专题29二次函数与相似压轴问题-【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（原卷版）.docx

1、【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题29二次函数与相似压轴问题经典例题【例1】（2022广西桂林统考中考真题）如图，抛物线yx2+3x+4与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动(1)直接写出A，B，C三点的坐标；(2)求CP+PQ+QB的最小值；(3)过点P作PMy轴于点M，当CPM和QBN相似时，求点Q的坐标【例2】（2022四川绵阳统考中考真题）如图，抛物线yax2bxc交x轴于A(-1，0)，B两点，交y轴于点C(0，3)，顶点D的横坐标为1(1

2、)求抛物线的解析式；(2)在y轴的负半轴上是否存在点P使APBACB180若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；(3)过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MFl，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由【例3】（2022辽宁统考中考真题）抛物线yax22x+c经过点A(3，0)，点C(0，3)，直线yx+b经过点A，交抛物线于点E抛物线的对称轴交AE于点B，交x轴于点D，交直线AC于点F(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点P为直线AC下方抛

3、物线上的点，连接PA，PC，BAF的面积记为S1，PAC的面积记为S2，当S238S1时求点P的横坐标；(3)如图，连接CD，点Q为平面内直线AE下方的点，以点Q，A，E为顶点的三角形与CDF相似时（AE与CD不是对应边），请直接写出符合条件的点Q的坐标【例4】（2022湖南统考中考真题）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3(a0)的图像与x轴交于A(1,0)，B(4,0)两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点(1)求抛物线的函数表达式及点D的坐标；(2)若四边形BCEF为矩形，CE=3点M以每秒1个单位的速度从点C沿CE向点E运动，同时点N以每秒2个单位的速度从点E沿EF向点F运动，一点到

4、达终点，另一点随之停止当以M、E、N为顶点的三角形与BOC相似时，求运动时间t的值；(3)抛物线的对称轴与x轴交于点P，点G是点P关于点D的对称点，点Q是x轴下方抛物线图像上的动点若过点Q的直线l:y=kx+m(|k|94)与抛物线只有一个公共点，且分别与线段GA、GB相交于点H、K，求证：GH+GK为定值培优训练一、解答题1（2022广西玉林统考中考真题）如图，已知抛物线：y=2x2+bx+c与x轴交于点A，B(2,0)（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线x=12，P是第一象限内抛物线上的任一点(1)求抛物线的解析式；(2)若点D为线段OC的中点，则POD能否是等边三角形？请说明理

5、由；(3)过点P作x轴的垂线与线段BC交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与BMH相似，求点P的坐标2（2022湖南衡阳统考中考真题）如图，已知抛物线y=x2x2交x轴于A、B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y轴于点C(1)写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；(2)若直线y=x+b与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值；(3)P为x轴正半轴上一动点，过点P作PMy轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点P，使CMN与OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由

6、3（2021黑龙江统考中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+3(a0)与x轴交于点A1,0和点B3,0，与y轴交于点C，连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D（1）求抛物线的解析式；（2）点P是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点Q在射线ED上，若以点P、Q、E为顶点的三角形与BOC相似，请直接写出点P的坐标4（2022四川绵阳东辰国际学校校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线y=43x+4与x轴，y轴分别交于B、C两点，抛物线y=ax2+bx+c经过B、C两点，与x轴负半轴交于点A，连接AC，且cosCAB=1717(1)求抛物线解析式(2)点P是抛物线上的一点当点P在第一象限时

7、，过点P作PDy轴交BC于点D，过点D作DEy轴交于点E，连接EP，当PDE和BOC相似时，求点P的坐标当ABP=12ABC时，求点P的坐标5（2022内蒙古包头模拟预测）如图，已知正方形OABC的边OC，OA分别在x轴和y轴的正半轴上，点B的坐标为4，4二次函数y=16x2+bx+c的图象经过点A，B，且x轴的交点为E，F点P在线段EF上运动，过点O作OHAP于点H直线OH交直线BC于点D，连接AD(1)求b，c的值及点E和点F的坐标；(2)在点P运动的过程中，当AOP与以A，B，D为顶点的三角形相似时，求点P的坐标；(3)当点P运动到OC的中点时，能否将AOP绕平面内某点旋转90后使得AO

