专题27.21 相似三角形的性质（巩固篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）.docx

1、专题27.21 相似三角形的性质（巩固篇）（专项练习）一、单选题1若的面积是，则它的三条中位线围成的三角形的面积是（）ABCD无法确定2如图，矩形中，点P在对角线上，且，连接并延长，交的延长线于点Q，连接，则的长为（）ABCD3如图，ABC中，DEBC，AD:BD=1:3，则OE：OB=（）A1:3B1:4C1:5D1:64如图，在矩形中，是的中点，若交于点，是的中点，连接，则的长为（）ABC1D5如图，小明在A时测得某树的影长为，B时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（）ABCD6如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，连接BE交AC于点G，延长BE交CD的延

2、长线于点F，则的值为（）ABCD 7如图，中，是中线， 是上一点，作射线，交于点，若，则 （ ）ABCD8小明想借助网格在线段AB上找一点P，使APPB23，下列作法中错误的是（）ABCD9如图，在ABC中，ABAC，点D是BC边的中点，点E是AB边的中点，过点E作EFAD交BC于点F，过点E作EGBC交AD于点G，设ABC的面积为S，则四边形EFDG的面积为（）ASBSCSDS10直线l1l2l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，把一块含有45角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为（）ABCD二、填空题11在AB

3、C和DEF中，AD105，AC4cm，AB6cm，DE3cm，则DF_时，ABC与DEF相似12如图，已知矩形ABCD中，AB=6，AD=8将矩形ABCD沿直线MN翻折后，点B恰好落在边AD上的点E处，如果AE=2AM，那么CN的长为_.13如图，四边形中，对角线交于点O，如果，那么的值是_14如图，在平面直角坐标系中，与轴交于点，已知点，是线段上一点，连接，若与相似，则的长为_15如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，连结AE，将ABE沿直线AE翻折得到AFE，EF与AC相交于点M若AB8，BC10，且BEBC，则点F到直线AD的距离为_16如图，矩形ABCD沿EF折叠，点A的对称点为点A

4、，点B的对称点为点B，AB与AD相交于点G，若点F，B，D在同一条直线上，AEG的面积为4，CDF的面积为36，则GBD的面积等于_17如图，已知在矩形纸片中，将纸片折叠，使顶点与边的点重合.若折痕分别与交于点的外接圆与直线有唯一一个公共点，则折痕的为_18如图，在ABC中，C=90，BC=1，AC=2，、都是正方形，且、在AC边上，、在AB边上则线段的长用含n的代数式表示为_（n为正整数）三、解答题19如图，在梯形ABCD中，AD/BC，ABC=90，且AB是AD，BC的比例中项，求证：BDAC20如图正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图(1)在

5、图中画等腰ABC，使得CAB90；(2)在图中画等腰DEF，使ABCDEF，且相似比为：121如图，ABC中，点D，E分别是BC，AB上的点，CE，AD交于点 F，BDAD，BEEC(1) 求证：ABDCBE；(2) 若CDCF，试求ABC的度数22如图，已知点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，点在线段上，从点出发以每秒5个单位长度的速度向点运动，设运动时间为秒，过点作轴于点(1) 当时，线段的长为_；(2) 当时，求的值；(3) 在轴上是否存在点，使为等腰三角形，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由23在菱形中，点、分别是边、上两点，满足，与相交于点（1）如图1，连接求证：；（2）如

6、图2，连接 求证：； 若，求线段的长（用含、的代数式表示）24如图1，在等腰中，点D为斜边AB边上一动点（不含端点）作，DE，DF分别交AB，AC于点E和点F请根据图形解答下面问题：【问题发现】（1）如图1，若点D为BC边中点请直接写出DE，DF的数量关系_【类比探究】（2）如图2，若点D为BC边上一动点，且猜想DF与DE的数量关系并证明你的结论【拓展应用】（3）如图3，在边长为4的等边中，点D为BC边上一动点，作DE交AC边于点E请问在点D的运动过程中，CE是否有最大值如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由参考答案1A【分析】根据三角形中位线定理即可证得：，则DEFABC，根据相似三角形的

7、面积的比等于相似比的平方即可求解解：如图：DE是ABC的中位线，DE=BC，即，同理，DEFABC，SDEF=SABC=8=2（cm2）故选：A【点拨】本题考查了三角形的中位线定理，以及相似三角形的性质，正确证明DEFABC是关键2C【分析】根据矩形的性质可求BD，从而得到QC，由勾股定理即可求解；解：在矩形中，ABCD，故选：C【点拨】本题主要考查三角形的相似、矩形的性质、勾股定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键3B【分析】先根据DEBC，得出ADEABC，进而得出 ，再根据DEBC，得到ODEOCB，进而得到解：DEBC，ADEABC，又，DEBC，ODEOCB，故选：B【点拨】本题主

