专题21.10 二次函数中的三大类型新定义问题（沪科版）（解析版）.docx

1、专题21.10 二次函数中的三大类型新定义问题【沪科版】考卷信息：本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生二次函数中的三大类型新定义问题的理解！【类型1 二次函数问题中的新定义问题】1（2023春山东济南九年级统考期末）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点若二次函数y=x2-2x+c（c为常数）在-1x4的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是（）A-5c4B0c1C-5c1D0c4【答案】D【分析】由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线y=2x上，由-1x0， 解得c-28+c8，解得c0，0c4故选D【点睛】本题考查二次函数图象与正比例

2、函数图象的交点问题，解题关键掌握函数与方程及不等式的关系，将代数问题转化为图形问题求解2（2023春湖北咸宁九年级统考期中）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”若互异二次函数的对称轴为直线x1且图象经过点（1，0），则这个互异二次函数的二次项系数是（）A12B14C1D1【答案】B【分析】根据函数的对称轴和互异二次函数的特点计算即可；【详解】由题可知：此函数的横坐标与纵坐标互为相反数，且对称轴为直线x1且图象经过点（1，0），设此函数为y=ax2+bx+c，-b2a=10=a-b+c-1=a+b+c，解得：a=14b=-12c=-34，此函数的二次项系数为1

3、4；故选B【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，准确计算是解题的关键3（2023春广西南宁九年级统考期中）新定义：在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）和点P（m，n），若满足m0时，n=n-4；m0时，n=-n，则称点P（m，n）是点P（m，n）的限变点例如：点P1（2，5）的限变点是P1（2，1），点P2（-2，3）的限变点是P2（-2，-3）若点P（m，n）在二次函数y=-x2+4x+2的图象上，则当-1m3时，其限变点P的纵坐标n的取值范围是（）A-2n2B1n3C1n2D-2n3【答案】D【分析】根据新定义得到当m0时，n=-m2+4m+2-4=-（m-2）2+2，在0m3时，得到-

4、2n2；当m0时，n=m2-4m-2=（m-2）2-6，在-1m0时，得到-2n3，即可得到限变点P的纵坐标n的取值范围是-2n3【详解】解：由题意可知，当m0时，n=-m2+4m+2-4=-（m-2）2+2，当0m3时，-2n2，当m0时，n=m2-4m-2=（m-2）2-6，当-1m0时，-2n3，综上，当-1m3时，其限变点P的纵坐标n的取值范围是-2n3，故选：D【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据限变点的定义得到n关于m的函数4（2023春湖南长沙九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期末）定义：我们不妨把纵坐标是横坐标2倍的点称为“青竹点”例如：点

5、1,2、-2.5,-5都是“青竹点”显然，函数y=x2的图象上有两个“青竹点”：0,0和2,4(1)下列函数中，函数图象上存在“青竹点”的，请在横线上打“”，不存在“青竹点”的，请打“”y=2x-1_；y=-x2+1_；y=x2+2_(2)若抛物线y=-12x2-m+1（m为常数）上存在两个不同的“青竹点”，求m的取值范围；(3)若函数y=14x2+b-c+2x+a+c-3的图象上存在唯一的一个“青竹点”，且当-1b2时，a的最小值为c，求c的值【答案】(1)；(2)m0，解得m12且a1）及其友好同轴二次函数y2的图像上，比较p,q的大小，并说明理由【答案】(1)y=34x2-6x+3；(2

6、)a=14或-2；(3)当m=-4或m=0时，p=q；当m0时，pq；当-4m0时，p0时，x=4时，ymax=a(4-1)2+3-a=8a+3=5，解得：a=14；当a12且a1）可求得，该函数的友好同轴二次函数为y2=(1-a)x2+4(1-a)x+c，把(m,p),(m,q)分别代入y1,y2可得，p=am2+4am+c，q=(1-a)m2+4(1-a)m+c，则p-q=am2+4am+c-(1-a)m2+4(1-a)m+c=(2a-1)m2+4(2a-1)m，a12，(2a-1)0，当p-q0时，pq，即(2a-1)m2+4(2a-1)m0，m2+4m0，解得：m0；当p-q0时，pq

