专题3.29 《圆》中的切线证明专题（专项练习）.docx

1、 专题3.29 圆中的切线证明专题（专项练习）1如图已知AB是O的直径，点C，D在O上，DC平分ACB，点E在O外，(1)求证：AE是O的切线；(2)求AD的长2如图，为的直径，切于点，与的延长线交于点，交延长线于点，连接，已知，（1）求证：是的切线；（2）求的半径（3）连接，求的长3在RtABC中，ACB90，BE平分ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的O经过点E，且交BC于点F（1）求证：AC是O的切线；（2）若BF6，O的半径为5，求CE的长4 如图，BD是O的直径，AB与O相切于点B，点C在O上，CDAO，求证：AC是O的切线5如图，是的直径，延长至点，点是上一点，延长交于点，连结

2、、，且（1）求证：是的切线（2）求的长度（结果保留）6如图，以RtABC的AC边为直径作O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF和AD（1）求证：EF是O的切线；（2）若O的半径为2，EAC60，求AD的长7如图，在RtABC中，ACB=90，以AC为直径作O交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F（1）求证：DE是O的切线；（2）若CF=2，DF=4，求O直径的长8如图，以ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，AC=FC（1）求证：AC是O的切线；（

3、2）已知圆的半径R=5，EF=3，求DF的长9如图，AB、CD是O中两条互相垂直的弦，垂足为点E，且AECE，点F是BC的中点，延长FE交AD于点G，已知AE1，BE3，OE（1）求证：AEDCEB；（2）求证：FGAD；（3）若一条直线l到圆心O的距离d，试判断直线l是否是圆O的切线，并说明理由10如图，AB为O的直径，C、D为O上的两个点，连接AD，过点D作DEAC交AC的延长线于点E（1）求证：DE是O的切线（2）若直径AB6，求AD的长11如图，AB为O的直径，C为O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分DAB（1）求证：DC为O的切线；（2）若DAB60，O的半径为

4、3，求线段CD的长12如图，AB为的直径，弦，垂足为点P，直线BF与AD延长线交于点F，且（1）求证：直线BF是的切线；（2）若，求的半径13如图，已知是等边三角形的外接圆，点在圆上，在的延长线上有一点,使,交于.（1）求证：是的切线；（2）求证：.14如图，在RtABC中，C90，AD是BAC的角平分线，以AB上一点O为圆心，AD为弦作O（1）尺规作图：作出O（不写作法与证明，保留作图痕迹）；（2）求证：BC为O的切线15如图，已知的直径为，于点，与相交于点，在上取一点，使得（1）求证：是的切线；（2）填空：当，时，则_连接，当的度数为_时，四边形为正方形16如图1，四边形内接于，为直径，过

5、点作于点，连接（1）求证：；（2）若是的切线，连接，如图2请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；当AB=2时，求AD， AC与围成阴影部分的面积17如图，AB是O的直径，于点B，连接OC交O于点E，弦，弦于点G（1）求证：点E是弧BD的中点；（2）求证：CD是O的切线；（3）若，O的半径为5，求弦DF的长18如图，在中，C=90，以BC为直径的O交AB于点D，在线段AC上取点E，使A=ADE（1）求证：DE是O的切线；（2）若A=30，O的半径为2，求图中阴影部分的面积（结果保留）19如图，已知P是O外一点，PO交圆O于点C，OC=CP=2，弦ABOC，AOB=120，连接PB(1)求BC的

6、长；(2)求证：PB是O的切线20如图，AB是O的直径，点C在O上，CAB的平分线交O于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E （1）证明：ED是O的切线； （2）若O半径为3，CE2，求BC的长21如图，四边形ABCD的三个顶点A、B、D在O上，BC经过圆心O，且交O于点E，A120，C30（1）求证：CD是O的切线（2）若CD6，求BC的长（3）若O的半径为4，则四边形ABCD的最大面积为 22如图，AB、AC分别是O的直径和弦，ODAC于点D过点A作O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点E（1）求证：PC是O的切线（2）若ABC60，AB2，求图中阴影部分的面积2

