专题29 圆的有关概念(解析版).docx

1、专题 29 圆的有关概念【专题目录】技巧 1：巧用圆的基本性质解圆的五种关系技巧 2：垂径定理的四种应用技巧技巧 3：圆中常见的计算题型【题型】一、圆的周长与面积问题【题型】二、利用垂径定理进行计算【题型】三、垂径定理的实际应用【题型】四、利用弧、弦、圆心角的关系求解【题型】五、利用弧、弦、圆心角的关系求证【题型】六、同弧或等弧所对的圆周角相等【题型】七、直径所对的圆周角是直角【考纲要求】1.理解圆的有关概念和性质，了解圆心角、弧、弦之间的关系2.了解圆心角与圆周角的关系，掌握垂径定理及推论.【考点总结】一、圆的有关概念及性质（1）圆:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆,圆既是

2、轴对称图形也是中心对称图形.（2）圆具有对称性和旋转不变性.（3）不共线的三点确定一个圆.（4）圆上各点到圆心的距离都等于半径.（5）圆上任意两点间的部分叫做弧,大于半圆周的弧称为优弧,小于半圆周的弧称为劣弧.（6）连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径.（7）弧、弦、圆心角的关系定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.推论：在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等,则它们所对应的其余各组量也分别相等.【考点总结】二、垂径定理（1）定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.（2）推论 1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平

3、分弦所对的两条弧.弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.（3）推论 2:圆的两条平行弦所夹的弧相等.注意:轴对称性是圆的基本性质,垂径定理及其推论就是根据圆的轴对称性总结出来的,它们是证明线段相等、角相等、垂直关系、弧相等和一条弦是直径的重要依据.遇弦作弦心距是圆中常用的辅助线.【考点总结】三、与圆有关的角及其性质（1）圆心角:顶点在圆心,角的两边和圆相交的角叫做圆心角.圆周角:顶点在圆上且角的两边和圆相交的角叫做圆周角.（2）圆周角定理定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.推论：同弧或等弧所对的圆周角相等.

4、半圆(或直径)所对的圆周角是直径,90的圆周角所对的弦是圆的直径.圆内接四边形的对角互补.【考点总结】四、圆周长、弧长计算（1）半径为 R 的圆周长：C=d=2R.（2）半径为 R 的圆中,n的圆心角所对的弧长为 l,则 l=180Rn.【考点总结】五、圆、扇形面积计算（1）半径为 R 的圆面积 S=2R（2）半径为 R 的圆中,圆心角为 n的扇形面积为 S 扇=lR21或 S 扇=362Rn.【考点总结】六、圆柱、圆锥的有关计算（1）圆柱的侧面展开图是长方形,圆柱侧面积 S=2Rh,全面积 S=2Rh+2R2(R 表示底面圆的半径,h 表示圆柱的高).（2）圆锥的侧面展开图是扇形,圆锥侧面积

5、 S=Rl,全面积 S=Rl+R2(R 表示底面圆的半径,l 表示圆锥的母线).（3）圆柱的体积=底面积高,即 V=Sh=R2h.圆锥的体积=31 底面积高,即 V=31 R2h.【考点总结】七、正多边形与圆（1）正多边形:各边相等,各角相等的多边形叫做正多边形.（2）圆与正多边形的有关概念:一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心,外接圆的半径叫做正多边形的半径;正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角,中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.（3）正多边形的内角和=(n-2)180;正多边形的每个内角=nn1802;正多边形的周长=边长边数;正多边形的面积=21 周长

6、边心距.【技巧归纳】技巧 1：巧用圆的基本性质解圆的五种关系类型一：弦、弧之间的关系1如图，在O 中，AB 2CD，则下列结论正确的是()(第 1 题)AAB2CDBAB2CDCAB2CDD以上都不正确2如图，在O 中，弦 ADBC，求证：AB CD.(第 2 题)类型二：圆周角、圆心角之间的关系 3如图，AB，AC，BC 都是O 的弦，且CABCBA，求证：COBCOA.(第 3 题)类型三：弧、圆周角之间的关系 4如图，AB 是O 的直径，点 C，D 在O 上，BAC50，求ADC 的度数(第 4 题)类型四：弦、圆心角之间的关系 5如图，以等边三角形 ABC 的边 BC 为直径作O 交

7、AB 于 D，交 AC 于 E，连接 DE.试判断 BD，DE，EC 之间的大小关系，并说明理由(第 5 题)类型五：弦、弧、圆心角之间的关 系 6如图，在O 中，AOB90，且 C，D 是AB 的三等分点，AB 分别交 OC，OD 于点 E，F.求证：AEBFCD.(第 6 题)答案1C2证明：因为 ADBC，所以根据在同圆或等圆中，相等的弦所对的劣弧相等，可得AD BC，所以AD AC BC AC，即AB CD.点拨：在同圆或等圆中，等弦对等弧、等弧对等弦(劣弧等于劣弧，优弧等于优弧)3证明：在O 中，CAB，COB 分别是CB 所对的圆周角和圆心角，COB2CAB.同理，COA2CBA.

