专题26 相似三角形中由动点引起的分类讨论问题(原卷版).docx

1、专题26 相似三角形中由动点引起的分类讨论问题 【题型演练】一、单选题1如图，在中，于点D，下列结论错误的有（）个图中只有两对相似三角形；若，AD8，则CD4A1个B2个C3个D0个2在中，点为线段上一点，以为一边构造，下列说法正确的个数是（）图中和相等的角有2个（不含）；若不添加线段，图中共有5对相似三角形；A1B2C3D43如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABC90，AB7，AD3， BC4点 P 为 AB 边上一动点，若PAD 与PBC 是相似三角形，则满足条件的点 P 的个数是（ ）A1个B2 个C3 个D4 个4如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABC=90，AB=8，

2、AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若PAD与PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（）A1个B2个C3个D4个5如图，在矩形ABCD中，点E为AD上一点，且AB8，AE3，BC4，点P为AB边上一动点，连接PC、PE，若PAE与PBC是相似三角形，则满足条件的点P的数量为（）A1个B2个C3个D4个6如图，在矩形中，点为上一点，且，点为上一动点，连接，若与是相似三角形，则满足条件的点的个数有（ ）A2B3C4D57如图，在矩形ABCD中，点E为AD上一点，且AB8，AE3，BC4，点P为AB边上一动点，连接PC、PE，若PAE与PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数为（）A1

3、B2C3D4二、填空题8如图，在矩形ABCD中，点E为AD上一点，且AB=8，AE=3，BC=4，点P为AB上一动点，连接PC、PE，若PAE与PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数有_个9如图，在四边形ABCD中，ADBC，ABC90，AD2，BC6，AB7，点P是线段BA上的一个动点，连接PC、PD若PAD与PBC是相似三角形，则满足条件的点P有_个10如图，在矩形ABCD中，点E为AD上一点，且AB=8，AE=3，BC=4，点P为AB上一动点，连接PC、PE，若PAE与PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数有_个11如图，ABC的两条高AD、BE交于点H，则图中的相似三角形共有_

4、对三、解答题12如图，正方形ABCD，点P为射线DC上的一个动点，点Q为AB的中点，连接PQ，DQ，过点P作PEDQ于点E（1）请找出图中一对相似三角形，并证明；（2）若AB4，以点P，E，Q为顶点的三角形与ADQ相似，试求出DP的长13由教科书知道，相似三角形的定义：如果两个三角形各角分别相等，且各边对应成比例，那么这两个三角形相似；由教科书中实践操作可得基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 (1)请依据上面定义和事实，完成下列问题：已知，如图甲，中，点、分别在、上，且问：与相似吗？试证明你得到的结论是：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形_(2

5、)依据（1）中的结论完成下列问题：已知，如图乙，在和中，问：与相似吗？试证明你得到的结论是：_的两个三角形相似14如图，E是平行四边形ABCD的边DA延长线上一点，连结EC交AD于P(1)写出图中的三对相似三角形（不添加辅助线）；(2)请在你所写的相似三角形中选一对，说明相似的理由15某数学兴趣小组在学习了尺规作图、等腰三角形和相似三角形的有关知识后，在等腰ABC中，其中AB=AC，如图，进行了如下操作第一步，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA的延长线和AC于点E、F，如图；第二步，分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点D，作射线AD；第三步，以D为圆心，DA的长为半径

6、画弧，交射线AE于点G；(1)填空：写出CAD与GAD的大小关系为 ；AD与BC的位置关系为 ；(2)当AB=AC=6，BC=2时，连接DG，求出的值；(3)如图，根据以上条件，点P为AB的中点，点M为射线AD上的一个动点，连接PM，PC当CPM=B时，求AM的长16如图，在ABC中，ABAC5，BC8，点D是边BC上（不与B，C重合）一动点，ADEBa，DE交AC于点E，（1）不添加其它字母，写出图中所有的相似三角形，并选择一对进行证明；（2）设BDx，CEy，求出y与x的函数关系式，并利用关系式求出线段AE长度的取值范围；（3）当DCE为直角三角形时，BD的长为 17如图，ABBD，CDB

7、D，AB3，CD8，BD10，一动点P从点B向右D运动，问当点P离点B多远时，PAB与PCD是相似三角形？18如图，在ABC中，ACBC，点D是线段AB上一动点，EDF绕点D旋转，在旋转过程中始终保持AEDF，射线DE与边AC交于点M，射线DE与边BC交于点N，连接MN（1）找出图中的一对相似三角形，并证明你的结论；（2）如图，在上述条件下，当点D运动到AB的中点时，求证：在EDF绕点D旋转过程中，点D到线段MN的距离为定值19如图，在RtABC中，C=90，AC=BC=4cm，点D为AC边上一点，且AD=3cm，动点E从点A出发沿线段AB向终点B运动作DEF=45，与边BC相交于点F1）找出

