专题20 作平行线和作垂线构造相似三角形的技巧（解析版）.docx

1、专题20 构造相似三角形的技巧（解析版）技巧一 做平行线构造“A”型相似典例1（邵阳中考）如图1所示，在ABC中，点O是AC上一点，过点O的直线与AB，BC的延长线分别相交于点M，N【问题引入】（1）若点O是AC的中点，AMBM=13，求CNBN的值；温馨提示：过点A作MN的平行线交BN的延长线于点G【探索研究】（2）若点O是AC上任意一点（不与A，C重合），求证：AMMBBNNCCOOA=1；【拓展应用】（3）如图2所示，点P是ABC内任意一点，射线AP，BP，CP分别交BC，AC，AB于点D，E，F，若AFBF=13，BDCD=12，求AECE的值思路引领：（1）作AGMN交BN延长线于点

2、G，证ABGMBN得BGBN=ABMB，即NGBN=AMMB，同理由ACGOCN得NGCN=AOCO，结合AOCO得NGCN，从而由CNBN=NGBN=AMBM可得答案；（2）由NGBN=AMMB、COAO=CNNG知AMMBBNNCCOOA=NGBNBNNCCNNG=1；（3）由（2）知，在ABD中有AFBFBCCDDPPA=1、在ACD中有AEECCBBDDPPA=1，从而AFBFBCCDDPPA=AEECCBBDDPPA，据此知AEEC=AFBFBCCDBDCB=AFFBBDCD=16解：（1）方法一：过点A作MN的平行线交BN的延长线于点G，AMBM=NGBN=13，设NGx，则BN3

3、x，O是AC中点，且AGMN，ON是ACG中位线，CNNGx，CNBN=13；方法二：过点A作AGMN交BN延长线于点G，GBNM，又BB，ABGMBN，BGBN=ABMB，BGBN1=ABMB1，BGBNBN=ABMBMB，即NGBN=AMMB，同理，在ACG和OCN中，NGCN=AOCO，COAO=CNNG，O为AC中点，AOCO，NGCN，CNBN=NGBN=AMBM=13；（2）由（1）知，NGBN=AMMB、COAO=CNNG，AMMBBNNCCOOA=NGBNBNNCCNNG=1；（3）在ABD中，点P是AD上的一点，过点P的直线与AC、BD的延长线相交于点C，由（2）得AFBFB

4、CCDDPPA=1，在ACD中，点P是AD上一点，过点P的直线与AC、CD的延长线分别相交于点E、B，由（2）得AEECCBBDDPPA=1，AFBFBCCDDPPA=AEECCBBDDPPA，AEEC=AFBFBCCDBDCB=AFFBBDCD=1312=16总结提升：本题主要考查相似三角形的综合问题，熟练掌握相似三角形的判定与性质及比例式的基本性质是解题的关键变式训练1（2022郫都区模拟）如图，已知：正方形ABCD，点E在CB的延长线上，连接AE、DE，DE与边AB交于点F，FGBE交AE于点G（1）求证：GFBF；（2）若EB1，BC4，求AG的长；（3）在BC边上取点M，使得BMBE

5、，连接AM交DE于点O求证：FOEDODEF思路引领：（1）根据正方形的性质得到ADBC，ABCD，ADCD，根据相似三角形的性质列出比例式，等量代换即可；（2）根据勾股定理求出AE，根据相似三角形的性质计算即可（3）延长GF交AM于H，根据平行线分线段成比例定理得到GFBE=FHBM，由于BMBE，得到GFFH，由GFAD，得到EFED=GFAD，FHAD=FOOD等量代换得到EFED=FHAD，即EFED=FOOD，于是得到结论证明：（1）四边形ABCD是正方形，ADBC，ABCD，ADCD，GFBE，GFBC，GFAD，GFAD=EFED，ABCD，BFCD=EFED，ADCD，GFBF

6、；（2）EB1，BC4，DFFE=BCEB=4，AE=EB2+AB2=17，AGGE=DFFE=4，AG=4175；（3）延长GF交AM于H，GFBC，FHBCGFBE=AFAB，GFBE=AFAB，BMBE，GFFH，GFAD，EFED=GFAD，FHAD=FOOD，EFED=FHAD，FEED=FOOD，FOEDODEF总结提升：本题主要考查平行线分线段成比例及正方形的性质，掌握平行线分线段中的线段对应成比例是解题的关键，注意利用比例相等也可以证明线段相等2（2018黄石）在ABC中，E、F分别为线段AB、AC上的点（不与A、B、C重合）（1）如图1，若EFBC，求证：SAEFSABC=A