8、又CABCBA，COBCOA.4解：如图，连接 BC，(第 4 题)AB 是O 的直径，ACB90.在 Rt ABC 中，ABC90BAC905040.又ADC，ABC 是AC 所对的圆周角，ADCABC40.5解：BDDEEC.理由如下：如图，连接 OD，OE.(第 5 题)OBODOEOC，BC60，BOD 与 COE 都是等边三角 形BODCOE60.DOE180BODCOE60.BODDOECOE.BDDEEC.点拨：本题利用“在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等”去证明三条线段相等，因此，连接 OD，OE，构造弦所对的圆心角是解此题的关键(第 6 题)6证明：如图，连接 AC，BD.C

9、，D 是AB 的三等分点，AC CD BD.ACCDBD，AOCCODBOD.又AOB90，AOCCODBOD30.OAOB，AOB90，OABOBA45.AECAOCOAB75.OAOC，AOC30，ACE12(18030)75AEC.AEAC.同理可得 BFBD.AEBFCD.技巧 2：垂径定理的四种应用技巧类型一：巧用垂径定理求点的坐标 1如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标是(10，0)，点 B 的坐标是(8，0)，点 C，D 在以 OA 为直径的半圆 M 上，且四边形 OCDB 是平行四边形，求点 C 的坐标(第 1 题)类型二：巧用垂径定理解决最值问题(对称思想)2如图，AB，

10、CD 是半径为 5 的O 的两条弦，AB8，CD6，MN 是直径，ABMN 于点 E，CDMN于点 F，P 为直线 EF 上的任意一点，求 PAPC 的最小值(第 2 题)类型三：巧用垂径定理计算 3如图，CD 为O 的直径，CDAB，垂足为点 F，AOBC，垂足为 E，BC2 3.求：(1)AB 的长；(2)O 的半径(第 3 题)类型四：巧用垂径定理解决实际问题(建模思想)4某地有一座拱桥，它的桥拱是圆弧形，桥下的水面宽度为 7.2 m，拱顶高出水面 2.4 m，现有一艘宽 3 m，船舱顶部为长方形并高出水面 2 m 的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？答案1解：如图，连接 CM

11、，作 MNCD 于 N，CHOA 于 H.四边形 OCDB 为平行四边形，B 点的坐标是(8，0)，CDOB8，CNMH，CHMN.又MNCD，CNDN12CD4.易知 OA10，MOMC5.在 Rt MNC 中，MN CM2CN2 52423.CH3.又 OHOMMH541.点 C 的坐标为(1，3)(第 1 题)2解：如图，易知点 C 关于直线 MN 的对称点为点 D，连接 AD，交 MN 于点 P，连接 PC，易知此时 PAPC 最小且 PAPCAD.过点 D 作 DHAB 于点 H，连接 OA，OC.易知 AE4，CF3，由勾股定理易得 OE3，OF4，DHEF7，又 AHAEEH43

12、7.AD7 2.即 PAPC 的最小值为 7 2.(第 2 题)点拨：本题运用了转化思想，将分散的线段转化为一条线段，然后运用勾股定理求出线段的长度3解：(1)连接 AC，CD 为O 的直径，CDAB，AFBF.ACBC.延长 AE 交O 于 G，则 AG 为O 的直径，又 AOBC，BECE.ACAB.ABBC2 3.(2)由(1)知 ABBCAC，ABC 为等边三角形BAC60.AEBC，EABCAE12CAB30.即OAF30，在 Rt OAF 中，AF 3，易得 OA2，即O 的半径为 2.4解：如图，AB 为水面位置，若 MN 为货船顶部位置，则 MNAB.设圆弧形桥拱 AB 所在圆

13、的圆心为 O，连接 OA，ON，作 OCAB 于点 D，交AB 于点 C，交 MN 于点 H，则 OCMN，由垂径定理可知，D 为AB 的中点，H 为 MN 的中点所以 AD3.6 m，NH1.5 m.(第 4 题)设 OAr m，则 ODOCDC(r2.4)m.在 Rt AOD 中，OA2AD2OD2，即 r23.62(r2.4)2，解得 r3.9.在 Rt OHN 中，OH ON2NH2 3.921.523.6(m)所以 DHOHOD3.6(3.92.4)2.1(m)因为 2.1 m2 m，所以此货船能顺利通过这座拱桥技巧 3：圆中常见的计算题型类型一：有关角度的计算1如图，在O 中，AB

14、，CD 是直径，BE 是切线，B 为切点，连接 AD，BC，BD.(1)求证：ABDCDB；(2)若DBE37，求ADC 的度数(第 1 题)类型二：半径、弦长的计算(第 2 题)2如图，在O 中，CD 是直径，弦 ABCD，垂足为 E，连接 BC，若 AB2 2 cm，BCD2230，则O 的半径为_3如图，已知O 中直径 AB 与弦 AC 的夹角为 30，过点 C 作O 的切线交 AB 的延长线于点 D，OD30 cm.求直径 AB 的长(第 3 题)类型三：面积的计算 技巧1 利用“作差法”求面积4如图，在 ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 分别与 BC，AC 交于点 D，E，

15、过点 D 作O 的切线 DF，交 AC 于点 F.(1)求证：DFAC；(2)若O 的半径为 4，CDF22.5，求阴影部分的面积(第 4 题)技巧2 利用“等积法”求面积5如图，在 BCE 中，点 A 是边 BE 上一点，以 AB 为直径的O 与 CE 相切于点 D，ADOC，点 F 为OC 与O 的交点，连接 AF.(1)求证：CB 是O 的切线；(2)若ECB60，AB6，求图中阴影部分的面积(第 5 题)技巧3 利用“平移法”求面积6如图，两个半圆中，O 为大半圆的圆心，长为 18 的弦 AB 与直径 CD 平行且与小半圆相切，那么图中阴影部分的面积等于多少？(第 6 题)技巧4 利用