7、，即(2a-1)m2+4(2a-1)m0，m2+4m0，解得：-4m0；当p-q=0时，p=q，即(2a-1)m2+4(2a-1)m=0，m2+4m=0，解得：m=-4或m=0；综上所述，当m=-4或m=0时，p=q；当m0时，pq；当-4m0时，pq【点睛】本题考查二次函数的性质以及新定义问题，掌握二次函数的基本性质以及研究手段，准确根据题意求出符合要求的友好同轴二次函数是解题关键6（2023春浙江金华九年级校考期中）定义：若抛物线yax2+bx+c与x轴两交点间的距离为4，称此抛物线为定弦抛物线(1)判断抛物线yx2+2x3是否是定弦抛物线，请说明理由；(2)当一定弦抛物线的对称轴为直线x

8、1，且它的图像与坐标轴的交点间的连线所围成的图形是直角三角形，求该抛物线的表达式；(3)若定弦抛物线yx2+bx+c（b0）与x轴交于A、B两点（A在B左边），当2x4时，该抛物线的最大值与最小值之差等于OB之间的距离，求b的值【答案】(1)是定弦抛物线，理由见解析(2)y=-33(x+1)(x-3)或y=33(x+1)(x-3)(3)b4或-283【分析】（1）令y0，求出与x轴的交点坐标，可判断；（2）分开口向上向下讨论，利用定弦抛物线的定义和对称轴可求出与x轴交点坐标，用相似求出与y轴交点坐标，代入可得答案；（3）根据对称轴和所给范围分情况讨论即可【详解】（1）解：当y0时，x2+2x3

9、0，解得：x11，x23，则|x1 -x2|4，即该抛物线是定弦抛物线；（2）：当该抛物线开口向下时，如图所示该定弦抛物线的对称轴为直线x1，设C(m,0),D(n,0)则n-m=4n+m=2解得：m=-1n=3 C（1，0），D（3，0），CED为直角三角形由题意可得CED90，EOCD，CEOEDO，OE2OCOD3，E（0，3）设该定弦抛物线表达式为y=a(x+1)(x-3)，把E（0，3）代入求得a=-33该定弦抛物线表达式为y=-33(x+1)(x-3)，当该抛物线开口向上时，同理可得该定弦抛物线表达式为y=33(x+1)(x-3)，综上所述，该定弦抛物线表达式为y=-33(x+1)

10、(x-3)或y=33(x+1)(x-3)；（3）解：若-b2 2，则在2 x 4中，当x4时该定弦抛物线取最大值，当x2时该定弦抛物线取最小值l6+4b+c-(4+2b+c)-b2+2，解得：b4，-b2 2，b4，即b4，若2-b2 3，则在2x4中，当x4时该定弦抛物线取最大值，当x-b2时该定弦抛物线取最小值16+4b+c4c-b24-b2+2，解得：b14，b214，2-b23，6 b4，b14，b214（舍去），若3-b2 4，则在2 x 4中，当x2时该定弦抛物线取最大值，当x-b2时该定弦抛物线取最小值4+2b+c4c-b24-b2+2，解得：b517，3-b24，8 b6，b5

11、17不合题意，舍去，若-b24，则在2 x 4中，当x2时该定弦抛物线取最大值，当x4时该定弦抛物线取最小值4+2b+c-(16+4b+c)-b2+2，解得：b-283，-b24，b8， b283，综上所述b4或-283【点睛】本题考查了二次函数的综合性质，包括与x轴交点问题，最值问题，以及和相似的结合，准确地理解定弦抛物线的定义以及分类讨论是解决本题的关键7（2023春浙江九年级期末）定义：若抛物线y1=a1x+h2+k1与抛物线y2=a2x+h2+k2同时满足a2=-4a1且k2=-14k1，则称这两条抛物线是一对“共轭抛物线”(1)已知抛物线y1=-14x2+bx+c与y2=x2-2x-

12、3是一对共轭抛物线，求y1的解析式；(2)如图1，将一副边长为42的正方形七巧板拼成图2的形式，若以BC中点为原点，直线BC为x轴建立平面直角坐标系，设经过点A，E，D的抛物线为y1，经过A、B、C的抛物线为y2，请立接写出y1、y2的解析式并判断它们是否为一对共轭抛物线【答案】(1)y1=-14x2+12x+634(2)y1=-18x2+8，y2=12x2-2，y1、y2是一对共轭抛物线【分析】（1）将y2=x2-2x-3化作顶点式，可求出a2，h和k2的值，根据“共轭抛物线”的定义可求出a1，h和k1的值，进而求出y1的解析式；（2）根据七巧板各个图形之间的关系可求出各个图形的边长，进而可

