专题23 矩形存在性问题巩固练习（基础）-冲刺2021年中考几何专项复习（解析版）.docx

1、矩形存在性问题巩固练习1如图，抛物线y=-13x2+43x+1与y轴交于点A，对称轴交x轴于点B，连AB，点P在y轴上，点Q在抛物线上，是否存在点P和Q，使四边形ABPQ为矩形？若存在，求点Q的坐标【分析】先令x0，求出y的值得到AO的长度，根据对称轴解析式求出OB的长度，根据矩形的四个角都是直角可得ABP90，然后求出BAOPBO，从而得到AOB和BOP相似，利用相似三角形对应边成比例求出OP的长度，再根据矩形的对称性求出矩形的中心C的坐标，然后求出点Q的坐标，再根据二次函数图象上点的坐标特征把点Q的坐标代入抛物线解析式进行验证即可【解答】解：存在点P和点Q，使四边形ABPQ为矩形，理由如下

2、：令x0，则y1，AO1，抛物线对称轴为直线x=-432(-13)=2，OB2，四边形ABPQ为矩形，ABO+PBOABP90，BAO+ABO90，BAOPBO，又AOBBOP90，AOBBOP，AOOB=OBOP，即12=2OP，解得OP4，点P的坐标为（0，4），AP的中点，即矩形的中心C的坐标是（0，1.5），设点Q（x，y），则x+22=0，y+02=-1.5，解得x2，y3，点Q的坐标为（2，3），当x2时，y=-13（2）2+43（2）+1=-43-83+14+13，点Q在抛物线y=-13x2+43x+1上，故存在点Q（2，3），使四边形ABPQ为矩形，点Q的坐标为（2，3）【点评

3、】本题是二次函数综合题型，主要利用了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，中心对称的点的坐标求出以及二次函数图象上点的坐标特征，利用中心对称求出点Q的坐标是解题的关键2在平面直角坐标系中，ACO90把AO绕O点顺时针旋转90得OB，连接AB，作BDx轴于D，点A的坐标为（3，1）（1）求直线AB的解析式；（2）若AB中点为M，连接CM，点P是射线CM上的动点，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，设点P的横坐标为t，PQO的面积为S（S0），求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；（3）在（2）的条件下，动点P在运动过程中，是否存在P点，使以P、O、B、N（N为平面上一点）为顶点的四边形是

4、矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）先证明AOCOBD，得出ACOD1，OCBD3，B（1，3），设直线AB的解析式为：ykx+b，把点A（3，1），B（1，3）代入得出方程组，解方程组求出k、b，即可得出直线AB的解析式；（2）先求出M的坐标，再求出直线CM的解析式，得出P的坐标，即可得出S与t的函数关系式以及t的取值范围；（3）分两种情况：点P为直线OA与CM的交点时，由直线OA和CM的解析式组成方程组，解方程组即可求出P的坐标；作BPOB交CM于P，求出直线BP的解析式，再求出直线BP与CM的交点坐标即可【解答】解：（1）根据题意得：OAOB，AOB90

5、，OC3，AC1，C（3，0），AOC+BOD90，BDx轴于D，BDO90，OBD+BOD90，AOCBOD，在AOC和OBD中，ACO=BDO=90AOC=BODOA=OB，AOCOBD（AAS），ACOD1，OCBD3，B（1，3），设直线AB的解析式为：ykx+b，把点A（3，1），B（1，3）代入得：-3k+b=1k+b=1，解得：k=12，b=52，直线AB的解析式为：y=12x+52；（2）M是AB的中点，A（3，1），B（1，3），M（1，2），设直线CM的解析式为：yax+c，把点C（3，0），M（1，2）代入得：-3a+c=0-a+c=2，解得：a1，c3，直线CM的解析式

6、为：yx+3，设P的坐标为（t，t+3），则PQO的面积S=12t（t+3）=12t2+32t，点P是射线CM上的动点，t3，S=12t2+32t（t3）；（3）存在，点P坐标为（-94，34），或（14，134）；理由如下：分两种情况讨论：点P为直线OA与CM的交点时；A（3，1），直线OA的解析式为：y=-13x，解方程组y=-13xy=x+3 得：x=-94y=34，P（-94，34）；作BPOB交CM于P，如图所示：则OBP90，AOB90，BPOA，设直线BP的解析式为：y=-13x+b，把点B（1，3）代入得：b=103，直线BP的解析式为：y=-13x+103，解方程组y=x+3

