2024中考数学第一轮复习：相似三角形14大模型之真题溯源（学生版）.pdf

1、专注中考数学 10 余年 yang451989 1 相似三角形 14 大模型之真题溯源 目录 模型梳理.3 题型一 A 字模型.11 2023四川成都真题.11 2022 宜宾.12 2023山东潍坊真题.12 2022浙江杭州真题.12 2023浙江温州真题.13 2022 安徽.14 2023广东真题.14 2023山东泰安真题.14 2023四川眉山真题.15 2022江苏淮安真题.15 题型二 “8”字型.16 2022辽宁真题.16 2023四川乐山真题.17 2023湖北武汉真题.17 2023四川泸州真题.18 2023浙江杭州真题.18 2023四川眉山统考中考真题.18 20

2、22 深圳.19 题型三 三角形内接矩形.19 2022山东东营真题.19 题型四 倒数型（三平行结构）.21 湖南株洲统考中考真题.21 2023四川内江真题.21 2024 届深圳中学九年级期中.21 题型五 A 字型及 8 字型相结合.22 2023黑龙江哈尔滨真题.22 2023安徽真题.22 2023陕西真题.22 题型六 射影定理.23 2023湖南郴州真题.23 2022 湘潭.23 题型七 子母模型（公共边公共角）.24 专注中考数学 10 余年 yang451989 2 2022湖北鄂州真题.24 2023四川凉山真题.25 题型八 一线三等角模型.27 2023黑龙江大庆真

3、题.27 2023山东东营真题.28 浙江中考真题.29 2023浙江丽水统考中考真题.30 徐州中考.31 2023湖北武汉统考中考真题.34 题型九 旋转相似模型（手拉手）.34 2023湖南常德真题.34 2022 烟台.35 2021 天门.35 2022 河池.35 2023辽宁营口真题.36 2022 鞍山.37 题型十 作辅助线构造 A 字和 8 字型相似.38 2023湖北十堰真题.39 2023浙江真题.39 2023江苏中考真题.39 2022湖南常德真题.40 2022四川绵阳真题.40 2022 襄阳.40 2023山东烟台真题.42 2022湖北武汉统考中考真题.43

4、 题型十一 反“8”字型相似（两组相似，四点共圆）.44 2022新疆统考中考真题.44 2023浙江丽水统考中考真题.45 重庆中考.45 题型十二 十字架模型.46 2023辽宁丹东真题.46 2023山东菏泽中考真题.47 2021四川达州统考中考真题.48 题型十三 对角互补模型.49 深圳中考.49 题型十四 双高型.50 专注中考数学 10 余年 yang451989 3 模型梳理 一、A 字模型 已知：在ABC 中，点 D，E 分别在 AB，AC 上，且 DEBC 结论：ADEABC，AEAC DEBC（共线的边之比相等）反 A 字型 结论：ADAC AEAB DEBC（共线的边

5、之积相等）构造 A 字模型：遇到线段上的比例端点可以考虑作平行线构造构造 A 字模型 二、8 字模型 已知：AC 与 BD 相交于点 O，ABCD ADAB21ABCDEABCDEABCDEABDCO专注中考数学 10 余年 yang451989 4 结论：OABOCD，（共线的边之比相等）构造 8 字模型：遇到三角形或平行四边形边上的比例端点时可以考虑作平行线构造构造 8 字模型 三、反 8 字模型（两组相似，四点共圆）性质一：如左图，ADAOBDOC ABOAOBCDODOC=性质二：如右图，OAOBOAODODOCOBAODBOCOC=AODBOC (由第一组相似推出第二组相似)性质三：

6、四点共圆 (圆周角定理)四、三角形内接矩形型 三角形的内接矩形：四个顶点都在三角形边上的矩形 OAOCOBODABCDOBCADOBCADOBCADADBCO专注中考数学 10 余年 yang451989 5 若四边形 DEFG 为矩形，则：AIEFAEFABCAHBC=特别地，(1)当 四 边 形DEFG为 正 方 形 时，若 假 设 其 边 长 为a，则：AIEFAHaaAH BCaAHBCAHBCAHBC=+(2)当 EF 为三角形的中位线时，矩形 DEFG 的面积最大，最大值为12DEFGABCSS=(3)2AEFBDECGFSAESSBE=+证明：把FGC 向左平移至EDC，则AEF

7、EBC，2AEFBDECGFSAESSBE=+五、倒数模型（三平行结构）倒数型相似 ABEFCD 示意图 结论 111EFABCD=+BCFBCDABCSSS111=+六、射影定理模型（直角三角形和斜边上的高）如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即ACDABCCBD.常见的结论有：CA2ADAB，BC2BDBA，CD2DADB（均满足：(公共边)共线的边之积）补充：（1）正方形、长方形中经常会出现射影定理模型（十字架模型），如图，A，B，E，G 四点组AEBCDF专注中考数学 10 余年 yang451989 6 成射影定理模型（2）在圆中也会出现射影定理模型 七、

8、母子相似模型（一）基本模型 已知：在ABC 中，点 D 在 AB 上，ACDB 或ADCACB 结论：ACDABC，AC 2ADAB(公共边)共线的边之积（二）结论推导 结论：ACDABC，AC 2ADAB 证明：ACDB 或ADCACB，CADBAC，ACDABC，AC 2ADAB 母子相似模型也叫共边共角相似模型（三）解题技巧 如果在三角形中有一个公共角和一条公共边，则考虑使用母子相似模型，得到公共边的平方等于两条线段的乘积 八、一线三等角模型（一）基本模型 GFDCABEADACACABCDBCADACACABCDBCADACACABCDBCADBC专注中考数学 10 余年 yang45

