专题22二次函数与新定义综合问题-挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）（解析版）.docx

1、挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）专题22二次函数与新定义综合问题 【例1】（2022湘西州）定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图，抛物线C1：yx2+2x3与抛物线C2：yax2+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A（3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，1）（1）求抛物线C2的解析式和点G的坐标（2）点M是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MNx轴于点N，交抛物线C2于点D，求线段MN与线段DM的长度的比值（3）如图，点E是点H关于抛物线对

2、称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）将A（3，0）、H（0，1）代入yax2+2ax+c中，即可求函数的解析式；（2）设M（t，t2+2t3），则D（t，t2+t1），N（t，0），分别求出MN，DM，再求比值即可；（3）先求出E（2，1），设F（x，0），分两种情况讨论：当EGEF时，2，可得F（2，0）或（2，0）；当EGFG时，2，F点不存在【解答】解：（1）将A（3，0）、H（0，1）代入yax2+2ax+c中，解得，yx2+x1，在yx2+2x3中，令x0，则y3，G（0，3）；

3、（2）设M（t，t2+2t3），则D（t，t2+t1），N（t，0），NMt22t+3，DMt2+t1（t2+2t3）t2t+2，；（3）存在点F，使得EFG是以EG为腰的等腰三角形，理由如下：由（1）可得yx2+2x3的对称轴为直线x1，E点与H点关于对称轴x1对称，E（2，1），设F（x，0），当EGEF时，G（0，3），EG2，2，解得x2或x2，F（2，0）或（2，0）；当EGFG时，2，此时x无实数根；综上所述：F点坐标为（2，0）或（2，0）【例2】（2022南通）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n0）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”例如，点（，）是函数yx图象的“阶

4、方点”；点（2，1）是函数y图象的“2阶方点”（1）在（2，）；（1，1）；（1，1）三点中，是反比例函数y图象的“1阶方点”的有 （填序号）；（2）若y关于x的一次函数yax3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；（3）若y关于x的二次函数y（xn）22n+1图象的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值范围【分析】（1）根据定义进行判断即可；（2）在以O为中心，边长为4的正方形ABCD中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方点”有且只有一个，结合图象求a的值即可；（3）在以O为中心，边长为2n的正方形ABCD中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数y（xn）22

5、n+1图象的“n阶方点”一定存在，结合函数图象求解即可【解答】解：（1）（2，）到两坐标轴的距离分别是21，1，（2，）不是反比例函数y图象的“1阶方点”；（1，1）到两坐标轴的距离分别是11，11，（1，1）是反比例函数y图象的“1阶方点”；（1，1）到两坐标轴的距离分别是11，11，（1，1）是反比例函数y图象的“1阶方点”；故答案为：；（2）yax3a+1a（x3）+1，函数经过定点（3，1），在以O为中心，边长为4的正方形ABCD中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方点”有且只有一个，由图可知，C（2，2），D（2，2），一次函数yax3a+1图象的“2阶方点”有且只有一

6、个，当直线经过点C时，a3，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，当直线经过点D时，a1，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，综上所述：a的值为3或a1；（3）在以O为中心，边长为2n的正方形ABCD中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数y（xn）22n+1图象的“n阶方点”一定存在，如图2，当n0时，A（n，n），B（n，n），C（n，n），D（n，n），当抛物线经过点D时，n1（舍）或n；当抛物线经过点B时，n1；n1时，二次函数y（xn）22n+1图象有“n阶方点”；综上所述：n1时，二次函数y（xn）22n+1图象的“n阶方点”一定存在【例3】（2022春芙蓉区校级期末）在y关于

7、x的函数中，对于实数a，b，当axb且ba+3时，函数y有最大值ymax，最小值ymin，设hymaxymin，则称h为y的“极差函数”（此函数为h关于a的函数）；特别的，当hymaxymin为一个常数（与a无关）时，称y有“极差常函数”（1）判断下列函数是否有“极差常函数”？如果是，请在对应（）内画“”，如果不是，请在对应（）内画“”y2x （ ）；y2x+2 （ ）；yx2 （ ）（2）y关于x的一次函数ypx+q，它与两坐标轴围成的面积为1，且它有“极差常函数”h3，求一次函数解析式；（3）若，当axb（ba+3）时，写出函数yax2bx+4的“极差函数”h；并求4ah的取值范围【分析】

8、（1）由一次函数的性质可知h2（a+3）2a6，则y2x是“极差常函数”；由一次函数的性质可知h2a+22（a+3）+26，则y2x+2是“极差常函数”；由二次函数的性质可知，当a+30时，h96a不是常数，则yx2 不是“极差常函数”，（2）根据一次函数的图象及性质可得2，再分两种情况讨论：当p0时，hp（a+3）+q（pa+q）3；当p0时，hpa+qp（a+3）+q3；分别求出p、q的值即可求函数的解析式；（3）函数的对称轴为直线x+，由a的范围确定+，a+3，由（a+3）（+a）2a+20，可知a+3到对称轴的距离大于a到对称轴的距离，则当xa+3时，y有最大值a（a+3）2（a+3）

9、2+4，当x时，y有最小值44，求出h，再由a的范围确定4ah的范围即可【解答】解：（1）y2x是一次函数，且y随x值的增大而增大，h2（a+3）2a6，y2x是“极差常函数”，故答案为：；y2x+2 是一次函数，且y随x值的增大而减小，h2a+22（a+3）+26，y2x+2是“极差常函数”，故答案为：；yx2 是二次函数，函数的对称轴为直线x0，当a+30时，ha2（a+3）296a；当a0时，h（a+3）2a29+6a；yx2 不是“极差常函数”，故答案为：；（2）当x0时，yq，函数与y轴的交点为（0，q），当y0时，x，函数与x轴的交点为（，0），S|q|1，2，当p0时，hp（a+