7、y=-13x+103 得：x=14y=134，P（14，134）；当OPB90时，易知P（1，2）或（0，3），都符合题意；综上所述：存在P点，使以P、O、B、N（N为平面上一点）为顶点的四边形是矩形，点P坐标为P（-94，34），或（14，134）或（1，2）或（0，3）【点评】本题是一次函数综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、用待定系数法求一次函数的解析式、二元一次方程组的解法等知识，本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要通过分类讨论，求出两条直线的交点才能得出结果3已知在平面直角坐标系中，ABC的顶点A、B、C的坐标分别为（1，0）（3，0）（0，3），将直线AC绕原点O顺时针

8、旋转180成为直线l（1）求直线l的解析式；（2）设直线l交y轴于点D，动点P从点D出发以每秒1个单位速度沿直线l向斜上方运动点P运动的时间为t秒，连接PO、PB，设POB的面积为S，求S与t的函数关系式，并求出自变量t的取值范围；（3）在（2）的条件下，过点B作EBAB，EB交直线l于点E，在点P出发时，点Q也从点E同时出发，沿直线l向斜下方匀速运动，点Q运动的速度大于点P运动的速度，则在直线l上是否存在这样P、Q两点，使P、Q两点与A、B、C三点中的两点为顶点的四边形为矩形（非正方形）？若存在，请求出点Q的运动速度；若不存在，请说明理由【分析】（1）求得A和C关于原点O的对称点的坐标，利用

9、待定系数法即可求解；（2）分P在线段DF上和在DF的延长线上两种情况进行讨论，求得P的纵坐标，利用三角形的面积公式求解；（3）首先证明ABC是直角三角形，则ADBD，过A作ANDF于点N，BC与DF相交于点M，则P、Q只能是D或M或N中的点，然后进行讨论即可【解答】解：（1）A和C关于O的对称点分别是（1，0）和（0，-3），设直线l的解析式是ykx+b，则k+b=0b=-3，解得：k=3b=-3，则直线l的解析式是：y=3x-3；（2）D的坐标是（0，-3），设直线l与x轴的交点是F，则F的坐标是（1，0），则DF=(3)2+12=2，sinODF=12，则ODF30，当P在线段DF上时，即

10、0t2时，DGDPcosODF=32t，则OG=3-32t，则S=12OBOG=123（3-32t）=-332t+332；当P在DP的延长线上时，即t2时，PFt2，则P到x轴的距离是：PFsin60=32（t2），则S=12332（t2）=334t-332；（3）在y=3x-3中，令x3，则y33-3=23，则E的坐标是（3，23）A、B、C的坐标分别为（1，0）（3，0）（0，3），AC=12+(3)2=2，BC=(3)2+32=23，AB4，ABC是直角三角形，ACB90，ACO30，CAO60，又DF与AC关于原点O对称，ADB90，OAD60，ADO30，Q在D点，P在Q关于F对称点

11、时，AQBP时矩形，则P运动的时间是4秒，Q运动的距离是DE=32+(23+3)2=6，则Q运动的速度是32单位长度/秒；过A作ANDF于点N，BC与DF相交于点Ml与AC关于O对称，BCDF，在直角BMF中，BF2，则MF2sin301，在直角ANF中，AF2，NFAFsin301，则当P到N时，Q到M时，四边形APQC是矩形，则DN211，则t1，Q运动的距离是ME23cos302332=3，则Q运动的速度是3单位长度/秒；当P到M，Q到N时，四边形AQNC是矩形，DPDM3，则t3，Q运动的距离是ENEF+NF=22+(23)2+15，则速度是53单位长度/秒总之，Q的速度是32单位长度

12、/秒或3单位长度/秒或53单位长度/秒【点评】本题是待定系数法求函数解析式，中心对称的性质以及三角函数的综合应用，正确确定P、Q能取得的点的位置是关键4如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A（6，0），B（0，8）点C的坐标为（0，m），过点C作CEx轴，交AB于点E，点D为x轴上的一动点，连结CD，DE，以CD，DE为边作CDEF点D在整个运动过程中，若存在唯一的位置，使得CDEF为矩形，请求出所有满足条件的m的值【分析】使得CDEF为矩形，则CDE90，故以CE为直径作圆，与x轴相切即可【解答】解：设直线AB的解析式为ykx+b，直线AB与x轴、y轴分别交于点A（6，0