9、1989 7 已知：点 P 在线段 AB 上，123 结论 1：CAPPBD 已知：点 P 在 AB 的延长线上，123 结论 2：APCBDP （二）结论推导 结论 1：CAPPBD 证明：1CAPC180，2BPDAPC180，12，CBPD 13，CAPPBD 结论 2：APCBDP 证明：1CAPC，2BPDD，3BPDAPC，123，CBPD，APCD，APCBDP（三）解题技巧 在一条线段上出现三个相等的角时，则考虑使用一线三等角相似模型找准三个等角，再根据平角性质、三角形内角和证三角形相似，然后利用相似三角形的性质解题一线三等角模型常以一线三垂直（即12390，也称为 K 型）的

10、形式出现在矩形或正方形中，在几何综合题中考查 九、旋转相似模型(手拉手)（一）基本模型 已知：在ABC 中，点 D，E 分别在 AB，AC 上，且 DEBC，将ADE 绕点 A 旋转 D2 A1 3 CBP1 2 3 ABDPCABCDEABCDE专注中考数学 10 余年 yang451989 8 （二）结论推导 结论：ABDACE 证明：DEBC，ADEABC，AEDACB，ADEABC，BADCAE，ABDACE（三）解题技巧 如果图形中出现共顶点、顶角相等、有旋转时，可以考虑用旋转相似模型；如果图形中没有出现共顶点、顶角相等，也没有旋转时，可以通过作辅助线构造旋转相似在旋转相似模型中，有

11、一对三角形相似，可以推出另一对三角形相似，再结合已知条件求解 十、十字架模型【正方形内的十字架结构】垂直 相等，相等 垂直 【十字结构在矩形中】如图，在矩形 ABCD 中，ABm，ADn，在 AD 上有一点 E，若 CEBD，则 CECDmBDBCn=，即 CE 和 BD 之比等于矩形邻边之比 ADAEABACFCDAEBFBCADGEHFBCADGEH结论：ABDACE 专注中考数学 10 余年 yang451989 9 一般情况时，也满足（注意 E，F，G，H 四点的位置不能在同一条边上）【十字结构在直角三角形中】我们知道直角三角形是可以看成是连接矩形对角线后分成的图形，如图，补成矩形 A

12、CBH，延长 CE交 AH 于点 G 【十字结构在其他四边形中】：补成长方形即可 如图，把边长为 AB2 2，BC4 且B45的平行四边形 ABCD 对折，使点 B 和 D 重合，求折痕 MN 的长 如图，若 BABC6，DADC8，BAD90DECF，请求出 DE：CF 的值 专注中考数学 10 余年 yang451989 10 十一、对角互补模型【模型解读】四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形相似。十二、双高模型 双高模型：可谓“相似成灾”FDC GEC DOCEFC 专注中考数学 10 余年 yang451989

13、11 题型一 A 字模型 2023四川成都真题 1如图，在 ABC中，D 是边 AB 上一点，按以下步骤作图：以点 A 为圆心，以适当长为半径作弧，分别交 AB，AC 于点 M，N；以点 D 为圆心，以 AM 长为半径作弧，交 DB于点M ；以点 M 为圆心，以 MN 长为半径作弧，在BAC内部交前面的弧于点 N：过点 N作射线 DN 交 BC 于点 E 若 BDE与四边形 ACED 的面积比为 4:21，则 BECE 的值为 共有 8 组相似！RtBOMRtBFNRtCFMRtCON;BCMOFM(蝴蝶相似必成队）NOFNCB（反 A 型）重点题型归类精专注中考数学 10 余年 yang45

14、1989 12 2022 宜宾 2如图，ABC 中，点 E，F 分别在边 AB，AC 上，12若 BC4，AF2，CF3，则 EF_ 2023山东潍坊真题 3在数书九章（宋秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，AB 表示塔的高度，CD表示竹竿顶端到地面的高度，EF 表示人眼到地面的高度，AB、CD、EF 在同一平面内，点 A、C、E 在一条水平直线上已知20AC=米，10CE=米，7CD=米，1.4EF=米，人从点 F 远眺塔顶 B，视线恰好经过竹竿的顶端 D，可求出塔的高度根据以上信息，塔的高度为 米 2022浙江杭州真题 4如图，在 ABC 中，点 D，E，F 分别在边 AB，AC

15、，BC 上，连接 DE，EF，已知四边形 BFED是平行四边形，DE1BC4=ABCEF1 2 专注中考数学 10 余年 yang451989 13 (1)若8AB=，求线段 AD 的长(2)若ADE的面积为 1，求平行四边形 BFED 的面积 2023浙江温州真题 5如图，已知矩形 ABCD，点 E 在CB 延长线上，点 F 在 BC 延长线上，过点 F 作 FHEF交 ED的延长线于点 H，连结 AF 交 EH 于点 G，GEGH=(1)求证：BECF=，(2)当56ABFH=，4=AD时，求 EF 的长 6小言家窗外有一个路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进房间里，小言一直想知道这个路灯的

16、准确高度，当学了相似三角形的知识后，她意识到自己可以解决这个问题了！如图，路灯顶部A 处发光，光线透过窗子 BC 照亮地面的长度为 DE，小言测得窗户距离地面高度0.7BF=m，窗高1.4BC=m，某一时刻，0.7FD=m，2.1DE=m，请你根据小言测得的数据，求出路灯的高度OA 专注中考数学 10 余年 yang451989 14 2022 安徽 7如图，四边形 ABCD 是正方形，点 E 在边 AD 上，BEF 是以 E 为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF 分别交 CD 于点 M，N，过点 F 作 AD 的垂线交 AD 的延长线于点 G，连接 DF，若 DE1，DF 2 2，则 MN