10、3）+q（pa+q）3，p1，q，函数的解析式为yx；当p0时，hpa+qp（a+3）+q3，p1，q，函数的解析式为yx；综上所述：函数的解析式为yx或yx；（3）yax2bx+4a（x）2+4，函数的对称轴为直线x，ba+3，x+，+，a+3，（a+3）（+a）2a+2，2a+20，a+3到对称轴的距离，大于a到对称轴的距离，当xa+3时，y有最大值a（a+3）2（a+3）2+4，当x时，y有最小值44，ha（a+3）2（a+3）2+44+（a+3）2（a1+），4ah（2a2+5a3）2，2a2+5a32（a+）2，2a2+5a39，4ah81【例4】（2022武侯区校级模拟）【阅读理解

11、】定义：在平面直角坐标系xOy中，对于一个动点P（x，y），若x，y都可以用同一个字母表示，那么点P的运动路径是确定的若根据点P坐标求出点P运动路径所对应的关系式是函数，则称由点坐标求函数表达式的过程叫做将点“去隐”例如，将点M（m+1，m+1）（m为任意实数）“去隐”的方法如下：设xm+1，ym+1由得mx1将代入得y（x1）+1，整理得yx+2则直线yx+2是点M的运动路径【迁移应用】在平面直角坐标系xOy中，已知动点Q（a，a2a+3）（a为任意实数）的运动路径是抛物线（1）请将点Q“去隐”，得到该抛物线表达式；（2）记（1）中抛物线为W（如图），W与x轴交于点A，B（A在B的左侧），其

12、顶点为点C，现将W进行平移，平移后的抛物线W始终过点A，点C的对应点为C）试确定点C运动路径所对应的函数表达式；）在直线x2的左侧，是否存在点C，使ACC为等腰三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）设xa，ya2a+3，可得yx2+x+3；（2）设抛物线W的解析式为y（xh）2+k，由k（2+h）2，可得y（x+2）2；）C（2，4）在y（x+2）2上，则C点关于直线x2的对称点为C（6，4），此时ACAC，ACC为等腰三角形；设C（m，m2+m+1），当ACCC时，C（42，6+2）；当CACC时，C只能在x2右侧不符合题意【解答】解：（1）设xa，ya2a+3，

13、由得ax，yx2+x+3；（2）yx2+x+3（x2）2+4，C（2，4），令y0，则x2+x+30，解得x2或x6，A（2，0），B（6，0），）设抛物线W的解析式为y（xh）2+k，C（h，k），经过点A（2，0），k（2+h）2，令xh，yk（2+h）2，y（x+2）2；）存在点C，使ACC为等腰三角形，理由如下：C（2，4）在y（x+2）2上，C点关于直线x2的对称点为C（6，4），此时ACAC，ACC为等腰三角形；设C（m，m2+m+1），当ACCC时，（m+2）2+（m2+m+1）2（m2）2+（m2+m+14）2，解得m42或m4+2（舍），C（42，6+2）；当CACC时，C只

14、能在x2右侧，此时不符合题意；综上所述：（6，4）或（42，6+2）一解答题（共20题）1（2022甘井子区校级模拟）定义：将函数C1的图象绕点P（m，0）旋转180o，得到新的函数C2的图象，我们称函数C2是函数C1关于点P的相关函数例如：当m1时，函数y（x3）2+9关于点P（1，0）的相关函数为y（x+1）29（1）当m0时，一次函数yx+7关于点P的相关函数为 yx7点A（5，6）在二次函数yax22ax+a（a0）关于点P的相关函数的图象上，求a的值（2）函数y（x2）2+6关于点P的相关函数是y（x10）26，则m6（3）当m1xm+2时，函数yx26mx+4m2关于点P（m，0）

15、的相关函数的最大值为8，求m的值【分析】（1）由相关函数的定义，将yx+7旋转变换可得相关函数为yx7；先求出二次函数的相关函数，然后求出相关函数，再把点A代入，即可得到答案；（2）两函数顶点关于点P中心对称，可用中点坐标公式获得点P坐标，从而获得m的值；（3）先确定相关函数，然后根据m的取值范围，对m进行分类讨论，以对称轴在给定区间的左侧，中部，右侧，三种情况分类讨论，获得对应的m的值【解答】解：（1）根据相关函数的定义，yx+7关于点P（0，0）旋转变换可得相关函数为yx7，故答案为：yx7；yax22ax+aa（x1）2，yax22ax+a关于点P（0，0）的相关函数为ya（x+1）2，

16、点A（5，6）在二次函数ya（x+1）2的图象上，6a（5+1）2，解得：a；（2）y（x2）2+6的顶点为（2，6），y（x10）266的顶点坐标为（10，6）；两个二次函数的顶点关于点P （m，0）成中心对称，m6，故答案为：6；（3）yx26mx+4m2（x3m）25m2，yx26mx+4m2关于点P（m，0）的相关函数为y（x+m）2+5m2当mm1，即m时，当xm1时，y有最大值为8，（m1+m）2+5m28，解得m12（不符合题意，舍去），m22+；当m1mm十2，即1m时，当xm时，y有最大值为8，5m28，解得：m（不合题意，舍去）；当mm+2，即m1时，当xm+2，y有最大值

17、为8，（m+2+m）2+5m28，解得：m42或，m4+2（不符合题意，舍去），综上，m的值为2+或422（2022江都区二模）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“梅岭点”（1）若点P（3，p）是一次函数ymx+6的图象上的“梅岭点”，则m1；若点P（m，m）是函数的图象上的“梅岭点”，则m3或1；（2）若点P（p，2）是二次函数yx2+bx+c的图象上唯一的“梅岭点”，求这个二次函数的表达式；（3）若二次函数yax2+bx+c（a，b是常数，a0）的图象过点（0，2），且图象上存在两个不同的“梅岭点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足1x11，|x

18、1x2|2，如果kb2+2b+2，请直接写出k的取值范围【分析】（1）根据“梅岭点”的定义，P（3p）的横纵坐标相等，即p3m+63；P（m，m）的横纵坐标相等，即m，分别求解即得答案；（2）由题意得：抛物线yx2+bx+c与直线yx的唯一交点为P（2，2），方程x2+bx+cx的根为：x1x22，即方程x2+（b1）x+c0可写为（x+2）20，对比两个方程的系数，即可求出b，c，进而得出答案：yx2+5x+4；（3）先由“梅岭点”的定义证明x1、x2是方程ax2+（b1）x+20的两个实数根，利用根与系数的关系得出x1+x2，x1x2，进而利用|x1x2|2，推出kb2+2b+24a28a

