盘锦红海滩”这五个景点中随机选择一个游玩，记事件A：“两家至少有一家选择丹东风凰山”，事件B：“两家选择景点不同”.则概率（）ABCD7（2023上山东济宁

21、高二济宁一中校考阶段练习）甲乙两人进行羽毛球比赛，在前三局比赛中，甲胜2局，乙胜1局，规定先胜3局者取得最终胜利，已知甲在每局比赛中获胜的概率为，乙在每局比赛中获胜的概率为，且各局比赛结果相互独立，则甲取得最终胜利的概率为（）ABCD8（2023四川雅安统考一模）甲、乙两位学生在学校组织的课后服务活动中，准备从5个项目中分别各自随机选择其中一项，记事件：甲和乙选择的活动各不同，事件：甲和乙恰好一人选择，则等于（）ABCD9（2024全国高三专题练习）甲箱中有个红球，个白球和个黑球；乙箱中有个红球，个白球和个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以、表示由甲箱中取出的是红球、白球和黑球的事

22、件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论错误的是（ ）ABC事件与事件不相互独立D、两两互斥10（2023全国模拟预测）某罐中装有大小和质地相同的个红球和个绿球，每次不放回地随机摸出个球记“第一次摸球时换到红球”，“第一次摸球时摸到绿球”，“第二次摸球时摸到红球”，“第二次摸球时摸到绿球”，“两次都摸到红球”，“两次都摸到绿球”，则下列说法中正确的是（）ABCD二、多选题11（2024上全国高三期末）已知随机事件满足，则下列说法正确的是（）A不可能事件与事件互斥B必然事件与事件相互独立CD若，则12（2023下湖南高二校联考期中）有3台车床加工同一型号的零件，

23、第1，2，3台加工的次品率分别为，加工出来的零件混放在一起已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为，现任取一个零件，记事件“零件为第i台车床加工”（），事件“零件为次品”，则（）ABCD13（2024云南楚雄云南省楚雄彝族自治州民族中学校考一模）口袋里装有2红，2白共4个形状相同的小球，对其编号红球1，2，白球3，4，从中不放回的依次取出两个球，事件“第一次取出的是红球”，事件“第二次取出的是红球”，事件“取出的两球同色”，事件“取出的两球不同色”，则（）A与互斥B与互为对立事件C与相互独立D14（2024上辽宁抚顺高二校联考期末）在某班中，男生占，女生占，在男生中喜欢体育锻炼的学生占，在女生

24、中喜欢体育锻炼的学生占，从这个班的学生中任意抽取一人.则下列结论正确的是（）A抽到的学生是男生且喜欢体育锻炼的概率为B抽到的学生喜欢体育锻炼的概率为C若抽到的学生喜欢体育锻炼，则该学生是男生的概率为D若抽到的学生喜欢体育段炼，则该学生是女生的概率为15（2024上湖北武汉高三统考期末）设A，B是一次随机试验中的两个事件，且，则（）AA，B相互独立 BCD16（2023上广东深圳高三校考期末）深圳某中学社团招新活动开展得如火如荼，小王、小李、小张三位同学计划篮球社、足球社、羽毛球社三个社团中各自任选一个，每人选择各社团的概率均为 ，且每人选择相互独立，则（）A三人选择社团一样的概率为B三人选择社

25、团各不相同的概率为C至少有两人选择篮球社的概率为D在至少有两人选择羽毛球社的前提下，小王选择羽毛球社的概率为三、填空题17（2022上黑龙江哈尔滨高二哈师大附中校考期末）甲同学和乙同学参加某市青少年围棋比赛并进入决赛，决赛采取“3局2胜”制，若甲同学每局获胜的概率均为，且每局比赛相互独立，则在甲先胜一局的条件下，甲最终能获胜的概率是 .18（2024上江苏泰州高三统考期末）袋子中有10个大小相同的小球，其中7个白球，3个黑球.每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率为 .19（2024上山东滨州高三统考期末）甲和乙两个箱子中各装有10个除颜色

