专题2.3二次函数与一元二次方程、不等式 （知识解读）-2022-2023学年高一数学《同步考点解读·专题训练》（人教A版2019必修第一册）.docx

1、专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 （知识解读）【学习目标】1.懂得结合一元二次函数的图像，判断一元二次方程实根的存在性及实根个数，了解函数的零点与方程根的关系2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义，能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系【知识点梳理】考点1 一元二次不等式的概念一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如或(其中a，b，c均为常数，的不等式都是一元二次不等式考点2 二次函数的零点1.

2、一般地，对于二次函数yax2bxc，我们把使ax2bxc0的x叫做二次函数yax2bxc的零点2.二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标3.一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点考点3 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系【解读】(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间(2)对于二次项系数是负数(即a0，它的解集为R的条件为2.一元二次不等式ax2bxc0，它的解集为R的条件为3.一元二次不等式ax2bxc0的解集为空集的条件为【解题思路】【典例分析】【考点1 解一元二次不等式】【点1】（2021秋伊州区校级

3、期末）解下列不等式（1）9x26x+10； （2）；（3）x26x+90； （4）x2+2x30【变式1-1】（2022春珠海期末）不等式（x+1）（x+3）0的解集是（）ARBCx|3x1Dx|x3，或x1【变式1-2】（2022春凉州区期末）不等式3x2x20的解集是（）ABCD【变式1-3】（2022春洛阳月考）已知集合Ax丨x2160，Bx丨x24x+30，则AB（）Ax|4x1或3x4Bx|4x3或一1x4Cx|1x3Dx|x4【变式1-4】（2021全国高一课时练习）求下列不等式的解集.（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）【考点2 根据一元二次不等式解求参数】【典例

4、2-1】（2021秋阎良区期末）若关于x的一元二次不等式x2+mx+10的解集为，则实数m的取值范围是（）A m|m2或m2 Bm|2m2Cm|m2或m2 Dm|2m2【典例2-2】（2021秋徐汇区校级期中）若关于x的不等式ax2+bx+c0的解集是（3，2），则不等式cx2bx+a0的解集为（）A，B（，+）C，D（，+）【变式2-1】（2022四川射洪中学高一阶段练习）已知不等式的解集为，则（）ABCD【变式2-2】（2022福建厦门一中高一期中）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（）AB不等式的解集为CD不等式的解集为【变式2-3】（2022贵州毕节高一期末）已知不等式的解

5、集为，则a，b的值是（）A，B，C6，3D3，6【变式2-4】（2021广东湛江市高一期末）已知不等式的解集为，则不等式的解集是（ ）ABC或 D或【考点3 含参数的一元二次不等式的解法】【典例3】（2022春南充期末）当a0时，解关于x的不等式ax2+（12a）x20【变式3-1】（2021全国高一课时练习）解关于x的不等式ax22(a1)x40.【变式3-2】（2021秋霞山区校级期中）若关于x的不等式ax22x+b0的解集为（3，1）（1）求a，b的值；（2）求不等式bx2+ax20的解集【变式3-3】（2021安徽省临泉第一中学）解关于的不等式.【考点4 一元二次不等式恒成立】【典例4

6、】（2020-2021学年广东省江门市新会陈经纶中学高一上学期期中）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（）ABC或D或【变式4-1】（2021-2022学年陕西省西安市长安区高一下学期月考）若不等式对一切实数均成立，则实数的取值范围是（）ABCD【变式4-2】（2021-2022学年广东省梅州市梅江区梅州中学高一上学期月考）若不等式在R上恒成立，则实数a的取值范围是_【考点5 不等式分式的解法】【典例5】（2022陕西咸阳市高新一中高一期中）不等式的解集是_【变式5-1】（2022四川树德中学高一竞赛）不等式的解集为_【变式5-2】（2022安徽省利辛县第一中学高一阶段练习）若集合，

7、则_【考点6 实际问题】【典例6】（2021浙江湖州市湖州中学高一月考）如图所示，某学校要在长为米，宽为米的一块矩形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，均为米，中间植草坪.为了美观，要求草坪的面积大于矩形土地面积的一半，则的取值范围为_.【变式6-1】（2021浙江高一期末）某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x（件）与单价P（元）之间的关系为，生产x件所需成本为C（元），其中元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x的取值范围是ABCD【变式6-2】（2020河北沧州市高一期中）某种杂志原以每本元的价格销售，可以售出万本.根据市场调查，杂志的单价每提高元，销售量就减少本.设每

8、本杂志的定价为元，要使得提价后的销售总收入不低于万元，则应满足（ ）ABCD【变式6-3】（2020吉林长春市长春十一高高一期中）某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2400元，为了减少木材消耗，决定按销售收入的征收木材税，这样每年的木材销售量减少万立方米，为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则的取值范围是（ ）ABCD专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 （知识解读）【学习目标】1.懂得结合一元二次函数的图像，判断一元二次方程实根的存在性及实根个数，了解函数的零点与方程根的关系2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义，能借