8、图中的一对相似三角形，并说明理由；（2）当BEF为等腰三角形时，求AE的长；（3）求动点E从点A出发沿线段AB向终点B运动的过程中点F的运动路线长20问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论如图1，已知AD是ABC的角平分线，可证小慧的证明思路是：如图2，过点C作CEAB，交AD的延长线于点E，构造相似三角形来证明(1)尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明；(2)应用拓展：如图3，在RtABC中，BAC90，D是边BC上一点连接AD，将ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处若AC1，AB2，求DE的长；若BCm，AED，求DE的长

9、（用含m，的式子表示）21习过相似三角形后，刘老师布置了一道思考题问题情境：如图1，等腰三角形ABC中，CD为AB边上的中线，M为CD上一个动点，于点E，连接CE，若点N为AC上一个动点，连接EN，当，时，求EN的最小值小明在分析这道题时，发现思路不明显，他采用从特殊到一般的方法进行探究，以下是他的探究过程，请仔细阅读，并完成下列任务原题中动点较多，小明准备先从动点的条件入手分析：分析一：如图2，等腰三角形ABC中，CD为AB边上的中线，若，点M为CD的中点，于点E，连接CE，点N为AC上一个动点，连接EN，探究EN是否存在最小值；过程：连接AE，CD垂直平分AB，M是CD的中点，是等腰直角三

10、角形，是等腰直角三角形，当时有最小值；分析二：如图3，等腰三角形ABC中，CD为AB边上的中线，若，且M，N分别为CD、CA的中点，于点E，连接CE，EN，求证：任务：(1)小明在分析一中判断EN的最小值时运用了_原理；（填序号）两点之间线段最短；垂线段最短；平行线间的距离；点到圆的距离(2)请完成分析二的证明；(3)请直接写出问题情境中EN的最小值22如图，在边长为6的等边中，D是边上一点，E是边上一动点，交边于F（1）找出图中一对相似三角形，并说明理由；（2）在点E从B点运动到C点的过程中：求长的最小值；线段的中点所经过的路径长为_；线段的中点到的最大距离为_23定义：先将ABC以点A为位

11、似中心放大或缩小，接着将所得三角形以点A为旋转中心，逆时针旋转一个角度后，得到ADE，则我们称ABC与ADE互为“旋转相似三角形”理解：（1）如图1，ABC与ADE互为“旋转相似三角形”若20，D100，C30，则BAE的度数为；（2）如图2，在等腰ABC中，AB=AC，BAC120，AD是高，点E为DC上一动点，以线段AE为斜边在右侧作RtAEF，使AFE90，AEF30，连接DF，求证：ABE与ADF互为“旋转相似三角形”；运用：（3）如图3，ABC与ADE互为“旋转相似三角形”，连接BD、CE，若ABC+ADC =90，AB2AC，DE=3，CD=4，求BD的长24“如图1，在RtABC

12、中，ACB90，CDAB于点D”这里，根据已学的相似三角形的知识，易证：在图1这个基本图形的基础上，继续添加条件“如图2，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FDED，交直线BC于点F，设”（1）探究发现：如图，若mn，点E在线段AC上，则 ；（2）数学思考：如图3，若点E在线段AC上，则 （用含m，n的代数式表示）；当点E在直线AC上运动时，中的结论是否仍然成立？请仅就图4的情形给出证明；（3）拓展应用：若AC，BC2，DF4，请直接写出CE的长25如图，已知ABC是边长为12的正三角形，AD是边BC上的高线，CF是外角ACE的平分线，点P是边BC上的一个动点（与点B，C不重合），AP

13、Q 60，射线PQ分别与边AC，射线CF交于点N，Q（1）求证：ABPPCN；（2）不管点P运动到何处，在不添辅助线的情况下，除第（1）小题中的一对相似三角形外，请写出图中其它的所有相似三角形；（3）当点P从BD的中点运动到DC的中点时，点N都随着点P的运动而运动在此过程中，试探究：能否求出点N运动的路径长？若能，请求出这个长度；若不能，请说明理由26如图，在中，在它的内部作一个矩形，使得在边上，、分别在边、上设，矩形的面积为(1)写出图中的一对相似三角形；(2)写出关于的函数关系式；(3)若、是平面直角坐标系中的两个点，判断线段与（2）中函数图象的交点情况，并求出对应的取值范围27如图，在中，点为边上一点，且AD=3cm，动点从点出发沿线段向终点运动作，与边相交于点找出图中的一对相似三角形，并说明理由；当为等腰三角形时，求的长；求动点从点出发沿线段向终点运动的过程中点的运动路线长