13、），B（0，8），6k+b=0b=8，解得k=-43b=8，直线AB的解析式为y=-43x+8，点C的坐标为（0，m），过点C作CEx轴，E（34（8m），m），使得CDEF为矩形，则以CE为直径作圆，与x轴相切取CE的中点P，过P作PGx轴于点G则PG=12CE=38（8m），|38（8m）|m解得m=2411或m=-245所有满足条件的m的值为2411或-245【点评】本题考查了矩形的判定，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，得出P点的坐标是解题的关键5如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（5，0），（0，5），动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的

14、速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒1个单位的速度运动，以CP，CO为邻边构造平行四边形PCOD在线段OP延长线上一动点E，且满足PEAO（1）当点C在线段OB上运动时，求证：四边形ADEC为平行四边形；（2）点P在运动过程中，是否存在某个时刻t（秒），使得四边形ADEC是矩形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由【分析】（1）连接CD交AE于F，根据平行四边形的性质得到CFDP，OFPF，根据题意得到AFEF，又CFDP，根据平行四边形的判定定理证明即可；（2）当四边形ADEC是矩形时，ACE90，根据相似三角形的性质列方程即可得到结论【解答】（1）证明：连接CD交AE于F

15、，四边形PCOD是平行四边形，CFDF，OFPF，PEAO，AFEF，又CFDF，四边形ADEC为平行四边形；（2）存在，理由：当四边形ADEC是矩形时，ACE90，OCAE，ACOCEO，AOOC=OCOE，点A，B的坐标分别是（5，0），（0，5），OAOB5，OC5t，OE5+t，55-t=5-t5+t，解得：t0或t15，当t0或t15时，四边形ADEC是矩形【点评】本题考查的是坐标和图形、平行四边形的判定和性质、二次函数解析式的求法、锐角三角函数知识的综合运用，正确运用分情况讨论思想和数形结合思想是解题的关键6已知二次函数yax22ax3a（a为常数，a0）的图象与x轴交于A、B两点

16、（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，点F是对称轴上的点，在抛物线上是否存在点G，使四边形BCGF为矩形？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由【分析】设对称轴交x轴于D，过G点作GH对称轴于H，易证得易证得BDFCOB，FHGCOB，根据三角形相似的性质得出G的纵坐标为2a-3a，根据全等三角形的性质得出G（2，5a），解2a-3a5a，求得a的值，从而求得G的坐标为（2，52）【解答】解：存在点G，使四边形BCGF为矩形，设对称轴交x轴于D，过G点作GH对称轴于H，由二次函数yax22ax3a（a为常数，a0）可知C（0，3a），OC3a，令y0，则ax22ax3a0，解得x13，x2

17、1，A（1，0），B（3，0），OB3，对称轴为直线x=-1+32=1，OD1，BD2，四边形BCGF为矩形，CBF90，FBD+CBOOCB+CBO90，FDBOCB，FDBBOC90，BDFCOB，DFOB=BDOC，即DF3=23a，DF=2a，四边形BCGF为矩形，BCFG，GFBFBC90，FGH+GFHGFH+BFDBFD+FBDFBD+CBOCBO+OCB90，FGHCBO，GFHOCB，在FHG和COB中FGH=CBOFG=BCGFH=OCB FHGCOB（ASA），GHOB3，FHOC3a，DH=2a-3a，G点的横坐标为2，把x2代入yax22ax3a（a为常数，a0）得，

18、y5a，5a=2a-3a，解得a=12或a=-12（舍去），G（2，52）【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，三角形相似、三角形全等的性质，数形结合是解题的关键7如图，已知抛物线C1：yx2+4，将抛物线C1沿x轴翻折，得到抛物线C2（1）求出抛物线C2的函数表达式；（2）现将抛物线C1向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线C2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D，E在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，