13、表示点A，B，C，D，E的坐标，分别求出y1和y2的解析式，再根据“共轭抛物线”的定义可求解【详解】（1）解： y2=x2-2x-3=x-12-4，a2=1，h=-1，k2=-4，抛物线y1=-14x2+bx+c与y2=x2-2x-3是一对共轭抛物线，a1=a2-4=-14，h=-1且k1=-4k1=16，y1=-14x-12+16=-14x2+12x+634（2）解：如图，由题意得，DF=AF=42，则AG=GF=DG=GF=4，EG=2，HG=2，BC=4，OF=2，点O为BC的中点，BO=OC=2，B-2,0，C2,0，A-4,6，D4,6，E0,8，可设抛物线y1=a1x+4x-4+6

14、，与抛物线y2=a2x+2x-2，-16a1+6=8，-4+2-4-2a2=6，解得：a1=-18，a2=12，抛物线y1=18x+4x-4+6=-18x2+8，抛物线y2=12x+2x-2=12x2-2，a1=-18，h=0，k1=8，a2=12，h=0，k2=-2，-18-4=12，-148=-2，满足a2=-4a1且k2=-14k1，y1、y2是一对共轭抛物线【点睛】本题属于二次函数的新定义类问题，主要考查利用待定系数法求函数表达式，二次函数的顶点式，一般式及交点式三种方式的变换，熟知相关运算是解题关键8（2023春湖南长沙九年级校联考期末）定义：如果抛物线y=ax2+bx+ca0与x轴

15、交于点Ax1,0，Bx2,0，那么我们把线段AB叫做雅礼弦，AB两点之间的距离l称为抛物线的雅礼弦长(1)求抛物线y=x2-2x-3的雅礼弦长；(2)求抛物线y=x2+n+1x-1(1n3)的雅礼弦长的取值范围；(3)设m，n为正整数，且m1，抛物线y=x2+4-mtx-4mt的雅礼弦长为l1，抛物线y=-x2+t-nx+nt的雅礼弦长为l2，s=l12-l22，试求出s与t之间的函数关系式，若不论t为何值，s0恒成立，求m，n的值【答案】(1)4(2)22AB0，x1+x2=-(n+1)x1x2=-1，AB=(n+1)2+4，1n3，当n=1时，AB最小值为22，当n=3时，AB最大值小于2

16、5，22AB0，=(8m-2n)2-4(m2-1)(16-n2)0，解得：(mn-4)20，mn=4 m，n为正整数，且m1，则m=2，n=2或m=4，n=1【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴交点问题，一元二次方程根与系数的关系，综合运用以上知识是解题的关键9（2023春河南濮阳九年级统考期中）小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y=a1x2+b1x+c1（a10）与y=a2x2+b2x+c2（a20）满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”求函数y=x2-3x-2的“旋转函数”小明是这样思考的：由函数y=x2-3x-2可知，a1=1，b1=

17、-3，c1=-2，根据a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，求出a2，b2，c2，就能确定这个函数的“旋转函数”请参考小明的方法解决下面问题：(1)直接写出函数y=x2-3x-2的“旋转函数” ；(2)若函数y=-x2+43mx-2与y=x2-2nx+n互为“旋转函数”，求(m+n)2020的值；(3)已知函数y=12(x-1)(x+4)的图象与x轴交于点A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，试证明经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y=12(x-1)(x+4)互为“旋转函数”【答案】(1)y-x2-3x2；(2)1(3)见解析

18、【分析】（1）根据ya1x2b1xc1（a10，a1，b1，c1是常数）与ya2x2b2xc2（a20，a2，b2，c2是常数）满足a1a20，b1b2，c1c20，则称这两个函数互为“旋转函数”，可得a2，b2，c2，可得旋转函数；（2）根据ya1x2b1xc1（a10，a1，b1，c1是常数）与ya2x2b2xc2（a20，a2，b2，c2是常数）满足a1a20，b1b2，c1c20，则称这两个函数互为“旋转函数”，可得a2，b2，c2，根据负数奇数次幂是负数，可得答案；（3）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、B、C的坐标，根据关于原点对称的点横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得A

