专题19 相似三角形重要模型之（双）A字型与（双）8字型（解析版）.docx

1、专题19 相似三角形重要模型之（双）A字型与（双）8字型相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。本专题重点讲解相似三角形的（双）A字模型和（双）8（X）字模型A字型和8 (X )字型的应用难点在于过分割点(将线段分割的点)作平行线构造模型，有的是直接作平行线，有的是间接作平行线(倍长中线就可以理解为一种间接作平行线) ， 这一点在模考中无论小题还是大题都是屡见不鲜的。模型1. “A”字模型 【模型解读与图示】“A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成

2、比例，就可以判定这两个三角形相似 图1 图2 图3 1）“A”字模型 条件：如图1，DEBC；结论：ADEABC.2）反“A”字模型 条件：如图2，AEDB；结论：ADEACB.3）同向双“A”字模型条件：如图3，EFBC；结论：AEFABC，AEGABD，AGFADC例1（2023湖北十堰统考中考真题）如图，在菱形中，点E，F，G，H分别是，上的点，且，若菱形的面积等于24，则 【答案】6【分析】连接，交于点O，由题意易得，则有，然后可得，设，则有，进而根据相似三角形的性质可进行求解【详解】解：连接，交于点O，如图所示：四边形是菱形，同理可得，设，则有，即，同理可得，即，；故答案为6【点睛】

3、本题主要考查相似三角形的性质与判定及菱形的性质，熟练掌握菱形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键例2（2023安徽九年级期末）如图，在三角形中，点D、E分别在边、上，(1)求证：；(2)若的平分线交于点F，交于点G，求【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）证明，可得，结合，从而可得结论；（2）由（1）可得，可得，证明，可得，再利用相似三角形的性质可得答案【详解】（1）解：，又，（2）由（1）可得，又平分，【点睛】本题考查的是角平分线的定义，相似三角形的判定与性质，相似三角形的判定方法是解本题关键例3（2022山东东营中考真题）如图，在中，点F、G在上，点E、H分别在、上，四边形是矩形，

4、是的高，那么的长为_【答案】#4.8【分析】通过四边形EFGH为矩形推出，因此AEH与ABC两个三角形相似，将AM视为AEH的高，可得出，再将数据代入即可得出答案【详解】四边形EFGH是矩形，AM和AD分别是AEH和ABC的高，代入可得：，解得，故答案为：【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质及矩形的性质，灵活运用相似三角形的性质是本题的关键例4（2022浙江宁波中考真题）(1)如图1，在中，D，E，F分别为上的点，交于点G，求证：(2)如图2，在（1）的条件下，连接若，求的值(3)如图3，在中，与交于点O，E为上一点，交于点G，交于点F若平分，求的长【答案】(1)证明见详解(2)(3)【分

5、析】（1）利用，证明，利用相似比即可证明此问；（2）由（1）得，得出是等腰三角形，利用三角形相似即可求出 的值；（3）遵循第（1）、（2）小问的思路，延长交于点M，连接，作，垂足为N构造出等腰三角形、含30、45角的特殊直角三角形，求出、的值，即可得出的长(1)解：，(2)解：由（1）得，(3)解：如图，延长交于点M，连接，作，垂足为N在中，由（1）得，平分，在中，【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定、等腰三角形的性质及判定、解特殊的直角三角形等知识，遵循构第（1）、（2）小问的思路，构造出等腰三角形和特殊的直角三角形是解决本题的关键例5. （2023安庆一模）如图，在ABC中，点D、E、

6、F分别在边BC、AB、CA上，且DECA，DFAB（1）若点D是边BC的中点，且BECF，求证：DEDF；（2）若ADBC于D，且BDCD，求证：四边形AEDF是菱形；（3）若AEAF1，求+的值【分析】（1）根据中点和平行两个条件可得中点，从而可得DE是ABC的中位线，进而可得DEFC，同理可得DFBE，即可解答；（2）根据已知易证四边形AEDF是平行四边形，再利用等腰三角形的三线合一性质可得BADCAD，然后利用平行线的性质可得EDACAD，从而可得BADEDA，进而可得EAED，即可解答；（3）根据A字模型相似三角形可知BEDBAC，CDFCBA，从而可得，然后把两个式子相加进行计算，即

