专题29 全国初中数学竞赛分类汇编卷（六）不等式（组）（提优）-2022-2023学年初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练（解析版）.docx

1、专题29 全国初中数学竞赛分类汇编卷（六）不等式（组）（提优）1已知a1，a2，a2004都是正数，如果M（a1+a2+a2003）（a2+a3+a2004），N（a1+a2+a2004）（a2+a3+a2003），那么M、N的大小关系是（）AMNBMNCMND不确定的【解答】解：设Sa2+a3+a2003，则M（a1+S）（S+a2004）a1S+Sa2004+S2+a1a2004，N（a1+S+a2004）Sa1S+Sa2004+S2，MNa1a20040（a1，a2，a2004都是正数），MN故选：A2已知ABC的两条高线的长分别为5和20，若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大

2、值为（）A5B6C7D8【解答】解：设ABC的面积为S，所求的第三条高线的长为h，则三边长分别为2S5，2S20，2Sh，则2S52S20由三边关系，得2S20+2Sh2S52S20+2S52Sh，解得4h203所以h的最大整数值为6，即第三条高线的长的最大值为6故选：B3若方程组3x-y=k+1x+y=3的解为x，y，且2k4，则xy的取值范围是（）A0xy3B0xy1C3xy1D1xy1【解答】解：两个方程相减，得：2x2yk2，xy=k-22，2k4，0k22，则0k-221，即0xy1，故选：B4已知方程组y-2x=m2y+3x=m+1的解x，y满足2x+y0，则m的取值范围是m-43

3、【解答】解：2x-y=-m3x+2y=m+1，2+得：7xm+1，即x=-m+17，将x=-m+17代入得：y=5m+27，根据题意得：2x+y=-2m+27+5m+270，解得：m-43故答案为：m-435甲乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相等，且每件商品的单价只有8元和9元，若两人购买商品一共花费了172元，则其中单价为9元的商品有12件【解答】解：设共购商品2x件，9元的商品a件，则8元商品为（2xa）件，根据题意得：8（2xa）+9a172，解得a17216x，依题意2xa，且a17216x0，x为大于0的自然数，可得9.6x10.75，x10，则a12所以9元的商品1

4、2件，故答案为：126满足不等式|5x|+|x1|37的整数解共有7个【解答】解：当x1时，不等式变形为5x+1x37，解得：x6-372，即6-372x1，整数解是0；当1x5时，不等式变形为：5x+x137即437，此时的整数解是：1，2，3，4有三个当x5时，不等式转化为x5+x137，则2x6+37，则x3+372，则整数解是：5，6则原不等式的整数解是：0，1，2，3，4，5，6，共7个故答案为：77按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否487？”为一次操作如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是 7x19【解答】解：前四次操作的结果分别为3x2；3（3

5、x2）29x8；3（9x8）227x26；3（27x26）281x80；由已知得：27x-2648781x-80487，解得：7x19容易验证，当7x19时，3x2487 9x8487，故x的取值范围是：7x19故答案为：7x198a表示不大于a的最大整数，那么方程3x+12x-12的所有根的和是2【解答】解：设xn+a（n为整数，0a1），代入原方程得：3n+3a+12n+2a-12，即3n+1+3a2n+2a-12，n+1+3a2a-12，则n+3a2a-32于是2a-32是整数，又0a1，-322a-3212，2a-32=0或1，当2a-32=0时，解得a=34，把a=34代入式，n+9

6、40，n2于是得x1=-2+34；当2a-32=-1时，a=14代入式，n+141，n1于是得x2=-1+14，则x1+x2=(-2+34)+(-1+14)=-2，故所有根的和是2故答案为：29已知k是满足1910k2010的整数，并且使二元一次方程组5x-4y=74x+5y=k有整数解问：这样的整数k有多少个？【解答】解：解方程组可得解：x=35+4k41y=5k-2841设当35+4k=41m28-5k=41n（其中m和n是整数）（1）时方程组有整数解消去上面方程中的k，得到5m+4n7（2）m=7-4n5=1n+2+n5且m和n是整数，只要满足2+n5=l（l是整数）即可，即n5l2，代

7、入（2）式得m34l，从（2）解得m=3-4ln=5l-2（其中l是整数）（3）将（3）代入（1）中一个方程得：35+4k123164l，解得k2241lk是满足1910k2010的整数，19102241l2010，解不等式得-198841l-189041，即482041l46441，因此共有2个k值使原方程有整数解答：这样的整数k有2个10某工程机械厂根据市场需求，计划生产A、B两种型号的大型挖掘机共100台，该厂所筹生产资金不少于22400万元，但不超过22500万元，且所筹资金全部用于生产此两种型号挖掘机，所生产的此两种型号挖掘机可全部售出，此两型挖掘机的生产成本和售价如下表：型号AB成

8、本（万元/台）200240售价（万元/台）250300（1）该厂对这两型挖掘机有哪几种生产方案？（2）该厂如何生产能获得最大利润？（3）根据市场调查，每台B型挖掘机的售价不会改变，每台A型挖掘机的售价将会提高m万元（m0），该厂应该如何生产获得最大利润？（注：利润售价成本）【解答】解：（1）设生产A型挖掘机x台，则B型挖掘机（100x）台，由题意得22400200x+240（100x）22500，解得37.5x40x取非负整数，x为38，39，40有三种生产方案A型38台，B型62台；A型39台，B型61台；A型40台，B型60台答：有三种生产方案，分别是A型38台，B型62台；A型39台，B

