专题27.41 相似三角形与旋转综合专题（巩固篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）.docx

1、专题27.41 相似三角形与旋转综合专题（巩固篇）（专项练习）一、单选题1如图，在中，垂足为点，一直角三角板的直角顶点与点重合，这块三角板饶点旋转，两条直角边始终与边分别相交于，则在运动过程中，与的关系是（ ）A一定相似B一定全等C不一定相似D无法判断2如图，在RtACB中，ACB90，ACBC，点D是AB上的一个动点（不与点A，B重合），连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90得到CE，连接DE，DE与AC相交于点F，连接AE，则图中与ACE全等或相似的三角形有（）A1个B2个C3个D4个3如图，把绕点旋转得到，当点刚好落在上时，连接，设、相交于点，则图中相似三角形的对数是（）A3对B4对C5对

2、D6对4如图，在中，将绕点C顺时针旋转得到，点在上，交于F，则图中与相似的三角形有（不再添加其他线段）（）A1个B2个C3个D4个5如图所示，在中，将绕点C顺时针旋转得到，点恰好在AB上，交AC于F，在不添加其他线段的情况下，图中与相似的三角形有（）A2个B3个C4个D5个6如图， 一副三角板， ， 顶点重合， 将绕其顶点旋转， 在旋转过程中， 以下4个位置， 不存在相似三角形的是 ().ABCD7在RtACB中，C=90，AC=BC，一直角三角板的直角顶角O在AB边的中点上，这块三角板绕O点旋转，两条直角边始终与AC、BC边分别相交于E、F，连接EF，则在运动过程中，OEF与ABC的关系是（

3、）A一定相似B当E是AC中点时相似C不一定相似D无法判断二、填空题8在平面内，先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应的线段的比值为k，逆时针旋转一个角度，这种经过相似和旋转变化的图形变换叫做旋转相似变换（k，），O为旋转相似中心，k为相似比，ABC是边长为1cm的等边三角形，将它作旋转相似变化A（，90），则BD长_cm9如果将一个三角形绕着它一个角的顶点旋转后使这个角的一边与另一边重叠，再将旋转后的三角形进行相似缩放，使重叠的两条边互相重合，我们称这样的图形变换为三角形转似，这个角的顶点称为转似中心，所得的三角形称为原三角形的转似三角形如图，在ABC中,AB=6

4、，BC=7,AC=5,是ABC以点C为转似中心的其中一个转似三角形，那么以点C为转似中心的另一个转似三角形（点分别与A、B对应）的边的长为_10如图，在ABC中，AB=AC，点D在边BC上，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转到AE，使得DAE=BAC，连接DE交AC于F，请写出图中一对相似的三角形：_（只要写出一对即可）11如图，在中，先将绕着顶点顺时针旋转，然后再将旋转后的三角形进行放大或缩小得到（点的对应点分别是点），联结，如果和相似，那么的长是_12将两块全等的三角板如图放置，点O为AB中点，AB=AB=10，BC=BC=6，现将三角板ABC绕点O旋转，BC、AB与边AC分别交于点M、

5、N，当CM=_时，OMN与BCO相似13如图，已知ABC为等边三角形，点E为ABC内部一点，ABE绕点B顺时针旋转60得到CBD，且A、D、E三点在同一直线上，AD与BC交于点F，则以下结论中：BED为等边三角形；BED与ABC的相似比始终不变；BDEADB；当BAE45时， 其中正确的有_（填写序号即可）三、解答题14综合与实践旋转中的数学问题背景：在一次综合实践活动课上，同学们以两个矩形为对象，研究相似矩形旋转中的问题：已知矩形ABCD矩形ABCD，它们各自对角线的交点重合于点O，连接AA，CC请你帮他们解决下列问题：观察发现：（1）如图1，若ABAB，则AA与CC的数量关系是_；操作探究

6、：（2）将图1中的矩形ABCD保持不动，矩形ABCD绕点O逆时针旋转角度（090），如图2，在矩形ABCD旋转的过程中，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；操作计算：（3）如图3，在（2）的条件下，当矩形ABCD绕点O旋转至AAAD时，若AB=6，BC=8，AB=3，求AA的长15（1）观察发现：如图1，在RtABC中，B90，点D在边AB上，过D作DEBC交AC于E，AB5，AD3，AE4填空：ABC与ADE是否相似？（直接回答） ；AC ；DE （2）拓展探究：将ADE绕顶点A旋转到图2所示的位置，猜想ADB与AEC是否相似？若不相似，说明理由；若相似，请证明（3