16、“割补法”求面积7如图，O 的直径 AB10，弦 AC6，ACB 的平分线交O 于 D，过点 D 作 DEAB 交 CA 的延长线于点 E，连接 AD，BD.(1)由 AB，BD，AD 围成的曲边三角形的面积是_；(2)求证：DE 是O 的切线；(3)求线段 DE 的长(第 7 题)类型四：实际应用的计算 应用1 利用垂径定理解决台风问题8如图，台风中心位于点 P，并沿东北方向 PQ 移动，已知台风移动的速度为 30 km/h，受影响区域的半径为 200 km，B 市位于点 P 北偏东 75的方向上，距离 P 点 320 km处(1)试说明台风是否会影响 B 市；(2)若 B 市受台风的影响，

17、求台风影响 B 市的时间(第 8 题)应用2 利用圆周角知识解决足球射门问题(转化思想)9如图，在“世界杯”足球比赛中，队员甲带球向对方球门 PQ 进攻，当他带球冲到 A 点时，同伴队员乙已经助攻冲到 B 点，现有两种射门方式：一是由队员甲直接射门；二是队员甲将球迅速传给队员乙，由队员乙射门从射门角度考虑，你认为选择哪种射门方式较好？为什么？(第 9 题)应用3 利用直线与圆的位置关系解决范围问题10如图，已知 A，B 两地相距 1 km.要在 A，B 两地之间修建一条笔直的水渠(即图中的线段 AB)，经测量在 A 地的北偏东 60方向，B 地的北偏西 45方向的 C 处有一个以 C 为圆心，

18、350 m 为半径的圆形公园，则修建的这条水渠会不会穿过公园？为什么？(第 10 题)答案1(1)证明：AB，CD 是O 的直径，ABCD，ADBCBD90.在 Rt ABD 和 Rt CDB 中，ABCD，BDDB.Rt ABDRt CDB(HL)，即 ABDCDB.(2)解：BE 是O 的切线，ABBE.ABE90.DBE37.ABD53.ODOA，ODABAD905337.即ADC 的度数为 37.22 cm 点拨：如图，连接 OB，BCD2230，BOD2BCD45.ABCD，BEAE12AB122 2 2(cm)，且 BOE 为等腰直角三角形，OB 2BE2 cm.(第 2 题)(第

19、 3 题)3解：如图，连接 OC.A30，COD60.DC 切O于点 C，OCD90.D30.OD30 cm，OC12OD15 cm.AB2OC30 cm.4(1)证明：如图，连接 OD，OBOD，ABCODB.ABAC，ABCACB.ODBACB.ODAC.DF 是O 的切线，DFOD.DFAC.(2)解：如图，连接 OE，DFAC，CDF22.5，ABCACB67.5.BAC45.OAOE，OEABAC45.AOE90.O 的半径为 4，S 扇形 AOE4，S AOE8.S 阴影S 扇形 AOES AOE48.(第 4 题)5(1)证明：如图，连接 OD，与 AF 相交于点 G，(第 5

20、题)CE 与O 相切于点 D，ODCE.CDO90.ADOC，ADODOC，DAOBOC.OAOD，ADODAO.DOCBOC.在 CDO 和 CBO 中，COCO，DOCBOC，ODOB，CDOCBO.CBOCDO90.CB 是O 的切线(2)解：由(1)可知DOCBOC，ECB60，DCOBCO12ECB30.DOCBOC60.DOA60.OAOD，OAD 是等边三角形ADODOF.在 FOG 和 ADG 中，GOFGDA，FGOAGD，OFDA，FOGADG.S ADGS FOG.AB6，O 的半径 r3.S 阴影S 扇形 ODF6032360 32.6解：将小半圆向右平移，使两个半圆的

21、圆心重合，如图所示，则阴影部分的面积等于半圆环的面积(第 6 题)作 OEAB 于 E(易知 E 为切点)，连接 OA，AE12AB9.阴影部分的面积12OA212OE212(OA2OE2)12AE21292812.点拨：观察图形可知阴影部分的面积等于大半圆的面积减去小半圆的面积，因此当小半圆在大半圆范围内左右移动时，阴影部分面积不改变，所以我们可以通过平移，使两个半圆的圆心重合，这样就能运用已知条件求出阴影部分的面积7(1)252 254(第 7 题)(2)证明：如图，连接 OD，AB 是直径，ACB90.CD 平分ACB，ABDACD12ACB45.AOD90，即 ODAB，DEAB，OD

22、DE.DE 是O 的切线(3)解：AB10，AC6，BC AB2AC28，AOBODO5.如图，过点 A 作 AFDE 于点 F，则四边形 AODF 是正方形，AFODFD5，FAB90.EAF90CABABC.tanEAFtanABC.EFAFACBC，即EF5 68.EF154.DEDFEF5154 354.8解：(1)如图，过点 B 作 BHPQ 于点 H，在 Rt BHP 中，由条件易知：BP320 km，BPQ30.BH12BP160 kmA.又PCQB，BA.在 B 点射门比在 A 点射门好选择射门方式二较好点拨：本题运用转化思想，将射门角度大小的问题，建模转化到圆中，根据圆周角的

23、相关结论来解决实际问题10解：修建的这条水渠不会穿过公园理由：如图，过点 C 作 CDAB，垂足为 D.由题易得CBA45，BCD45.CDBD.设 CDx km，则 BDx km.(第 10 题)由题易得CAB30，AC2CD2x km，AD（2x）2x2 3x(km)，3xx1.解得 x 312，即 CD 3120.366(km)366 m350 m，也就是说，以点 C 为圆心，350 m 为半径的圆与 AB 相离修建的这条水渠不会穿过公园【题型讲解】【题型】一、圆的周长与面积问题 例 1、如图，的半径为1，分别以O 的直径 AB 上的两个四等分点1O，2O 为圆心，12为半径作圆，则图中