17、_ 8（2023深圳九年级统考期中）如图，在Rt ABC中，90ABC=，6AB=，8BC=，BAC，ACB的平分线相交于点 E，过点 E 作/EFBC 交 AC 于点 F，则 EF 的长为（）A 52 B154 C 83 D103 2023广东真题 9边长分别为 10，6，4 的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为 2023山东泰安真题 10如图，在 ABC中，16ACBC=，点 D 在 AB 上，点 E 在 BC 上，点 B 关于直线 DE 的轴对称点为点 B，连接 DB，EB，分别与 AC 相交于 F 点，G 点，若87,4AFDFB F=，则CG

18、 的长度为 ADEGBCMNF专注中考数学 10 余年 yang451989 15 11如图，在RtABC中，90C=，棱长为 1 的立方体的表面展开图有两条边分别在 AC，BC上，有两个顶点在斜边 AB 上则图中阴影部分的面积为 2023四川眉山真题 12如图，ABC中，AD 是中线，分别以点 A，点 B 为圆心，大于 12 AB 长为半径作弧，两孤交于点 M，N直线 MN 交 AB 于点 E连接CE 交 AD 于点 F过点 D 作 DGCE，交 AB 于点G若2DG=，则CF 的长为 2022江苏淮安真题 13如图，在RtABC中，90C=，3AC=，4BC=，点 D 是 AC 边上的一点

19、，过点 D 作DFAB，交 BC 于点 F，作BAC的平分线交 DF 于点 E，连接 BE 若 ABE的面积是 2，则 DEEF 的值是 专注中考数学 10 余年 yang451989 16 14（2023 上广东深圳九年级统考期中）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义如图 1，身高1.5m 的小王晚上在路灯灯柱 AH 下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，具体做法如下：先从路灯底部 A 向东走 20 步到 M 处，发现自己的影子端点落在点 P 处，作好记号后，继续沿刚才自己的影子走 4 步恰好到达点 P 处，此时影子的端点在点 Q 处，已知小王和灯柱的底

20、端在同一水平线上，小王的步间距保持一致 (1)请在图中画出路灯 O 和影子端点 Q 的位置(2)估计路灯 AO 的高，并求影长 PQ的步数(3)无论点光源还是视线，其本质是相同的，日常生活中我们也可以直接利用视线解决问题如图2，小明同学用自制的直角三角形纸板 DEF 测量树的高度 AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边 DE 与点 B 在同一直线上测得0.5mDF=，0.3mEF=，10mCD=，小明眼睛到地面的距离为1.5m，则树高 AB 为_m 题型二 “8”字型 2022辽宁真题 15如图，在正方形 ABCD 中，E 为 AD 的中点，连接 BE 交 AC 于点 F若6

21、AB=，则AEF的面积为 专注中考数学 10 余年 yang451989 17 2023四川乐山真题 16如图，在平行四边形 ABCD 中，E 是线段 AB 上一点，连结 ACDE、交于点 F若23AEEB=，则ADFAEFSS=2023湖北武汉真题 17如图，DE 平分等边 ABC的面积，折叠BDE得到,FDE AC 分别与,DF EF 相交于,G H 两点若,=DGm EHn，用含,m n 的式子表示GH 的长是 2023 上广东深圳九年级南山实验教育集团南海中学校考期中 18如图，在ABCD中，E 为 AD 边上的点，2AEDE=，连接 BE 交 AC 于点 F，AEF的面积为24cm，

22、则 ABC的面积为 2cm 专注中考数学 10 余年 yang451989 18 2023四川泸州真题 19如图，E，F 是正方形 ABCD 的边 AB 的三等分点，P 是对角线 AC 上的动点，当 PEPF+取得最小值时，APPC 的值是 2023浙江杭州真题 20在边长为1的正方形 ABCD 中，点 E 在边 AD 上（不与点 A，D 重合），射线 BE 与射线CD交于点 F (1)若13ED=，求 DF 的长(2)求证：1AE CF=(3)以点 B 为圆心，BC 长为半径画弧，交线段 BE 于点G 若 EGED=，求 ED的长 2023四川眉山统考中考真题 21如图，ABCD中，点 E

23、是 AD 的中点，连接CE 并延长交 BA 的延长线于点 F (1)求证：AFAB=；(2)点 G 是线段 AF 上一点，满足FCGFCD=，CG 交 AD 于点 H，若2,6AGFG=，求GH 的长 专注中考数学 10 余年 yang451989 19 22如图，矩形 ABCD 中，点 E 在 DC 上，DEBE=，AC 与 BD相交于点O BE 与 AC 相交于点F (1)证明：OBFECF；(2)若3OF=，2EF=，求 BF 的长度 2022 深圳 23在 RtABC 中，ABC90，AB3，BC5，AE25，连接 CE，以 CE 为底作等腰 RtCDE，CDDE，点 F 是线段 AE

24、 上一点，连接 BD，BF，FBD45，则 AF 的长为_ 题型三 三角形内接矩形 2022山东东营真题 24如图，在 ABC中，点 F、G 在 BC 上，点 E、H 分别在 AB、AC 上，四边形 EFGH 是矩形，2,EHEF AD=是 ABC的高8,6BCAD=，那么 EH 的长为 25如图，AD 是 ABC的高，点 E、F 在 BC 边上，点 G 在 AC 边上，点 H 在 BC 边上，21cmBC=，高15cmAD=，四边形 EFGH 是 ABC内接正方形，ABCDEF专注中考数学 10 余年 yang451989 20 (1)AHG与 ABC相似吗？为什么？(2)求内接正方形 EF

25、GH 边长 EF 26如图，ABC 是一块锐角三角形余料，边 BC120mm，高 AD80mm，要把它加工成矩形零件 PQMN，使一边在 BC 上，其余两个顶点分别在边 AB、AC 上若这个矩形的边 PNPQ12，则这个矩形的长、宽各是多少？27如图，已知ABC 中，BC10，BC 边上的高 AH8，四边形 DEFG 为内接矩形（1）当矩形 DEFG 是正方形时，求正方形的边长（2）设 EFx，矩形 DEFG 的面积为 S，求 S 关于 x 的函数关系式，当 x 为何值时 S 有最大值，并求出最大值 专注中考数学 10 余年 yang451989 21 题型四 倒数型（三平行结构）湖南株洲统考