9、助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系【知识点梳理】考点1 一元二次不等式的概念一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如或(其中a，b，c均为常数，的不等式都是一元二次不等式考点2 二次函数的零点1.一般地，对于二次函数yax2bxc，我们把使ax2bxc0的x叫做二次函数yax2bxc的零点2.二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标3.一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点考点3 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系【解读

10、】(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间(2)对于二次项系数是负数(即a0，它的解集为R的条件为2.一元二次不等式ax2bxc0，它的解集为R的条件为3.一元二次不等式ax2bxc0的解集为空集的条件为【解题思路】【典例分析】【考点1 解一元二次不等式】【点1】（2021秋伊州区校级期末）解下列不等式（1）9x26x+10； （2）；（3）x26x+90； （4）x2+2x30【解答】解：（1）不等式9x26x+10可化为（3x1）20，解得x，所以不等式的解集为x|x；（2）不等式可化为x24x40，即（x2）28，解得22x

11、2+2，所以不等式的解集为（22，2+2）；（3）不等式x26x+90可化为（x3）20，解得x3，所以不等式的解集为x|x3；（4）不等式可化为x2+2x30，即x22x+30，（x1）22，此不等式无解，所以不等式的解集为【变式1-1】（2022春珠海期末）不等式（x+1）（x+3）0的解集是（）ARBCx|3x1Dx|x3，或x1【答案】C【解答】解：（x+1）（x+3）0，解得3x1，原不等式的解集为x|3x1故选：C【变式1-2】（2022春凉州区期末）不等式3x2x20的解集是（）ABCD【答案】C【解答】解：根据题意，3x2x20即（3x+2）（x1）0，解可得：x1或x，即不等

12、式的解集为x|x或x1，故选：C【变式1-3】（2022春洛阳月考）已知集合Ax丨x2160，Bx丨x24x+30，则AB（）Ax|4x1或3x4Bx|4x3或一1x4Cx|1x3Dx|x4【答案】A【解答】解：因为集合Ax丨x2160x|4x4，Bx丨x24x+30x|x1或x3，所以ABx|4x1或3x4故选：A【变式1-4】（2021全国高一课时练习）求下列不等式的解集.（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）R.【解析】（1）同解于：或，解得：或，所以原不等式的解集为.（2）可化为即或，解得：或无解所以原不等式的解集为.

13、（3）可化为：，解得：，所以原不等式的解集为.（4）可化为：，所以，无解.所以原不等式的解集为.（5）可化为： ，即或，解得：或所以原不等式的解集为.（6）可化为：，所以,所以原不等式的解集为R.【考点2 根据一元二次不等式解求参数】【典例2-1】（2021秋阎良区期末）若关于x的一元二次不等式x2+mx+10的解集为，则实数m的取值范围是（）B m|m2或m2 Bm|2m2Cm|m2或m2 Dm|2m2【答案】B【解答】解：关于x的一元二次不等式x2+mx+10的解集为，则m40，解得2m2，所以实数m的取值范围是（2，2）故选：B【典例2-2】（2021秋徐汇区校级期中）若关于x的不等式a

14、x2+bx+c0的解集是（3，2），则不等式cx2bx+a0的解集为（）A，B（，+）C，D（，+）【答案】A【解答】解：不等式ax2+bx+c0的解集为（3，2），对应方程ax2+bx+c0的解是3和2，且a0，由根与系数的关系知，解得ba，c6a，不等式cx2bx+a0可化为6ax2ax+a0，即6x2+x10，解得x，所求不等式的解集是，故选：A【变式2-1】（2022四川射洪中学高一阶段练习）已知不等式的解集为，则（）ABCD【答案】A【解答】由不等式的解集知：和是方程的两根，.故选：A.【变式2-2】（2022福建厦门一中高一期中）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（）A

15、B不等式的解集为CD不等式的解集为【答案】B【解答】解：因为关于的不等式的解集为或，所以，所以选项A错误；由题得，所以为.所以选项B正确；设，则，所以选项C错误；不等式为，所以选项D错误.故选：B【变式2-3】（2022贵州毕节高一期末）已知不等式的解集为，则a，b的值是（）A，B，C6，3D3，6【答案】B【变式2-4】（2021广东湛江市高一期末）已知不等式的解集为，则不等式的解集是（ ）ABC或 D或【答案】A【解答】的解集为,则的根为，即，解得，则不等式可化为，即为，解得或，故选：A.【考点3 含参数的一元二次不等式的解法】【典例3】（2022春南充期末）当a0时，解关于x的不等式ax