19、1，B1，C1，根据待定系数法，可得函数解析式；根据ya1x2b1xc1（a10，a1，b1，c1是常数）与ya2x2b2xc2（a20，a2，b2，c2是常数）满足a1a20，b1b2，c1c20，则称这两个函数互为“旋转函数”，可得a2，b2，c2，可得旋转函数【详解】（1）解：由y=x2-3x-2函数可知a11，b1-3，c12由a1a20，b1b2，c1c20，得a2-1，b2-3，c22函数yx23x2的“旋转函数”为y-x2-3x2；（2）由y=-x2+43mx-2与yx22nxn互为“旋转函数“，得2n43m，2n0解得n2，m3当m2，n3时，(m+n)2020（23）2020

20、（1）20201；（3）当y0时，12(x-1)(x+4)=0，解得x1，x4，A（1，0），B（4，0）当x0时，y12（4）-2，即C（0，-2）由点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，得A1（1，0），B1（4，0），C1（0，2）设过点A1，B1，C1的二次函数ya(x+1)x-4，将C1（0，2）代入，解得a=-12，过点A1，B1，C1的二次函数y=-12x+1x-4 =-12x2+32x+2而y=12(x-1)(x+4)=12x2+32x-2a1a20，b1b2，c1c20，经过点A1、B1、C1的二次函数与函数y=12(x-1)(x+4)互为“旋转函数”【点睛】本

21、题考查了二次函数的综合题：熟练掌握关于原点对称的两点的坐标特征；会求二次函数图象与坐标轴的交点和待定系数法求二次函数解析式；对新定义的理解能力10（2023春山西大同九年级统考期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务：定义：我们把自变量为x的二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c（a0，b0）称为一对“亲密函数”，如y=5x2-3x+2的“亲密函数”是y=5x2+3x+2任务：（1）写出二次函数y=x2+3x-4的“亲密函数”：_；（2）二次函数y=x2+3x-4的图像与x轴交点的横坐标为1和-4，它的“亲密函数”的图像与x轴交点的横坐标为_，猜想二次函数y=ax2+bx+c（b2-

22、4ac0）的图像与x轴交点的横坐标与其“亲密函数”的图像与x轴交点的横坐标之间的关系是_；（3）二次函数y=x2+bx-2021的图像与x轴交点的横坐标为1和-2021，请利用（2）中的结论直接写出二次函数y=4x2-2bx-2021的图像与x轴交点的横坐标【答案】（1）y=x2-3x-4；（2）4和-1；互为相反数；（3）二次函数y=4x2-2bx-2021的图像与x轴交点的横坐标为-12和20212【分析】（1）根据二次函数y=x2+3x-4的“亲密函数”定义把一次项系数变为相反数即可；（2）利用“亲密函数”建立y=0时方程，解方程，得出“亲密函数”与x轴交点横坐标，与原函数与x轴交点横坐

23、标比较，得出规律即可；（3）先将函数变形，发现与“亲密函数”类似，根据原函数与x轴交点横坐标得出“亲密函数”与x轴交点横坐标，利用2x等于交点横坐标，求出x得出所求函数与x轴的交点横坐标即可【详解】解：（1）二次函数y=x2+3x-4的“亲密函数”为y=x2-3x-4，故答案为：y=x2-3x-4；（2）x2-3x-4=0，解得x=4,x=-1，它的“亲密函数”的图像与x轴交点的横坐标为4和-1，二次函数y=ax2+bx+c（b2-4ac0）的图像与x轴交点的横坐标与其“亲密函数”的图像与x轴交点的横坐标之间的关系是互为相反数；故答案为4和-1；互为相反数；（3）y=4x2-2bx-2021=