7、可解答【解答】（1）证明：点D是边BC的中点，DECA，点E是AB的中点，DE是ABC的中位线，DEAC，点D是边BC的中点，DFAB，点F是AC的中点，FCAC，DEFC，同理可得：DFBE，BEFC，DEDF；（2）证明：DECA，DFAB，四边形AEDF是平行四边形，ADBC，BDCD，AD是BC的垂直平分线，ABAC，BADCAD，DEAC，EDACAD，BADEDA，EAED，四边形AEDF是菱形；（3）DECA，EDBC，BB，BEDBAC，DFAB，BFDC，CC，CDFCBA，+1，四边形AEDF是平行四边形，DEAF，DFAE，AEAF1，DEDF1，+1，+的值为1【点评】

8、本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，分式的化简求值，菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质，以及A字模型相似三角形的关键模型2. “X”字模型（“8”模型）【模型解读与图示】“8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似 图1 图2 图3 图41）“8”字模型条件：如图1，ABCD；结论：AOBCOD.2）反“8”字模型条件：如图2，AD；结论：AOBDOC.3）平行双“8”字模型条件：如图3，ABCD；结论：4）斜双“8”字模型条件：如图4，12；结论：AODBOC，AOBDOC34

9、.例1（2022辽宁中考真题）如图，在正方形中，E为的中点，连接交于点F若，则的面积为_【答案】3【分析】由正方形的性质可知，则有，然后可得，进而问题可求解【详解】解：四边形是正方形，E为的中点，；故答案为3【点睛】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键例2（2023黑龙江哈尔滨九年级阶段练习）如图，分别交于点G，H，则下列结论中错误的是（）ABCD【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例和相似三角形的性质与判定，进行逐一判断即可【详解】解：ABCD，A选项正确，不符合题目要求；AEDF，CGE=CHD，CEG=D，CEGCD

10、H，ABCD，B选项正确，不符合题目要求； ABCD，AEDF，四边形AEDF是平行四边形，AF=DE，AEDF，； C选项正确，不符合题目要求；AEDF，BFHBAG，ABFA，D选项不正确，符合题目要求 故选D【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能根据定理得出比例式是解此题的关键例3（2021上海中考真题）如图，在梯形中，是对角线的中点，联结并延长交边或边于E（1）当点E在边上时，求证：；若，求的值；（2）若，求的长【答案】（1）见解析；（2）或【分析】（1）根据已知条件、平行线性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可推导，由此可得；若，那么在中，

11、由可得，作于H设，那么根据所对直角边是斜边的一半可知，由此可得的值（2）当点E在上时，可得四边形是矩形，设，在和中，根据，列方程求解即可当点E在上时，设，由，得，所以，所以；由得，所以，解出x的值即可【详解】（1）由，得由，得因为是斜边上的中线，所以所以所以所以若，那么在中，由可得作于H设，那么在中，所以所以所以（2）如图5，当点E在上时，由是的中点，可得，所以四边形是平行四边形又因为，所以四边形是矩形，设，已知，所以已知，所以在和中，根据，列方程解得，或（ 舍去负值）如图6，当点E在上时，设，已知，所以设，已知，那么一方面，由，得，所以，所以，另一方面，由是公共角，得所以，所以等量代换，得由

12、，得将代入，整理，得解得，或（舍去负值）【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，斜边上的中线，勾股定理等，能够运用相似三角形边的关系列方程是解题的关键例4（2022贵州铜仁中考真题）如图，在四边形中，对角线与相交于点O，记的面积为，的面积为（1）问题解决：如图，若AB/CD，求证：（2）探索推广：如图，若与不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由（3）拓展应用：如图，在上取一点E，使，过点E作交于点F，点H为的中点，交于点G，且，若，求值【答案】（1）见解析；（2）（1）中的结论成立，理由见解析：（3）【分析】（1）如图所示，过点D作AEAC于E，过点B作BFA

13、C于F，求出，然后根据三角形面积公式求解即可；（2）同（1）求解即可；（3）如图所示，过点A作交OB于M，取BM中点N，连接HN，先证明OEFOCD，得到OD=OF，证明OEFOAM，得到，设，则，证明OGFOHN，推出，则，由（2）结论求解即可【详解】解：（1）如图所示，过点D作AEAC于E，过点B作BFAC于F，DOE=BOF，； （2）（1）中的结论成立，理由如下：如图所示，过点D作AEAC于E，过点B作BFAC于F，DOE=BOF，；（3）如图所示，过点A作交OB于M，取BM中点N，连接HN，ODC=OFE，OCD=OEF，又OE=OC，OEFOCD（AAS），OD=OF，OEFOAM