26、外完全相同的球，其中甲箱中有4个红球、3个白球和3个黑球，乙箱中有5个红球、2个白球和3个黑球先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用、和表示由甲箱取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，用B表示由乙箱取出的球是红球的事件，则 20（2024上重庆高三统考期末）一个袋子中有5个大小相同的球，其中有编号为1，2的黑球和编号为1，2，3的白球，从中随机取出两个球，在取出的球颜色不同的条件下，球的编号之和为奇数的概率为 21（2024上辽宁辽阳高二统考期末）有6道不同的数学题，其中有4道函数题，2道概率题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.在第一次抽到函数题的条件下，第二次还

27、是抽到函数题的概率是 22（2023上四川攀枝花高二统考期末）某公司为提高产品的竞争力、开拓市场，决定成立甲乙两个小组进行新产品研发，已知甲小组研发成功的概率为，乙小组研发成功的概率为则在新产品研发成功的情况下，新产品是由甲小组研发成功的概率是 23（2024上辽宁高二盘锦市高级中学校联考期末）某同学在一次考试中，8道单选题中有6道有思路，2道没思路，有思路的有的可能性能做对，没思路的有的可能性做对，则他在8道题中随意选择一道题，做对的概率是 .24（2024上上海高二校考期末）某校中学生篮球队集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）.每次训练都从

28、中任意取出2个球，用完后放回.已知第一次训练时用过的球放回后都当作旧球，则第二次训练时恰好取到1个新球的概率为 .25（2024上广东东莞高三统考期末）用试剂检验并诊断疾病，表示被检验者患疾病，表示判断被检验者患疾病用试剂检验并诊断疾病的结论有误差，已知，且人群中患疾病的概率若有一人被此法诊断为患疾病，则此人确实患疾病的概率 四、解答题26（2023下河北唐山高二开滦第一中学校考期末）某电子设备厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录得到以下数据：元件制造厂次品率提供元件的份额10.010.120.020.730.030.2设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的且不区别标志(1)在

29、仓库中随机抽取1个元件，求它是次品的概率；(2)在仓库中随机抽取1个元件，若已知抽取的是次品，求该次品出自元件制造厂3的概率.27（2023下福建泉州高二校考期末）在三个地区爆发了流感，这三个地区分别有的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为3：5：2，现从这三个地区中任意选取一个人(1)求这个人患流感的概率；(2)如果此人患流感，求此人选自A地区的概率.28（2024上吉林高二校联考期末）中国传统文化中，过春节吃饺子，饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好.现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的速冻饺子，已知甲箱中有3盒肉馅的“饺子”，2盒三鲜馅的“饺子”和5盒青菜馅的“饺子”,

30、乙箱中有3盒肉馅的“饺子”，3个三鲜馅的“饺子”和4个青菜馅的“饺子”.问：(1)从甲箱中取出一盒“饺子”是肉馅的概率是多少？(2)若依次从甲箱中取出两盒“饺了”，求第一盒是肉馅的条件下，第二盒是三鲜馅的概率；(3)若先从甲箱中随机取出一盒“饺子”放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒“饺子”，从乙箱取出的“饺子”是肉馅的概率.29（2023全国模拟预测）2023年FIBA世界杯届时在印度尼西亚、日本以及菲律宾进行小组赛的角逐，而决赛阶段的比赛将集中在菲律宾首都马尼拉进行，这届世界杯是首次在多个国家举办的世界杯，也为我们呈现了许多扣人心弦的比赛(1)球员甲每次投篮，选择投两分球的概率为，命中率为；投

31、三分球的概率为，命中率为，求球员甲每次投篮命中的概率；(2)“大心脏”通常形容篮球员在最后时刻有良好的心理素质，以高命中率进行得分在比赛最后几分钟内，乙有三次投篮机会，第一投篮的命中率为，从第二次开始，每次投中的命中率会发生改变，若前一次投中，则该次投中的概率比前一次成功的概率增加；若前一次未投中，则该次投中的概率比前一次成功的概率增加，求乙在第三次投中的概率30（2024上辽宁大连高一统考期末）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响(1)求投篮结束时，甲、乙各只投1个球的概率；(2)求甲获胜的概率；(3)求投篮结束时，甲只投了2个球的概率31（2024上福建泉州高三统考期末）一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.(1)求第2次摸到红球的概率；(2)设第次都摸到红球的概率为；第1次摸到红球的概率为；在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为；在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为.求；(3)对于事件，当时，写出的等量关系式，并加以证明.