7、）迁移应用：将ADE绕顶点A旋转到点B、D、E在同一条直线上时，直接写出线段BE的长16如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角和摆放在一起，为公共顶点，它们的斜边长为2，若固定不动，绕点旋转，、与边的交点分别为、(点不与点重合，点不与点重合)，设，.(1)请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对加以证明.(2)求与的函数关系式，直接写出自变量的取值范围.17ABC和DEF是两个等腰直角三角形，AD90，DEF的顶点E位于边BC的中点上（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：BEMCNE；（2）如图2，将DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与

8、AC交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论18将ABC绕点A逆时针旋转得到ADE，ED的延长线与BC相交于点F，连接AF、EC(1)如图，若BAC=60证明：ABEC；证明：DAFDEC；(2)如图，若BAC，EF交AC于G点，图中有相似三角形吗？如果有，请直接写出所有相似三角形19在中, ,点是斜边的中点,以点为顶点作,射线、分别交边、于点、.特例分析：（1）如图1，若，不添加辅助线，图1中所有与相似的三角形为 ， ；操作探究：（2）将（1）中的从图1的位置开始绕点按逆时针方向旋转，得到，如图2，当射线，分别交边、于点、时，求的值；拓展延伸：（3

9、）如图3，中，点是斜边的中点，以点为顶点作，射线、分别交边、的延长线于点、，则的值为 .（用含、的代数式表示，直接回答即可）20在等腰ABC中，ACBC，是直角三角形，DAE90，ADEACB，连接BD，BE，点F是BD的中点，连接CF（1）当CAB45时如图1，当顶点D在边AC上时，请直接写出EAB与CBA的数量关系是 线段BE与线段CF的数量关系是 ；如图2，当顶点D在边AB上时，（1）中线段BE与线段CF的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由；学生经过讨论，探究出以下解决问题的思路，仅供大家参考：思路一：作等腰ABC底边上的高CM，并取BE的中点N，再利用三角形

10、全等或相似有关知识来解决问题；思路二：取DE的中点G，连接AG，CG，并把绕点C逆时针旋转90，再利用旋转性质、三角形全等或相似有关知识来解快问题（2）当CAB30时，如图3，当顶点D在边AC上时，写出线段BE与线段CF的数量关系，并说明理由21把正方形纸板按如图方式放置在正方形纸板上，顶点G在对角线，并把正方形绕顶点A沿逆时针方向旋转，旋转角为a （1）如图，当时，请直接写出线段与的数量关系和位置关系（2）如图，当时，（1）中的结论是否发生改变？若不变，请给出证明，若发生改变，请举例说明（3）如图，将图、图中的两个正方形都改为相似矩形，其他条件不变，设，当时，（1）中的结论是否发生改变？若不

11、变，请给出证明；若发生改变，请写出改变后的新结论，并给出证明22如图（1），平行四边形ABCD中，B45，连接AC，ACAB5cm；ABC不动，将ACD绕点A顺时针旋转度（0135），旋转后点C的对应点为点E，点D的对应点为点F，AF、AE（或它们的延长线）交直线BC于点H、G，如图（2）（1）如图（2），找出图中与AGC相似的三角形（不添加字母），并证明；（2）在旋转过程中，当AGH是等腰三角形时，求CG的长23定义：两个顶角相等且顶角顶点重合的等腰三角形组合称为”相似等腰组”如图1，等腰ABC和等腰ADE即为“相似等腰组”（1）如图2，将上述“相似等腰组”中的ADE绕着点A逆时针旋转一定角

12、度，判断ABD和ACE是否全等，并说明理由（2）如图3，等腰ABC和等腰ADE是“相似等腰组”，且BAC90，DC和AE相交于点O，判断DC和BE的位置及大小关系，并说明理由（3）如图4，在等边ABC中，D是三角形内部一点，且AD，BD2，DC，求ABC的面积24已知在RtABC中，BAC90，AB2，AC6，D为BC边上的一点过点D作射线DEDF，分别交边AB，AC于点E，F(1)当D为BC的中点，且DEAB，DFAC时，如图，_(2)若D为BC的中点，将EDF绕点D旋转到图位置时，_若改变点D的位置，且时，求的值，请就图的情形写出解答过程(3) 如图连接EF，当BD_时，DEF与ABC相似