24、2x2-b2x-2021，二次函数y=x2+bx-2021的图像与x轴交点的横坐标为1和-2021，二次函数y=x2-bx-2021的图像与x轴交点的横坐标为-1和2021，y=4x2-2bx-2021=2x2-b2x-2021图像与x轴交点的横坐标为-1和2021，2x=-1,2x=2021，x=-12，x=20212，二次函数y=4x2-2bx-2021的图像与x轴交点的横坐标为-12和20212【点睛】本题考查新定义函数，仔细阅读题目，抓住实质，抛物线与x轴交点横坐标和一元二次方程的根，利用“亲密函数”变形得出新函数图像与x轴的交点横坐标是解题关键【类型2 二次函数与一次函数综合问题中的

25、新定义问题】1（2023春九年级课时练习）定义：由a，b构造的二次函数y=ax2+a+bx+b叫做一次函数yaxb的“滋生函数”，一次函数yaxb叫做二次函数y=ax2+a+bx+b的“本源函数”（a，b为常数，且a0）若一次函数yaxb的“滋生函数”是y=ax2-3x+a+1，那么二次函数y=ax2-3x+a+1的“本源函数”是 【答案】y=2x-1【分析】由“滋生函数”和“本源函数”的定义，运用待定系数法求出函数y=ax2-3x+a+1的本源函数【详解】解：由题意得3=a+ba+1=b解得a=2b=1函数y=ax2-3x+a+1的本源函数是y=2x-1故答案为：y=2x-1【点睛】本题考查

26、新定义运算下的一次函数和二次函数的应用，解题关键是充分理解新定义“本源函数”2（2023春浙江湖州九年级统考期中）定义：如果函数图象上存在横纵坐标相等的点，则称该点为函数的不动点例如，点1,1是函数y=-2x+3的不动点已知二次函数y=x2+2b+2x+b2（b是实数）(1)若点-1,-1是该二次函数的一个不动点，求b的值；(2)若该二次函数始终存在不动点，求b的取值范围【答案】(1)1+3或1-3(2)b-34【分析】（1）根据“不动点”定义，建立方程求解即可；（2）根据不动点的定义求出函数，再根据判别式计算即可【详解】（1）解：依题意把点-1,-1代入解析式y=x2+2b+2x+b2，得-

27、1=1-2b+2+b2，化简得：b2-2b-2=0，解得：b1=1+3,b2=1-3；（2）解：设点t,t是函数y=x2+2b+2x+b2的一个不动点，则有t=t2+2b+2t+b2，化简得，t2+2b+3t+b2=0，关于t的方程有实数解， =2b+32-4b20，解得：b-34【点睛】本题考查了二次函数与新定义“不动点”应用，涉及解一元二次方程、一元二次方程根的情况与判别式等知识，解题的关键是理解并利用新定义解决问题3（2023安徽模拟预测）已知函数y1=2kx+k与函数y2=x2-2x+3，定义“和函数”y=y1+y2(1)若k=2，则“和函数”y= ；(2)若“和函数”y为y=x2+b

28、x-2，则k= ，b= ；(3)若该“和函数”y的顶点在直线y=-x上，求k【答案】(1)x2+2x+5(2)-5，-12(3)k=3或-1【分析】（1）将k=2代入函数y1=2kx+k中得出函数y1=4x+2，再利用y=y1+y2即可得出结论；（2）y的解析式为y=y1+y2=x2+（2k-2）x+k+3，又y=x2+bx-2， 利用两者相等即可得出结论；（3）先得出和函数y=y1+y2=x2+（2k-2）x+k+3=（x+k-1）2-k2+3k+2，进而根据顶点在直线y=-x上得出-k2+3k+2=-(k-1)，即可得出结论【详解】（1）解：当k=2时，y1=2kx+k=4x+2，函数y2

29、=x2-2x+3，此时和函数y=y1+y2，y=4x+2+x2-2x+3=x2+2x+5，故答案为：x2+2x+5（2）解：函数y1=2kx+k与函数y2=x2-2x+3，和函数y=y1+y2，和函数y的解析式为y=y1+y2=x2+（2k-2）x+k+3，和函数y的解析式为y=x2+bx-2，b=2k-2，k+3=-2，k=-5，b=-12，故答案为：-5，-12（3）解：由题意得和函数为y=y1+y2=x2+（2k-2）x+k+3，=（x+k-1）2-k2+3k+2，和函数的顶点为（1-k，-k2+3k+2），和函数的顶点在y=-x上，-k2+3k+2=-(1-k)，整理得k2-2k-3=

