专题2.12 因式分解法解一元二次方程（知识讲解）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（浙教版）.docx

1、专题2.12 因式分解法解一元二次方程（知识讲解）【学习目标】1. 正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；2. 通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想【要点梳理】1. 用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.特别说明：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次

2、因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：必须将方程的右边化为0；方程两边不能同时除以含有未知数的代数式；（4）解一元二次方程时如果能用因式分解法进行解题，它是首选。【典型例题】类型一、解一元二次方程因式分解法运算1 用因式分解法解下列方程：(1) ； (2) ； (3) 【答案】(1) (2) ，(3) 【分析】（1）先移项，再把括号展开进行因式分解，即可求解；（2）先移项，再提取公因式进行因式分解，即可求解；（3）先移项，再用完全平方公式进行因式分解，即可求解（1）解：，（2）解：，或

3、，（3）解：，【点拨】本题主要考查了用因式分解法求解二元一次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法举一反三： 【变式1】 用因式分解法解下列方程：(1) ； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化为一般形式，再利用因式分解法解一元二次方程；（2）先化为一般形式，再利用因式分解法解一元二次方程即可求解（1）解：，即，解得：；（2）解：，即，解得：【点拨】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键【变式2】 解下列一元二次方程：(1) ； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化为一般形式，然后根据因式分解法解一元二次方程即可求解；（2）根

4、据平方差公式因式分解，即可求解解：（1）解：，即，解得；（2）解：，即，即，解得【点拨】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键类型二、解一元二次方程因式分解法应用2由多项式乘法：，将该式从右到左进行运算，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：如：分解因式：（1）分解因式：（2）请用上述方法解方程：【答案】（1）2，4（或4，2）；（2），【分析】（1）根据“十字相乘法”进行因式分解，即可得到答案；（2）先利用“十字相乘法”进行因式分解，进而即可求解解：（1）故答案为：2，4（或4，2）；（2），或，解得：，【点拨】本题主要考查分解因式以及解一元二次方程，熟练掌握“十

5、字相乘法”进行因式分解，是解题的关键举一反三：【变式1】如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”例如，一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”（1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：；（2）已知关于的方程(是常数) 是“邻根方程”，求的值【答案】（1）不是“邻根方程”；是“邻根方程”；（2）0或2【分析】（1）根据解一元二次方程的方法解出已知方程的解，再比较两根的差是否为1，从而确定方程是否为“邻根方程”；（2）先解方程求得其根，再根据新定义列出m的方程，注意有两种情况，故可求解解：（1）解方程得：（x-3）（x+2）0，x13，

6、x2-2，321，不是“邻根方程”；x=，x1，x2，-=1，是“邻根方程”；（2）解方程得：（xm）（x1）0，x1m，x21，方程（m是常数）是“邻根方程”，m11或m11，m0或2【点拨】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻根方程”的定义，本题属于中等题型【变式2】 （2022秋九年级单元测试）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上，同时B区就会自动减去3a，且均显示化简后的结果，已知A、B两区初始显示的分别是25和如图如：第一次按键后，A，B两区分别显示（1）从初始状态按2次后，分别求A，B两区显示的结果：（2）从初始状态按4次后，得

7、A，B两区代数式的和为1，求a的值【答案】（1）A区显示的结果为，B区显示的结果为-16-6a；（2）a的值为2或1【分析】（1）根据程序规则即可得到按键2次后A、B两区显示的结果；（2）根据程序规则先得到按键4次后A、B两区显示的结果，再将两个结果加起来等于1得到关于a的一元二次方程，解方程即可求得a值解：（1）A区显示的结果为，B区显示的结果为163a3a=166a；（2）按4次后A区显示的结果为，B区显示的结果为1612a，则，根据题意，得：，即，解得，a的值为2或1【点拨】本题考查了整式的加减、解一元二次方程，根据题意能正确得出结果，并会解一元二次方程是解答的关键类型三、解一元二次方程

8、用适合的方法解一元二次方程3按要求解下列方程：(1) ；（配方法）； (2) ；（因式分解法）(3) ；（公式法）； (4) （因式分解法）【答案】(1) ，(2) (3) ，(4) 【分析】（1）利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程即可；（2）利用因式分解法解方程即可；（3）把方程化为一般式，再计算根的判别式的值，然后利用公式法解方程即可；（4）利用因式分解法解方程先即可（1）解：，；（2）解：或x+4-5=0；（3）解：a=1，b=-6，c=-8，；（4）解：x-5=0或x+3=0【点拨】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法

9、、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键举一反三：【变式1】 用指定的方法解下列方程：（1）4（x1）236=0（直接开方法）（2）x2+2 x3=0（配方法）（3）（x+1）（x-2）=4（公式法）（4）2（x+1）x（x+1）=0（因式分解法）【答案】（1）x14，x22；（2）x11，x23；（3）x13，x22；（4）x11，x22【分析】（1）直接利用开方法进行求解即可得到答案；（2）直接利用配方法进行求解即可得到答案；（3）直接利用公式法进行求解即可得到答案；（4）直接利用因式分解法进行求解即可得到答案；解：（1）（x1）29，x13，x14，x22；（2）