16、2+（12a）x20【解答】解：由不等式ax2+（12a）x20化简可得（ax+1）（x2）0由于二次项系数含参，故进行如下讨论：当a0时，原不等式化简为：x20，解得x2当a0时，不等式为：（ax+1）（x2）0解得方程（ax+1）（x2）0的两根分别为为，x22则：当时，解为：x2当时，解为；当时，解为：综上所述，当a0时，解集为x|x2当时，解集为x|x2当时，解集为：当时，解集为：【变式3-1】（2021全国高一课时练习）解关于x的不等式ax22(a1)x40.【答案】答案见解析.【解析】(1)当a0时，原不等式可化为2x40，解得x2，所以原不等式的解集为x|x0时，原不等式可化为(

17、ax2)(x2)0，对应方程的两个根为x1，x22.当0a2，所以原不等式的解集为或；当a1时，2，所以原不等式的解集为x|x2；当a1时，2，所以原不等式的解集为或.(3)当a0时，原不等式可化为(ax2)(x2)0，对应方程的两个根为x1，x22，则2，所以原不等式的解集为.综上，a0时，原不等式的解集为；a0时，原不等式的解集为x|x2；01时，原不等式的解集为或.【变式3-2】（2021秋霞山区校级期中）若关于x的不等式ax22x+b0的解集为（3，1）（1）求a，b的值；（2）求不等式bx2+ax20的解集【解答】解：（1）因为不等式ax22x+b0的解集为（3，1），所以方程ax2

18、2x+b0的两根为3，1，由根与系数的关系可知，解得a1，b3；（2）由（1）可知，a1，b3，不等式化为3x2x20，即（3x+2）（x1）0，解得，所以该不等式的解集为【变式3-3】（2021安徽省临泉第一中学）解关于的不等式.【解答】由题意可知，可化为（1）当时，不等式化为，解得，（2）当时，不等式化为，解得，（3）当时，不等式化为，解得或，（4）当时，不等式化为，解得，（5）当时，不等式化为，解得或，综上所述，时，不等式的解集为时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为;【考点4 一元二次不等式恒成立】【典例4】（2020-2021学年广东省江门市新

19、会陈经纶中学高一上学期期中）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（）ABC或D或【答案】B【解答】当时，恒成立，符合题意；当时，由题意有，解得，综上，.故选B.【变式4-1】（2021-2022学年陕西省西安市长安区高一下学期月考）若不等式对一切实数均成立，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】A【解答】因为恒成立所以恒成立恒成立恒成立故解之得：故选A【变式4-2】（2021-2022学年广东省梅州市梅江区梅州中学高一上学期月考）若不等式在R上恒成立，则实数a的取值范围是_【答案】【解答】当时，不等式为满足题意；当时，需满足，解得综上可得，a的取值范围为【考点5 不等式分式的解法】【典

20、例5】（2022陕西咸阳市高新一中高一期中）不等式的解集是_【答案】或【解答】不等式等价于，利用数轴标根法解得或，即不等式的解集是或，故答案为：或.【变式5-1】（2022四川树德中学高一竞赛）不等式的解集为_【答案】【解答】解：由，得，则，解得，所以不等式的解集为.故答案为：.【变式5-2】（2022安徽省利辛县第一中学高一阶段练习）若集合，则_【答案】【解答】依题意，则，故故答案为：【考点6 实际问题】【典例6】（2021浙江湖州市湖州中学高一月考）如图所示，某学校要在长为米，宽为米的一块矩形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，均为米，中间植草坪.为了美观，要求草坪的面积大于

21、矩形土地面积的一半，则的取值范围为_.【答案】【解答】设花卉带宽度为米， 则中间草坪的长为米，宽为米，根据题意可得，整理得：，即，解得或，不合题意，舍去，故所求花卉带宽度的范围为，故答案为：.【变式6-1】（2021浙江高一期末）某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x（件）与单价P（元）之间的关系为，生产x件所需成本为C（元），其中元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x的取值范围是ABCD【答案】B【解答】设该厂每天获得的利润为元，则，根据题意知，解得：，所以当时，每天获得的利润不少于元，故选【变式6-2】（2020河北沧州市高一期中）某种杂志原以每本元的价格销售，可以售出万本.根据市场调查，杂志的单价每提高元，销售量就减少本.设每本杂志的定价为元，要使得提价后的销售总收入不低于万元，则应满足（ ）ABCD【答案】A【解答】设提价后杂志的定价设为元，则提价后的销售量为：万本，因为销售的总收入不低于万元，列不等式为：，即，即，故选：A.【变式6-3】（2020吉林长春市长春十一高高一期中）某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2400元，为了减少木材消耗，决定按销售收入的征收木材税，这样每年的木材销售量减少万立方米，为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解答】由题意可得，整理可得解得故选：B