30、0，解得k1=3，k2=-1故答案为：k=3或-1【点睛】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的顶点坐标、二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键4（2023北京模拟预测）城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点Ax1,y1和Bx2,y2，用以下方式定义两点间距离：dA,B=x1-x2+y1-y2(1)已知点A-2,1，则dO,A=_函数y=-2x+40x2的图象如图所示，B是图象上一点，dO,B=3，求点B的坐标(2)函数y=x2-5x+7x0的图象如图

31、所示，D是图象上一点，求dO,D的最小值及对应的点D的坐标【答案】(1)3，1,2(2)3，2,1【分析】（1）根据公式dA,B=x1-x2+y1-y2直接计算即可；根据函数y=-2x+40x2的图象上的点的横纵坐标均非负，可得xB0，yB0，yB=-2xB+4，再根据dO,B=3，可得0-xB+0-yB=3，即有xB+yB=3，进而可得yB=-2xB+4xB+yB=3，解方程即可求解；（2）函数y=x2-5x+7化为顶点式为：y=x-522+34，即可得y34，x0，根据点D是图象上一点，可得yD34，xD0，yD=xD2-5xD+7，则有dO,D=0-xD+0-yD=xD+yD，即可得dO

32、,D=xD-22+3，问题随之得解【详解】（1）A-2,1，O0,0，dO,A=x1-x2+y1-y2=0-2+0-1=3，故答案为：3；点B是函数y=-2x+40x2的图象点，函数y=-2x+40x2的图象上的点的横纵坐标均非负，xB0，yB0，yB=-2xB+4，dO,B=3，0-xB+0-yB=3，xB+yB=3，yB=-2xB+4，yB=-2xB+4xB+yB=3，解得：xB=1yB=2，B点坐标为：1,2，（2）函数y=x2-5x+7化为顶点式为：y=x-522+34，y=x-522+3434，x0，点D是图象上一点，yD34，xD0，yD=xD2-5xD+7，dO,D=0-xD+0

33、-yD=xD+yD，dO,D=xD+xD2-5xD+7=xD2-4xD+7，dO,D=xD-22+3，当xD=2时，dO,D有最小值，最小值为dO,D=3，yD=xD2-5xD+7=22-52+7=1，D点坐标为：2,1，即最小值为3，D点坐标为2,1【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，充分理解定义的两点间距离：dA,B=x1-x2+y1-y2，是解答本题的关键5（2023春上海九年级上海市民办新复兴初级中学校考期中）我们定义【a，b，c】为函数y=ax2+bx+c的“特征数”，如：函数y=2x2-3x+5的“特征数”是【2，-3，5】，函数y=x+2的“特征数”是【0，1，2】(1)

34、若一个函数的“特征数”是【1，-4，1】，将此函数图像先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到一个图像对应的函数“特征数”是_；(2)将“特征数”是【0，-33，-1】的图像向上平移2个单位，得到一个新函数，这个函数的解析式是_；(3)在（2）中，平移前后的两个函数图像分别与y轴交于A、B两点，与直线x=-3分别交于D、C两点，在给出的平面直角坐标系中画出图形，并求出以A、B、C、D四点为顶点的四边形的面积；(4)若（3）中的四边形与“特征数”是【1，-2b，b2+12】的函数图像有交点，求满足条件的实数b的取值范围【答案】(1)【1，0，-2】(2)y=-33x+1(3)图见解析；面积为

35、23(4)-3-62b22【分析】（1）由已知可知y=x2-4x+1，平移后的函数为y=x2-2，则可求“特征数”；（2）由已知可知函数为y=-33x-1，平移后函数为y=-33x+1；（3）令x=0，求出A(0,-1)，B(0,1)，令x=-3，求出D-3，0，C-3，2，则AB=CD=AD=2，又由ABCD，可判断四边形ABCD是菱形；然后结合图形求面积即可；（4）由已知可得y=x2-2bx+b2+12=(x-b)2+12，则函数与AD边无交点，只能与BC边有交点，将B(0,1)代入函数，将C-3，2代入函数求解即可得出结果【详解】（1）解：函数的特征数是【1，-4，1】，函数为y=x2-