14、，设，则，H是AB的中点，N是BM的中点，HN是ABM的中位线，OGFOHN，OG=2GH，由（2）可知【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，正确作出辅助线是解题的关键模型3. “AX”字模型（“A8”模型）【模型解读与图示】 图1 图2 图31）一“A”一“8”模型条件：如图1，DEBC；结论：ADEABC，DEFCBF2）两“A”一“8”模型条件：如图2，DEAFBC；结论：.3）四“A”一“8”模型条件：如图3，DEAFBC,；结论：AF=AG例1（2022山东东营中考真题）如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，

15、则下列等式中不成立的是（）ABCD【答案】C【分析】根据平行线分线段成比例定理即可判断A，根据相似三角形的性质即可判断B、C、D【详解】解：，DEFCBF，ADEABC，故A不符合题意；，故B不符合题意，C符合题意；，故D不符合题意；故选C【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，熟知相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理是解题的关键例2（2021江苏南京中考真题）如图，与交于点O，E为延长线上一点，过点E作，交的延长线于点F（1）求证；（2）若，求的长【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）直接利用“AAS”判定两三角形全等即可；（2）先分别求出BE

16、和DC的长，再利用相似三角形的判定与性质进行计算即可【详解】解：（1），又，；（2），的长为【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例的推论、相似三角形的判定与性质等，解决本题的关键是牢记相关概念与公式，能结合图形建立线段之间的关联等，本题较基础，考查了学生的几何语言表达和对基础知识的掌握与应用等例3. （2022重庆九年级期中）如图，AD与BC相交于点E，点F在BD上，且ABEFCD，求证：.证明：ABEF，DEFDAB，.又EFCD，BEFBCD.1.例4（2022安庆模拟）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O（1）如图，若四边形ABCD为矩形，过点O作OEBC

17、，求证：OECD（2）如图，若ABCD，过点O作EFAB分别交BC、AD于点E、F求证：2（3）如图，若OC平分AOB，D、E分别为OA、OB上的点，DE交OC于点M，作MNOB交OA于一点N，若OD8，OE6，直接写出线段MN长度【分析】（1）由OEBC，DCBC，可知EOCD，且OBOD，可得结论；（2）由DFODAB，得，同理，利用等式的性质将比例式相加，从而得出结论；（3）作DFOB交OC于点F，连接EF，可知ODF是等腰三角形，得DODF8，由DMFEMO，可得EM，由DMNDOE，得，从而得出答案【解答】（1）证明：四边形ABCD是矩形，O是AC中点，ABBC，OEBC，OEAB，

18、E是BC中点，OE；（2）证明：EFAB，DFODAB，同理，即；（3）解：作DFOB交OC于点F，连接EF，OC平分AOB，AOCBOC，DFOB，DFOBOCAOC，ODF是等腰三角形，DODF8，DFOE，DMFEMO，EM，MNOE，DMNDOE，MN【点评】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，对比例式进行恒等变形是解题的关键课后专项训练1. （2021山东淄博中考真题）如图，相交于点，且，点在同一条直线上已知，则之间满足的数量关系式是（）ABCD【答案】C【分析】由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解【详解】解：，即；故选C【点睛】

19、本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键2（2023秋山西阳泉九年级统考期末）如图，在四边形中，对角线与相交于点E，则对角线与的长分别是（）A， B， C， D，【答案】D【分析】过点B作交于点O，证明，可求得，根据勾股定理求出的长，进而可求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而求出的长【详解】过点B作交于点O，如图所示：，在中，即，解得：，故选D 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理以及平行线的性质，解题的关键是利用勾股定理求出BE的长度3（2023福建福州校考二模）在数学综合实践课上，某学习小

20、组计划制作一个款式如图所示的风筝在骨架设计中，两条侧翼的长度设计，风筝顶角的度数为，在上取D，E两处，使得，并作一条骨架在制作风筝面时，需覆盖整个骨架，根据以上数据，B，C两点间的距离大约是（）（参考数据：）A41B57C82D143【答案】C【分析】设与交于点，连接，交于点，根据已知易证，然后利用相似三角形的性质可得，从而可得，进而可得，再利用等腰三角形的三线合一性质可得，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答【详解】解：设与交于点，连接，交于点，在中，两点间的距离大约是，故选：C【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的