24、阴影部分的面积为（）AB 12 C 14 D2【答案】B【提示】把阴影部分进行对称平移，再根据半圆的面积公式计算即可.【详解】211111222,图中阴影部分的面积为 12.故选 B.例 2、图案的地砖，要求灰、白两种颜色面积大致相同，那么下面最符合要求的是（）ABCD【答案】D【提示】设正方形边长为 2a，依次表示出每个图形灰色和白色区域的面积，比较即可得出结论【详解】设正方形边长为 2a，则：A、灰色区域面积=正方形面积圆的面积=222(2)(4)aaa，白色区域面积=圆面积=2a，两者相差很大；B、灰色区域面积=正方形面积圆的面积=222(2)(4)aaa，白色区域面积=圆面积=2a，两

25、者相差很大；C、色区域面积=正方形面积圆的面积=222(2)(4)aaa，白色区域面积=圆面积=2a，两者相差很大；D、灰色区域面积=半圆的面积正方形面积=2221(2)(2)(24)2aaa，白色区域面积=正方形面积灰色区域面积=222(2)(24)(82)aaa，两者比较接近故选 D【题型】二、利用垂径定理进行计算 例 3、如图，O 的直径 CD20，AB 是O 的弦，ABCD，垂足为 M，OM：OD3：5，则 AB 的长为（）A8B12C16D291【答案】C【提示】连接 OA，先根据O 的直径 CD20，OM：OD3：5 求出 OD 及 OM 的长，再根据勾股定理可求出 AM 的长，进

26、而得出结论【详解】连接 OA，O 的直径 CD20，OM：OD3：5，OD10，OM6，ABCD，2222106=8AMOAOM，AB2AM16故选：C例 4、如图，点,A B C D 在 上，OABC，垂足为 E若30ADC，1AE ，则 BC （）A2B4C 3D2 3【答案】D【提示】连接 OC，根据圆周角定理求得60AOC，在RtCOE中可得1122OEOCOA，可得OC 的长度，故 CE 长度可求得，即可求解【详解】解：连接 OC，30ADC，60AOC，在 RtCOE中，1cos602OEOC ，1122OEOCOA，1122AEOCOA1AE ，2OAOC，3CE OABC，垂足

27、为 E，2 3BC，故选：D【题型】三、垂径定理的实际应用 例 5、往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽48ABcm，则水的最大深度为（）A8cmB10cmC16cmD20cm【答案】C【提示】过点 O 作 ODAB 于 D，交O 于 E，连接 OA，根据垂径定理即可求得 AD 的长，又由O 的直径为52cm，求得 OA 的长，然后根据勾股定理，即可求得 OD 的长，进而求得油的最大深度 DE 的长【详解】解：过点 O 作 ODAB 于 D，交O 于 E，连接 OA，由垂径定理得：11482422ADABcm，O 的直径为52cm，26OAOEcm，在 Rt A

28、OD中，由勾股定理得：2222=2624=10OmOADADc，26 1016DEOEODcm，油的最大深度为16cm，故选：C 例 6、我国古代数学经典著作九章算术中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小用锯去锯这木材，锯口深1ED 寸，锯道长1AB 尺（1 尺10寸）问这根圆形木材的直径是_寸【答案】26【提示】根据题意可得OEAB，由垂径定理可得1122ADBDAB尺5寸，设半径OAOEr，则1ODr，在 Rt OAD 中，根据勾股定理可得：22215rr，解方程可得出木材半径，即

29、可得出木材直径.【详解】解：由题可知OEAB，OE 为O 半径，1122ADBDAB尺5寸，设半径OAOEr，1ED ，1ODr在 Rt OAD 中，根据勾股定理可得：22215rr解得：13r,木材直径为 26 寸；故答案为：26.【题型】四、利用弧、弦、圆心角的关系求解 例 7、如图，BD是 的直径，点 A，C 在 上，=，AC 交 BD于点G 若126COD 则AGB的度数为（）A99B108C110D117【答案】B【提示】先根据圆周角定理得到BAD90，再根据等弧所对的弦相等，得到ABAD，ABD45，最后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得到CAD=63，BAG=27，即可求解

30、【详解】解：BD是O 的直径BAD90=ABADABD45126COD1CAD632CODBAG906327 AGB1802745108 故选：B例 8、如图，AB 是O 的直径，=，COD=34，则AEO 的度数是（）A51B56C68D78【答案】A【解析】如图，在 O 中，=，BOC=COE=DOE=34，AB 是 O 的直径，BOC+COE+DOE+AOE=180，AOE=180-34-34-34=78，OA=OE，AEO=A=180180785122AOE.故选 A.【题型】五、利用弧、弦、圆心角的关系求证 例 9、如图，AB 是半圆O 的直径，,C D 是半圆O 上不同于,A B

31、的两点,ADBC AC与 BD相交于点,F BE 是半圆O 所任圆的切线，与 AC 的延长线相交于点 E，1 求证：CBADAB；2 若,BEBF求 AC 平分DAB【答案】1 证明见解析；2 证明见解析【提示】1 利用,ADBC证明,ABDBAC 利用 AB 为直径，证明90,ADBBCA 结合已知条件可得结论；2 利用等腰三角形的性质证明：,EBCFBC 再证明,CBFDAF 利用切线的性质与直径所对的圆周角是直角证明：,EBCCAB 从而可得答案【详解】1 证明：,ADBC =,ABDBAC ABQ为直径，90,ADBBCA,ABBACBADAB 2 证明：,90,BEBFACB,FBC