26、中考真题 28如图，已知 AB、CD、EF 都与 BD 垂直，垂足分别是 B、D、F，且 AB1，CD3，那么 EF的长是()A 13 B 23 C 34 D 45 2023四川内江真题 29如图，在 ABC中，点 D、E 为边 AB 的三等分点，点 F、G 在边 BC 上，ACDGEF，点 H为 AF 与 DG 的交点若12AC=，则 DH 的长为（）A1 B 32 C2 D3 2024 届深圳中学九年级期中 30如图，在 ABC中，点 D、E 为边 AB 三等分点，点 F、G 在边 BC 上，ACDGEF，点H 为 AF 与 DG 的交点若3HD=，则 AC 的长为 专注中考数学 10 余

27、年 yang451989 22 题型五 A 字型及 8 字型相结合 2023黑龙江哈尔滨真题 31如图，AC，BD相交于点O，ABDC，M 是 AB 的中点，MNAC，交 BD于点 N 若:1:212DO OBAC=，则 MN 的长为（）A2 B4 C6 D8 32如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 B 的直线分别与 AC，AD 及 CD 的延长线相交于点 E，F，G，若 BE6，EF4，则 FG 的长为_ 2023安徽真题 33如图，点 E 在正方形 ABCD 的对角线 AC 上，EFAB于点 F，连接 DE 并延长，交边 BC 于点 M，交边 AB 的延长线于点G 若2AF=，1FB=

28、，则 MG=（）A2 3 B 3 52 C 51+D 10 2023陕西真题 34如图，DE 是 ABC的中位线，点 F 在 DB上，2DFBF=连接 EF 并延长，与CB 的延长线相交于点 M 若6BC=，则线段CM 的长为（）DABCEFG专注中考数学 10 余年 yang451989 23 A132 B7 C152 D8 35如图，在ABCD中，延长 AD 至点 E，使2ADDE=，连接 BE 交CD于点 F，交 AC 于点 G，则 CGAG 的值是（）A 23 B 13 C 12 D 34 题型六 射影定理 2023湖南郴州真题 36在 RtABC中，90BACAD=，是斜边 BC 上

29、的高 (1)证明：CABDBA；(2)若610ABBC=，求 BD的长 2022 湘潭 37如图，在ABC 中，BAC90，ABAC，直线 l 经过点 A，过点 B，C 分别作 l 的垂线，垂足分别为点 D，E，延长 BD 交 AC 于点 F，若 CE3，DE1，求BFC 的面积 ABCFDEl专注中考数学 10 余年 yang451989 24 38如图，在四边形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O，ABCDAC90，ABBC 12，BOOD43，则ABDCBDSS_ 39如图，将矩形 ABCD 沿线段 AF 折叠，使点 D 落在 BC 边的点 E 处，过点 E 作 EGCD 交 A

30、F于点 G，连接 DG.（1）求证：AGEAGD（2）探究线段 EG、GF、AF 之间的数量关系，并说明理由；（3）若 AG=6，EG=2 5，求 BE 的长.题型七 子母模型（公共边公共角）2022湖北鄂州真题 40如图，在边长为 6 的等边ABC 中，D、E 分别为边 BC、AC 上的点，AD 与 BE 相交于点 P，若 BD=CE=2，则ABP 的周长为 ADOBC专注中考数学 10 余年 yang451989 25 2023四川凉山真题 41如图，在ABCD中，对角线 AC 与 BD相交于点O，CABACB=，过点 B 作 BEAB交 AC于点 E (1)求证：ACBD；(2)若10A

31、B=，16AC=，求OE 的长 42如图，ABC和 AGF是等腰直角三角形，90BACG=，AGF的边 AF，AG 交边BC 于点 D，E 若4=AD，3AE=，则 BEDC 的值是 43（2023 上广东深圳九年级校考期中）如图所示的一张矩形纸片 ABCD（ADAB），将纸片折叠一次，使点 A 与 C 重合，再展开，折痕 EF 交 AD 边于点 E，交 BC 边于点 F，交 AC 于点O，分别连接 AF 和 CE 专注中考数学 10 余年 yang451989 26 （1）求证：四边形 AFCE 是菱形；（2）过 E 点作 AD 的垂线 EP 交 AC 于点 P，求证：2AE2ACAP；44

32、如图，在ABC 中，点 D 在边 AB 上，BAC 的平分线交 CD 于点 E，交 BC 于点 F，已知 AD9，BD7，AC12（1）求证：AC 2ADAB；（2）若 AE8，求 EF 的长 45如图，在菱形 ABCD 中，B60，点 E 为 AB 上一点，将ADE 沿 DE 翻折，点 A 落在 A 处，连接 CA 并延长交 DE 于点 F，若 AC2，AF3，求 EF 的长 46（2023 上四川成都九年级统考期末）在 ABC中，点 D，E 分别在边 AB，BC 上，连接AE，CD交于点O，且ADCAEC=，(1)求证：BD ABBE BC=：(2)当 D 为边 AB 的中点时，且4CE=

33、，若23AOOE=，求 AB；若AEC为等腰直角三角形，且90EAC=，求四边形 BDOE 的面积 47如图 1，在ABC 中，AD 为中线，点 E 在 AC 的延长线上，EABC，AD 的延长线交 BEAFBCDEADFEABC专注中考数学 10 余年 yang451989 27 于点 F（1）求证：ABCAEB；（2）若 ACCE，BC6，求 EF 的长；（3）如图 2，若 BF3，BC4，求 EF 的长 48如图，在ABC 中，BAC90，ABAC，点 D，E 在边 BC 上，DAE45，过点 B 作 BFBC，交 AD 的延长线于点 F，连接 EF（1）求证：AE 2BEDE；（2）求