19、请说明理由【分析】（1）抛物线翻折前后顶点关于x轴对称，a互为相反数；（2）连接AN，NE，EM，MA，M，N关于原点O对称OMON，A，E关于原点O对称OAOE，判断四边形ANEM为平行四边形；若AM2+ME2AE2，解得m3，即可求解；【解答】解：（1）抛物线C1的顶点为（0，4），沿x轴翻折后顶点的坐标为（04），抛物线C2的函数表达式为yx24；（2）存在连接AN，NE，EM，MA，依题意可得：M（m，4），N（m，4），M，N关于原点O对称，OMON，原C1、C2抛物线与x轴的两个交点分别（2，0），（2，0），A（2m，0），E（2+m，0），A，E关于原点O对称，OAOE四边形A

20、NEM为平行四边形，AM222+4220，ME2（2+m+m）2+424m2+8m+20，AE2（2+m+2+m）24m2+16m+16，若AM2+ME2AE2，则20+4m2+8m+204m2+16m+16，解得m3，此时AME是直角三角形，且AME90，当m3时，以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形【点评】本题考查二次函数关于x轴对称，平行四边形的判定，矩形的性质找准二次函数图象变化后对应的点是解决翻折后函数图象的关键；能够在平面直角坐标系中，通过坐标点的特点判定平行四边形，利用勾股定理判定矩形是解决本题的关键8如图（a），在RtABC中，C90，AC2，BC1，现以AB所在直线为对称轴

21、，ABC经轴对称变换后的图形为DEF（1）求四边形ACBF的面积；（2）如图（b），若ABC和DEF从初始位置（如图（a）所示）在射线AB上沿AB方向同时开始平移，ABC的运动速度是每秒2个单位，DEF的运动速度是每秒1个单位，设运动时间为t秒当0t5时，求线段AE的长度（用含t的代数式表示）；当AEF是等腰三角形时，求t的值；（3）在第（2）题的图形运动过程中，是否存在一点A、C、B、F组成的四边形为矩形？若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由【分析】（1）由题意可知：DEF是由ABC翻折所得，所以四边形ACBF的面积就是两个ABC的面积；（2）根据AEDE+ADAA代入可得结果

22、；当0t5时，分三种情况：任意两边相等时，找一等量关系列方程可得t的值，当t5时，如图（d），因为AEF是钝角，所以AEF是等腰三角形时只存在一种情况：根据EFAE列方程可得结论；（3）当四边形ACBF是矩形时，AFBCEF1，由（2）得：此时t=355【解答】解：（1）如图（a），由题意得：S四边形ACBF2SABC212ACBC212；（2）由勾股定理得：AB=22+12=5，设点A的起点为A，则AEDE+ADAA=5+t2t=5-t；当0t5时，分三种情况：i）AEEF时，即5-t1，t=5-1；ii）AEAF时，AFEAEF，ADFAFD，ADAF，5-tt，t=52；iii）AFEF

23、时，如图（c），过F作FGAE于G，则AGEG，tanFEG=FGEG=DFEF=2，设FG2x，EGx，由勾股定理得：（2x）2+x212，x=55，AE2EG=255，5-t=255，t=355，当t5时，如图（d），AEAAADDE2tt-5=t-5，当EFAE时，AEF是等腰三角形，即t-5=1，t=5+1；综上所述，当AEF是等腰三角形时，t的值是5-1或52或355或5+1；（3）存在，如图1，当四边形ACBF是矩形时，AFBC1，AFEF1由（2）得：此时t=355；点A、C、B、F组成的四边形为矩形时，t=355【点评】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定、矩形的性质和判

24、定、勾股定理、等腰三角形定义等知识，解题的关键是正确画出图形，学会分类讨论，属于中考压轴题9如图，已知二次函数yx2+4mx4m2+m+1的顶点为B，点A，C的坐标分别是A（0，2），C（8，2），以AC为对角线作ABCD（1）点B在某个函数的图象上运动，求这个函数的表达式；（2）若点D也在二次函数yx2+4mx4m2+m+1的图象上，求m的值；（3）是否存在矩形ABCD，使顶点B，D都在二次函数yn（x2m）2+m+1的图象上？若存在，请求出nm的值；若不存在，请说明理由【分析】（1）把二次函数的解析式化成顶点式，得出顶点B的坐标，再根据坐标特点写出函数解析式便可；（2）由平移的性质，用m表