21、辅助线是解题的关键4（2022湖北十堰中考真题）如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB如果OA：OC=OB：OD=3，且量得CD=3cm，则零件的厚度x为（）ABCD【答案】B【分析】求出AOB和COD相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算求出AB，再根据外径的长度解答【详解】解：OA：OC=OB：OD=3，AOB=COD，AOBCOD，AB：CD=3，AB：3=3，AB=9（cm），外径为10cm，19+2x=10，x=0.5（cm）故选：B【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是利用相似三角形的性质求出AB的长5（2022湖南

22、怀化中考真题）如图，ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若SADE2，则SABC_ 【答案】8【分析】根据三角形中位线定理求得DEBC，从而求得ADEABC，然后利用相似三角形的性质求解【详解】解：D、E分别是AB、AC的中点，则DE为中位线，所以DEBC，所以ADEABC SADE=2，SABC=8故答案为：8【点睛】本题考查中位线及平行线性质，本题难度较低，主要考查学生对三角形中位线及平行线性质等知识点的掌握6（2023广东梅州九年级统考期末）如图，在中，点在上，点分别在、上，四边形是矩形，是的高，那么的长为 【答案】6【分析】通过四边形为矩形推出，因此与两个三角形相似，将视为的高，

23、可得出，再将数据代入即可得出答案【详解】解：设与交于点M四边形是矩形，和分别是和的高，代入可得：，解得，故答案为：【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质及矩形的性质，灵活运用相似三角形的性质是本题的关键7.（2023广东深圳校考三模）如图，在中，D是上一点，点E在上，连接交于点F，若，则 【答案】2【分析】过D作垂直于H点，过D作交BC于G点，先利用解直角三角形求出的长，其次利用，求出的长，得出的长，最后利用求出的长，最后得出答案【详解】解：如图：过D作垂直于H点，过D作交于G点，在中，又， ，在等腰直角三角形中，在中， ，又， ，即， ，又，又，又，故答案为：2【点睛】本题考查勾股定理，等

24、腰直角三角形性质及相似三角形的判定与性质综合，解题关键在于正确做出辅助线，利用相似三角形的性质得出对应边成比例求出答案8（2022四川宜宾中考真题）如图，中，点E、F分别在边AB、AC上，若，则_【答案】【分析】易证AEFABC，得即即可求解【详解】解：1=2，A=A，AEFABC，即，EF=，故答案为：【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质定理是解题的关键9（2022辽宁阜新中考真题）如图，在矩形中，是边上一点，且，与相交于点，若的面积是，则的面积是_【答案】27【分析】根据矩形的性质，很容易证明，相似三角形之比等于对应边比的平方，即可求出的面积【详解】解：四

25、边形是矩形，：，：，即：，故答案为：【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，综合性比较强，学生要灵活应用掌握相似三角形的面积比是相似比的平方是解题的关键10（2022湖北荆门中考真题）如图，点G为ABC的重心，D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，具有性质：AG：GDBG：GECG：GF2：1已知AFG的面积为3，则ABC的面积为 _【答案】18【分析】根据线段比及三角形中线的性质求解即可【详解】解：CG：GF2：1，AFG的面积为3，ACG的面积为6，ACF的面积为3+69，点F为AB的中点，ACF的面积BCF的面积，ABC的面积为9+918，故答案为：18【点睛】题目主要考

26、查线段比及线段中点的性质，熟练掌握线段中点的性质是解题关键11（2023福建统考中考真题）阅读下列材料，回答问题任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度远大于南北走向的最大宽度，如图1工具：一把皮尺（测量长度略小于）和一台测角仪，如图2皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）；测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点处，对其视线可及的，两点，可测得的大小，如图3小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度，其测量及求解过程如下：测量过程：（）在小水池外选点，如图4，测得，；（）分别在，上测得，；测得求解过程：由测量知， ，又_，又，_

27、故小水池的最大宽度为_(1)补全小明求解过程中所缺的内容；(2)小明求得用到的几何知识是_；(3)小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度，写出你的测量及求解过程要求：测量得到的长度用字母，表示，角度用，表示；测量次数不超过4次（测量的几何量能求出，且测量的次数最少，才能得满分）【答案】(1)；(2)相似三角形的判定与性质(3)最大宽度为，见解析【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质求解即可；（2）根据相似三角形的判定和性质进行回答即可；（3）测量过程：在小水池外选点，用测角仪在点处测得，在点处测得；用