34、证：AFECAE；（3）若 tanBEF 34，CE2，求 AF 的长 题型八 一线三等角模型 2023黑龙江大庆真题 49在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动有一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是 ABCDNADBNAMMDCNDMACBEFACBDDFE图 1 图 2 ADCBEF专注中考数学 10 余年 yang451989 28 2023山东东营真题 50如图，ABC为等边三角形，点 D，E 分别在边 BC，AB 上，60ADE=，若4BDDC=，2.4DE=，则 AD 的长为

35、（）A1.8 B2.4 C3 D3.2 51如图，ABC 和EDC 都是等腰直角三角形，ACBECD90，顶点 A 在边 DE 上，AB与 CD 相交于点 F，若 AE2，AD4，则AFC 的面积为_ 52如图，在等边ABC 中，AB6，点 D 是边 AB 上一点，BD2，点 F 是边 AC 上一点，若在边BC 上只有一点 E，使DEF60，则 CF 的长为_ 53如图，将等边ABC 折叠，使点 B 落在 AC 边上的点 F 处，折痕为 DE，若 AF4，CF8，则CE 的长为_ 54如图，点 P 是等边 ABC的一边 BC 上的任意一点，且3CPBP=，连接 AP，作 AP 的垂直平分线交

36、ABAC、于 M、N 两点，则:AMAN 的值为 AEDFBCABCEDFABCEDF专注中考数学 10 余年 yang451989 29 55如图，点 F，G 分别在正方形 ABCD 的边 BC，CD上，E 为 AB 中点，连接 ED，正方形FGQP 的边 PQ恰好在 DE 上，若正方形 ABCD 边长为 7，则正方形 FPQG 面积为 浙江中考真题 56如图，矩形 ABCD 中，由 8 个面积均为 1 的小正方形组成的 L 型模板如图放置，则矩形 ABCD的周长为 57如图，菱形 ABCD 与菱形 AEFG 相似，AEFG 的顶点 G 在 ABCD 的 BC 边上运动，GF 与 AB 相交

37、于点 H，60E=若3CG=，7AH=，则菱形 ABCD 的边长为 专注中考数学 10 余年 yang451989 30 2023浙江丽水统考中考真题 58如图，在四边形 ABCD 中，,45ADBCC=，以 AB 为腰作等腰直角三角形 BAE，顶点 E恰好落在CD边上，若1AD=，则CE 的长是（）A2 B22 C2 D1 59如图，将 8 个边长为 1 的小正方形叠放，过其四个角的顶点 A、E、F、G 作一个矩形 ABCD，则矩形 ABCD 的面积为 .60如图，在 RtABC 中，ABC90，ABBC，点 D 为 BC 上一点，点 E 为 AD 上一点，BEDCED45，若 BD3，则

38、CE 的长为_ 61如图，在矩形 ABCD 中，AB8，AD12，点 E 是 AB 的中点，将ADE 沿 DE 折叠，使点 A落在点 F 处，EF 的延长线交 BC 于点 G，则 BG 的长为_ 62（2021 南京）如图，将ABCD 绕点 A 逆时针旋转到ABCD 的位置，使点 B 落在 BC 上，BC 与 CD 交于点 E，若 AB3，BC4，BB1，则 CE 的长为_ ABCDEADBCGEF专注中考数学 10 余年 yang451989 31 63如图，在等边ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，BD3，将ADE 沿 DE 翻折得到FDE，使点 F 落在边 BC 上，且 B

39、F4CF，则 DEAF 的值为_ 64如图，在ABC 中，ABAC，BAC90，点 D 是 BC 的中点，点 E 在 AB 边上，点 F 在 CA的延长线上，EDF45，DF 交 AB 于 G（1）求证：BDECFD；（2）若 sinBDE，EF5，求 AF 的长 徐州中考 65如图，已知：正方形 ABCD 中，一个以点 A 为顶点的EAF45绕着点 A 旋转，角的两边分别与边 BC、DC 的延长线交于点 E、F，联结 EF 55ADBCBDEABCFDEAFBCDE专注中考数学 10 余年 yang451989 32 (1)如图 1，若EAF 被对角线 AC 平分时，求证：CECF(2)如图

40、 2，求证：CECF2AB2 66（2023 上四川成都九年级统考期末）如图，点 E 是正方形 ABCD 的对角线CA 延长线上一点，连接 BE，将 BE 绕点 B 顺时针旋转90至 BF，连接 EF，EF 交 AD 于点 G (1)求证：ABEAEG；(2)若正方形 ABCD 的边长为 4，点 G 为 AD 的中点，求 AE 的长 67（2023 上四川成都九年级统考期末）如图，在菱形 ABCD 中，120ABC=，点 E 是 AD 边上一动点，连接 BE，将射线 EB 绕点 E 逆时针旋转 60，分别交边CD于点 F，交对角线 BD于点G.(1)试判断ABD的形状，并说明理由；(2)若3A

41、B=，1AE=，求 DG 及 EG 的长；专注中考数学 10 余年 yang451989 33 (3)若421DGBG=，求 EGGF 的值.68RtBEF和 RtDFG是一副三角尺，且 BEDG=，按如图所示的方式恰好放置在矩形 ABCD 内，点 E、G 分别在边 AD、BC 上，点 B、D 恰好与矩形的顶点重合，则 DCCG=69在ABC 中，ACB90，点 D 为 AB 的中点，点 E，F 分别在边 AC，BC 上，EDF90，分别过点 E，F 作 AB 的垂线，垂足为 G，H（1）如图 1，当 ACBC 时，求证：AGDH；（2）如图 2，当 ACBC 时，（1）中的结论是否仍然成立？