9、型61台；A型40台，B型60台（2）设获得利润W（万元），由题意得W50x+60（100x）600010x，当x38时，W最大5620（万元），答：生产A型38台，B型62台时，获得最大利润（3）由题意得W（50+m）x+60（100x）6000+（m10）x当0m10，则x38时，W最大，即生产A型38台，B型62台；当m10时，m100则三种生产方案获得利润相等；当m10，则x40时，W最大，即生产A型40台，B型60台答：当0m10时，生产A型38台，B型62台获利最大；当m10时，3种方案获利一样；当m10时，生产A型40台，B型60台获利最大11一般地，对任意的实数x，可记xx+x

10、其中：符号x叫做x的整数部分，表示不大于x的最大整数（例如33，3.143，3.144；符号x叫做x的小数部分，即0x1（例如3.140.14，3.860.86）试求出所有的x，使得13x+5x100【解答】解：令xn，代入原方程得13x+5n100，即x=100-5n13，又xxx+1，n100-5n13n+1整理得13n1005n13n+13，即296n509，n5代入原方程得13x+55100，解得：x=7513经检验，x=7513是原方程的解12（探索题）某家庭装饰厨房需用480块某品牌的同一种规格的瓷砖，装饰材料商店出售的这种瓷砖有大，小两种包装，大包装每包50片，价格为30元；小包

11、装每包30片，价格为20元，若大，小包装均不拆开零售，那么怎样制定购买方案才能使所付费用最少？【解答】解：依题意有三种购买方案方案一：只买大包装，则需买包数为48050=485由于不折包装，所以只需买10包，所付费用为3010300元方案二：只买小包装，则需买包数为48030=16，所付费用为1620320元方案三：既买大包装，又买小包装并设买大包装x包，小包装y包，所需费用为w元，根据题意得50x+30y480w=30x+20y，所以w=-103x+320因为050x480，且x为正整数所以0x9.6所以x9时，w最小290（元）即购买9包大包装瓷砖和1包小包装瓷砖时，所付费用最少，最少为2

12、90元13某校决定购买一些跳绳和排球需要的跳绳数量是排球数量的3倍，购买的总费用不低于2200元，但不高于2500元（1）商场内跳绳的售价20元/根，排球的售价为50元/个，设购买跳绳的数量为x，按照学校所定的费用，有几种购买方案？每种方案中跳绳和排球数量各为多少？（2）在（1）的方案中，哪一种方案的总费用最少？最少费用是多少元？（3）由于购买数量较多，该商规定20元/根跳绳可打九折，50元/个的排球可打八折，用（2）中的最少费用最多还可以多买多少跳绳和排球？【解答】解：（1）根据题意得：20x+50x3220020x+50x32500 解得60x68211x为正整数x可取60，61，62，6

13、3，64，65，66，67，6813x也必需是整数13x可取20，21，22有三种购买方案：方案一：跳绳60根，排球20个；方案二：跳绳63根，排球21个；方案三：跳绳66根，排球22个（2）在（1）中，方案一购买的总数量最少，所以总费用最少最少费用为：6020+20502200答：方案一购买的总数量最少，所以总费用最少，最少费用为2200元（3）设用（2）中的最少费用最多还可以多买的排球数量为y，2090%（60+3y）+5080%（20+y）2200，解得：y31947，y为正整数，满足y31947的最大正整数为3多买的跳绳为：3y9（根）答：用（2）中的最少费用最多还可以多买9根跳绳和3

14、个排球14为支持四川抗震救灾，重庆市A、B、C三地现在分别有赈灾物资100吨、100吨、80吨，需要全部运往四川重灾地区的D、E两县根据灾区的情况，这批赈灾物资运往D县的数量比运往E县的数量的2倍少20吨（1）求这批赈灾物资运往D、E两县的数量各是多少？（2）若要求C地运往D县的赈灾物资为60吨，A地运往D的赈灾物资为x吨（x为整数），B地运往D县的赈灾物资数量小于A地运往D县的赈灾物资数量的2倍其余的赈灾物资全部运往E县，且B地运往E县的赈灾物资数量不超过25吨则A、B两地的赈灾物资运往D、E两县的方案有几种？请你写出具体的运送方案；（3）已知A、B、C三地的赈灾物资运往D、E两县的费用如下

15、表：A地B地C地运往D县的费用（元/吨）220200200运往E县的费用（元/吨）250220210为及时将这批赈灾物资运往D、E两县，某公司主动承担运送这批赈灾物资的总费用，在（2）问的要求下，该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少？【解答】解：（1）设这批赈灾物资运往D县的数量为a吨，运往E县的数量为b吨由题意，得a+b=280a=2b-20解得a=180b=100答：这批赈灾物资运往D县的数量为180吨，运往E县的数量为100吨（2）由题意，得120-x2xx-2025解得x40x45即40x45x为整数，x的取值为41，42，43，44，45则这批赈灾物资的运送方案有五种具体的运

16、送方案是：方案一：A地的赈灾物资运往D县41吨，运往E县59吨；B地的赈灾物资运往D县79吨，运往E县21吨方案二：A地的赈灾物资运往D县42吨，运往E县58吨；B地的赈灾物资运往D县78吨，运往E县22吨方案三：A地的赈灾物资运往D县43吨，运往E县57吨；B地的赈灾物资运往D县77吨，运往E县23吨方案四：A地的赈灾物资运往D县44吨，运往E县56吨；B地的赈灾物资运往D县76吨，运往E县24吨方案五：A地的赈灾物资运往D县45吨，运往E县55吨；B地的赈灾物资运往D县75吨，运往E县25吨（3）设运送这批赈灾物资的总费用为w元由题意，得w220x+250（100x）+200（120x）+220（x20）+20060+2102010x+60800因为w随x的增大而减小，且40x45，x为整数所以，当x41时，w有最大值则该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多为：w60390（元）