7、3如图，在ABC中，以AB为直径的O交AC于点M，弦MNBC交AB于点E，且MENE3（1）求证：BC是O的切线；（2）若AE4，求O的直径AB的长度24在中，以为直径的圆交于，交于.过点的切线交的延长线于求证：是的切线25如图，已知是的直径，连接，弦，直线交的延长线于点.（1）求证：是的切线；（2）若，的半径为2，求线段的长26如图，四边形OABC中，OA=OC， BA=BC以O为圆心，以OA为半径作O(1)求证：BC是O的切线:(2)连接BO并延长交O于点D，延长AO交O于点E，与此的延长线交于点F若补全图形；求证：OF=OB27如图，在RtABC中，ACB90，以AC为直径的O与AB边交

8、于点D，E为BC的中点，连接DE（1）求证：DE是O的切线；（2）若ACBC，判断四边形OCED的形状，并说明理由28如图，中，以为直径作，点为上一点，且，连接并延长交的延长线于点（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；（2）若，求的值29如图，A，B是上两点，且，连接OB并延长到点C，使，连接AC（1）求证：AC是的切线（2）点D，E分别是AC，OA的中点，DE所在直线交于点F，G，求GF的长参考答案1（1）证明见解析；（2）【分析】（1）根据圆周角定理可知，由直径所对圆周角是90，可知和互余，推出和互余，和互余，从而证明结论（2）DC平分ACB可知，根据圆周角定理可知，是等腰直角三角形，A

9、D的长是圆半径的倍，计算求出答案（1）证明：和是所对圆周角，；AB是圆的直径，在中，AE是O的切线（2）如图：AB是圆的直径，DC平分ACB，是直角三角形；，【点拨】本题考查圆周角定理、勾股定理，熟练运用圆周角定理是解题关键2（1）证明见解析；（2）圆的半径为；（3）【分析】（1）由已知角相等、对顶角相等，根据三角形内角和180得到，即可解题；（2）在直角三角形PBD中，由PB与DB的长，利用勾股定理求出PD的长，由切线长定理得到PC=PB，由PD-PC求出CD的长，在直角三角形OCD中，设OC=r，则OD=8-r，利用勾股定理列出关于方程的解得到r的值，即为圆的半径；（3）延长、相交于点，根

10、据切线的性质及角平分线的性质，证明，继而解读BF的长，再由勾股定理解题即可（1）证明：，为的切线；（2）解：在中，根据勾股定理得：，与都为的切线，；在中，设，则有，根据勾股定理得：解得：，则圆的半径为（3）延长、相交于点与都为的切线，平分又，在中，【点拨】本题考查切线的判定与性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键3（1）详见解析；（2）4【分析】（1）首先利用等腰三角形的性质和角平分线的定义得出EBCOEB，然后得出OEBC，则有OEAACB=90，则结论可证（2）连接OE、OF，过点O作OHBF交BF于H，首先证明四边形OHCE是矩形，则有，然后利用等腰三角形的性

11、质求出BH的长度，再利用勾股定理即可求出OH的长度，则答案可求（1）证明：连接OEOEOB，OBEOEBBE平分ABC，OBEEBC，EBCOEB，OEBC， OEAACBACB90，OEA90AC是O的切线； （2）解：连接OE、OF，过点O作OHBF交BF于H，OHBF， 四边形OECH为矩形， OHCE，BF6，BH3在RtBHO中，OB5，OH4， CE4【点拨】本题主要考查切线的判定，等腰三角形的性质，矩形的性质，勾股定理，掌握切线的判定，等腰三角形的性质，矩形的性质，勾股定理是解题的关键4证明见解析【分析】连接OC，先根据题意得出ABO=90，然后再证明AOBAOC即可证明：如图：

12、连接OC. BD是O的直径，AB与O相切于点BAB丄OB，即ABO=90. CDAO，AOB=CDO，DCO=AOC.OC=OD，CDO=DCO,AOB=AOC. 又OA=OA，OB=DC,AOBAOC, ACO=ABO=90 故AC是O的切线.【点拨】此题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定与性质等知识，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可5（1）见解析；（2）【分析】（1）连结，证明，得到，再证明，得到，故可求解；（2）求出，再根据弧长公式即可求解（1）证明：如图，连结是的直径，又，是的切线（2），【点拨】此题主要考查切线的判定与性质综合，解