8、要考查了相似三角形的判定与性质，平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似4C【分析】先证明，可得3EF=，延长AE交DC得延长线于点H，可得，继而即可求解解：在矩形中，ADBC，AD=BC，即：3EF=，延长AE交DC得延长线于点H，ABCD，ABE=HCE=90，是的中点，BE=CE，又AEB=CEH，AE=EH，AB=CH=CD，即C是DH的中点，是的中点，HF=2，3EF=，4EF=4，EF=1，故选C【点拨】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，中位线的性质，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键5B【分析】根据题意，画出示意图，易得EDCFDC，

9、进而可得，即DC2=EDFD，代入数据可得答案解：根据题意，作EFC，树高为CD，且ECF=90，ED=2m，FD=8m；E+F=90，E+ECD=90，ECD=F，又 EDCCDF，即DC2=EDFD=28=16，解得CD=4m（负值舍去）故选：B【点拨】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键6A【分析】先根据平行四边形的性质得到ABCD，则可判断ABGCFG，ABEDFE，于是根据相似三角形的性质和AE2ED即可得结果解：四边形ABCD为平行四边形，ABCD，ABGCFG，ABEDFE，AE2ED，AB2DF，故选：A【点拨】本题考查了平行四边形的性质，

10、相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质进行解题7C【分析】作，交于点，则有，根据 ，可得，再根据是边上的中线，得到，；根据可得，则，化简即可得到结果解：如图，作，交于点，又，是边上的中线， ，则故选：C【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟悉相关性质是解题的关键8D【分析】利用平行可证得三角形相似，再利用相似三角形的对应边成比例，对各选项逐一判断解：A、根据图形，可知两个三角形相似，且相似比为23，故APPB23，故正确，故此选项不符合题意B、根据图形，可知两个三角形相似，且相似比为23，故AP：PB23，故正确，故此选项不符合题意C、如图，根据图形可知：CA

11、D=90，线段CD绕点O顺时针旋转90与AB重合，则APC=旋转角=90=CAD，ACD=DCA，ACDDCA，AC=，AD=2， CD=，AP=，SBCD=，BP=，故APPB23，故正确，故此选项不符合题意D、可知两个三角形不相似，故AP：PB之比无法判断，故错误，故此选项符合题意故答案为：D【点拨】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键9B【分析】根据等腰三角形的性质可得ADBC，BDBC，然后可得四边形EFDG是矩形，再根据三角形中位线定理可得EGBDBC，DGAGAD，进而可以解决问题解：ABAC，点D是BC边的中点，ADBC，BDBC，ADB=9

12、0，EFAD，EGBC，四边形EFDG是平行四边形， 又ADB=90，四边形EFDG是矩形，点E是AB边的中点，AE=BE，AG=DG，EG是ABD的中位线，EGBDBC，DGAGAD，ABC的面积为S，SBCAD，四边形EFDG的面积FDDGBCADS故选：B【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握三角形中位线定理10A【分析】分别过点A、B、D作AFl3，BEl3，DGl3，可得AF=4，先根据全等三角形的判定定理得出BCECAF，故可得出CF及CE的长，在RtACF中根据勾股定理求出AC的长，再由相似三角形的判定得出CDGC

13、AF，故可得出CD的长，在RtBCD中根据勾股定理即可求出BD的长解：分别过点A、B、D作AFl3，BEl3，DGl3，垂足为F、E、G，l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，AF=4，BE=DG=3，ABC是等腰直角三角形，ACBC，EBC+BCE90，BCE+FCA90，FCA+CAF90，EBCFCA，BCECAF，在BCE与ACF中，BCECAF，CF=BE=3，AC=5，AFl3，DGl3，CDGCAF，即，解得：CD=，BD=故选：A【点拨】本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键11或【分析】由于两相似三角形的对应边不能确

14、定，故应分ABCDEF与ABCDFE两种情况进行讨论解：AD，AB6cm，AC4cm，DE3cm，当ABCDEF时，即，解得：DF2；当ABCDFE时，即，解得：DF4.5综上所述，当DF2cm或4.5cm时，ABC和DEF相似故答案为：2cm或4.5cm【点拨】本题考查的是相似三角形的判定，在解答此题时要注意进行分类讨论12【分析】如图，过N作NFAD于F，可得NF=AB，根据矩形的性质和折叠的性质可得MEN=B=90，EN=BN，根据直角三角形两锐角互余的性质及平角的定义可得AME=NEF，进而可证明AEMFNE，根据AE=2AM可求出EF的长，在RtFNE中，利用勾股定理可求出EN的长，