19、+34（a+1）2+7，再由1x11计算出a的取值范围，即可求出k的取值范围【解答】解：（1）点P（3，p）是一次函数ymx+6的图象上的梅岭点，p3m+63，解得：m1，点P（m，m）是函数的图象上的“梅岭点”，m，整理得：m22m30，解得：m13，m21，经检验，m13，m21都是m的根，m3或1；故答案为：1；3或1；（2）点P（p，2）是二次函数yx2+bx+c的图象上唯一的“梅岭点”，即抛物线yx2+bx+c与直线yx的唯一交点为P（2，2），方程x2+bx+cx的根为：x1x22，即方程x2+（b1）x+c0可写为（x+2）20，x2+（bl）x+cx2+4x+4b14，c4，b

20、5，二次函数的表达式为yx2+5x+4；（3）二次函数yax2+bx+c（a，b是常数，a0）的图象过点（0，2），c2，yax2+bx+2，yax2+bx+2图象上存在两个不同的“梅岭点”A（x1，x1），B（x2，x2），x1ax12+bx1+2，x2ax22+bx2+2，ax12+（b1）x1+20，ax22+（b1）x2+20，x1、x2是方程ax2+（b1）x+20的两个实数根，x1+x2，x1x2，|x1x2|2，（x1x2）24，（x1+x2）24x1x2（）244，b22b+18a4a2，kb2+2b+24a28a+34（a+1）2+7，|x1x2|2，x1x22或x2x12，

21、1x11，3x21或1x233x1x23，33，a0，a，4（a+1）2+74（+1）2+7，3（2022梁子湖区二模）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”例如，点（2，2）是函数y2x2的图象的“等值点”（1）函数y2x+2的图象的“等值点”坐标是 （2，2）；函数yx23x的图象的“等值点”坐标是 （0，0）或（4，4）；（直接填结果）（2）设函数y，yx+b图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作BCx轴，垂足为C当ABC的面积为4时，求b的值【分析】（1）根据“等值点”的定义建立方程求解即可得出答案；（2）先根据“等值点”的定义求出函y的图象

22、上有“等值点”A（2，2），同理求出B（b，b），根据ABC的面积为4可得|b|2b|4，分类求解即可【解答】解：（1）在y2x+2中，令x2x+2，解得x2函数y2x+2的图象的“等值点”坐标是（2，2）；在yx23x中，令x23xx，解得：x10，x24，函数yx23x的图象上有两个“等值点”（0，0）或（4，4）；故答案为：（2，2）；（0，0）或（4，4）；（2）在函数y中，令x，解得：x2，A（2，2），在函数yx+b中，令xx+b，解得：xb，B（b，b），BCx轴，C（b，0），BC|b|，ABC的面积为4，|b|2b|4，当b0时，b24b320，解得b4，当0b2时，b24b

23、+320，（4）241321120，方程b24b+320没有实数根，当b2时，b24b320，解得：b8，综上所述，b的值为4或84（2022洛阳模拟）定义：如果两个函数代入同一个自变量，可以得到两个相等的函数值，我将这样的函数称为“凤凰函数”，对应的自变量的值称为这两个函数的“凤凰根”（1）函数y1x+m与y2是否互为“凤凰函数”？如果是，求出当m1时，两函数的“凤凰根”；如果不是，请说明理由（2）如图所示的是y|x2+2x|的图象，它是由二次函数yx2+2x的图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变得到的若y1x+m与y2|x2+2x|互为“凤凰函数”，且有两个“凤凰

24、根”，求m的取值范围【分析】（1）根据“凤凰函数”的定义，当数y1x+m与y2有两个交点，即可判定函数y1x+m与y2互为“凤凰函数”，当m1时，解方程即可求得；（2）由图象可知直线在l1和l2之间平移（不含两条直线）或在直线l3的右侧平移时，直线y1x+m与y|x2+2x|的图象有两个交点，据此即可求得m的取值范围【解答】解：（1）由y1y2得，整理得x2mx20，m2+80，y1x+m与是互为“凤凰函数”，当m1时，x2x20，解得x11，x22，x11，x22是y1x+m与的“凤凰根”（2）如图：y1x+m与有两个的“凤凰根”，则直线在l1和l2之间平移（不含两条直线）或在直线l3的右侧

25、平移解方程，得x14，x20，故y与x轴交点P和交点O的坐标分别为（4，0）和（0，0）将（4，0）和（0，0）代入y1x+m，得m4和m0故当4m0时，y1与y2有两个的“凤凰根”；当y1x+m与相切时，联立可得方程，整理，得，当y1x+m在直线l3的右侧平移，即时，y1与y2有两个“凤凰根”综上所述，当4m0或时，y1与y2互为“凤凰根”，且有两个“凤凰根”5（2022淮安二模）我们把函数图象上横坐标与纵坐标互为相反数的点定义为这个函数图象上的“互反点”例如在二次函数yx2的图象上，存在一点P（1，1），则P为二次函数yx2图象上的“互反点”（1）分别判断yx+3、yx2+x的图象上是否存

26、在“互反点”？如果存在，求出“互反点”的坐标；如果不存在，说明理由（2）如图，设函数y（x0），yx+b的图象上的“互反点”分别为点A，B，过点B作BCx轴，垂足为C当ABC的面积为5时，求b的值；（3）如图，Q（m，0）为x轴上的动点，过Q作直线lx轴，若函数yx2+2（xm）的图象记为W1，将W1沿直线l翻折后的图象记为W2，当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“互反点”时，直接写出m的取值范围【分析】（1）由定义可知，函数与yx的交点即为“互反点”；（2）求出A（，），B（b，b），可得SABC|b|b|5，求出b的值；（3）函数yx2+2关于直线xm的对称抛物线解析式为y（x2m）2