13、题的关键是熟知弧长公式的应用6（1）见解析；（2）AD【分析】（1）连接FO，可根据三角形中位线的性质可判断易证OFAB，然后根据直径所对的圆周角是直角，可得CEAE，进而知OFCE，然后根据垂径定理可得FECFCE，OECOCE，再通过RtABC可知OECFEC90，因此可证FE为O的切线；（2）在RtOCD中和RtACD中，分别利用勾股定理分别求出CD,AD的长即可 （1）证明：连接CE，如图所示：AC为O的直径，AEC90BEC90，点F为BC的中点，EFBFCF，FECFCE，OEOC，OECOCE，FCE+OCEACB90，FEC+OECOEF90，EF是O的切线（2）解：OAOE，

14、EAC60，AOE是等边三角形AOE60，CODAOE60，O的半径为2，OAOC2在RtOCD中，OCD90，COD60，ODC30，OD2OC4，CD在RtACD中，ACD90，AC4，CDAD 【点睛】本题主要考查直角三角形、全等三角形的判定与性质以及与圆有关的位置关系 7（1）证明见解析；（2）6证明：试题分析：（1）连接OD、CD，由AC为O的直径知BCD是直角三角形，结合E为BC的中点知CDE=DCE，由ODC=OCD且OCD+DCE=90可得答案；（2）设O的半径为r，由OD2+DF2=OF2，即r2+42=（r+2）2可得r=3，即可得出答案试题解析：（1）如图，连接OD、CD

15、AC为O的直径，BCD是直角三角形，E为BC的中点，BE=CE=DE，CDE=DCE，OD=OC，ODC=OCD，ACB=90，OCD+DCE=90，ODC+CDE=90，即ODDE，DE是O的切线；（2）设O的半径为r，ODF=90，OD2+DF2=OF2，即r2+42=（r+2）2，解得：r=3，O的直径为6考点：切线的判定与性质8（1）证明见解析；（2）【分析】（1）连结OA、OD，如图，根据垂径定理的推理，由D为BE的下半圆弧的中点得到ODBE，则D+DFO=90，再由AC=FC得到CAF=CFA，根据对顶角相等得CFA=DFO，所以CAF=DFO，加上OAD=ODF，则OAD+CAF

16、=90，于是根据切线的判定定理即可得到AC是O的切线；（2）由于圆的半径R=5，EF=3，则OF=2，然后在RtODF中利用勾股定理计算DF的长证明：解：（1）连结OA、OD，如图，D为BE的下半圆弧的中点，ODBE，D+DFO=90，AC=FC，CAF=CFA，CFA=DFO，CAF=DFO，而OA=OD，OAD=ODF，OAD+CAF=90，即OAC=90，OAAC，AC是O的切线；（2）圆的半径R=5，EF=3，OF=2，在RtODF中，OD=5，OF=2，DF=【点拨】本题考查切线的判定9（1）见解析；（2）见解析；（3）直线l是圆O的切线，理由见解析【分析】（1）由圆周角定理得AC，

17、由ASA得出AEDCEB；（2）由直角三角形斜边上的中线性质得EFBCBF，由等腰三角形的性质得FEBB，由圆周角定理和对顶角相等证出AAEG90，进而得出结论；（3）作OHAB于H，连接OB，由垂径定理得出AHBHAB2，则EHAHAE1，由勾股定理求出OH1，OB，由一条直线l到圆心O的距离dO的半径，即可得出结论（1）证明：由圆周角定理得：AC，在AED和CEB中，AEDCEB（ASA）；（2）证明：ABCD，AEDCEB90，C+B90，点F是BC的中点，EFBCBF，FEBB，AC，AEGFEBB，A+AEGC+B90，AGE90，FGAD；（3）解：直线l是圆O的切线，理由如下：作