15、进而可求出CN的长.解：如图，过N作NFAD于F，四边形ABCD是矩形，AB=6，NF=AB=6，矩形ABCD沿直线MN翻折后，点B恰好落在边AD上的点E处，EN=BN，MEN=B=90，AEM+NEF=90，AEM+AME=90，AME=NEF，又A=EFN=90，AEMFNE，AE=2AM，NF=6，EF=3，BN=EN=，BC=8，CN=BC-BN=8-，故答案为：8-【点拨】本题考查矩形的性质、增大的性质及相似三角形的判定与性质，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键.13【分析】由题意可以证得AODBOC，再

16、根据相似三角形的性质得到AO：OD=BO：OC，从而得到AOBDOC，最后再根据相似三角形的性质得到解答解：在AOD和BOC中，AOD=BOC，AODBOC，AO：OB=DO：OC=AD：BC=1：2，OB=4，DO=3，在AOB和DOC中，AOB=DOC，AO：OD=BO：OC=2：3，AOBDOC，= AO：OD=2：3，故答案为【点拨】本题考查相似三角形的应用，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题关键142或4【分析】是一个直角三角形，若与相似，必须证明是直角三角形，再用相似三角形的性质即可求出点M的坐标解：如图，A(1,4) ， C(3,0) ， D(0,3) ， ， ；是直角三角形点

17、M在x轴上，设点M的坐标是（x，0），=1当时，CM=2；当时CM=4，故答案为：2或4【点拨】此题考查相似三角形的性质，熟悉掌握相似三角形的性质是解题的关键15【分析】先过F作MNBC，根据已知条件与折叠的性质得到AFNFEM，再根据相似的性质得到，设出未知数，求解出答案即可解：过F作MNBC，BE=，BC=10，BE=6，翻折ABEAFE，EF=BE=6，AFE=B=90，AF= AB=8，AFN+EFM=90，AFN+FAN=90，FAN=EFM，AFNFEM，设AN=4x，FM=3x， FN=8-3x，EM=4x-6，FN=8-3x，EM=4x-6，经检验：是原方程的根，故答案为：【点

18、拨】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质与相似三角形的判定与性质，关键在于作出辅助线，根据折叠的性质证明出三角形相似1616【分析】由矩形ABCD沿EF折叠， 可得A=A =90，AB=AB，可证AEDF，可得AEG=GDB，可证AEGCFD，可得，可证AEGBDG，即可解：矩形ABCD沿EF折叠，点A的对称点为点A，点B的对称点为点B，A=A=ABF=B=C=90，AB=AB，A+ABF=180，AEDF，AEG=GDB，四边形ABCD为矩形，AB=CD，ADBC，GDB=DFC=AEG，AEGCFD，即，A=ABF=90，AEG=GDB，AEGBDG，SAEG=4，故答案为：16【点拨】本

19、题考查矩形折叠问题，平行线性质，三角形相似判定与性质，掌握矩形折叠性质，平行线性质，三角形相似判定与性质是解题关键17【分析】根据折叠的性质判断出AG=GE，AGF=EGF，再由CDAB得出EFG=AGF，从而判断出EF=AG，得出四边形AGEF是平行四边形，继而结合AG=GE，判定四边形AGEF是菱形；连接ON，得出ON是梯形ABCE的中位线，在RTADE中，利用勾股定理可解出x，继而可得出折痕FG的长度解：由折叠的性质可得，GA=GE，AGF=EGF，DCAB，EFG=AGF，EFG=EGF，EF=EG=AG，四边形AGEF是平行四边形（EFAG，EF=AG），又AG=GE，四边形AGEF

20、是菱形令AED的外接圆与直线有唯一一个公共点为N，连接ON，如图所示，AED是直角三角形，AE是斜边，点O是AE的中点，AED的外接圆与BC相切于点N，ONBC，点O是AE的中点，ON是梯形ABCE的中位线，设CE=x，则ED=2-x，2ON=CE+AB=x+2，在RtAED中，AE=2OE=2ON=x+2，AD2+DE2=AE2，12+（2-x）2=（2+x）2，得x=，FEOAED，解得：FO=，FG=2FO=故答案为：.【点拨】此题考查了翻折变换的知识，涉及了菱形的判定、含30角的直角三角形的性质，关键在于得出FEOAED，求出.18【分析】根据题意得出BB1C1BAC，进而求出B1C1