27、+2，联立方程组，当0时，m，因此当m时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“互反点”；函数yx2+2与直线xm的交点为（m，m2+2），当点（m，m2+2）在直线yx上时，解得m1或m2，结合图象可知：1m2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“互反点”【解答】解：（1）yx+3中，x+y3，yx+3的图象上不存在“互反点”；yx2+x中，当yx时，xx2+x，解得x0或x2，（0，0），（2，2）是yx2+x的图象上的“互反点”；（2）y（x0）中，当yx时，x，解得x，A（，），yx+b中，当yx时，xx+b，解得xb，B（b，b），BC|b|，SABC|b|b|5，解得b4或b2

28、；（3）函数yx2+2关于直线xm的对称抛物线解析式为y（x2m）2+2，由定义可知，“互反点”在直线yx上，联立方程组，整理得x2（4m+1）x+4m220，（4m+1）24（4m22）0，解得m，当m时，y（x2m）2+2与yx没有交点，此时yx与yx2+2有两个交点，m时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“互反点”；当xm时，ym2+2，函数yx2+2与直线xm的交点为（m，m2+2），当点（m，m2+2）在直线yx上时，m2+2m，解得m1或m2当m1时，W1，W2两部分组成的图象上恰有3个“互反点”，m1时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“互反点”；当m2时，W1，W2两部

29、分组成的图象上恰有1个“互反点”，m2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“互反点”；1m2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“互反点”；综上所述：1m2或m时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“互反点”6（2022荷塘区校级模拟）已知二次函数yax2+bx+c（a0）与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且（x10x2），交y轴于点C，顶点为D（1）a1，b2，c4，求该二次函数的对称轴方程及顶点坐标；定义：若点P在某函数图象上，且点P的横纵坐标互为相反数，则称点P为这个函数的“零和点”，求证：此二次函数有两个不同的“零和点”；（2）如图，过D、C两点的直线交x轴于点E

30、，满足ACECBE，求ac的值【分析】（1）运用配方法将二次函数解析式化为顶点式，即可得出答案；由yx与yax2+bx+c联立可得x23x40，运用根的判别式可得0，即可得出结论；（2）如图，连接AC，先求出直线CD的解析式为yx+c，可得E（，0），再利用求根公式可得：A（，0），B（，0），再证明EACECB，可得CE2AEBE，即c2+（+）（+），化简即可得出答案【解答】解：（1）当a1，b2，c4时，抛物线解析式为yx2+2x+4，yx2+2x+4（x1）2+5，抛物线的对称轴为直线x1，顶点为D（1，5）；当yx时，x2+2x+4x，整理得：x23x40，（3）241（4）250，

31、二次函数yx2+2x+4有两个不同的“零和点”；（2）如图，连接AC，yax2+bx+c，C（0，c），顶点D（，），设直线CD的解析式为ykx+n，则，解得：，直线CD的解析式为yx+c，E（，0），A（，0），B（，0），AE（）+，BE（）+，ACECBE，AECCEB，EACECB，CE2AEBE，在RtCEO中，CE2OC2+OE2c2+（）2c2+，c2+（+）（+），化简得：ac1，故ac的值为17（2022秋海安市校级月考）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”例如，点（1，1）是函数yx+的图象的“等值点”（1）判断函数yx+2的图象

32、上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；（2）求函数yx22的图象的“等值点”坐标；（3）若函数yx22（xm）的图象记为W1，将其沿直线xm翻折后的图象记为W2当W1，W2两部分组成的图象上恰有3个“等值点”时，求出m的值【分析】（1）根据“等值点”的定义建立方程求解即可得出答案；（2）根据“等值点”的定义建立方程求解即可得出答案；（3）根据（2）中求出的yx22的图象上有两个“等值点”（1，1）或（2，2），再利用翻折的性质分类讨论即可【解答】解：（1）不存在，理由：在yx+2中，令xx+2，得02不成立，函数yx+2的图象上不存在“等值点”；（2）令x

33、x22，解得：x11，x22，函数yx22的图象上有两个“等值点”（1，1）或（2，2）；（3）当m1时，W1，W2两部分组成的图象上必有2个“等值点”（1，1）或（2，2），W1：yx22（xm），W2：y（x2m）22（xm），令x（x2m）22，整理得：x2（4m+1）x+4m220，W2的图象上不存在“等值点”，0，（4m+1）24（4m22）0，m，当m1时，有3个“等值点”（2，2）、（1，1）、（2，2），当1m2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”，当m2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有1个“等值点”（2，2），当m2时，W1，W2两部分组成的图象上没有“等值

34、点”，综上所述，当W1，W2两部分组成的图象上恰有3个“等值点”时，m18（2022秋长沙期中）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n0）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”例如，点（，）是函数yx图象的“阶方点”；点（1，1）是函数yx图象的“1阶方点”（1）在（1，2）；（0，0）；（，1）三点中，是正比例函数y2x图象的“1阶方点”的有 （填序号）；（2）若y关于x的一次函数yax3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；（3）若函数图象恰好经过“n阶方点”中的点（n，n），则点（n，n）称为此函数图象的“不动n阶方点”，若y关于x的二次函数yx2+（pt+1）x+q+t2

35、的图象上存在唯一的一个“不动n阶方点”，且当2p3时，q的最小值为t，求t的值【分析】（1）根据定义进行判断即可；（2）在以O为中心，边长为4的正方形ABCD中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方点”有且只有一个，结合图象求a的值即可；（3）在以O为中心，边长为2n的正方形ABCD中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数y（xn）22n+1图象的“n阶方点”一定存在，结合函数图象求解即可【解答】解：（1）（1，2）到x轴距离为2，不符合题意，（0，0）到两坐标轴的距离都等于0，符合题意，（，1）到x轴距离为1，到y轴距离为，符合题意，故答案为：（2）yax3a+1a（x3）

36、+1，函数经过定点（3，1），在以O为中心，边长为4的正方形ABCD中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方点”有且只有一个，由图可知，C（2，2），D（2，2），一次函数yax3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，当直线经过点C（2，2）时，22a3a+1，解得a3，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，当直线经过点D（2，2）时，22a3a+1，解得a1，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，综上所述：a的值为3或a1（3）点（n，n）在直线yx上，yx2+（pt+1）x+q+t2的图象上存在唯一的一个“不动n阶方点”时，方程x2+（pt+1）x+q+t2x有两个相等实数根，（p