32、EBC 90,ADCACBDFACFB ,DAFFBCEBC BE 为半圆O 的切线，90,90,ABEABCEBC 90,ACB90,CABABC,CABEBC,DAFCAB AC平分DAB例 10、如图，已知 BC 是O 的直径，半径 OABC，点 D 在劣弧 AC 上（不与点 A，点 C 重合），BD 与OA 交于点 E设AED，AOD，则（）A3+180B2+180C390D290【答案】D【提示】根据直角三角形两锐角互余性质，用 表示CBD，进而由圆心角与圆周角关系，用 表示COD，最后由角的和差关系得结果【详解】解：OABC，AOBAOC90，DBC90BEO90AED90，COD

33、2DBC1802，AOD+COD90，+180290，290，故选：D例 11、如图，点,A B S 在圆上，若弦 AB 的长度等于圆半径的 2 倍，则ASB的度数是()A22.5B30C45D60【答案】C【提示】设圆心为O，连接OAOB、，如图，先证明 OAB 为等腰直角三角形得到90AOB，然后根据圆周角定理确定ASB的度数【详解】解：设圆心为O，连接OAOB、，如图，弦 AB 的长度等于圆半径的 2 倍，即2ABOA，222OAOBAB，OAB 为等腰直角三角形，90AOB，1452ASBAOB故选 C【题型】六、同弧或等弧所对的圆周角相等 例 12、如图，四边形 ABCD 的外接圆为

34、O，BCCD，35DAC，45ACD，则ADB的度数为（）A55B60C65D70【答案】C【提示】根据同弧所对的圆周角相等及等边对等角，可得35CDB，根据三角形的内角和可得100ADC，利用角的和差运算即可求解【详解】解：35DAC，35DBC，BCCD，35CDB，45ACD，100ADC，65ADBADCCDB，故选：C例 13、如图，点 A、B、C、D 在O 上，120AOC，点 B 是的中点，则D的度数是（）A30B40C50D60【答案】A【提示】根据圆心角、弧、弦的关系定理得到AOB 12 AOC，再根据圆周角定理解答【详解】连接 OB，点 B 是的中点，AOB 12 AOC6

35、0，由圆周角定理得，D 12 AOB30，故选：A【题型】七、直径所对的圆周角是直角 例 14、如图，A 是圆O 上一点，BC 是直径，2AC，4AB，点 D 在圆O 上且平分弧 BC，则 DC 的长为（）A2 2B 5C2 5D 10【答案】D【提示】由 BC 是圆 O 的直径，可得A=D=90，又 D 在圆O 上且平分弧 BC，则CBD=BCD=45，即 BCD 是等腰直角三角形.在 Rt ABC 中，根据勾股定理求出 BC 长，从而可求 DC 的长.【详解】解：BC 是圆 O 的直径，A=D=90.又 D 在圆O 上且平分弧 BC，CBD=BCD=45，即 BCD 是等腰直角三角形.在

36、Rt ABC 中，2AC，4AB，根据勾股定理，得 BC=22ACAB=2 5.BCD 是等腰直角三角形，CD=2BC=10.故选:D.例 15、如图，AB 是半圆的直径，C、D 是半圆上的两点，ADC106，则CAB 等于（）A10B14C16D26【答案】C【提示】连接 BD，如图，根据圆周角定理得到ADB90，则可计算出BDC16，然后根据圆周角定理得到CAB 的度数【详解】解：连接 BD，如图，AB 是半圆的直径，ADB90，BDCADCADB1069016，CABBDC16故选：C圆的有关概念（达标训练）一、单选题1如图，点 A，B，C 在O 上，2ACAB，38ABC，连接OA交

37、BC 于点 M，则AMC的度数是（）A108B109C110D112【答案】B【分析】连接OB，OC 由已知条件求得AOB，由OCOB，得OCBOBC，继而求得109AMCOMB，再根据三角形内角和性质，即可求得AMC【详解】如解图，连接OB，OC，38ABC，276AOCABC 2ACAB，1382AOBAOC OCOB，11807638332OCBOBC ，1801803833109OMBAOBOBC ，109AMCOMB 故选 B【点睛】本题考查了圆心角定理，圆周角定理，三角形内角和定理，等边对等角，熟悉以上知识是解题的关键2如图，四个边长为 1 的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O

38、是小正方形顶点，O 的半径为 1，P 是O 上的点，且位于右上方的小正方形内，则 sinAPB 等于（）A 12B22C32D1【答案】B【分析】由图，APB与AOB为同弧所对的角，根据同圆内，同弧所对的圆周角与圆心角的关系即可求得答案【详解】解：A、B、O 是小正方形顶点，90AOB，1452APBAOB（同圆内，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半），2sinsin 452APB，故选：B【点睛】本题考查了同圆内，同弧所对的圆周角与圆心角的一半及特殊角的三角函数值，解题关键熟悉特殊角的正弦值及同圆内，同弧所对的圆周角与圆心角的一半的性质3如图，CD 是圆 O 的直径，AB 是圆 O 的弦，且