7、EAFABAC（2）如图2，若EF不与BC平行，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；（3）如图3，若EF上一点G恰为ABC的重心，AEAB=34，求SAEFSABC的值思路引领：（1）由EFBC知AEFABC，据此得AEAB=AFAC，根据SAEFSABC=（AEAB）2即可得证；（2）分别过点F、C作AB的垂线，垂足分别为N、H，据此知AFNACH，得FNCH=AFAC，根据SAEFSABC=12AEFN12ABCH即可得证；（3）连接AG并延长交BC于点M，连接BG并延长交AC于点N，连接MN，由重心性质知SABMSACM、AGAM=23，设AFAC=a，利用（2）中结论知SAEGSA

8、BM=AEAGABAM=12、SAFGSACM=AGAFAMAC=23a，从而得SAEFSABC=SAEG+SAFG2SACM=14+13a，结合SAEFSABC=AEAFABAC=34a可关于a的方程，解之求得a的值即可得出答案解：（1）EFBC，AEFABC，AEAB=AFAC，SAEFSABC=（AEAB）2=AEABAFAC=AEAFABAC；（2）若EF不与BC平行，（1）中的结论仍然成立，分别过点F、C作AB的垂线，垂足分别为N、H，FNAB、CHAB，FNCH，AFNACH，FNCH=AFAC，SAEFSABC=12AEFN12ABCH=AEAFABAC；（3）连接AG并延长交B

9、C于点M，连接BG并延长交AC于点N，连接MN，则MN分别是BC、AC的中点，MNAB，且MN=12AB，GMGA=GNGB=12，且SABMSACM，AGAM=23，设AFAC=a，由（2）知：SAEGSABM=AEAGABAM=3423=12，SAFGSACM=AGAFAMAC=23a，则SAEFSABC=SAEG+SAFG2SACM=SAEG2SABM+SAFG2SACM=14+13a，而SAEFSABC=AEAFABAC=34a，14+13a=34a，解得：a=35，SAEFSABC=3435=920总结提升：本题主要考查相似形的综合问题，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质和三

10、角形重心的定义及其性质等知识点技巧二 做平行线构造“X”型相似典例2（2021春招远市期末）探究：某学校数学社团遇到这样一个题目：如图，在ABC中，点O在线段BC上，BAO30，OAC75，AO33，BO：CO1：3，求AB的长经过社团成员讨论发现，过点B作BDAC，交AO的延长线于点D，连接BD，如图所示，通过构造ABD就可以解决问题请你写出求AB长的过程应用：如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，ACAD，ABCACB75，BO：OD1：3若AO33，请你求出AB的长思路引领：探究：先找到BODCOA，利用对应边成比例，求出OD再结合三角形内角和180即可找到ABAD，最后

11、求解应用：过点B作BEAD交AC于点E，证明AODEOB相似，求出EO、AO的长度，在RtAEB中，利用勾股定理即可求解解：探究：BDAC，ADBOAC75BODCOA，BODCOA，ODOA=OBOC=13又AO33，OD=13AO=3，ADAO+OD43BAD30，ADB75，ABD180BADADB75ADB，ABAD43应用：过点B作BEAD交AC于点E，如图所示ACAD，BEAD，DACBEA90AODEOB，AODEOB，BODO=EOAO=BEDABO：OD1：3，EOAO=BEDA=13AO33，EO=3，AE43ABCACB75，BAC30，ABAC，AB2BE在RtAEB中

12、，BE2+AE2AB2，即（43）2+BE2（2BE）2，解得：BE4，AB2BE8总结提升：本题考查了三角形相似判断和性质的应用，以及勾股定理等知识，比较综合，关键在于熟悉各个知识点之间的联系是关键针对训练1（2019乐山）在ABC中，已知D是BC边的中点，G是ABC的重心，过G点的直线分别交AB、AC于点E、F（1）如图1，当EFBC时，求证：BEAE+CFAF=1；（2）如图2，当EF和BC不平行，且点E、F分别在线段AB、AC上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由（3）如图3，当点E在AB的延长线上或点F在AC的延长线上时，（1）中的结论是否成立？如