13、参考答案1A【分析】根据已知条件可得出，再结合三角形的内角和定理可得出，从而可判定两三角形一定相似解：由已知条件可得，继而可得出，故选：A【点拨】本题考查的知识点是相似三角形的判定定理，灵活利用三角形内角和定理以及余角定理是解此题的关键2C【分析】先证明ACEBCD，得CAECEF45，再证明ACEECF，最后证明ACEADF，便可得结论解：将CD绕点C顺时针旋转90得到CE，CECD，ACBDCE90，BCDACE，在ACE和BCD中，ACEBCD（SAS）；CAEB45，CECD，DCE90CEF45ACEECF，ACEECF；FADFEC45，AFDEFC，ADFACE，DAFCAE45

14、，ACEADF，综上，图中与ACE全等或相似的三角形有3个故选：C【点拨】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，图形复杂，要善于观察，不重不漏地找出符合条件的三角形3B【分析】根据旋转的性质得到，利用三角形内角和得到，则可判断；根据相似的性质得，而，则可判断；由于，所以，于是可判断解：如图，把绕点A旋转得到，故选B【点拨】本题考查了相似三角形的判定，属于基础题4D【分析】根据旋转的性质及相似三角形的判定方法进行分析，找出存在的相似三角形即可解：根据题意得：BC=BC，AB=AB，AC=AC，B=B，A=A=30，ACB=ACB=90A=

15、30，ACB=90B=60BB=BC=BC，B=BCB=BBC=60BCA=30，ACA=60，ABBCBFC=BFA=90ABFABCABCACFCFB有4个故选D【点拨】考查了相似三角形的判定：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似5C【分析】根据旋转的性质及相似三角形的判定方法进行分析，找出存在的相似三角形即可解：由题意得：，A=30，ACB=90B=60是等边三角形，BCA

16、CB=90与相似的三角形有、ABC、所以有4个故选：C【点拨】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是关键6D【分析】根据一副三角板，得到ABC中，有一个角为60，一个角为30；ADE为等腰直角三角形；再依据两个角对应相等的两个三角形相似解答即可解：C=C，CAF=CAB-BAF=60-30=30=B，ACFBCA，故A不符合题意；ACF=E，BCDE，AFC=D，ACFAED，故B不符合题意；APC和DPE是对顶角，APC=DPE，C=E=90，ACPDEP，故C不符合题意；DAB和EAB没有明确的度数，不存在相似三角形故选D【点拨】本题考查了相似三角形的判定，掌握两个角对

17、应相等的两个三角形相似是解题的关键7A【分析】略解：连结OC，C=90，AC=BC，B=45，点O为AB的中点，OC=OB，ACO=BCO=45，EOC+COF=COF+BOF=90，EOC=BOF，在COE和BOF中，COEBOF（ASA），OE=OF，OEF是等腰直角三角形，OEF=OFE=A=B=45，OEFCAB故选A【点拨】略82【分析】已知ABC旋转相似变换A（，90），得到ADE，可推出BAD90，利用勾股定理可求出BD的值解：将ABC作旋转相似变换A（，90），则cm，BAD=90，由勾股定理得：BD2（cm）故答案为：2【点拨】本题考查了旋转的性质、相似三角形的性质及勾股定理

18、，理解题目中的旋转相似是解题的关键9.试题分析：先根据条件证明ABCA1B1C就可以求出A1C中，再证明ABCA2B2C就可以求出结论解：ABCA1B1C，AC:A1CBC:B1CAB=6，BC=7，AC=5，5:A1C7:5，A1C=25:7ABCA2B2C，BC:B2CAB:A2B2，A2B2=故答案为考点：1.旋转的性质；2.相似三角形的判定与性质10ABDAEF(或ABDDCF或DCFAEF或ADEABC)分析：先根据等腰三角形的性质，由AB=AC得B=C，再利用旋转的性质得ADE=E=B=C，且BAD=CAE，于是根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断ABDAEF解：AB=AC，