39、AB=10，若 CDAB 于点 E，则 AE 的长为（）A4B5C6D8【答案】B【分析】由垂径定理可得，直径 CD 垂直平分 AB，即 AE=12 AB【详解】解：AB 是圆 O 的弦，CDABAE=12 AB=5故答案为 B【点睛】本题考查了垂径定理的应用，垂径定理是垂直与弦的直径平分这条弦.4如图，O 的直径 AB 垂直于弦 CD，垂足为点 E，连接 AC，CAB=22.5，AB=12，则 CD 的长为（）A3 2B6C6 2D63【答案】C【分析】连接 OC，求出COB=45，根据垂径定理求出 CD=2CE，根据勾股定理求出 CE 即可【详解】解：连接 OC，则 OC=12 AB=12

40、 12=6，OA=OC，CAB=22.5，CAB=ACO=22.5，COB=CAB+ACO=45，ABCD，AB 为直径，CD=2CE，CEO=90，OCE=COB=45，OE=CE，CE2+OE2=OC2，2CE2=62，解得：CE=3 2，即 CD=2CE=6 2，故选：C【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的外角性质，垂径定理等知识点，能求出 CE=OE是解此题的关键5如图，CD 是O 的直径，弦 ABCD 于点 E，则下列结论不一定成立的是（）AAEBEBOEDEC ACBCD ADBD【答案】B【分析】根据垂径定理即可判断【详解】解：CD 是O 的直径，弦 ABCD于

41、点 E，AEEB，ACBC，ADBD故选：B【点睛】本题主要考查垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键6如图，AB 是O 的弦，OCAB，交O 于点 C，连接 OA，OB，BC，若20ABC，则AOB 的度数是（）A40B50C60D80【答案】D【分析】根据圆周角定理得出AOC=40，进而利用垂径定理即可得出AOB=80【详解】解：ABC=20，AOC=40，AB 是O 的弦，OCAB，AOC=BOC=40，AOB=80故选 D【点睛】此题考查垂径定理、圆周角定理，关键是根据圆周角定理得出AOC=407如图，AB 为O 的直径，AE 为O 的弦，C 为优弧 ABE的中点，CDAB，垂足为 D，8

42、AE ，2DB ，则O 的半径为（）A6B5C4 2D4 3【答案】B【分析】如图，连接CO，延长CO交 AE 于点T设O 的半径为r证明AOTCOD AAS，推出4CDAT，在 Rt COD中，根据222OCCDOD，构建方程求解【详解】解：如图，连接CO，延长CO交 AE 于点 T，设O 的半径为 r，ACCE，CTAE，142ATTEAE，在 AOT 和AOD中，90ATOCDOAOTCODAOCO ，AOTCOD AAS，4CDAT，在 Rt COD中，222OCCDOD，2224(2)rr，5r ，故选：B【点睛】此题主要考查圆心角，弧，弦之间的关系，垂径定理，勾股定理，全等三角形的

43、判定和性质等知识，解答该题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，该题属于中考常考题型8已知点C 在线段 AB 上（点C 与点,A B不重合），过点,A B的圆记为圆1O，过点,B C 的圆记为圆2O，过点,C A的圆记为圆3O，则下列说法中正确的是（）A圆1O 可以经过点CB点C 可以在圆1O 的内部C点 A 可以在圆2O 的内部D点 B 可以在圆3O 内部【答案】B【分析】根据题意，画出符合题意的示意图，然后求解【详解】解：点C 在线段 AB 上（点C 与点,A B不重合），过点,A B的圆记为圆1O，点C 可以在圆1O 的内部，故 A 错误，B 正确；过点,B C 的圆记为圆2O，点 A 可

44、以在圆2O 的外部，故 C 错误；过点,C A的圆记为圆3O，点 B 可以在圆3O 的外部，故 D 错误故选 B【点睛】本题考查点与圆的位置关系，画出适当的辅助图形，采用数形结合的方法，更有助于解题.9如图，AB 为O 的直径，点 C 为O 上的一点，过点 C 作O 的切线，交直径 AB 的延长线于点 D；若23A ，则D的度数是（）A23B44C46D57【答案】B【分析】连接OC，由切线的性质可得90OCD由圆周角定理可求得COD的度数，再由直角三角形两锐角互余即可求得答案【详解】解：连接OC，如图，OC 为O 的切线，OCCD，90OCD，246CODA ，904644D 故选：B【点睛

45、】本题考查了切线的性质，圆周角定理等，正确添加辅助线，熟练运用相关知识是解题的关键10如图，已知四边形 ABCD 内接于O，BDC130，则BOC 的度数为（）A130B120C110D100【答案】D【分析】根据圆内接四边形的性质得出50A，再根据圆周角定理即可求出BOD的度数【详解】四边形 ABCD内接于O，180AD，而130D，18050AD，2100BOCA故选：D【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质的应用，关键是熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质11在平面内与点 P 的距离为 1cm 的点的个数为（）A无数个B3 个C2 个D1 个【答案】A【分析】根据在平面内到定

46、点的距离等于定长的点组成的图形为圆进行求解即可【详解】解：在平面内与点 P 的距离为 1cm 的点在以 P 为圆心，以 1cm 长为半径的圆上，在平面内与点 P 的距离为 1cm 的点的个数为无数个，故选：A【点睛】本题主要考查了圆的定义，熟知圆的定义是解题的关键二、填空题12如图，ABC 是O 的内接正三角形，已知O 的半径为 6，则图中阴影部分的面积是_【答案】12【分析】根据等边三角形的性质得到A=60，根据圆周角定理求出BOC，根据扇形面积公式计算即可【详解】解：ABC 为正三角形，A=60，BOC=2A=120，S 阴=21206360=12，故答案为：12【点睛】本题考查了圆周角定

