专题29初等数论（学生版）备战2021年高中数学联赛之1981-2020年高中数学联赛二试试题分专题训练.docx

1、备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编(1981-2020)专题29初等数论历年联赛真题汇编1【2020高中数学联赛B卷(第02试)】设a,b为不超过12的正整数,满足:存在常数C,使得an+bn+9C(mod13)对任意正整数n成立.求所有满足条件的有序数对(a,b).2【2019高中数学联赛A卷(第02试)】设m为整数，|m|2.整数数列a1,a2,满足:a1,a2不全为零，且对任意正整数n，均有an+2=an+1-man.证明:若存在整数r、s(rs2)使得ar=as=a1，则r-sm.3【2019高中数学联赛B卷(第02试)】求满足以下条件的所有正整数n:(1)n至少有4个正因数；(

2、2)若d1d2dk是n的所有正因数，d2-d1,d3-d2,，dk-dk-1构成等比数列.4【2018高中数学联赛B卷(第02试)】给定整数a2.证明:对任意正整数n，存在正整数k，使得连续n个数ak+1,ak+2,ak+n均是合数.5【2017高中数学联赛A卷(第02试)】设m、n均是大于1的整数，mn.a1,a2,an是n个不超过m的互不相同的正整数，且a1,a2,an互质.证明:对任意实数x，均存在一个i(1in)，使得aix2m(m+1)x，这里y表示实数y到与它最近的整数的距离.6【2015高中数学联赛(第02试)】求具有下述性质的所有正整数k：对任意正整数n，2(k-1)n+1|k

3、n!n!不成立.7【2014高中数学联赛(第02试)】设整数x1,x2,x2014模2014互不同余，整数y1,y2,y2014模2014也互不同余.证明：可将y1,y2,y2014重新排列为z1,z2,z2014，使得x1+z1,x2+z2,x2014+z2014模4028互不同余.8【2013高中数学联赛(第02试)】设n，k为大于1的整数，n2k.证明：存在2k个不被n整除的整数，若将它们任意分成两组，则总有一组有若干个数的和被n整除.9【2009高中数学联赛(第02试)】设k，l是给定的两个正整数.证明：有无穷多个正整数mk，使得Cmk与l互素.10【2007高中数学联赛(第02试)】

4、设集合P=1，2，3，4，5.对任意kP和正整数m，记fm,k=i=15mk+1i+1，其中a表示不大于a的最大整数.求证：对任意正整数n，存在kP和正整数m，使得f(m,k)=n.11【2004高中数学联赛(第02试)】对于整数n4，求出最小的整数f(n)，使得对于任意正整数m，集合m，m+1，m+2，m+n1的任何一个f(n)元子集中，均有至少3个两两互素的元素.12【1995高中数学联赛(第02试)】求一切实数p，使得三次方程5x3-5(p+1)x2+(71p-1)x+1=66p的三个根均为自然数.13【1994高中数学联赛(第02试)】将与105互素的所有正整数从小到大排成数列，试求出

5、这个数列的第1000项.14【1991高中数学联赛(第02试)】设an为下述自然数N的个数：N的各位数字之和为n且每位数字只能取1，3或4，求证：a2n是完全平方数，这里n=1，2，15【1989高中数学联赛(第02试)】有nn(n4)的一张空白方格表，在它的每一个方格内任意地填入+1与1两数中的一个，现将表内n个两两既不同行(横)又不同列(竖)的方格中的数的乘积称为一个基本项.试证：按上述方式所填成的每一个方格表，它的全部基本项之和总能被4整除(即总能表成4k的形式，其中kZ).16【1985高中数学联赛(第02试)】在直角坐标系xOy中，点Ax1,y1和点Bx2,y2的坐标均为正整数.OA

6、与x轴正方向的夹角大于45，OB与x轴正方向的夹角小于45，B在x轴上的射影为B，A在y轴上的射影为A，OBB的面积比OAA的面积大33.5.由x1,y1,x2,y2组成的四位数x1x2y2y1=x1103+x2102+y210+y1试求出所有这样的四位数，并写出求解过程.17【1984高中数学联赛(第02试)】设an是12+22+n2的个位数字，n=1，2，3，.试证0.a1a2an是有理数.优质模拟题强化训练1设k、l、c均为正整数，证明：存在正整数a、b满足b-a=c(a,b)，且(a)(a(a,b)l=(b)(ba,b)k，其中(a，b)表示a、b的最大公因数，(m)表示正整数m的所有

7、不同正因子的个数.2求所有的正整数n，使得方程1x12+1x22+1xn2=n+1xn+12有正整数解.3求证：不存在无穷多项的素数数列p1,p2,pn,，使得pk+1=5pk+4,k=1,2,.4设m，n是正整数，满足mn|m2+n2+1.证明：m2+n2+1=3mn.5求证：对任意的nN*，32n+2-8n-9能被64整除.6求最小的正整数n，使得当正整数点kn时，在前k个正整数构成的集合M=1,2,k中，对任意xM总存在另一个数yM且yx，满足x+y为平方数7设kZ+，定义：A1=1，An+1=nAn+2(n+1)2kn+2(n=1,2).证明：当n1时，An为整数，且An为奇数当且仅当

8、n1或2(mod4).8已知a、b、c、d、e、e为整数，方程ax5-2bx4+3cx3-5dx2+7ex-2024=0有正整数解证明：存在无穷多个正整数k使得61|(11k5-7ek4+5dk3-3ck2+2bk-a)9已知an=i=0n-110i(n=1,2,)，求证：存在无穷多个正整数n，使a1,a2,an除以n的余数互不相同。10已知n(n3,nN+)个两两互质的正整数a1,a2,an满足：可以适当添加“+”或“-”使得其代数式的和为0.问：是否存在一组正整数b1,b2,bn(允许有相同的)，使得对任意正整数k，都有b1+a1k,b2+a2k,bn+ank两两互质.11(1)若p为奇素

9、数,a、b、nN+,p|(a-b),p|b,ab ,证明： panpaan-bna-b; (2)若a,b是不同的正有理数,使得存在无穷多个正整数n,满足an-bn是正整数.证明：a,b也是正整数.12已知a、b、c为正整数，且a(a+b)(a+bc)是一个素数的幂.证明：1+bca必为1+ba的某个正整数次幂.13给定正整数n(n3).已知a1a2c0，(a,c)=1；(2)对任意给定的正整数k，恰有k个正整数n，使得(an+b)|(cn+d)。16设x是一个大于1的正整数，p是素数，d|xp-1x-1.(1)证明：d0(modp)或d1(modp)；(2)若d是不同于p的素数，则xd-10(modp)恰有d个不同的解(即模p互不同余).17求最大的正整数n，使得对于任意整数a，若(a，n)1，均有a2(modn).18求最小的两个正整数m，使得47(m2+46m+713)为完全平方数.19证明：存在无穷多个正整数n，使得(n+n5)|n，其中，x表示不超过实数x的最大整数。20求所有素数p，使得p2|k=1p-1k2p+1.