37、t）2qt+20，q（pt）2t+2，当2p3时，q的最小值为t，若pt，则q的最小值为t+2，则t+2t，解得tp1，不符合题意当t2时，若p2，则q取最小值，即q（2t）2t+2t解得t3+（舍）或t3，当t3时，若p3，则q取最小值，即q（3t）2t+2t解得t4（舍）或t4+，综上所述，t3或4+9（2022秋如皋市校级月考）定义：一个函数图象上若存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“1倍点”，若存在纵坐标是横坐标的2倍的点，则称该点为这个函数图象的“2倍点”例如，点（1，1）是函数y4x+3图象的“1倍点”，点（，3）是函数y4x+3图象的“2倍点”（1）函数yx28的图

38、象上是否存在“2倍点”？如果存在，求出“2倍点”；（2）若抛物线yax2+5x+c上有且只有一个“1倍点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的左侧）当a1时，求：c的取值范围（3）将函数yx28（xm）的图象记为W1，其沿直线xm翻折后的图象记为W2，W1和W2构成的整体记为W，若W恰有2个“2倍点”，请直接写出m的取值范围【分析】（1）联立方程求解（2）令ax2+5x+cx，根据根的判别式0可得ac的值，进而求解（3）令x282x，求出抛物线yx28与直线y2x的交点横坐标，由函数yx28（xm）求出翻折后函数解析式，结合图象求解【解答】解：（1）由题意可得“2倍点”在直线y2x上

39、，联立方程，解得，函数yx28的图象上存在“2倍点”，点（2，4），（4，8）是该图象的“2倍点”（2）令ax2+5x+cx，整理得ax2+4x+c0，由题意得424ac0，ac4，c，a1，0c4（3）图象yx28（xm）关于直线xm翻折后解析式为y（x2m）28（xm），令x282x，解得x2或x4，当m4时，如图，图象W有1个“2倍点”，m4时符合题意，当m2时，如图，图象W有3个“2倍点”，2m4符合题意令（x2m）282x，整理得x2（4m+2）x+4m280，当（4m+2）24（4m28）0时，解得m，m时符合题意综上所述，2m4或m10（2022秋通州区校级月考）定义：将函数C的

40、图象绕点P（0，n）旋转180，得到新的函数C1的图象，我们称函数C1是函数C关于点P的相关函数例如：当n1时，函数关于点P（0，1）的相关函数为（1）当n0时二次函数yx2关于点P的相关函数为 yx2；点A（2，3）在二次函数yax22ax+a（a0）关于点P的相关函数的图象上，求a的值（2）函数关于点P的相关函数是，则n【分析】（1）n0时，点P（0，0），则相关函数为：yx2，即可求解；二次函数yax22ax+a的顶点为：（1，0），新函数的顶点为（1，0），则新函数的表达式为：ya（x+1）2，将点A的坐标代入上式并解得：a；（2）两个函数的顶点分别为：（0，3）、（0，5），由中点公

41、式即可求解【解答】解：（1）n0时，点P（0，0），则相关函数为：yx2，故答案为：yx2；二次函数yax22ax+a的顶点为：（1，0），新函数的顶点为（1，0），则新函数的表达式为：ya（x+1）2，将点A（2，3）代入得3a（2+1）2，解得：a；（2）两个函数的顶点分别为：（0，3）、（0，5），由中点公式得：n，故答案为：11（2022秋如皋市校级月考）定义：一个函数图象上若存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“1倍点”，若存在纵坐标是横坐标的2倍的点，则称该点为这个函数图象的“2倍点”例如，点（1，1）是函数y4x+3图象的“1倍点”，点（，3）是函数y4x+3图象的“

42、2倍点”（1）函数yx28的图象上是否存在“2倍点”？如果存在，求出“2倍点”；（2）若抛物线yax2+5x+c上有且只有一个“1倍点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的左侧）当a1时，求：c的取值范围；直接写出EMN的度数【分析】（1）根据“2倍点”的概念直接作答即可；（2）根据有且只有一个“1倍点”求出a与c的数量关系，根据a的取值范围求出c的取值范围；先求点E的坐标，然后求点M和点N的坐标，然后比较线段长度，最后求出EMN的度数【解答】解：（1）存在，设“2倍点”的坐标为（x，2x），则2xx8，解得：x2或4，“2倍点”的坐标为（2，4）或（4，8）；（2）由题意可知，ya

43、x2+5x+c与yx有且只有交点，则xax2+5x+c，整理得：ax2+4x+c0，则该方程有两个相同的实数根，即164ac0，ac4，a，a1，0c4；如图，过点E作EFOM于点F，由根与系数的关系可知，ax2+4x+c0，又两个根相等，点E的坐标为（，），EFOF，由可知，a，则c，yax2+5x+c可以写成yax2+5x+，令y0，则ax2+5x+0，由求根公式可得，x，解得：，点M的坐标为（，0），OM，MFOMOF，MFEF，EFM90，EMN4512（2022秋汉阴县校级月考）如图，已知抛物线yx2+2x+4交y轴于点C，顶点为D（1）求点C、D的坐标；（2）定义：若点P在某函数图

44、象上，且点P的横纵坐标互为相反数，则称点P为这个函数的“零和点”，求证：此二次函数有两个不同的“零和点”；（3）连接CD，点Q是第一象限直线CD上的点，过Q作QMx轴，交x轴于点M，若Q点的横坐标为x，QMO的面积为S，求S关于x的函数解析式【分析】（1）利用y轴上点的坐标特征确定C点坐标，然后把一般式化为顶点式得到D点坐标；（2）设二次函数图象上的“零和点”P的坐标为（x，x），把P（x，x）代入yx2+2x+4得x2+2x+4x，由于解关于x的方程有两个不相等的实数解，从而判断此二次函数有两个不同的“零和点”；（3）先利用待定系数法求出直线CD的解析式为yx+4，设Q（x，x+4）（x0）