19、B=C，线段AD绕点A逆时针旋转到AE，使得DAE=BAC，ADE=E=B=C，BAD=CAE，ABDAEF故答案为ABDAEF【点拨】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似113-5【分析】由题意当点A在线段BC上且AA平分BAC时，AAB和AAB相似，作AHAB于H证明AAHAAC（AAS），推出AC=AH，AC=AH=2，设AC=AH=x，根据勾股定理构建方程即可解决问题解：由题意当点A在线段BC上且AA平分BAC时，AAB和AAB相似，作AHAB于H在RtABC中，cosB=，AB=6，BC=4，AC=2，AAH=AAC，AHA=ACA=90，AA=AA，AAHA

20、AC（AAS），AC=AH，AC=AH=2，设AC=AH=x，在RtABH中，（4-x）2=x2+（6-2）2，x=3-5，AC=3-5，故答案为3-5【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型12或【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得出OC=AB=OA=OB=5，由勾股定理求出AC=8，由全等三角形的性质得出B=MONOMN与BCO相似，分两种情况：当OM=MN时，作ODAC于D，CEAB于E，则AD=CD=AC=4，由勾股定理求出OD，由三角形的面积求出CE，由相似三角

21、形的性质得出比例式求出OM=MN=，由勾股定理求出DM，得出CM=CDDM=4；当ON=MN时，由OMNBCO，得出=，求出OM，与勾股定理求出DM，即可得出CM的长解：ACB=90，点O为AB中点，AB=AB=10，BC=BC=6，OC=AB=OA=OB=5，AC=8，ABCABC，B=MON若OMN与BCO相似，分两种情况：当OM=MN时，作ODAC于D，CEAB于E，如图所示：则AD=CD=AC=4，ABC的面积=ABCE=ACBC，OD=3，CE=，OMNBOC，即，OM=MN=，DM=，CM=CDDM=4；当ON=MN时，OMNBCO，=，即，解得：OM=，DM=，CM=CDDM=4

22、；综上所述：当CM=或时，OMN与BCO相似【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理、等腰三角形的判定、直角三角形斜边上的中线性质等知识；熟练掌握勾股定理，证明三角形相似是解决问题的关键13【分析】根据旋转的性质得到DBE60，BEBD，推出BED是等边三角形；故正确；根据等边三角形的性质得到ABBC，BEBD，推出BED与ABC的相似比随着BE的变化而变化，故错误；根据相似三角形的判定定理得到BDE与ADB不相似；故错误；解直角三角形得到，故错误解：ABE绕点B顺时针旋转60得到CBD，DBE60，BEBD，BED是等边三角形；故正确；ABC与EBD是等边三角形，ABB

23、C，BEBD，BEDABC，BED与ABC的相似比随着BE的变化而变化，故错误；BDE是等边三角形，而ADB不是等边三角形，BDE与ADB不相似；故错误；BAE45，DCF45，ADC1801510560，过F作FHCD与H，CHHF，设CHHFx，DHx，DFx，CDCH+DHx+x，故错误.故答案是：【点拨】考查了相似三角形的判定性质、等边三角形的性质、解直角三角形和旋转的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键14（1）AA=CC；（2）成立，证明见分析；（3）AA=【分析】（1）连接AC、AC，根据题意得到点A、A、C、C在同一条直线上，根据矩形的性质得到OA=OC，OA=OC

24、，得到答案；（2）连接AC、AC，证明AOACOC，根据全等三角形的性质证明；（3）连接AC，过C作CEAB，交AB的延长线于E，根据相似多边形的性质求出BC，根据勾股定理计算即可解：（1）AA=CC，理由如下：连接AC、AC，矩形ABCD矩形ABCD，CAB=CAB，ABAB，点A、A、C、C在同一条直线上，由矩形的性质可知，OA=OC，OA=OC，AA=CC，故答案为AA=CC；（2）（1）中的结论还成立，AA=CC，理由如下：连接AC、AC，则AC、AC都经过点O，由旋转的性质可知，AOA=COC，四边形ABCD和四边形ABCD都是矩形，OA=OC，OA=OC，在AOA和COC中，AOA