47、理，扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式是解题关键三、解答题13等腰 ABC 中，ABAC，以 AB 为直径作圆交 BC 于点 D，请仅用无刻度的直尺根据下列条件分别在图 1、图 2 中画一条弦，使这条弦的长度等于弦 BD（保留作图痕迹，不写作法，用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）（1）如图 1，90A；（2）如图 2，90A【答案】见解析【分析】（1）如图 1，连结 AD，由于 AB 为直径，则90ADB，由于 ABAC，所以 AD 平分BAC，即BADEAD，于是得到 BDDE；（2）如图 2，延长 CA 交圆于 E，连结 BE、DE，与（1）一样得到BADDAC，根据圆内接四边形的性质

48、可知DACDBE，所以DBEBAD，所以 DEBD【详解】解：（1）如图 1，DE 为所作：（2）如图 2，DE 为所作：【点睛】本题考查的知识点是作图中的复杂作图，利用知识点：同圆或等圆中，同弧（或等弧）所对圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等；圆内接四边形的对角互补；等腰三角形底边中线、底边上的高线、顶角的角平分线互相重合；掌握作图的一般方法是解此题的关键14如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的一条弦，且 CDAB 于 E，连接 AC，OC，BC（1）求证：1=2；（2）若2,6BECD，求O 的半径的长【答案】（1）见解析；（2）134R【分析】（1）根据垂径定理和圆的性质，同弧的

49、圆周角相等，又因为 AOC 是等腰三角形，即可求证（2）根据勾股定理，求出各边之间的关系，即可确定半径【详解】（1）证明：AB 是O 的直径，CDAB，BC=BDA=2又OA=OC，1=A12（2）AB 为O 的直径，弦 CDAB，CD=6CEO90，CEED3设O 的半径是 R，EB=2，则 OE=R-2在 Rt OEC 中，222(2)3RR解得：134R O 的半径是134R【点睛】本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的性质，关键是熟练运用垂径定理和圆周角的性质进行推理证明和计算圆的有关概念（提升测评）一、单选题1如图，AB 为O 的直径，点 C，D 在O 上若100BCD，则AOD的度数是

50、（）A15B20C25D30【答案】B【分析】连接 AC，由 AB 是圆的直径可得ACB=90，由BCD=100可得ACD=10，再由圆周角定理可得结论【详解】解：如图，连接 AC，AB 是O 的直径，ACB=90，BCD=100，ACD=10，AOD 与ACD 都对着 AD，AOD=2ACD=210=20故选B【点睛】此题考查了圆周角定理，解题的关键是熟记圆周角定理2如图，在半径为 R 的O 中，AB 是直径，AC 是弦，D 为弧 AC 的中点，AC 与 BD 交于点 E，已知A36，则AED 的度数为（）A36B56C63D72【答案】C【分析】由 AB 是O 的直径，可得ACB90，根据

51、已知条件可得ABC 的度数，由 D 为弧 AC 的中点，可得 ADDC，即可得出12ABDCDBABC，再根据三角形外角定理AEDAABD 代入计算即可得出答案【详解】解：AB 是O 的直径，ACB90，A36，ABC90A903654，D 为弧 AC 的中点，ADDC，11542722ABDCDBABC ，AEDAABD362763故选：C【点睛】本题主要考查了圆周角定理，弧、弦，圆心角之间的关系，熟练掌握圆周角定理，弧、弦，圆心角之间的关系进行求解是解决本题的关键3如图，点 A，B，C，D 在O 上，且2ACAB，若30AOB，则BDC的度数为（）A35B40C45D50【答案】C【分析】

52、如图所示，连接OC，先根据弧与圆心角的关系得到260AOCAOB，则90BOC，由此利用圆周角定理求解即可【详解】解：如图所示，连接OC，2ACAB，30AOB，260AOCAOB，90BOCAOCAOB，1452BDCBOC，故选 C【点睛】本题主要考查了圆周角定理，弧与圆心角的关系，正确求出90BOC是解题的关键4如图，AB 是O 的弦，半径OCAB于点 D，36A，点 P 在圆周上，则P等于（）A27B30C32D36【答案】A【分析】由垂径定理得到 ACBC，根据圆周角定理得到2AOCP ，由半径OCAB于点 D 推出AOD是直角三角形，即可求得54AOC，即可得到27P【详解】解：半

53、径OCAB于点 D，ACBC，2AOCP ，AOD是直角三角形，9054AOCA，27P 故选：A【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，熟练掌握定理是解题的关键5如图，已知 AB 是O 的直径，弦CDAB，垂足为 E，且22.5ACD，4CD，则O 的半径长为（）A2B2 2C4D10【答案】B【分析】根据垂径定理得出122DECD，根据圆周角定理得出45AOD，RtDOE中，根据勾股定理即可求解【详解】解：如图，连接OD，AB 是O 的直径，弦CDAB，4CD，122DECD，22.5ACD，ADAD，45AOD，DOE 是等腰直角三角形，22 2ODDE，故选：B【点睛】本题考查了垂径定

54、理，圆周角定理，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键6 AB 是O 的直径，弦30CDABCCD，4 3，则 S阴影（）AB2C 83D4【答案】C【分析】先求出EOD，再根据含30直角三角形的性质得CE，及=2ACAE，然后根据勾股定理求出 AE，进而得出 AC，同理求出OE，OD，最后根据=AODSS阴影扇形得出结论【详解】解：=30C，=2=60EODC.ABCD，AB 过圆心 O，=4 3CD，=90AECDEO，=2 3CEDE.=30EDO.在 Rt ACE 中，=30C，=2ACAE，根据勾股定理，得222(2)(2 3)AEAE，解得=2AE（负数舍去），24ACAE，同理=2O