45、，然后根据三角形的面积公式可得到S关于x的函数解析式【解答】（1）解：当x0时，yx2+2x+44，则C点坐标为（0，4）；yx2+2x+4（x1）2+5，顶点D的坐标为（1，5）；（2）证明：设二次函数图象上的“零和点”P的坐标为（x，x），把P（x，x）代入yx2+2x+4得x2+2x+4x，整理得x23x40，解得x11，x24，P点坐标为（1，1）和（4，4），此二次函数有两个不同的“零和点”；（3）解：设直线CD的解析式为ykx+b，把C（0，4），D（1，5）分别代入得，解得，直线CD的解析式为yx+4，设Q（x，x+4）（x0），SOMQMx（x+4）x2+2x，即S关于x的函数

46、解析式为Sx2+2x（x0）13（2022红河州二模）有一组邻边相等的凸四边形叫做“和睦四边形”，如菱形，正方形等都是“和睦四边形”（1）如图1，BD平分ABC，ADBC，求证：四边形ABCD为“和睦四边形”；（2）如图2，直线AB与x轴，y轴分别交于A（12，0），B（0，9）两点，点P、Q分别是线段OA、AB上的动点点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向点O运动点Q从点A出发，以每秒5个单位长度的速度向点B运动P，Q两点同时出发，设运动时间为t秒，当四边形BOPQ为“和睦四边形”时，求t的值；（3）如图3，抛物线yax2+与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线

47、的顶点为点D当四边形COBD为“和睦四边形”，且CDOC，求a的值【分析】（1）BD平分ABC及ADBC，推出ABAD，即可得出结论；（2）求出B，A的坐标，OB，OA，AB的长度，用含t的代数式表示出AQ，AP，BQ，OP，连接PQ，证AQPABO，推出APQAOB90，求出QP3t，根据“和睦四边形”的定义分情况讨论可求出t的值；（3）用含字母的代数式表示顶点D的坐标，由CDOC，即可求解【解答】（1）证明：BD平分ABCABDCBD，ADBC，ADBCBD，ABDADB，ABAD，四边形ABCD为“和睦四边形”；（2）解：A（12，0），B（0，9），OB9，OA12，AB15，由题意得

48、：AQ5t，AP4t，BQ155t，OP124t，连接PQ，又BAOQAP，AQPABO，APQAOB90，QP3t，四边形BOPQ为“和睦四边形”，当OBOP时，9124t，；当OBBQ时，9155t，；当OPPQ时，124t3t，；当BQPQ时，155t3t，综上所述，t的值为或或或；（3）解：由题意可得：顶点D的坐标为，C（0，2），CDOC，CD2OC2，化简得：，a0，14（2022工业园区模拟）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“好点”例如，点（1，1）是函数yx+2的图象的“好点”（1）在函数yx+3，yyx2+2x+1的图象上，存在“好

49、点”的函数是 ；（填序号）（2）设函数y（x0）与ykx+3的图象的“好点”分别为点A、B，过点A作ACy轴，垂足为C当ABC为等腰三角形时，求k的值；（3）若将函数yx2+2x的图象在直线ym下方的部分沿直线ym翻折，翻折后的部分与图象的其余部分组成了一个新的图象当该图象上恰有3个“好点”时，求m的值【分析】（1）判断yx与各个函数图像是否有公共点即可；（2）先得出y的“好点”，从而得出AC的长，在yx上的点B，使得ABAC，从而求得点B坐标，将B点坐标代入ykx+3求得k的值；（3）折叠前的抛物线上有两个“好点”，所以折叠后的抛物线上有一个“好点”即可，即yx与折叠后抛物线只有一个公共点，

50、从而求得折叠后的抛物线解析式，进一步求得结果【解答】解：（1）yx+3，y+x3，不是“好点”的函数，y，x0，xy30x+y0，不是“好点”的函数，x2+3x+10，324110，方程组有解，是“好点”的函数，故答案为：；（2），x0，A（2，2），如图，当ABC为等腰三角形时，ABAC2或BABC，当ABAC时，yx，B（x，x），（x+2）2+（x2）222，x12，x22，当x2时，y+2，（2）k+3+2，k，当x2时，y+2，（2）k+3+2，k，当ABBC时，点B（1，1），k+31，k2，综上所述：k或k2；（3）设翻折后的抛物线解析式为yx22x+k，yx2+2x的图像上有两

51、个“好点”：（0，0）和（3，0），当yx22x+k上有一个“好点”时，把yx代入得，xx22x+k，化简整理得，x2+xk0，1+4k0，k，yx22x，由得，2y，y，m当（0，0）在yx22x+k上时，此时x22xx，x0或x1，这时也有三个“好点”：（3，3），（0，0），（11），m或015（2022海曙区校级模拟）在平面直角坐标系中，我们定义直线yaxa为抛物线yax2+bx+c（a，b，c为常数，a0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”已知抛物线与其“梦想直线”交于A，B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C（1）填空：该

52、抛物线的“梦想直线”的函数表达式为 yx+，点A的坐标为 （2，2），点B的坐标为 （1，0）（2）如图，M为线段CB上一动点，将ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E，F的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）由定义求出“梦想直线”为yx+，再求直线与抛物线的交点即可；（2）分两种情况，当N点在y轴上时，当M点在y轴上时，分别求出N的坐标即可；（3）设E（1，m），F（n，n+）

53、，分所求情况讨论：当AC为平行四边形的对角线，当AE为平行四边形的对角线，当AF为平行四边形的对角线，利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合中点坐标公式求出E、F点坐标即可【解答】解：（1）由定义可得抛物线与其“梦想直线”为yx+，x2x+2x+，解得x2或x1，A（2，2），B（1，0），故答案为：yx+，（2，2），（1，0）； （2）令y0，则x2x+20，解得x1或x3，C（3，0），当N点在y轴上时，设N（0，t），由折叠可知，ANAC，AC，AN，解得t2+3或t23，当t2+3时，N（0，2+3），此时M点在B点右侧，不合题意；当t23时，N（0，2+3）；当M点在y轴上时，此