8、P的两个顶点落在x轴上方的抛物线上？若能，请直接写出旋转中心M的坐标；若不能，请说明理由6（2022江苏无锡无锡市天一实验学校校考模拟预测）如图，抛物线y=14x2+bx+c与x轴的一个交点为A2，0，与y轴的交点为B0，4，对称轴与x轴交于点P(1)求抛物线的解析式；(2)点M为y轴正半轴上的一个动点，连接AM，过点M作AM的垂线，与抛物线的对称轴交于点N，连接AN若AMN与AOB相似，求点M的坐标；若点M在y轴正半轴上运动到某一位置时，AMN有一边与线段AP相等，并且此时有一边与线段AP具有对称性，我们把这样的点M称为“对称点”，请直接写出“对称点”M的坐标7（2022山东济南模拟预测）如

9、图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l与抛物线y=mx2+nx相交于A1，3，B4，0两点(1)求出抛物线的解析式；(2)在坐标轴上是否存在点D，使得ABD是以线段AB为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；(3)点P是线段AB上一动点，（点P不与点A、B重合），过点P作PMOA，交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MCx轴于点C，交AB于点N，若BCN，PMN的面积SBCN，SPMN满足SBCN=2SPMN，求出MNNC的值，并求出此时点M的坐标8（2022山东济南统考一模）如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知A，B两点坐标

10、分别是A(1,0)，B(4,0)，连接AC,BC(1)求抛物线的表达式；(2)将ABC沿BC所在直线折叠，得到DBC，点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上？若点D在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由；(3)若点P是抛物线位于第二象限图象上的一动点，连接AP交BC于点Q，连接BP，BPQ的面积记为S1，ABQ的面积记为S2，求S1S2的值最大时点P的坐标9（2022山东济南统考模拟预测）如图，直线y=23x+c与x轴交于点A3,0，与y轴交于点B，抛物线y=43x2+bx+c经过点A，B (1)求点B的坐标和抛物线的解析式；(2)M为线段OA上一动点，过点M且垂直于x轴

11、的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N若以B，P，N为顶点的三角形与APM相似，求点M的坐标；(3)将抛物线在0x3之间的部分记为图象L，将图象L在直线y=t上方部分沿直线y=t翻折，其余部分保持不动，得到一个新的函数图象，记这个函数的最大值为a，最小值为b，若ab2，请直接写出t的取值范围10（2022辽宁丹东校考一模）已知抛物线y=12x2+bx+c经过点A(2,0)，B(0,4)，与x轴交于另一点C，连接BC(1)求抛物线的解析式；(2)如图，P是第一象限内抛物线上一点，且SPBO=SPBC，求直线AP的表达式；(3)在抛物线上是否存在点D，直线BD交x轴于点E，使ABE与以A，B，C

12、，E中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由11（2022宁夏银川校考三模）如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标为6,0、6,8，动点M、N分别从O、B同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中点M 沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动，过点N作NPBC，交AC于点P，连接MP，已知动点运动了x秒(1)用含x的代数式表示P的坐标(2)设四边形OMPC的面积是y，求y的最小值，求出此时x的值(3)是否存在x的值，使以 P 、A 、M 为顶点的三角形与AOC相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由12（2022河

13、南郑州统考一模）已知，二次函数y=ax2+bx3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于C点，点A的坐标为1,0，且OB=OC(1)求二次函数的解析式；(2)当0x4时，求二次函数的最大值和最小值分别为多少？(3)设点C与点C关于该抛物线的对称轴对称在y轴上是否存在点P，使PCC与POB相似，且PC与PO是对应边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由13（2022四川成都成都市树德实验中学校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=14x2+32x+4与两坐标轴分别相交于A，B，C三点(1)求证：ACB=90；(2)点D是第一象限内抛物线上的动点，过点D作

14、x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F求DE+255BE的最大值；点G是AC的中点，若以点C，D，E为顶点的三角形与AOG相似，求点D的坐标14（2022湖南长沙校考三模）如图1，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为D0,1，且经过点A2,2(1)求二次函数的解析式；(2)过点A的直线与二次函数图象的另一交点为B，与y轴交于点C，若BDC的面积是ADC的两倍，求直线AB的解析式；(3)如图2，已知Em,0，是x轴上一动点（E，O不重合），过E的两条直线l1，l2与二次函数均只有一个交点，且直线l1，l2与y轴分别交于点M、N对于任意的点E，在y轴上（点M、N上方）是否存在一点F0,t，