42、请说明理由 70（1）模型探究；如图 1，D，E，F 分别为 ABC三边 BC，AB，AC 上的点，且BCEDF=BDE与CFD相似吗？请说明理由；（2）模型应用：ABC为等边三角形，边长为 8，E 为 AB 边上一点，F 为射线 AC 上一点，将AEF沿 EF 翻折，使 A 点落在射线CB 上的点 D 处，且2BD=如图 2，当点 D 在线段CB 上时，求 AEAF 的值；如图 3，当点 D 落在线段CB 的延长线上时，求 BDE与CFD的面积之比 C图 1 ABDGHEFCEF图 2 ABDGH专注中考数学 10 余年 yang451989 34 2023湖北武汉统考中考真题 71问题提出

43、：如图（1），E 是菱形 ABCD 边 BC 上一点，AEF是等腰三角形，AEEF=，()90,=AEFABCaAF 交CD于点G，探究GCF与 的数量关系 问题探究：(1)先将问题特殊化，如图（2），当90=时，直接写出GCF的大小；(2)再探究一般情形，如图（1），求GCF与 的数量关系 问题拓展：(3)将图（1）特殊化，如图（3），当120=时，若12DGCG=，求 BECE 的值 题型九 旋转相似模型（手拉手）2023湖南常德真题 72如图 1，在RtABC中，90ABC=，8AB=，6BC=，D 是 AB 上一点，且2AD=，过点D 作 DEBC交 AC 于 E，将ADE绕 A 点顺

44、时针旋转到图 2 的位置则图 2 中 BDCE 的值为 专注中考数学 10 余年 yang451989 35 2022 烟台 73如图，ABC 和ADE 都是直角三角形，ABCADE90，且 ABBC ADDE 34，连接 BD，CE，并延长 CE 交 BD 于点 F，交 AB 于点 G，求 sinBFC 的值为_ 2021 天门 74如图，在ABC 中，BAC90，ABAC3 2，点 D 为平面内一点，AD1，连接 DC，将线段 DC 绕点 D 顺时针旋转 90得到 DE，连接 BE，若 BEAC，则 DC 的长为_ 2022 河池 75如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 B

45、C，CD 上，且 BECF 25 BC2，AE 与 BF 交于点 O，N 为 AD 的中点，连接 ON，作 OMON 交 AB 于点 M，连接 MN，则 tanAMN_ ABCEDFGABCEDADNFBCEMO专注中考数学 10 余年 yang451989 36 76如图，在四边形 ABCD 中，BAC90，ADCACB60，BD5，CD3，则 AD 的长为_ 77如图，在 RtABC 中，ACB90，ABC30，点 P 为ABC 内一点，PA2，PC3，PB 4 3，求 ABC 的面积 78如图，在ABC 中，BAC90，AB2AC，点 D 为ABC 外一点，BDCACB，若 AD 2 2

46、，CD3 5，求 BD 的长 2023辽宁营口真题 79如图，在 ABC中，90BAC=，ABAC=，将 AC 绕着点 C 按顺时针旋转60得到CD，连接 BD 交 AC 于在 E，则 AEED=80（2023 上广东深圳九年级统考期中）问题背景：如图（1），已知ABCADE，求证：ABDACE；ADCBACBPDACB专注中考数学 10 余年 yang451989 37 尝试应用：如图（2），在 ABC和ADE中，90BACDAE=，30ABCADE=，AC 与DE 相交于点 F 点 D 在 BC 边上，3ADBD=，求 DFCF 的值；拓展创新：如图（3），D 是 ABC内一点，30BAD

47、CBD=，90BDC=，4AB=，2 3AC=，直接写出 AD 的长 81（2023 上广东深圳九年级深圳市高级中学校考期中）已知点 E 在正方形 ABCD 的对角线 AC上，正方形 AFEG 与正方形 ABCD 有公共点 A (1)如图 1，当点 G 在 AD 上，F 在 AB 上，求 CEDG 的值；(2)将正方形 AFEG 绕 A 点逆时针方向旋转()090 ，如图 2，直接写出 CEDG 的值；(3)若2AB=，1AG=，将正方形 AFEG 绕 A 逆时针方向旋转()0360 ，当 C，G，E 三点共线时，求 DG 的长度 2022 鞍山 82在ABC 中，ABAC，BAC120，点

48、D 在边 AC 上，连接 DB，将 DB 绕点 D 逆时针旋转120得到 DE，连接 CE，点 F 在线段 BD 上（1）求证：ABDCBE；（2）如图 1，若 AFCE，AF5，CE12，求 ADDC的值；专注中考数学 10 余年 yang451989 38 （3）如图 2，若 AFDE，若 AF3，CE39，求 ADDC的值 83如 图，在 Rt ABC 中，ACB 90，点 M 为 AB 的 中 点，点 E 为 AC 上 一 点，点 D 为 BE 上 一 点，ADEABC，ADMBDC（1）求证：ADMBDC；（2）用等式表示CDE 与ADE 的数量关系，并证明；（3）若 AD 13，B

49、D6，求 tanADE 的值 84如图，在ABC 和ADE 中，ABCADE90，BACDAE，将ADE 绕点 A 旋转，直线 BD 与 CE 相交于点 F（1）求证：ABDACE；（2）连接 AF，判断 AF 与 CF 的位置关系，并说明理由；（3）若 F 为 BD 的中点，AB8，BC11，AD2 5，直接写出 BD 的长 题型十 作辅助线构造 A 字和 8 字型相似 85在 ABC中，D 为 AC 上的一点，E 为CB 延长线上的一点，BEADDE=，交 AB 于 F求证：EFBCACDF=ABCDEFABCDFE图 1 图 2 MABCDECBEADFCBA备用图 专注中考数学 10