54、时M（0，0），过点N作NGx轴交于G点，设N（x，y），由折叠可知，ANAC，CMMN3，x2+y29，（x+2）2+（y2）213，解得x0（舍）或x，N（，）；综上所述：N点坐标为（0，2+3）或（，）；（3）存在点F，使得以点A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，理由如下：yx2x+2（x+1）2+，抛物线的对称轴为直线x1，设E（1，m），抛物线与其“梦想直线”为yx+，设F（n，n+），当AC为平行四边形的对角线时，231+n，2mn+，解得n4，m，E（1，），F（4，）；当AE为平行四边形的对角线时，m+2n+，2n3，解得n0，m，E（1，），F（0，）；当AF为平行四边

55、形的对角线时，n231，m2+n，解得n2，m，E（1，4），F（2，2）（舍）；综上所述：E（1，），F（4，）或E（1，），F（0，）16（2022岳麓区校级模拟）我们定义：若点P在一次函数yax+b（a0）图象上，点Q在反比例函数（c0）图象上，且满足点P与点Q关于y轴对称，则称二次函数yax2+bx+c为一次函数yax+b与反比例函数的“衍生函数”，点P称为“基点”，点Q称为“靶点”（1）若二次函数yx2+2x+1是一次函数yax+b与反比例函数的“衍生函数”，则a1，b2，c1；（2）若一次函数yx+b和反比例函数的“衍生函数”的顶点在x轴上，且“基点”P的横坐标为1，求“靶点”的坐

56、标；（3）若一次函数yax+2b（ab0）和反比例函数的“衍生函数”经过点（2，6）试说明一次函数yax+2b图象上存在两个不同的“基点”；设一次函数yax+2b图象上两个不同的“基点”的横坐标为x1、x2，求|x1x2|的取值范围【分析】（1）由定义直接求解即可；（2）由题意先求出4cb2，则可求P（1，1+b），再求P点关于y轴的对称点Q，将所求Q点代入反比例函数为y，求出b的值即可求Q点坐标；（3）题意可知“衍生函数”为yax2+2bx2，将点（2，6）代入可得a+b2，再由题意可求1a2，设“靶点”Q（t，），则P（t，），则at+2（2a），整理得at24t+2at20，由4（a1）

57、2+120，即可证明；由可知，at24t+2at20，根据根与系数的关系可得x1+x22，x1x2，则|x1x2|，再由1a2，即可求2|x1x2|2【解答】解：（1）由定义可知，a1，b2，c1，故答案为：1，2，1；（2）由题意可知，“衍生函数”为yx2+bx+c，顶点在x轴上，4cb2，一次函数为yx+b，“基点”P的横坐标为1，P（1，1+b），点P与点Q关于y轴对称，Q（1，1+b），反比例函数为y，b21+b，解得b2，“靶点”的坐标（1，1）；（3）证明：由题意可知“衍生函数”为yax2+2bx2，经过点（2，6），a+b2，ab0，a2a0，1a2，设“靶点”Q（t，），则P（

58、t，），at+2（2a），整理得at24t+2at20，4（a1）2+120，方程有两个不同的实数根，一次函数yax+2b图象上存在两个不同的“基点”；解：由可知，at24t+2at20，x1+x22，x1x2，|x1x2|，1a2，24，2|x1x2|217（2022庐阳区校级三模）在数学活动课上，小明兴起小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数，yax2+bx+c（a0）图象上的点A（x，y）的横坐标不变，纵坐标变为A点的横、纵坐标之和，就会得到的一个新的点A1（x，x+y）他们把这个点A：定义为点A的“简朴”点他们发现：二次函数yax2+bx+c（a0）所有简朴点构成的图象也

59、是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为yax2+bx+c（a0）的“简朴曲线”例如，二次函数yx2+x+1的“简朴曲线”就是yx2+x+1+xx2+2x+1，请按照定义完成：（1）点P（1，2）的“简朴”点是 （1，3）；（2）如果抛物线yax27x+3（a0）经过点M（1，3），求该抛物线的“简朴曲线”；（3）已知抛物线yx2+bx+c图象上的点B（x，y）的“简朴点”是B1（1，1），若该抛物线的“简朴曲线”的顶点坐标为（m，n），当0c3时，求n的取值范围【分析】（1）由“简朴曲线”的定义求解（2）将点M坐标代入解析式求出a的值，进而求解（3）由点B（x，y）的“简朴点”是B（1，1），可

60、得b与c的关系，用含c代数式表示抛物线的“简朴曲线”并化为顶点式，从而可用含c代数式表示n，进而求解【解答】解：（1）由题意得点P（1，2）的“简朴”点是（1，1+2），即（1，3），故答案为：（1，3）（2）将（1，3）代入yax27x+3得3a7+3，解得a1，yx27x+3，抛物线yx27x+3的“简朴曲线”为yx27x+3+xx26x+3（3）点B（x，y）的“简朴点”是B（1，1），解得，点B坐标为（1，2），1b+c2，即bc1，yx2+（c1）x+c，该抛物线的“简朴曲线”为yx2+cx+c（x+）2+c，该抛物线的“简朴曲线”的顶点坐标为（m，n），m，nc（c2）2+1，c2

61、时，n1为最大值，把c0代入nc得n0，把c3代入nc得n，当0c3时，0n118（2022香洲区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+c（ac0）与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C若线段OA、OB、OC的长满足OC2OAOB，则这样的抛物线称为“黄金”抛物线如图，抛物线yax2+bx+2（a0）为“黄金”抛物线，其与x轴交点为A，B（其中B在A的右侧），与y轴交于点C，且OA4OB（1）求抛物线的解析式；（2）若P为AC上方抛物线上的动点，过点P作PDAC，垂足为D求PD的最大值；连接PC，当PCD与ACO相似时，求点P的坐标【分析】（1）求出点A和点B

62、的坐标，然后代入抛物线的关系式求得结果；（2）作PFAB于F交AC于E，求出AC的关系式，然后设点P（m，+2），E（m，），表示出PE2m，求出PE的最值，根据PDEAOC，进而求出PD的最大值；当PCDACO时，作PFOA于F，交AC于E，可推出PCPE，进而求得结果，当PCDCAO时，可得点P与点C关于抛物线对称轴对称，求得点P的坐标【解答】解：（1）由题意得，OC2，OA4OB，OAOBOC2，4OB24，OB1，OA4，A（4，0），B（1，0），；（2）如图1，作PFAB于F交AC于E，OA4，OC2，AOC90，AC2，可得AC的关系式是：y，设点P（m，+2），E（m，），PE