25、示D点的坐标，再将D点坐标代入二次函数的解析式，得到m的方程，解方程便可求得m的值；（3）根据平行四边形ABCD是矩形，得BAD90，由勾股定理列出m的方程求得m的值，再根据顶点B，D都在二次函数yn（x2m）2+m+1的图象上，求得m、n的关系，进而求得n的值，便可求得结果【解答】解：（1）yx2+4mx4m2+m+1（x2m）2+m+1，B（2m，m+1），m+1=122m+1，点B（2m，m+1）在函数y=12x+1上，所求函数的表达式为y=12x+1；（2）四边形ABCD是平行四边形，ABDC，ABDC，将AB沿BC方向平移可得DC，点A，C的坐标分别是A（0，2），C（8，2），B（

26、2m，m+1），D（82m，m1），把D（82m，m1）代入yx2+4mx4m2+m+1中，得m1（82m）2+4m（82m）4m2+m+1，化简为：8m233m+310，解得，m=339716；（3）平行四边形ABCD是矩形，BAD90，AB2+AD2BD2，（2m）2+（m+3）2+（82m）2+（m+1）2（84m）2+（2m+2）2， 化简得，5m214m30，解得，m3，或m=-15，D点在二次函数yn（x2m）2+m+1的图象上，m1n（84m）2+m+1，n=m+18(2-m)2，当m3时，n=12，此时nm=16，当m=-15时，n=5242，此时nm=-25242故存在矩形A

27、BCD，使顶点B，D都在二次函数yn（x2m）2+m+1的图象上，其nm的值为16或-25242【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，平行四边形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，第（1）题关键是找出B点横纵坐标的关系，第（2）题关键是根据平移性质用m表示D点的坐标，第（3）题关键是由D点坐标求出m的值和m与n的关系非常规思想解题，难度大10如图，点O是平行四边形ABCD的对称中心，将直线DB绕点O顺时针方向旋转，交DC、AB于点E、F（1）证明：DEOBFO；（2）若DB2，AD1，AB=5当DB绕点O顺时针方向旋转45时，判断四边形AECF的形状，并说明理由；在直线DB绕点O顺时针方

28、向旋转的过程中，是否存在矩形DEBF，若存在，请求出相应的旋转角度（结果精确到1）；若不存在，请说明理由【分析】（1）要证三角形全等，必须找到三个条件证明其全等（2）首先要判断四边形是什么形状，然后根据题意首先证明OAD是等腰直角三角形，然后证明OEOF【解答】（1）证明：在平行四边形ABCD中，CDAB，CDOABO，DEOBFO又点O是平行四边形的对称中心，ODOBDEOBFO（2）解：四边形AECF是菱形理由如下：在ABD中，DB2，AD1，AB=5，DB2+AD2AB2ABD是直角三角形，且ADB90ODOB=12DB1，ADOD1OAD是等腰直角三角形，AOD45当直线DB绕点O顺时

29、针旋转45时，即DOE45，AOE90DEOBFO，OEOF又点O是平行四边形的对称中心，OAOC四边形AECF是平行四边形四边形AECF是菱形当四边形DEBF是矩形时，则有DFBFDE90，ODOE又ADB90有ADFODEDEOSABD=12ADBD=12ABDFDF=ADBDAB=125=255在RtADF中，cosADF=DFAD=DF=255ADF26.6ODEDEOADF26.6DOE180OEDODE18026.626.6126.8127即当直线DB绕点O约顺时针旋转127时，四边形CDBE是矩形【点评】本题是一道综合型试题，比较难，证明三角形全等必须要找出三个条件相等，按照判定

30、四边形形状的定义证明该四边形为何形状11已知：如图1，抛物线C1：y=13(x-m)2+n（m0）的顶点为A，与y轴相交于点B，抛物线C2：y=-13(x+m)2-n的顶点为C，并与y轴相交于点D，其中点A、B、C、D中的任意三点都不在同一条直线（1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由；（2）如图2，若抛物线y=13(x-m)2+n （m0）的顶点A落在x轴上时，四边形ABCD恰好是正方形，请你确定m，n的值；（3）是否存在m，n的值，使四边形ABCD是邻边之比为1：3 的矩形？若存在，请求出m，n的值；若不存在，请说明理由【分析】（1）根据题目条件可以表示出A（m，n ），C（m，n ），