10、x2+2x3，x2+2x+14，（x+1）24，x+12，x11，x23；（3）x2x60，141（6）25，x，x13，x22；（4）（x+1）（2x）0，x+10或2x0，x11，x22【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法.【变式2】 解方程：(1) （公式法）；(2) （因式分解法）【答案】(1) ，(2) ，【分析】（1）整理成一般式后运用公式法即可得出方程的解；（2）将（3x-4）看作整体因式分解后可得两个一元一次方程，解之可得解：（1）(2x+1) (x+2) =3原方程整理，得 所以，方程的解为，（2）原方程变形为由，得 由，得 所

11、以，方程的解为，【点拨】本题考查了解一元二次方程，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程类型三、解一元二次方程纠错可化为一元二次方和的分式方程拓展4 解方程：2x63x(x3) 小明是这样解答的：将方程左边分解因式，得2(x3) 3x(x3) 第一步方程两边同时除以(x3) ，得23x.第二步解得x.第三步(1) 小明的解法从第_步开始出现错误；(2) 写出正确的解答过程【答案】（1）二；（2）答案见分析【分析】首先判定小明的解法从第二步开始出现错误，再利用因式分解的方法与步骤求得方程的解即可解：（1）小明的解法从第二步开始出现错误；（2）2x6=3x（x3）2（x3）=3x（x3）

12、2（x3）3x（x3）=0（x3）（23x）=0x3=0，23x=0x1=3，x2=【点拨】本题考查了用因式分解法解一元二次方程，掌握解方程的步骤与方法是解决问题的关键举一反三：【变式1】 （2019春八年级单元测试）解下列方程（1）（2）【答案】(1) x1=1;(2) x11，x23，x32，x44.【分析】（1）方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，经检验即可得到分式方程的解；（2）运用换元法求解即可.解：（1）方程两边同乘以(x+2) (x-2) ，得(x-2) +4x-2(x+2) =(x+2) (x-2) ，即x2-3x+2=0，x1=1，x2=2检验：x=1时，(x+2)

13、(x-2) 0，知x=1是原方程的解；x=2时，(x+2) (x-2) =0，知x=2是原方程的增根. 故原方程的根是x=1（2）设x22xy，则原方程变形为 （y2）（y1）25（y2）（y1）24（y24）整理后，得y211y240.解得 y13，y28.当y3时，x22x3,解得 x11，x23， 当y8时，x22x8.解得x32，x44.经检验：x11，x23，x32，x44都是原方程的解.【点拨】此题主要考查了分式方程的解法，解题的关键是熟练掌握运用分式方程的解法.【变式2】 根据要求，解答下列问题：方程的解为 ；方程的解为 ， ；方程的解为 ， ；(1) 根据以上方程特征及其解的特

14、征，请猜想：方程的解为_；关于的方程_的解为，(2) 请用配方法解方程，以验证猜想结论的正确性【答案】(1) ，；(2) 猜想正确，理由见分析【分析】（1）根据已知方程特征及其解的特征，可判定方程x29x+8=0的解为1和8；关于x的方程的解为x1=1，x2=n，则此一元二次方程的二次项系数为1，则一次项系数为1和n的和的相反数，常数项为1和n的积（2）利用配方法解方程x29x+8=0可判断猜想结论的正确(1) 解：根据已知方程特征及其解的特征，得到：方程x29x+8=0的解为x1=1，x2=8；故答案为：x1=1，x2=8；关于x的方程x2（1+n）x+n=0的解为x1=1，x2=n故答案为

15、：x1=1，x2=n(2) 解：x29x=8，x29x+=8+，（x）2=，x=，所以x1=1，x2=8；所以猜想正确【点拨】本题考查了解一元二次方程配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法也考查了因式分解法解一元二次方程类型三、解一元二次方程中考真题专练5 （2021浙江嘉兴统考中考真题）小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框：小敏：两边同除以，得，则小霞：移项，得，提取公因式，得则或，解得，你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“”；若错误请在框内打“”，并写出你的解答过程【答案】两位同学的解法都错误，正确过程见分析【分析

16、】根据因式分解法解一元二次方程解：小敏：两边同除以，得，则（）小霞：移项，得，提取公因式，得则或，解得，（）正确解答：移项，得，提取公因式，得，去括号，得，则或，解得，【点拨】本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的技巧准确计算是解题关键举一反三：【变式1】 （2019上海中考真题）解分式方程：【答案】x4.【分析】首先去分母，化为整式方程，然后合并同类项，把未知数的系数化为1，最后检验求得的结果是否使原分式有意义，即可得到答案解：去分母得2x28x22x，移项、整理得x22x80，解得：x12，x24经检验：x2是增根，舍去；x4是原方程的根原方程的根是x4【点拨】此题考查解分式方程，解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，这也是解分式方程的一般思路和做法；注意解分式方程要检验，避免产生增根【变式2】 （2020四川广元统考中考真题）先化简，再求值：，其中a是关于x的方程的根【答案】a2+2a+1；16【分析】首先将括号里面通分，进而因式分解各项，化简求出即可解：=a2+2a+1a是关于x的方程的根，a2-2a-3=0，a=3或a=-1，a2+a0，a-1，a=3，原式=9+6+1=16.【点拨】此题主要考查了分式的化简求值以及一元二次方程的解，正确化简分式是解题关键