25、COC，AA=CC；（3）连接AC，过C作CEAB，交AB的延长线于E，矩形ABCD矩形ABCD，即，解得，BC=4，EBC=BCC=E=90，四边形BECC为矩形，EC=BC=4，在RtABC中，AC=10，在RtAEC中，AE=2，AA+BE=23，又AA=CC=BE，AA=【点拨】本题考查的是矩形的性质、旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质，掌握旋转变换的性质、矩形的性质是解题的关键15（1）相似；（2）ADBAEC；（3）4+或4【分析】(1)根据相似三角形的判定定理解答；根据勾股定理求出DE，根据相似三角形的性质列出比例式，求出AC；(2)根据旋转变换的性质得到BADCAE，根据两

26、边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似证明；(3)根据勾股定理求出BD，分两种情况计算即可解：（1）DEBC，ABCADE，故答案为相似；DEBC，ADEB90，DE，ABCADE， ，即，解得，AC，故答案为；（2）ADBAEC，理由如下：由旋转变换的性质可知，BADCAE，由（1）得，又BADCAE，ADBAEC；（3）如图2，在RtADB中，BD4，点B、D、E在同一条直线上，BEBD+DE4+，如图3，BEBDDE4，综上所述，将ADE绕顶点A旋转到点B、D、E在同一条直线上时，线段BE的长为4+ 或4【点拨】考查的是相似三角形的判定和性质，旋转变换的性质，勾股定理的应用，掌握相似三角

27、形的判定定理和性质定理是解题的关键16(1)，；证明见分析；(2)，或.【分析】（1）根据“两角对应相等的两个三角形相似”，可知ABEDAE，DCADAE；（2）由（1）知，则有，因为相似三角形的对应边成比例，所以，再把已知数据代入求解即可解：(1)，又.(2)由(1)可知，则有.又是等腰直角三角形，且，又，即，或.【点拨】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握两角相等的两三角形相似、相似三角形的对应边成比例是解题的关键17（1）见分析，（2）能，ECNMEN，见分析.【分析】（1）由ABC和DEF是两个等腰直角三角形，易得BMENEC，又由B=C=45，即可证得BEMCNE；（2）与（

28、1）同理BEMCNE，可得，又由BE=EC，即可得，然后由ECN=MEN=45，证得ECNMEN解：证明：（1）ABC是等腰直角三角形，MBE45，BME+MEB135又DEF是等腰直角三角形，DEF45NEC+MEB135BMENEC，而BC45，BEMCNE（2）与（1）同理BEMCNE，又BEEC，在ECN与MEN中有，又ECNMEN45，ECNMEN【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质以及等腰直角三角形性质此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用18(1)证明见分析；证明见分析；(2)AGEFGC，AGFEGC；【分析】(1)由旋转得出ABC与ADE全等，得到AE=AC，由EAC=

29、60，证明AEC为等边三角形，推出ACE=BAC=60即可证明结论； 由ABC与ADE全等，得到AED=ACB，由对顶角相等，证明ADE与FDC相似，推出对应边的比相等，再由ADF=EDC即可证明结论； (2)由ABC与ADE全等，得到AED=ACB，再由对顶角相等证出AGE与FGC相似；由AGE与FGC相似，推出AGF与EGC对应边的比相等，由对顶角相等即可推出AGF与EGC相似解：(1)ABC绕点A逆时针旋转得到ADE，ABCADE，AC=AE，EAC=60AEC为等边三角形，ACE=BAC=60，ABEC；ABCADE，AED=ACB，又ADE=FDC，ADEFDC，=，=，又ADF=E

30、DC，DAFDEC；(2)ABCADE，AED=ACB，又AGE=FGC，AGEFGC；AGEFGC，=，=，又AGF=EGC，AGFEGC；综上所述，AGEFGC，AGFEGC；【点拨】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定，相似的判定等，解答本题的关键是要熟练掌握相似的判定方法19解：（1），；（2）；（3） 【分析】（1）根据预备定理以及相似三角形的性质，即可得到结论；（2）由旋转可知: ,且证得，利用（1）中的结论可求得答案；（3）构造辅助线，易证得，利用上述的方法，可求得结论.解：（1），点是斜边的中点,，故答案是：，（2）由（1）得，点是斜边的中点同理可得由旋转可知: ,且(3)