13、果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由思路引领：（1）根据三角形重心定理和平行线分线段成比例解答即可；（2）过点A作ANBC交EF的延长线于点N，FE、CB的延长线相交于点M，得出BMEANE，CMFANF，得出比例式解答即可；（3）分两种情况：当F点与C点重合时，E为AB中点，BEAE；点F在AC的延长线上时，BEAE，得出BEAE1，则BEAE+CFAF1，同理：当点E在AB的延长线上时，BEAE+CFAF1，即可得出结论（1）证明：G是ABC重心，DGAG=12，又EFBC，BEAE=DGAG=12，CFAF=DGAG=12，则BEAE+CFAF=12+12=1；（2）解：（1）中结

14、论成立，理由如下：如图2，过点A作ANBC交EF的延长线于点N，FE、CB的延长线相交于点M，则BMEANE，CMFANF，BEAE=BMAN，CFAF=CMAN，BEAE+CFAF=BMAN+CMAN=BM+CMAN，又BM+CMBM+CD+DM，而D是BC的中点，即BDCD，BM+CMBM+BD+DMDM+DM2DM，BEAE+CFAF=2DMAN，又DMAN=DGAG=12，BEAE+CFAF=212=1，故结论成立；（3）解：（1）中结论不成立，理由如下：当F点与C点重合时，E为AB中点，BEAE，点F在AC的延长线上时，BEAE，BEAE1，则BEAE+CFAF1，同理：当点E在AB

15、的延长线上时，BEAE+CFAF1，结论不成立总结提升：此题是相似三角形综合题，考查了相似三角形的判定与性质、三角形重心定理、平行线分线段成比例定理等知识；本题综合性强，熟练掌握三角形的重心定理和平行线分线段成比例定理，证明三角形相似是解题的关键2（2021秋简阳市 期中）如图1，在ABC中，ABAC，D为BC边上一点，BD2DC，E为线段AD上一点，BEDBAC（1）求证：ABECAD；（2）过点C作CFBE交AD的延长线于点F，试探索AE与CF的数量关系；（3）如图2，若ADBD，AB6，求CE的长思路引领：（1）利用三角形外角的性质以及角的和差定义解决问题即可（2）结论：AECF如图1中

16、，在AF上截取AJ，使得AJBE证明ABECAJ（SAS），推出AECJ，再证明CFCJ即可解决问题（3）如图2中，过点B作BKAD于K，作CFBE交AD的延长线于F，过点C作CQDF于Q首先证明BEBD，CDDF，再证明EKDK，DQFQ，DK2DQ，BK2CQ，AEDECDCF，利用参数构建方程解决问题即可（1）证明：BEDABE+BAE，BACBAE+CAD，又BEDBAC，ABE+BAEBAE+CAD，ABECAD（2）解：结论：AECF理由：如图1中，在AF上截取AJ，使得AJBEBAAC，ABECAJ，BEAJ，ABECAJ（SAS），AECJ，AEBAJC，BEDCJF，BECF

17、，BEJF，CJFF，CJCF，AECF（3）如图2中，过点B作BKAD于K，作CFBE交AD的延长线于F，过点C作CQDF于Q设ABECADx，CBEy，ABAC，DBDA，DBADABACBx+y，BEDABE+DAB2x+y，BDEACB+CAD2x+y，BEDBDE，BEBD，ABCA，ABECAD，ABECAD（AAS），AECD，BEAD，CFBE，FBED，FCDF，CDCF，BEBD，BKDE，CDCF，CQDF，EKKD，DQQF，CQBK，DQ：DKCD：BDCQ：BK1：2，可以假设DQm，DK2m，BDBEAD2CD2CF2AE，AEDE4m，ADBD8m，BK=BD2

18、DK2=(8m)2(2m)2=215m，CQ=15m，在RtABK中，AB2AK2+BK2，62（215m）2+（6m）2，m=64，DQ=64，CQ=3104，EQ5m=564，CQE90，CE=CQ2+EQ2=(3104)2+(564)2=15总结提升：本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题技巧三 作垂线构造直角三角形相似典例3（2017台江区校级自主招生）如图，四边形ABCD中，ADBC，BCD90，AD6，BC3，DEAB于E，AC交DE于F（1）求AEAB的