21、=，同理可得出：B2C2=，B3C3=，进而得出答案解：由题意可得：B1C1/AC，BB1C1BAC，BC1：BC=B1C1：AC，CC1=B1C1，B1C1：2=（1C1B1）：1，解得：B1C1=，故A1B1=，AA1=，同理可得出：B2C2=，B3C3=，线段BnCn的长用含n的代数式表示为：故答案为：【点拨】本题考查相似三角形的综合应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质及归纳的思维方法是解题关键19见分析【分析】先根据平行线的性质得到BAD=90，再证明ABCDAB得到ABD=ACB，则ACB+DBC=90，所以BEC=90，从而得到结论解：ADBC，ABC=90，BAD=90，AB是A

22、D，BC的比例中项，即AB2=ADBC，而ABC=DAB，ABCDAB，ABD=ACB，ABD+DBC=90，ACB+DBC=90，BEC=90，BDAC【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质熟练掌握相似三角形的判定是解答本题的关键20(1)见分析(2)见分析解：(1)如图中，ABC即为所求；,，的等腰直角三角形，(2)如图中，DEF即为所求,ABCDEF，且相似比为：1【点拨】本题考查了勾股定理，相似三角形的性质，掌握勾股定理与相似三角形的性质是解题的关键21(1)见分析(2)【分析】（1）由已知可得BADBCE，结合BB，可以得到；（2）设Bx ，则由（1）和已知条件可以得到关于x的方程

23、，解方程即可得到问题解答(1)证明：BDAD，BEECBBAD，BBCEBADBCE 而BB，ABDCBE(2)解：设B，由（1）可知BBADBCE，ADC 又CDCFADCDFC即【点拨】本题考查相似三角形的综合问题，熟练掌握三角形相似的判定方法、等腰三角形的性质、三角形内角和定理及方程思想方法的应用是解题关键法的应用是解题关键22(1)(2)(3)存在，M(-8，0)， (2，0)， (3，0)， (，0)【分析】（1）由已知可得线段PQ为三角形的中位线，根据三角形中位线定理可以得到解答；（2）由已知可得BPQBAQ，把上面等式用含t的代数式表示出来，然后解方程即可；（3）分MA=MB，A

24、M=AB，BM=BA三种情况讨论(1)解：由题意可得：当时，PA=PB，且PQAO，BQ=QO，PQ为三角形ABO的中位线，PQ=AO=,故答案为；(2)解：由题可知，PA=PQ=5t， PB=AB-PA=5-5tPQAOBPQ=BAO又BQP=BOA=90BPQBAO解得：t=(3)解：由题意可设满足条件的M为（x，0），则可分三种情况：如图，MA=MB，则MA2=MB2，（x+3）2=OM2+OB2=x2+AB2-AO2=x2+16，解之可得：x=，M为（，0）；如图，AM=AB，则有|x+3|=5，解之可得：x=2或x=-8，M为（2，0）或（-8，0）；如图，BM=BA，则BM2=BA

25、2，x2+16=25，解之可得：x=3或x=-3（舍去），M为（3，0）；满足条件的M为：（-8，0)或 (2，0)或 (3，0)或 (，0)【点拨】本题考查三角形的动点问题，熟练掌握三角形中位线的定义和性质、三角形相似的判定和性质、等腰三角形的性质、方程思想与勾股定理的应用是解题关键 23（1）见分析；（2）见分析；【分析】（1）四边形是菱形，则是等边三角形，根据，即可得到三角形全等；（2）连接，延长到点，使，连接，求证出，是等边三角形，即可以证明；由中的条件可证，所以，即可以求出DG（1）证明：四边形是菱形， ，是等边三角形， （2）证明：连接，延长到点，使，连接由（1）知，是等边三角形，

26、是等边三角形，由可知，又，即，【点拨】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等有关知识，需要综合利用初中所学知识，结合题目条件，灵活运用才能解决问题；正确作出辅助线是解决这题的关键24（1）；（2）；（3）有最大值，最大值为1【分析】（1）连接，证明，即可求证；（2）分别过点、作、交于点，根据三角形相似对应边成比例，求得DF与DE的数量关系；（3）由题意可知，设，求出与的函数关系式，根据函数性质即可求解解：（1）连接，如下图：点D为BC边中点又为等腰直角三角形，又（2）分别过点、作、交于点为等腰直角三角形又、为等腰直角三角形，又，即（3），又设，当时，最大，最大为1【点拨】此题考查了三角形的综合应用，涉及到三角形全等、相似以及二次函数的性质，其中多次利用了“一线三等角”模型，熟练掌握相关基础知识是解题的关键