31、作DPBC于P，作DQAC于Q，如图，DPBC，点是斜边的中点，DQAC，点是斜边的中点，DPBC，DQAC，【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质以及三角形中位线定理，构造恰当的辅助线是正确解答本题的关键.20（1），；仍然成立，证明见分析；（2），理由见分析【分析】（1）如图1中，连接BE，设DE交AB于T首先证明再利用直角三角形斜边中线的性质解决问题即可解法一：如图21中，取AB的中点M，BE的中点N，连接CM，MN证明（SAS），可得结论解法二：如图22中，取DE的中点G，连接AG，CG，并把绕点C逆时针旋转90得到，连接DT，GT，BG证明四边形BEGT是平行四边形，四边形DGBT

32、是平行四边形，可得结论（2）结论：BE如图3中，取AB的中点T，连接CT，FT证明，可得结论解：（1）如图1中，连接BE，设DE交AB于TCACB，CAB45，CABABC45，ACB90，ADEACB45，DAE90，ADEAED45，ADAE， ATDE，DTET，AB垂直平分DE，BDBE，BCD90，DFFB，CFBD，CFBE故答案为：EABABC，CFBE结论不变解法一：如图21中，取AB的中点M，BE的中点N，连接CM，MNACB90，CACB，AMBM，CMAB，CMBMAM，由得： 设ADAEyFMx，DMa， 点F是BD的中点，则DFFBa+x，AMBM，y+aa+2x，y

33、2x，即AD2FM，AMBM，ENBN，AE2MN，MNAE，MNFM，BMNEAB90，CMFBMN90，（SAS），CFBN，BE2BN，CFBE解法二：如图22中，取DE的中点G，连接AG，CG，并把CAG绕点C逆时针旋转90得到，连接DT，GT，BGADAE，EAD90，EGDG，AGDE，EAGDAG45，AGDGEG，CAB45，CAG90，ACAG，ACDE，ACBCBT90， ACBT，AGBT，DGBTEG，四边形BEGT是平行四边形，四边形DGBT是平行四边形，BD与GT互相平分， 点F是BD的中点，BD与GT交于点F，GFFT，由旋转可得； 是等腰直角三角形，CFFGFT

34、，CFBE（2）结论：BE理由：如图3中，取AB的中点T，连接CT，FTCACB，CABCBA30，ACB120，ATTB，CTAB， AT，AB，DFFB，ATTB，TFAD，AD2FT，FTBCAB30，CTBDAE90，CTFBAE60，ADEACB60， AEADFT，【点拨】本题属于相似形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质,锐角三角函数的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题21（1）DE=BF且DEBF；（2）不变，理由见分析；（3）数量关系发生改变，变为，位置关系

35、不变，理由见分析【分析】（1）可直接由题意证得AEDAFB，从而得到DE=BF，再延长BF，与DE相交，根据全等的性质即可证明；（2）和（1）证明过程一样的思路即可判断；（3）利用相似三角形的性质进行推理，首先根据题意确定，可确定AEDAFB，从而运用相似三角形的性质得出数量关系，对于位置关系的推理，如前两个问一样的思路证明即可解：（1）当时，在AED与AFB中，AEDAFB，DE=BF，EDA=FBA，如图，延长BF与DE交于P点，又DFP=BFA，BAF=DPF=90，即：BPDE，DE=BF且DEBF；（2）当时，（1）中结论不改变，理由如下：如图所示，连接DE，BF，并延长相交于Q点，

36、EAF=DAB=90，EAF-DAF=DAB-DAF，即：EAD=FAB，在AED与AFB中，AEDAFB，DE=BF，EDA=FBA，BAD=DQB=90，即：BQDQ，DE=BF且DEBF，不改变；（3）数量关系发生改变，位置关系不改变，理由如下：如图，连接DE，BF，并延长BF与DE交于M点，EAF=DAB=90，EAF-DAF=DAB-DAF，即：EAD=FAB，又两个矩形为相似矩形，即：，AEDAFB，EDA=FBA，即：，BM与AD相交，BAD=DMB=90，即：BMDM，此时DE与BF的数量关系发生改变，变为，位置关系不改变【点拨】本题主要考查旋转的性质，全等三角形和相似三角形的

