专题23 全国初中数学竞赛分类汇编卷（五）函数综合（简单）-2022-2023学年初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练（解析版）.docx

1、专题23 全国初中数学竞赛分类汇编卷（五）函数综合（简单）1关于x的二次函数yax2+2ax+b+1（ab0）与x轴只有一个交点（k，0），下列正确的是（）A若1a1，则kakbB若kakb，则0a1C若1a1，则kakbD若kakb，则0a1【解答】解：关于x的二次函数yax2+2ax+b+1（ab0）与x轴只有一个交点（k，0），令y0，ax2+2ax+b+10，（2a）24a（b+1）0，4a24ab4a0，4a（ab1）0，关于x的二次函数，a0，ab10，ab+1，（b+1）x2+2（b+1）x+b+10，因为方程有两个相等的实数根，x+x=-2(b+1)b+1=-2，解得x1x21

2、，k1，ka-kb=-1a-1a-1=1a(a-1)，A、当1a0时，a10，a（a1）0，ka-kb0，kakb，当0a1，a10，a（a1）0，ka-kb0，kakb，无法确定大小，A、C错误；当0a1，a10，a（a1）0，kakb，B、错误；D、正确；故选：D2如图，抛物线y=12x2x-32的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，顶点为D，以AB为直径在x轴上方画半圆交y轴于点E，圆心为I，P是半圆上一动点，连接DP，点Q为PD的中点下列四种说法：点C在I上；IQPD；当点P沿半圆从点B运动至点A时，点Q运动的路径长为；线段BQ的长可以是3.2其中正确说法的个数为（）A1个B2个C

3、3个D4个【解答】解：抛物线y=12x2x-32的图象与坐标轴交于点A，B，C，A（1，0），B（3，0），C（0，-32），点I（1，0），I的半径为2，y=12x2x-32=12（x1）22，顶点D的坐标为：（1，2），ID2，点D在I上IC=OI2+OC2=12+(32)2=1322，故点C不在I上，故不正确；圆心为I，P是半圆上一动点，点D在I上，点Q为PD的中点IQPD，故正确；图中实点G、Q、I、F是点N运动中所处的位置，则GF是等腰直角三角形的中位线，GF=12AB2，ID交GF于点R，则四边形GDFI为正方形，当点P在半圆任意位置时，中点为Q，连接IQ，则IQPD，连接QR，则

4、QR=12IDIRRDRGRF=12GF1，则点Q的运动轨迹为以R为圆心的半圆，则Q运动的路径长=122r，故正确；由得，当点Q运动到点G的位置时，BQ的长最大，最大值为32+12=103.2，线段BQ的长不可以是3.2，故不正确故正确说法有：故选：B3抛物线yax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x1，直线ykx+c与抛物线都经过点（3，0）下列说法：ab0；4a+c0；若（2，y1）与（12，y2）是抛物线上的两个点，则y1y2；方程ax2+bx+c0的两根为x13，x21；当x1时，函数yax2+（bk）x有最大值其中正确的个数是（）A2B3C4D5【解答】解：抛物线的开口方向

5、向下，a0抛物线的对称轴为直线x1，-b2a=-1，b2a，b0a0，b0，ab0，的结论正确；抛物线yax2+bx+c经过点（3，0），9a3b+c0，9a32a+c0，3a+c04a+ca0，的结论不正确；抛物线的对称轴为直线x1，点（2，y1）关于直线x1对称的对称点为（0，y1），a0，当x1时，y随x的增大而减小1201，y1y2的结论不正确；抛物线的对称轴为直线x1，抛物线经过点（3，0），抛物线一定经过点（1，0），抛物线yax2+bx+c与x轴的交点的横坐标为3，1，方程ax2+bx+c0的两根为x13，x21，的结论正确；直线ykx+c经过点（3，0），3k+c0，c3k3a

6、+c0，c3a，3k3a，ka函数yax2+（bk）xax2+（2a+a）xax2+3axa(x+32)2-94a，a0，当x=-32时，函数yax2+（bk）x有最大值，的结论不正确综上，结论正确的有：，故选：A4如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC、BD的交点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE若AD平分OAE，反比例函数y=kx（k0，x0）的图象经过AE上的两点A，F，且AFEFABE的面积为15，则k的值为（）A10B20C7.5D5【解答】解：如图，连接OF，过点A作ANOE于N，过点F作FMOE于MANFM，AFFE，MNME，FM=12AN，A，F在反比例函

7、数的图象上，SAONSFOM=k2，12ONAN=12OMFM，ON=12OM，ONMNEM，ME=13OE，SFME=13SFOE，AD平分OAE，OADEAD，四边形ABCD是矩形，OAOD，OADODADAE，AEBD，SABESAOE，SAOE15，AFEF，SEOF=12SAOE7.5，SFME=13SEOF2.5，SFOMSFOESFME7.52.55=k2，k10故选：A5如图，平面直角坐标系xOy中，等腰三角形OAB的边OB落在x轴上，OB6，AOAB5，直线y=-12x+72的图象与OA边交于点C，与AB边交于点D，将ACD沿CD翻折后，点A恰好落在反比例函数y=kx的图象上