28、皮尺测得；求解过程：过点作，垂足为，根据锐角三角函数的定义推得，根据，即可求得【详解】（1）， ，又，又，故小水池的最大宽度为（2）根据相似三角形的判定和性质求得，故答案为：相似三角形的判定与性质（3）测量过程：（）在小水池外选点，如图，用测角仪在点处测得，在点处测得；（）用皮尺测得求解过程：由测量知，在中，过点作，垂足为在中，即，所以同理，在中，即，所以所以故小水池的最大宽度为【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，根据题意画出几何图形，建立数学模型是解题的关键12（2023秋山西运城九年级统考期末）综合与实践问题情境：如图1，在中，点是上一点，将沿直线折叠，点落在

29、上的点，连接独立思考(1)如图，求的值；问题拓展 如图，点是图1中AB上一动点，连接，交于点(2)当点是的中点时，求证：；(3)当点是的中点时，请你直接写出的值【答案】（1）；（2）见解析；（3）【分析】（1）由折叠性质可知，利用等面积求出长即可；（2）添加辅助线构造全等三角形和相似三角形，利用性质即可证明；（3）作平行线构造全等三角形和相似三角形，利用性质即可求解【详解】解：（1）方法一：在中，由折叠可知：，在中，方法二：在中，由折叠可知：，在中，方法三：在中，由折叠可知：，在中，在中，在中，（2）方法一：延长到点，使，连接， ，方法二：过点作交的延长线于点，又，方法三：作于点，在中，设，在

30、中，在中，(3)如图，过作，交延长线于点，为中点，由得：，【点睛】此题考查了全等三角形和相似三角形，解题的关键是如何添加辅助线，熟练掌握以上知识的性质及其应用13（2023湖南郴州统考中考真题）已知是等边三角形，点是射线上的一个动点，延长至点，使，连接交射线于点(1)如图1，当点在线段上时，猜测线段与的数量关系并说明理由；(2)如图2，当点在线段的延长线上时，线段与的数量关系是否仍然成立？请说明理由；如图3，连接设，若，求四边形的面积【答案】(1)，理由见解析(2)成立，理由见解析【分析】（1）过点作，交于点，易得，证明，得到，即可得出结论（2）过点作，交的延长线于点，易得，证明，得到，即可得

31、出结论；过点作，交的延长线于点，过点作，交于点，交于点，根据已知条件推出，得到，证明，得到，求出的长，利用四边形的面积为进行求解即可【详解】（1）解：，理由如下：是等边三角形，过点作，交于点，为等边三角形，又，；（2）成立，理由如下：是等边三角形，过点作，交的延长线于点， ，为等边三角形，又，；过点作，交的延长线于点，过点作，交于点，交于点，则：，由知：为等边三角形，为等边三角形，设，则：，即：，联立可得：（负值已舍去），经检验是原方程的根，四边形的面积为【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形本题的综合性强，难度大，属于中考压轴题，解题的

32、关键是添加辅助线构造特殊三角形，全等和相似三角形14（2023浙江九年级专题练习）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BEAB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD（1）求证：BNDCNM；（2）如果AD2ABAF，求证：CMABDMCN【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）利用平行四边形的性质得AB=CD，ABCD，再证明四边形BECD为平行四边形得到BDCE，根据相似三角形的判定方法，由CMDB可判断BNDCNM；（2）先利用AD2=ABAF可证明ADBAFD，则1=F，再根据平行线的性质得F=4，2=3，所以3=4，加上NMC=CMD，于是可判断MNCMCD，所以MC：MD=CN：CD，然后利用CD=AB和比例的性质即可得到结论【详解】证明：（1）四边形ABCD是平行四边形，AB=CD，ABCD，而BE=AB， BE=CD，而BECD，四边形BECD为平行四边形，BDCE，CMDB，BNDCNM；（2）AD2=ABAF，AD：AB=AF：AD，而DAB=FAD，ADBAFD，1=F，CDAF，BDCE，F=4，2=3，3=4，而NMC=CMD，MNCMCD，MC：MD=CN：CD，MCCD=MDCN，而CD=AB，CMAB=DMCN