36、4x+1=x-22-3，将函数向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到y=x2-2，函数y=x2-2的“特征数”是【1，0，-2】故答案为：【1，0，-2】（2）函数的“特征数”是【0，-33，-1】，y=-33x-1，函数图象向上平移2个单位，平移后函数为y=-33x+1故答案为：y=-33x+1（3）解：令x=0，则A(0,-1)，B(0,1)，AB=2，令x=-3，则D-3，0，C-3，2，CD=2，AO=1,DO=3，ABCD，AB=CD，四边形ABCD是平行四边形，AD=AO2+DO2=12+(3)2=2，四边形ABCD是菱形S四边形ABCD=ABDO=23；（4）函数的“特征数”是

37、【1，-2b，b2+12】，y=x2-2bx+b2+12=(x-b)2+12，由函数图象得：函数与AD边无交点，函数与BC边有交点，将B(0,1)代入函数y=x2-2bxb212得：b=22，将C-3，2代入函数y=x2-2bx+b2+12得：b=-362，-3-62b22【点睛】本题考查二次函数的综合、新定义，函数的平移，理解定义，能将定义与所学函数知识结合是解题的关键6（2023春福建龙岩九年级校考期末）定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x0时，它们对应的函数值互为相反数；当x0时，它们对应的函数值相等我们称这样的两个函数互为相关函数例如：一次函数y=x-1，它的相关函数为

38、y=-x+1(x0)x-1(x0)(1)已知点A（-2，1）在一次函数y=ax-3的相关函数的图象上时，求a的值(2)已知二次函数y=-x2+4x-12当点B（m，52）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值【答案】(1)a=-1；(2)m=2-6或m=3或m=1【分析】（1）函数y=ax-3的相关函数为y=-ax+3(x0)ax-3(x0)，将点A（-2，1）代入y=-ax+3即可求解；（2）当m0时，将B（m，52）代入y=x2-4x+12得m2-4m+12=52，可求得m的值；当m0时，将B（m，52）代入y=-x2+4x-12得：-m2+4m-12=52，可求得m的值(1)解：函数y

39、=ax-3的相关函数为y=-ax+3(x0)ax-3(x0)，将点A（-2，1）代入y=-ax+3得：2a+3=1，解得：a=-1；(2)解：二次函数y=-x2+4x-12的相关函数为y=x2-4x+12(x0)-x2+4x-12(x0)，当m0时，将B（m，52）代入y=x2-4x+12得m2-4m+12=52，解得：m=2+6（舍去）或m=2-6；当m0时，将B（m，52）代入y=-x2+4x-12得：-m2+4m-12=52，解得：m=3或m=1综上所述：m=2-6或m=3或m=1【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数

40、解析式的关系，理解互为相关函数的概念是解题的关键7（2023春江苏南通九年级统考期末）定义：若图形M与图形N有且只有两个公共点，则称图形M与图形N互为“双联图形”，即图形M是图形N的“双联图形”，图形N是图形M的“双联图形”(1)若直线y=-x+b与抛物线y=x2+1互为“双联图形”，且直线y=-x+b不是双曲线y=1x的“双联图形”，求实数b的取值范围；(2)如图2，已知A-2,0，B4,0，C1,3三点若二次函数y=ax+12+3的图象与ABC互为“双联图形”，直接写出a的取值范围【答案】(1)b的取值范围是34b2(2)-3a-18或-325a0即b34又直线y=-x+b不是双曲线y=1

41、x的“双联图形”，直线y=-x+b与双曲线y=1x最多有一个公共点，即当x=1时，y=-x+b1代入得，-1+b1，即b2，实数b的取值范围是340时，二次函数y=ax+12+3的图象与ABC的图象没有交点，a0不成立；当a0时，二次函数y=ax+12+3的图象开口向下，为使它与ABC互为双联图形，即有且只有两个公共点，当抛物线与AC和AB相交时，设直线BC的解析式为y=mx+n，把C(1，4)，B(4，0)代入，得b=4k+b=3，b=4k=-1，y=-x+4，抛物线与BC不想交，ax+12+3=-x+4，即ax2+(2a+1)x+a-1=0无实数根，(2a+1)2-4a(a-1)0，解得a0，相当于a+30，所以a-3；-3a0，相当于25a+30，所以，a-325，-325a0；