55、E，=4OD，1=2 32=2 32AECOEDSS，26048=3603AODSS阴影扇形.故选：C【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，扇形的面积等，将求不规则图形面积转化为求规则图形的面积是解题的关键7如图，CD是O 的直径，弦 DEAO，若25A ，则D的度数为（）A30B40C50D60【答案】C【分析】由 OA=OC，得C=A=25，再由三角形外角性质得AOD=50，然后根据平行线的性质可求解【详解】解：CD是O 的直径，OA=OC，C=A=25，AOD=C+A=50，OADE，D=AOD=50，故选：C【点睛】本题考查圆的性质，等腰三角形的性质，三角形外角

56、的性质，平行线的性质，本题属基础题目，难度不大8如图，反比例函数的一个分支与O 有两个交点，且平分这个圆，以下说法正确的是（）A劣弧 AB 等于120B反比例函数的这个分支平分圆的周长C反比例函数的这个分支平分圆的面积D反比例函数图象必过圆心O【答案】B【分析】由题意可知 A，B 两点连线为圆的直径，弧 AB 为半圆，所对圆心角为180，由此可对各项进行判断【详解】AA，B 两点连线为圆的直径，弧 AB 为半圆，所对圆心角为180，不是120，故这个选项错误；B反比例函数的这个分支平分O，即反比例函数的这个分支把O 的周长平分，故这个选项正确；C反比例函数的这个分支能平分周长，所以A，B 两点

57、连线为圆的直径，这个分支就不能把O 的面积平分，故这个选项错误；D反比例函数的这个分支不可能过圆心O，否则无法平分圆，故这个选项错误故选 B【点睛】本题考查的是反比例函数的性质的运用，分别讨论可判断正误9如图所示，量角器的圆心 O 在矩形 ABCD 的边 AD 上，直径经过点 C，则OCB 的度数为（）A30B40C50D60【答案】B【分析】根据矩形的性质得到 BCAD，即可根据平行线的性质求解【详解】解：如图，AOE40，AOEDOC，DOC40，四边形 ABCD 是矩形，BCAD，OCBDOC40，故选：B【点睛】此题考查了矩形的性质，熟记矩形的对边平行是解题的关键10如图，一块直角三角

58、板的30角的顶点 P 落在O 上，两边分别交O 于 AB，两点，连结 AOBO，则AOB的度数是（）A30B60C80D90【答案】B【分析】根据圆周角定理解决问题即可【详解】解：30P，2AOBP 又，60AOB，故选：B【点睛】本题考查了圆周角定理，解决问题的关键是掌握圆周角定理，属于中考常考题型11下列说法正确的是（）A过一点有且只有一条直线与已知直线垂直B相等的圆心角所对的弧相等C若22ab，则abD一组数据3，2，5，3 的中位数、众数都是3【答案】D【分析】根据各个选项中的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题【详解】解：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故选项 A

59、错误；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故选项 B 错误；若22ab，则ab ，故选项 C 错误；一组数据 3，2，5，3 按照从小到大排列是 2，3，3，5，故这组数的中位数、众数都是 3，故选项 D 正确；故选：D【点睛】本题考查垂线、众数、中位数、与圆有关的知识，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个选项中的说法是否正确二、填空题12如图，O 的半径为 2，OABC，22.5CDA，则弦 BC 的长为_【答案】2 2【分析】连接 CO，22.5CDA，由圆周角定理知45EOC，又因为OABC，2OC，由锐角三角函数知2222CE，所以2 2BC【详解】解：如图，连接CO，22.5

60、CDA，45EOC，AOBC，2OC，2222CE，2 2BC故答案为：2 2【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，连接OC 运用垂径定理，特殊角的三角函数是解答此题的关键三、解答题13如图，四边形 ABCD是O 的内接四边形 DB平分ADC，连接,OC OCBD(1)求证：ABCD；(2)若66A，求ADB的度数【答案】(1)见解析(2)33【分析】（1）根据 DB平分ADC，可得 ABBC，再根据OCBD，可得 BCCD，从而得到 ABCD，即可（2）根据圆的内切四边形，对角互补，求出BCD，再利用垂径定理，可得 BCDC，可得到BDC，即可求解【详解】（1）证明：DB平分ADC，A

61、DBCDB，ABBC，OCBD，BCCD，ABCD，ABCD；（2）解：66A，18066114BCD，OCBD，BCCD，BCDC，1 180332BDCBCD，DB平分ADC，33BDCADB【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形的性质，垂径定理，圆周角定理14如图，O 外接于 ABC，延长 BO交O 于点 D，过点C 作CEBD交 BD于点 E(1)求证：BACBCE(2)若60BAC，2 3BC，求O 的半径【答案】(1)见解析(2)O 的半径为 2【分析】（1）连接CD，由圆周角定理可得90BCD，利用直角三角形

62、的性质及余角的定义可证得BCEBDC，进而可证明结论；（2）利用直角三角形的性质可得30CBD，即可得2BDCD，再利用勾股定理可求解 BD的长，进而可求解【详解】（1）证明：连接CD，BD是O 的直径，90BCD，90DCEBCE，CEBD，90CED，90BDCDCE，BCEBDC，BACBDC，BACBCE；（2）解：60BAC，60BDCBCE，90BCD，30CBD，2BDCD，2 3BC，222BDCDBC，222(2)(2 3)CDCD，解得2CD ，4BD，O 的半径为 2【点睛】本题主要考查含30角的直角三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，直角三角形的性质等知识的综合运用，作合适的辅助线是解题的关键