8、，则k的值是 【解答】解：连接AA交CD于Q，过点A作ANOB于N，交CD于M，过点A作AHAN于H，AOAB，OB6，ANOB，ON=12OB3，由勾股定理得：AN=OA2-ON2=4，对于y=-12x+72，当x3时，y2，则点M的坐标为（3，2），AM2，直线CD的解析式为y=-12x+72，tanOEM=12，EQAQ，ANOB，AMCEMN，QAMOEM，tanQAM=12，sinQAM=55，cosQAM=255，则AQAMcosQAM=455，AA=855，AHAAcosQAM=165，AHAAsinQAM=85，点A的坐标为（75，45），点A落在反比例函数y=kx的图象上，k

9、=7545=2825，故答案为：28256如图长方形ABCD的边长AB5，BC1刚开始时AB与y轴重合将长方形ABCD沿x轴以每秒1个单位长度向右平移，在平移过程中，边AB与直线y=-34x+5交于点M，与直线y=12x交于点N，边CD与直线y=-34x+5交于点P，与直线y=12x交于点Q，设运动时间为t（秒）（1）当0t4时，用含t的表达式表示MN的长 ；（2）当|MNPQ|为定值时，时间t的取值范围为 【解答】解：（1）由y=12xy=-34x+5，解得x=4y=2，两直线的交点坐标为K（4，2），当0t4时，线段MN在交点K的左侧，M（t，-34t+5），N（t，12t），MN=-34

10、t+5-12t=-54t+5，故答案为：-54t+5；（2）如图，过点P作PJOQ交MN于点JPJNQ，PQJN，四边形PJNQ是平行四边形，PQJN，MNPQMNJNMJ定值，观察图象可知，当线段PQ，MN在两直线的交点K的同侧时，|MNPQ|为定值，当直线PQ经过点K时，t+14，t3，当直线MN经过点K时，t4，观察图形可知，满足条件的t的值为0t3或t4故答案为：0t3或t47如图，抛物线yx2+x+6交x轴于A、B两点（A在B的左侧），交y轴于点C，点D是线段AC的中点，点P是线段AB上一个动点，APD沿DP折叠得APD，则线段AB的最小值是 【解答】解：令y0，则x2+x+60，解

11、得x12，x23，A（2，0），B（3，0），OA2，OB3，令x0，则y6，C（6，0），OC6，AC=22+62=210，D为AC中点，DADC=10，APD由APD沿DP折叠所得，DADA，A在以D为圆心，PA为半径的圆弧上运动，当D，A，B在同一直线上时，BA最小，过点D作DEAB，垂足为E，AEOE1，DE3，BE4，BD=32+42=5，又DADA=10，BA5-10，故答案为：5-108已知：如图，抛物线yax2+bx+1的图象关于y轴对称，且抛物线过点（2，2），点P为抛物线上的动点，以点P为圆心的P与x轴相切，当点P运动对，P始终经过y轴上的一个定点E（1）求抛物线的解析式；

12、（2）当P的半径为1a时，P与y轴交于M、N两点，求MN的长；（3）求定点E到直线ykx8k的距离的最大值【解答】解：（1）抛物线yax2+bx+1的图象关于y轴对称，对称轴为直线x=-b2a=0，则b0，抛物线过点（2，2），4a+12，解得a=14，抛物线的解析式为y=14x2+1；（2）过点P作PHMN于H，连接PM，PN，a=14，P的半径为1a=4，P与x轴相切，点P的纵坐标为4，y=14x2+14，x23，点P的坐标为（23，4）或（23，4），PHMN，MHNH=12MN，PN2PH2+NH2，42（23）2+NH2，NH2，MN4；（3）设直线ykx8k与x轴交于点Q，ykx8

13、kk（x8），点Q（8，0），设P（t，14t2+1），E（0，m），P的半径为14t2+1，PE2（14t2+1）2t2+（14t2+1m）2，（14t2+1）2t2+（14t2+1）22m（14t2+1）+m2，（1-m2）t22m+m20，点E为定点，m的值与t无关，1-m2=0，解得m2，定点E（0，2），ykx8k过定点Q（8，0），当EQ直线ykx8k时距离最大EQ=82+22=217，定点E到直线ykx8k的距离的最大值为2179如图，在平面直角坐标系中，已知直线y=-33x+3交y轴于点A，交x轴于点B，点D（0，3），直线DE为AB的中垂线，垂足为点E，交x轴于点C（1）如图