15、使FEMFNE恒成立若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由15（2022黑龙江绥化校考三模）如图，抛物线经过A4,0,B1,0,C0,2三点(1)求出抛物线的解析式；(2)在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得DCA的面积最大，求出点D的坐标；(3)P是直线x=1右侧的抛物线上一动点，过P作PMx轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A,P,M为顶点的三角形与OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由16（2022广东深圳深圳市海滨中学校考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线yax2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，2）(

16、1)求抛物线的函数表达式；(2)如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，连接BD，记BDE的面积为S1，ABE的面积为S2，求S1S2的最大值；(3)如图2，连接AC，BC，过点O作直线lBC，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使PQBCAB？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由17（2022广东深圳深圳市宝安第一外国语学校校考三模）已知抛物线C1：y=(x1)2+1与y轴交于点A，过点A与点1,3的直线与C1交于点B(1)求直线AB的函数表达式；(2)如图1，若点P为直线AB下方的C1上一点，求点P到直

17、线AB的距离的最大值；(3)如图2，将直线AB绕点A顺时针旋转90后恰好经过C1的顶点C，沿射线AC的方向平移抛物线C1得到抛物线C2，C2的顶点为D，两抛物线相交于点E.设交点E的横坐标为m.若AED=90，求m的值18（2022广东深圳深圳市南山外国语学校校考三模）已知抛物线OPE与x轴的交点为点O、点E且OE=4，点A是抛物线OPE的一个动点(不与点O、E重合)，作ABx轴于点B，线段AB的最大值是PM=4(1)求抛物线OPE的解析式(2)当点A运动到什么位置时，图中的矩形ABCD是正方形？并求出点A的坐标(3)是否在此抛物线上存在点A使得ABO与PMO相似？若存在，请求出点A的坐标；若

18、不存在，请说明理由19（2022广东东莞校考一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+bx+c与直线y=12x+1交于A、B两点，抛物线与y轴交于点C，直线y=12x+1与x轴交于点D，与y轴交于点E，且DCB=90，CB=CD(1)求抛物线的解析式(2)在BD上是否存在点F，使得以C、D、F为顶点的三角形与BCE相似？如果存在，请求出点F的坐标；如果不存在，请说明理由20（2021江苏宿迁一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线yax2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，2）(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连

19、接AD，BC交于点E，连接BD，记BDE的面积为S1，ABE的面积为S2，求S1S2的最大值；(3)如图2，连接AC，BC，过点O作直线lBC，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使PQBCAB？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由21（2022湖北襄阳模拟预测）如图，抛物线y=ax2+bx3交x轴于A3,0，B1,0两点，与y轴交于点C.连接AC，BC(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点P为抛物线在第三象限的一个动点，PMx轴于点M，交AC于点G，PEAC于点E，当PGE的面积为1时，求点P的坐标；(3)如图2，若Q为抛物线

20、上一点，直线OQ与线段AC交于点N，是否存在这样的点Q，使得以A，O，N为顶点的三角形与ABC相似若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由22（2022广东河源统考二模）如图，直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=ax2+bx+c经过A，B两点，点C的坐标为1,0，AO=3CO=3BO，点C关于点B的对称点M刚好落在抛物线上，连接AM(1)求点M的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)过点M作MD平行于y轴交AB于点D，若点E为抛物线上的一点，点F在x轴上，连接AE，AF，EF是否存在点F使得ADM与AEF相似？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由23

21、（2022青海西宁统考二模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），顶点为D（4，-1），对称轴与直线BC交于点E，与x轴交于点F(1)求二次函数的解析式；(2)点M在第一象限抛物线的对称轴上，若点C在BM的垂直平分线上，求点M的坐标；(3)如图，过点E作对称轴的垂线在对称轴的右侧与抛物线交于点H，x轴上方的对称轴上是否存在一点P，使以E，H，P为顶点的三角形与EFB相似，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由24（2022山东泰安统考二模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=12x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=12x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B(1)求抛物线的函数表达式；(2)点D为直线AC上方抛物线上一动点，连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，求DEEB的最大值；过点D作DFAC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得CDF中的DCF2BAC，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由