50、余年 yang451989 39 2023湖北十堰真题 86如图，在菱形 ABCD 中，点 E，F，G，H 分别是 AB，BC，CD，AD 上的点，且BEBFCGAH=，若菱形的面积等于 24，8BD=，则 EFGH+=2023浙江真题 87如图，点 P 是的重心，点 D 是边的中点，交于点 E，交于点 F，若四边形的面积为 6，则的面积为（）A15 B18 C24 D36 2023江苏中考真题 88如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于两点，且与反比例函数在第一象限内的图象交于点若点坐标为，则的值是（）ABCACPEACBCDFBCEPCDFEABC3yxb=+xyA B、

51、kyx=CA()12,0,2CAAB=k专注中考数学 10 余年 yang451989 40 A B C D 2022湖南常德真题 89如图，已知 F 是 ABC内的一点，FDBC，FEAB，若BDFE的面积为 2，13BDBA=，14BEBC=，则 ABC的面积是 2022四川绵阳真题 90如图，四边形 ABCD 中，ADC90，ACBC，ABC45，AC 与 BD 交于点 E，若 AB2 10，CD2，则ABE 的面积为 2022 襄阳 91如图，在ABC 中，D 是 AC 的中点，ABC 的角平分线 AE 交 BD 于点 F，若 BFFD332 33 34 3专注中考数学 10 余年 y

52、ang451989 41 1，ABBE3 3，则ABC 的周长为_ 92如图，在平行四边形 ABCD 中 E 为 AB 的中点，F 为 AD 上一点，EF 与 AC 交于点 H，3cmFH=，6cmEH=，4cmAH=，则 HC 的长为（）A22cm B20cm C18cm D16cm 93如图，等腰RtABC中，90ACB=，点 D 在 AB 上，且2ADDB=，连接CD，过点 A 作AECD于点 E，连接 BE，则 AEBE 的值是 94如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在边 BC 上，将 ABE沿着直线 AE 翻折得到AFE，点 B的对应点 F 恰好落在线段 DE 上，线段 AF

53、 的延长线交边CD于点G，如果点 E 为边 BC 的中点，则:AF FG 的值为（）A3 B4 C5 D6 ABCEDF专注中考数学 10 余年 yang451989 42 2023山东烟台真题 95如图，点C 为线段 AB 上一点，分别以,AC BC 为等腰三角形的底边，在 AB 的同侧作等腰ACD和等腰 BCE，且ACBE=在线段 EC 上取一点 F，使 EFAD=，连接,BF DE (1)如图 1，求证：DEBF=；(2)如图 2，若2ADBF=，的延长线恰好经过 DE 的中点G，求 BE 的长 96如图，在直角BAD 中，延长斜边 BD 到点 C，使得 BD=2DC，连接 AC，如果5

54、tanB3=，则tanCAD的值是（）A33 B35 C 13 D 15 97（2023扬州九年级联考期中）如图，点 D 是ABC 边 BC 上的一点，且34BDDC=，点 E 是 AD的中点，连接 BE 并延长交 AC 于点 F，则 AFFC 的值为 98（2023 上广东深圳九年级深圳市宝安中学（集团）校联考期中）如图，ABC中，点 D 在CA 的延长线上，且2DAAC=，连接 BD，CE 为中线，延长CE 交 BD于点 F 若专注中考数学 10 余年 yang451989 43 ,3DABC DF=，则 BA=99（2023四川成都真题）如图，在RtABC中，90ABC=，CD平分ACB

55、交 AB 于点 D，过 D 作 DEBC交 AC 于点 E，将 DEC沿 DE 折叠得到 DEF，DF 交 AC 于点G 若73AGGE=，则 tan A=2022湖北武汉统考中考真题 100问题提出：如图（1），ABC中，ABAC=，D 是 AC 的中点，延长 BC 至点 E，使DEDB=，延长 ED交 AB 于点 F，探究 AFAB的值 (1)先将问题特殊化如图（2），当60BAC=时，直接写出 AFAB的值；(2)再探究一般情形如图（1），证明（1）中的结论仍然成立 问题拓展：如图（3），在 ABC中，ABAC=，D 是 AC 的中点，G 是边 BC 上一点，()12CGnBCn=，延长

56、 BC 至点 E，使 DEDG=，延长 ED交 AB 于点 F 直接写出 AFAB的值（用含n 的式子表示）101（2023湖北武汉统考模拟预测）问题背景 专注中考数学 10 余年 yang451989 44 （1）如图 1，在 ABC中，ABAC=，D 是边 AB 的中点，延长CB 至点 E，使 DEDC=，求证：2BCBE=；变式迁移（2）如图 2，在 ABC中，ABAC=，点 D 在 BA 的延长线上，点 E 在边 BC 上，DEDC=，点 F是 DE 与 AC 的交点，且 DFFE=，求 BEBC 的值；问题拓展（3）如图 3，在 ABC中，ABAC=，若点 D 在边 AB 上，点 E

57、 在CB 的延长线上，DEDC=，点F 是 ED的延长线与 AC 的交点，且 DFnFE=，当1AB=，ABCa=时，直接写出 BE 的值（用含n，a 的式子表示）.题型十一 反“8”字型相似（两组相似，四点共圆）2022新疆统考中考真题 102如图，四边形 ABCD 是正方形，点 E 在边 BC 的延长线上，点 F 在边 AB 上，以点 D 为中心将DCE绕点 D 顺时针旋转90与DAF恰好完全重合，连接 EF 交 DC 于点 P，连接 AC 交EF 于点 Q，连接 BQ，若3 2AQ DP=，则 BQ=专注中考数学 10 余年 yang451989 45 2023浙江丽水统考中考真题 10