31、可以求得AOCO，当x时可以求出点B、D的坐标，从而可以证明BODO，CO从而得出结论（2）抛物线y=13(x-m)2+n （m0）的顶点A落在x轴上，可以得出n0，由四边形ABCD恰好是正方形，由正方形的性质就可以得出OAOB而建立等量关系求出其m的值（3）四边形ABCD是矩形，由矩形的性质可以得出OAOB从而建立一个等量关系，由矩形ABCD的邻边之比为1：3，可以得出，ABO60或ABO30，作AHBD，表示出BH，用OBBH+OH在建立一个等式，从而构成方程组，从两种情况求出方程组的解就可以了【解答】解：（1）四边形ABCD是平行四边形，A（m，n ），C（m，n ），点A与点C关于原点

32、对称点O、A、C三点在同一条直线上，OAOCB(0，13m2+n)，D(0，-13m2-n)，OBOD四边形ABCD是平行四边形（2）抛物线y=13(x-m)2+n(m0)的顶点A落在x轴上，n0四边形ABCD是正方形，OAOB，即13m2=m，解得：m10（不符题意，舍去），m23此时四边形ABCD是正方形m3，n0（3）若四边形ABCD是矩形，则OAOB，即(13m2+n)2=m2+n2，化简得：19m4+23m2n=m2m0，m2+6n9又矩形的邻边之比为1：3，当AB：AD=1：3时，ABO60，过点A作AHBD于H，则BH=33m，33m+n=13m2+n，m2+6n=933m+n=

33、13m2+n，解得：m=3n=1当AD：AB=1：3时，ABO30，过点A作AHBD于H，则BH=3m，m2+6n=93m+n=13m2+n，解得：m=33n=-3答：存在m=3，n1或m=33，n3使四边形ABCD是邻边之比为1：3的矩形【点评】本题是一道二次函数的综合试题，考查了平行四边形的判定，正方形的性质的运用，矩形的性质的运用及三角函数值的运用12如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴，y轴相交于A，B两点，OA，OB的长分别是方程x214x+480的两根，且OAOB（1）求点A，B的坐标（2）过点A作直线AC交y轴于点C，1是直线AC与x轴相交所成的锐角，sin1=35，点D

34、在线段CA的延长线上，且ADAB，若反比例函数y=kx的图象经过点D，求k的值（3）在（2）的条件下，点M在射线AD上，平面内是否存在点N，使以A，B，M，N为顶点的四边形是邻边之比为1：2的矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）解一元二次方程，求得OA、OB的长度，得到点A、B的坐标；（2）如答图1所示，作辅助线，构造全等三角形AOBDEA，求得点D的坐标；进而由题意，求出k的值；（3）如答图2所示，可能存在两种情形，需要分别计算，避免漏解针对每一种情形，利用相似三角形和全等三角形，求出点N的坐标【解答】解：（1）解方程x214x+480，得：x16，x28O

35、A，OB的长分别是方程x214x+480的两根，且OAOB，OA6，OB8，A（6，0），B（0，8）（2）如答图1所示，过点D作DEx轴于点E在RtAOB中，OA6，OB8，由勾股定理得：AB10sinOBA=OAAB=610=35sin1=35，OBA1OBA+OAB90，1+ADE90，OABADE在AOB与DEA中，OBA=1AB=ADOAB=ADE，AOBDEA（ASA）AEOB8，DEOA6OEOA+AE6+814，D（14，6）反比例函数y=kx的图象经过点D，k14684（3）存在如答图2所示，若以A，B，M，N为顶点的四边形是邻边之比为1：2的矩形，当AB：AM12：1时，过点M1作M1Ex轴于点E，易证RtAEM1RtBOA，AEOB=M1EOA=AM1AB，即AE8=M1E6=12，AE4，M1E3过点N1作N1Fy轴于点F，易证RtN1FBRtAEM1，N1FAE4，BFM1E3，OFOB+BF8+311，N1（4，11）；当AB：AM21：2时，同理可求得：N2（16，20）综上所述，存在满足条件的点N，点N的坐标为（4，11）或（16，20）【点评】本题是代数几何综合题，考查了一次函数的图象与性质、解一元二次方程、反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形、全等三角形、矩形等知识点第（3）问中，矩形邻边之比为1：2，有两种情形，需要分别计算，避免漏解