37、判定与性质，还涉及到矩形和正方形的性质，熟练掌握基本性质，推理出全等或相似三角形是解题关键22（1）HGA和HAB与AGC相似，证明见分析；（2）CG5或或【分析】（1）根据B45，ACAB，四边形ABCD是平行四边形的条件得出，CADCDA45，利用旋转的性质可得EAFCAD45，易证得AGCHGA，从而得到GACH的结论，从而证明AGCHAB；（2）分类讨论：当CGBC时；当GCBC时；当GCBC时，当三角形AGH时等腰三角形时，用数形结合的思想求解即可.解：（1）HGA和HAB与AGC相似，证明：B45，ACAB，ACBB45，四边形ABCD是平行四边形，CADCDA45，AEF由ACD

38、旋转得到，EAFCAD45，ACBEAF45，AGCAGH，AGCHGA，GACH，BACG45，AGCHAB，（2）当CGBC时，则有GACHHAG，ACCH，AGAC，AGCHGH，AHAG，AHGH，AGH不可能是等腰三角形，当GCBC时，G为BC的中点，H与C重合，AGH是等腰三角形，此时GC，当GCBC时，由（1）AGCHGA，若AGH是等腰三角形只可能存在AGAH，若AGAH，则ACGC，此时GC5，如图，当CGBC时，此时B，E，G重合，AGHGAH45，AGH为等腰三角形，CG，综上所述：CG5或或【点拨】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，旋转的性质，平行四边形的性质，等腰

39、三角形的性质，用数形结合的思想是解题的关键.23（1）全等，理由见分析；（2）DCBE，DCBE，理由见分析；（3）【分析】（1）根据“相似等腰组”与全等三角形的判定定理即可证明ABDACE；（2）根据“相似等腰组”与全等三角形的判定定理证明ABEACD，得到DCBE，再根据三角形的内角和得到EAC+DCB90，证明DCBE；（3）将ABD绕点A逆时针旋转60得ACE，证明ADE是等边三角形，再得到CED90，求出AEC150，故CEF=30过点C作CFAE，交AE的延长线于F，在RtCEF中，CFCE1，EF，再利用在RtACF中，求出AC，利用等边三角形的面积公式即可求解解：（1）全等，理

40、由如下：等腰ABC和等腰ADE为“相似等腰组”，BACDAE，BADBACDAC，CAEEADDAC，BADCAE，在ABD与ACE中，ABDACE（SAS），（2）DCBE，DCBE，理由如下：等腰ABC和等腰ADE为“相似等腰组”，BACDAE90，BAEBAC+EAC，CADEADEAC，BAECAD，在ABE与ACD中，ABEACD（SAS），DCBE，ABEACD，ABE+EBC+ACB90，ACD+EBC+ACB90，EBC+DCB90，DCBE；（3）将ABD绕点A逆时针旋转60得ACE，ADAE，DAE60，CEBD2，ADE是等边三角形，DEAD，AED60，DE2+CE23

41、+47，CD27，DE2+CE2CD2，CED90，AECAED+DEC150，过点C作CFAE，交AE的延长线于F，故CEF=30CFCE1，EF=，在RtACF中，AC，SABCAC2【点拨】此题主要考查全等三角形与等腰三角形的判定与性质证，解题的关键熟知勾股定理、全等三角形的判定与性质、旋转的性质及等边三角形的性质24(1)(2)；，解答过程见分析(3)或【分析】（1）证、是的中位线，得，即可得出答案；（2）过点作于点，于点，先证，得出，再根据（1）所得结论即可得出答案；过点作于点，于点，证，推出，同得，则，即可得出结论；（3）分和两种情况分别求解可得（1）解：，点是的中点，、是的中位线，故答案为：3；（2）过点作于点，于点，如图2所示：则，四边形是矩形，即，即，同（1）得：，故答案为：3；过点作于点，于点，如图3所示：，四边形是矩形，与同理得：，；（3）如图所示：在中，由勾股定理得：，与相似分两种情况：，则，即，整理得：，；，则，即，整理得：，；综上所述，当或时，与相似；故答案为：或【点拨】本题是相似综合题，考查相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理、旋转的性质、矩形的判定与性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，证明三角形相似是解题的关键