58、3如图，在四边形 ABCD 中，,45ADBCC=，以 AB 为腰作等腰直角三角形 BAE，顶点 E恰好落在CD边上，若1AD=，则CE 的长是（）A2 B22 C2 D1 重庆中考 104如图，正方形 ABCD中，9AD=，点 E 是对角线 BD上一点，连接 AE，过点 E 作EFAE，交 BC 于点 F，连接 AF，交 BD于点G，将 EFG沿 EF 翻折，得到EFM，连接AM，交 EF 于点 N，若13BFBC=，则线段 AM 的长是 105如图，以Rt ABC的斜边 AB 为一边，在 ABC的同侧作正方形 ABDE，设正方形的中心为O，连接OC 若13AB=，5AC=，则OC 的长为

59、专注中考数学 10 余年 yang451989 46 题型十二 十字架模型 2023辽宁丹东真题 106如图，在正方形 ABCD 中，12AB=，点 E，F 分别在边 BC，CD上，AE 与 BF 相交于点 G，若5BECF=，则 BG 的长为 2024 届深圳九年级南山实验教育集团南海中学校考期中 107如图，在正方形中，点 E 是边上一点，其中线段的垂直平分线分别交于点 F，G，H，则的值为 108（2023江苏苏州统考三模）【问题探究】课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题：如图 1，在矩形 ABCD 中，点 E，F 分别是边 DC，BC 上的点，连接 AE，DF，且 AEDF于点G

60、，若6AB=，8BC=，求 DFAE 的值 (1)请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由【初步运用】ABCDAD:1:2AE ED=BEABBECD、AFCH专注中考数学 10 余年 yang451989 47 (2)如图 2，在 ABC中，90BAC=，34ABAC=，点 D 为 AC 的中点，连接 BD，过点 A 作 AEBD于点 E，交 BC 于点 F，求 AFBD 的值【灵活运用】(3)如图 3，在四边形 ABCD 中，90BAD=，34ABAD=，ABBC=，ADCD=，点 E，F 分别在边 AB，AD 上，且 DECF，垂足为G，则 CFDE=_ 2023山东菏泽中考真题 109（

61、1）如图 1，在矩形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 DC，BC 上，AEDF，垂足为点G 求证：ADEDCF 【问题解决】（2）如图 2，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 DC，BC 上，AEDF=，延长 BC 到点 H，使CHDE=，连接 DH 求证：ADFH=【类比迁移】（3）如图 3，在菱形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 DC，BC 上，11AEDF=，8DE=，60AED=，求CF 的长 110已知四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，AD 边上的点，DE 与 CF 交于点 G（1）如图 1，若四边形 ABCD 是矩形，且 DECF证明:DE CD=CF

62、AD；（2）如图 2，若四边形 ABCD 是平行四边形，试探究：当B 与EGC 满足什么关系时，使得DE CD=CF AD 成立？并证明你的结论；（3）如图 3，若 BA=BC=3，DA=DC=4，BAD=90，DECF求 DECF 的值 专注中考数学 10 余年 yang451989 48 2021四川达州统考中考真题 111某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两要互相垂直的线段做了如下探究：【观察与猜想】（1）如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是 AB，AD 上的两点，连接 DE，CF，DECF，则 DECF 的值为_；（2）如图 2，在矩形 ABCD 中，7AD=，

63、4CD=，点 E 是 AD 上的一点，连接CE，BD，且CEBD，则 CEBD 的值为_；【类比探究】（3）如图 3，在四边形 ABCD 中，90AB=，点 E 为 AB 上一点，连接 DE，过点C 作 DE 的垂线交 ED的延长线于点G，交 AD 的延长线于点 F，求证：DE ABCF AD=；专注中考数学 10 余年 yang451989 49 【拓展延伸】（4）如图 4，在 Rt ABD中，90BAD=，9AD=，1tan3ADB=，将 ABD沿 BD翻折，点 A落在点C 处得 CBD，点 E，F 分别在边 AB，AD 上，连接 DE，CF，且 DECF 求 DECF 的值；连接 BF，

64、若1AE=，直接写出 BF 的长度 题型十三 对角互补模型 深圳中考 112如图，在 RtABC 中，ABC=90，AB=6，BC=8，RtMPN，MPN=90，点 P 在 AC上，PM 交 AB 与点 E，PN 交 BC 与点 F，当 PE=2PF 时，AP=专注中考数学 10 余年 yang451989 50 113（2023 上广东深圳九年级南山实验教育集团南海中学校考期中）已知在RtABC中，90BAC=，2AB=，4AC=，D 为 BC 边上的一点过点 D 作射线 DEDF，分别交边AB、AC 于点 E、F 问题发现 （1）如图 1，当 D 为 BC 的中点，且 DEAB，DFAC时

65、，DEDF=_；（2）若 D 为 BC 的中点，将EDF绕点 D 旋转到图 2 位置时，DEDF=_；类比探究（3）如图 3，若改变点 D 的位置，且 CDaBDb=时，求 DEDF 的值，并写出解答过程；问题解决（4）如图 3，连接 EF，当CD=_时，DEF与 ABC相似 题型十四 双高型 114如图，锐角ABC 中，AD，CE 分别为 BC，AB 边上的高，ABC 和BDE 的面积分别等于18 和 2，DE2，则 AC 边上的高为 115如图已知锐角 ABC，AD、CE 分别是 BC、AB 边上的高，ABC和BDE的面积分别是27 和 3，DE62 （1）证明：BEDBCA；（2）求点 B 到直线 AC 的距离 专注中考数学 10 余年 yang451989 51 116如图，BD是 ABC边 AC 上的高，点 E 在边 AB 上，联接CE 交 BD于点 O，AD OCAB OD=(1)求证：ABDACE；(2)联接 DE，作 AF 平分BAC，交 BC 于点 F，交 DE 于点 G求证：AF DEAG BC=