63、（+2）（）2m（m+2）2+2，当m2时，PE最大2，PDEAFE90，PEDAEF，DPEEAF，PDEAOC，PDEAOC，PDPE，PD最大；如图2，当PCDCAO时，PCDCAB，PCAB，点P与点C关于抛物线对称轴对称，P（3，2），如图3，当PCDACO时，作PFOA于F，交AC于E，由知：PEDACO，PCDPED，PCDPED，PCPE，（2m）2m2+（）2，m，当m时，y（）2（）+2，P（，），综上所述，符合条件的P的坐标（3，2）或者19（2022抚州模拟）我们约定a，b，c为二次函数yax2+bx+c（a0）的“相关数”特例感知“相关数”为1，4，3的二次函数的解析

64、式为y1x24x+3；“相关数”为2，5，3的二次函数的解析式为y22x25x+3；“相关数”为3，6，3的二次函数的解析式为y33x26x+3；（1）下列结论正确的是 （填序号）抛物线y1，y2，y3都经过点（0，3）；抛物线y1，y2，y3与直线y3都有两个交点；抛物线y1，y2，y3有两个交点形成概念把满足“相关数”为n，n+3，3（n为正整数）的抛物线yn称为“一簇抛物线”，分别记为y1，y2，y3，yn抛物线yn与x轴的交点为An，Bn探究问题（2）“一簇抛物线”y1，y2，y3，yn都经过两个定点，这两个定点的坐标分别为 （0，3），（1，0）抛物线yn的顶点为n，是否存在正整数n

65、，使AnBnn是直角三角形？若存在，请求出n的值；若不存在，请说明理由当n4时，抛物线yn与x轴的左交点An，与直线y3的一个交点为Dn，且点Dn不在y轴上判断AnAn+1和DnDn+1是否相等，并说明理由【分析】（1）当x0时，y1y2y33；由nx2（n+3）x+33得x1，x20，从而得出结论；由（n+1）x2（n+4）x+3nx2（n+3）x+3得，x11，x20，进而得出结论；令x0和y0，从而求得结果；分为n3和n3两种情形，先求得ynx2（n+3）x+3与x轴的两个交点及n的纵坐标，当满足n到x轴的距离等于抛物线与x轴的两点交点之间的距离的一半时，AnBnn是直角三角形，从而列出

66、方程求得结果；求得当n4时，抛物线yn与x轴的左交点An及抛物线yn+1与x轴的左交点An+1，求出Dn的横坐标，Dn+1的横坐标为：，计算AnAn+1，DnDn+1，从而得出结论【解答】解：（1）当x0时，y1y2y33，抛物线均过（0，3），n由x2（n+3）x+33得x1，x20，当n1时，x14，当n2时，x1，当n3时，x12，由（n+1）x2（n+4）x+3nx2（n+3）x+3得，x11，x20，故答案为：；（2）ynx2（n+3）x+3，当x0时，y3，点（0，3）在ynx2（n+3）x+3上，当y0时，nx2（n+3）x+30，（nx3）（x1）0，x1，x21，点（1，0）

67、在ynx2（n+3）x+3上，故答案为：（0，3），（1，0）；由得：ynx2（n+3）x+3与x轴的两个交点（1，0），（，0），n的纵坐标为：，n0，抛物线与x轴有两个交点，n到x轴的距离为：，当时，当2时，AnBnn是直角三角形，n11，n23（舍去），当时，当12时，AnBnn是直角三角形，n35，n43（舍去），综上所述：n1或5；AnAn+1和DnDn+1相等，理由如下：当n4时，抛物线yn与x轴的左交点An（，0），抛物线yn+1与x轴的左交点An+1（，0），当nx2（n+3）x+33时，x1，x20（舍去），Dn的横坐标为：，同理可得：Dn+1的横坐标为：，AnAn+1，Dn

68、Dn+1，AnAn+1DnDn+120（2022兰山区二模）如图，直线l：ym与y轴交于点A，直线a：yx+m与y轴交于点B，抛物线yx2+mx的顶点为C，且与x轴左交点为D（其中m0）（1）当AB12时，在抛物线的对称轴上求一点P使得BOP的周长最小；（2）当点C在直线l上方时，求点C到直线l距离的最大值；（3）若把横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”当m2022时，求出在抛物线和直线a所围成的封闭图形的边界上的“整点”的个数【分析】（1）由题意求出m6，得出抛物线L的解析式为yx2+6x，当B、P、D三共线时，OBP周长最短，此时点P为直线a与对称轴的交点，则可求出答案；（2）求出L的顶

69、点C（，），由二次函数的性质可得出答案；（3）联立两个解析式得出，解得x12022，x21，求出线段和抛物线上各有2024个整数点，则可得出答案【解答】解：（1）当x0吋，yx+mm，B （0，m），AB12，A（0，m），m（m）12，m6，抛物线L的解析式为：yx2+6x，抛物线L的对称轴x3，D（6，0），O、D两点关于对称轴对称，OPDP，OB+OP+PBOB+DP+PB，当B、P、D三共线时，OBP周长最短，此时点P为直线a与对称轴的交点，当x3吋，yx+63，P（3，3 ）；（2）yx2+mx（x+）2，抛物线yx2+mx的顶点C（，），点C在l上方，C与l的距离（m）（m2）2+11），点C与l距离的最大值为1；（3）当m2022时，抛物线解析式L：yx2+2022x，直线解析式a：yx+2022，联立上述两个解析式，可得：x12022，x21，可知每一个整数x的值都对应的一个整数y值，且2022和1之间（包括2022和1）共有2024个整数；另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，线段和抛物线上各有2024个整数点，总计4048个点，这两段图象交点有2个点重复，整点”的个数：404824046（个）；故m2022时“整点”的个数为4046个