19、值；（2）若CD4，求AFFC的值思路引领：（1）过点B作BHAD于H，如图1，易证四边形BCDH是矩形，从而可求出HD、AH的值，易证AEDAHB，根据相似三角形的性质即可求出AEAB的值；（2）延长DE、CB交于点G，如图2，由（1）得：AH3，AEAB18，四边形BCDH是矩形，则有BHCD4，根据勾股定理可求出AB，根据AEAB18可求出AE，进而可求出EB由ADGC可得AEDBEG，根据相似三角形的性质可求出BG，由此可求出GC由ADGC可得AFDCFG，根据相似三角形的性质即可求出AFFC的值解：（1）过点B作BHAD于H，如图1，则有AHBBHD90ADBC，BCD90，ADC1

20、80BCD90，BHDHDCBCD90，四边形BCDH是矩形，HDBC3，AHADHD633DEAB即AED90，AEDAHB又EADHAB，AEDAHB，AEAH=ADAB，AEABAHAD3618；（2）延长DE、CB交于点G，如图2由（1）得：AH3，AEAB18，四边形BCDH是矩形，则有BHCD4，AB=AH2+BH2=5，AE=18AB=EB5185=75ADGC，AEDBEG，ADBG=AEEB，BG=73，GC=73+3=163ADGC，AFDCFG，AFCF=ADCG=6163=98总结提升：本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，通常可以运用

21、相似三角形的性质求线段长、线段比，应熟练掌握变式训练1如图，ABC中，ABAC，E、F、G分别是BC、AB、AC上一点，FEG2B（1）求证：BFEAGE；（2）若BECE=12，求EFEG的值思路引领：（1）根据等腰三角形的性质得到BC，由三角形的内角和得到A+2B180，等量代换得到A+FEG180，于是得到AFE+AGE180，即可得到结论；（2）作EMAB于M，ENAC于N，推出EMBENC，根据相似三角形的性质得到MEEN=BEEC=12，通过FMEGNE，即可得到结论解：（1）ABAC，BC，A+B+C180，A+2B180，FEG2B，A+FEG180，AFE+AGE180，BF

22、E+AFE180，BFEAGE；（2）作EMAB于M，ENAC于N，BC，EMBENC，EMBENC，MEEN=BEEC=12，EMFENG，FMEGNE，FMEGNE，EFEG=MEEN=12总结提升：本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，正确的作出辅助线是解题的关键技巧四 作垂线构造“三垂直”型相似典例4（2020浙江自主招生）如图，在ABC中，BAC60，ABC90，直线l1l2l3，l1与l2之间距离是1，l2与l3之间距离是2，且l1，l2，l3分别经过点A，B，C，则边AC的长为（）A23B11C3214D2213思路引领：过点B作EFl2，交l1于E

23、，交l3于F，在RtABC中运用三角函数可得BCAB=3，易证AEBBFC，运用相似三角形的性质可求出FC，然后在RtBFC中运用勾股定理可求出BC，再在RtABC中运用三角函数就可求出AC的值解：如图，过点B作EFl2，交l1于E，交l3于F，如图BAC60，ABC90，tanBAC=BCAB=3直线l1l2l3，EFl1，EFl3，AEBBFC90ABC90，EAB90ABEFBC，BFCAEB，FCEB=BCAB=3EB1，FC=3在RtBFC中，BC=BF2+FC2=4+3=7在RtABC中，sinBAC=BCAC=32，AC=237=2213故选：D总结提升：本题主要考查了相似三角形

24、的判定与性质，三角函数，特殊角的三角函数值等知识，构造K型相似是解决本题的关键变式训练1（2022秋通川区期末）如图，在四边形ABCD中，ABC90，AB3，BC4，CD10，DA=55，求BD的长思路引领：作DMBC，交BC延长线于M，连接AC，由勾股定理得出AC2AB2+BC225，求出AC2+CD2AD2，由勾股定理的逆定理得出ACD是直角三角形，ACD90，证出ACBCDM，得出ABCCMD，由相似三角形的对应边成比例求出CM2AB6，DM2BC8，得出BMBC+CM10，再由勾股定理求出BD即可解：作DMBC，交BC延长线于M，连接AC，如图所示：则M90，DCM+CDM90，ABC90，AB3，BC4，AC2AB2+BC225，CD10，AD55，AC2+CD2AD2，ACD是直角三角形，ACD90，ACB+DCM90，ACBCDM，ABCM90，ABCCMD，ABCM=12，CM2AB6，DM2BC8，BMBC+CM10，BD=BM2+DM2=102+82=241，总结提升：本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握相似三角形的判定与性质，证明由勾股定理的逆定理证出ACD是直角三角形是解决问题的关键