14、1，点E的坐标为 ，直线DC的表达式为 ；（2）如图1，若点M为直线CD上一个动点，且点M在第一象限，过点M作MNy轴，交直线AB于点N，当四边形AMND为菱形时，求点M的坐标；（3）如图2，点P为x轴上的一个动点，连接PA，PD，将ADP沿DP翻折得到A1DP，当AA1A1B时，点P的坐标为 【解答】解：（1）直线y=-33x+3交y轴于点A，交x轴于点B，A（0，3），B（33，0），DE垂直平分线段AB，AEEB，E（332，32），设直线DC的解析式为ykx+b，把D（0，3），E（332，32）代入得到b=-3332k+b=32，k=3b=-3，直线的解析式为y=3x3故答案为：（3

15、32，32），y=3x3；（2）四边形AMND是菱形，AEEN，点N与B重合，M（33，6）；（3）如图（3）中，当AA1A1B时，点A1落在直线DM上，此时DP平分ADM，过点P作PJDM于点J，则OPPJ，设P（m，0），则OPPJm，由（1）可知，C（3，0），D（0，3），OD3，OC=3，CD=OD2+OC2=32+(3)2=23，123m+1223m=1233，m633P（633，0），当PD平分ADC的邻补角时，也满足条件，同法可得P（633，0），综上所述，满足条件的点P的坐标为（633，0）或（633，0）故答案为：（633，0）或（633，0）10如图1，一次函数y2x+4

16、的图象交x轴于点A，交y轴于点B，与反比例函数y=2x（x0）的图象交点C（1）求点C的坐标；（2）在双曲线y=2x（x0）上是否存在一点D，满足SOCD=12SAOB，若存在，请求出点D坐标；若不存在，请说明理由（3）如图2，过点B作BMOB交反比例函数y=2x（x0）的图象于点M，点N为反比例函数y=2x（x0）的图象上一点，ABMBAN，请直接写出点N的坐标【解答】解：（1）解方程组y=-2x+4y=2x，解得x=1y=2，点C的坐标为（1，2）；（2）如图1，存在（两个），对于y2x+4，令y0，则2x+40，解得x2，令x0，则y4，A（2，0），B（0，4），设点D坐标为（a，2a

17、），SOCD=12SAOB，12（2+2a）|a1|=1224，解得a22（负值舍去），点D坐标为（2+2，2-2）或（2-2，2+2）；（3）A（2，0），B（0，4），C（1，2），C为AB的中点，AO2，BO4，AB=AO2+BO2=22+42=25，BC=5如图2，延长BM交AN的延长线于H，ABMBAN，HBHA，连接HC，则HCBA，BMOB，BMOA，HBABAO，又HCBBOA90，HBCBAO，HB：BCBA：AO，即HB：5=25：2，HB5，D（5，4）设直线AN的解析式为ymx+b，直线AN过A（2，0）、H（5，4），2m+b=05m+b=4，解得m=43b=-83直

18、线AN的解析式为y=43x-83，解方程组y=43x-83y=2x，解得x=2+102，y=210-43，N（2+102，210-43）11如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y（4t）x2t+8交x轴于点A，交y轴于点B（1）求点A的坐标；（2）如图2，点C在x轴正半轴上，OC2OA，过点C作x轴的垂线与过点B作y轴的垂线交于点D，点E（t，0）为线段OC上一点，作EPOC交BD于点F，交直线AB于点P，设线段PE的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）如图3，点G为BD上一点，连接EG，将FGE沿EG翻折使点F落在点M处，EM交CD于点H，连接

19、HG并延长交EP的延长线于点N，HGE45，若tanNGP=18，求直线AB的解析式【解答】解：（1）直线y（4t）x2t+8交x轴于点A，令y0，则（4t）x2t+80，x2，A（2，0）；（2）E（t，0），EPx轴交AB于点P，P（t，t2+2t+8），PEt2+2t+8，dt2+2t+8（3）BDy轴，BOEOBEOEB90，设GHD，则HGD90，HGM45，EGF180EGHHGD45+，EGMEGF45+，HGMEGMEGH，GDHHMG（AAS），GMHDFG，HMGD，设GDa，则FGGMDH4ta，过点H作HRGH交GE于R，过点R作QKCD于K交EF于Q，GHR是等腰直角三角形，GHHR，GDHHKR（AAS），HKGDa，RKDH4ta，DK4tOB，FQ=12FE，QR为EFG的中位线，QRQKRK4t（ 4ta）a，FG2a4ta，a=4-t3，GDH中，tanGHD=GDDH=a2a=12=tanN，DKDH+HK3aFQ，EF6a，由tanNGP=18，解NPG可得tanFPG=23，PF3a，PE9a3（4t），由（2）得PEt2+2t+8，t2+2t+83 （4t），解得t1，直线AB的解析式为y3x+6