18、OHAB于H，连接OB，如图所示：AE1，BE3，ABAE+BE4，OHAB，AHBHAB2，EHAHAE1，OH1，OB，即O的半径为，一条直线l到圆心O的距离dO的半径，直线l是圆O的切线【点拨】本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、垂径定理、切线的判定、全等三角形的判定、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键10（1）见解析；（2）3【分析】（1）连接OD，根据已知条件得到BOD18060，根据等腰三角形的性质得到ADODAB30，得到EDA60，求得ODDE，于是得到结论；（2）连接BD，根据圆周角定理得到A

19、DB90，解直角三角形即可得到结论（1）证明：连接OD，BOD18060，EADDABBOD30，OAOD，ADODAB30，DEAC，E90，EAD+EDA90，EDA60，EDOEDA+ADO90，ODDE，DE是O的切线；（2）解：连接BD，AB为O的直径，ADB90，DAB30，AB6，BDAB3，AD3【点拨】本题考查了切线的证明，及线段长度的计算，熟知圆的性质及切线的证明方法，以及含30角的直角三角形的特点是解题的关键11（1）证明见解析；（2）【分析】（1）连接OC，由OAOC可以得到OACOCA，然后利用角平分线的性质可以证明DACOCA，接着利用平行线的判定即可得到OCAD，

20、然后就得到OCCD，由此即可证明直线CD与O相切于C点；（2）连接BC，BAC30，在RtABC中可求得AC，同理在RtACD中求得CD（1）证明：连接CO，AOCO，OACOCA，AC平分DAB，OACDAC，DACOCA，COAD，COCD，DC为O的切线； （2）解：连接BC，AB为O的直径，ACB90，DAB60，AC平分DAB，BACDAB30，O的半径为3，AB6，ACAB3 CAD30【点拨】此题主要考查了切线的性质与判定，解题时首先利用切线的判定证明切线，然后利用含特殊角度的直角三角形求得边长即可解决问题12（1）见解析；（2）2【分析】（1）利用圆周角定理得到则，根据平行线的

21、判定得，然后根据平行线的性质得，最后根据切线的判定定理可得到结论；（2）连接，如图，根据垂径定理得到，然后利用勾股定理觉得即可（1）证明：，而，直线是的切线；（2）解：连接，如图，在中，即的半径为2【点拨】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线也考查了圆周角定理和垂径定理解题关键是综合运用定理进行推理的能力，题目比较典型，是一道综合性比较强的题目13（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）根据等边三角形的性质可得：OAC=30，BCA=60，证明OAE=90，可得AE是O的切线；（2）先根据等边三角形性质得：AB=AC，BAC=ABC=60，由四点共圆的

22、性质得：ADF=ABC=60，得ADF是等边三角形，证明BADCAF，可得结论（1）证明：连接OD，O是等边三角形ABC的外接圆，OAC=30，BCA=60，AEBC，EAC=BCA=60，OAE=OAC+EAC=30+60=90，AE是O的切线；（2）ABC是等边三角形，AB=AC，BAC=ABC=60，A、B、C、D四点共圆，ADF=ABC=60，AD=DF，ADF是等边三角形，AD=AF，DAF=60，BAC+CAD=DAF+CAD，即BAF=CAF，在BAD和CAF中， ，BADCAF，BD=CF【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形及外接圆，四点共圆等知识点的综合运用，

23、熟练掌握等边三角形的性质是关键14（1）作图见解析；（2）证明见解析【分析】（1）因为AD是弦，所以圆心O即在AB上，也在AD的垂直平分线上，作AD的垂直平分线，与AB的交点即为所求；（2）因为D在圆上，所以只要能证明ODBC就说明BC为O的切线（1）证明：如图所示，O即为所求；（2）证明：连接ODOAOD，OADODA，AD是BAC的角平分线，CADOAD，ODACAD，ODAC又C90，ODB90，BC是O的切线【点拨】本题主要考查圆的切线，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键15（1）详见解析；（2）10；【分析】（1）连接OD，证明，得到，根据切线的判定定理证明；（2）利用等腰三角形

24、的性质证明E是AC中点，再利用中位线定理得到，再用勾股定理求出OE，从而得到BC；添加条件，先通过四个边相等的四边形是菱形，证明四边形AODE是菱形，再加上一个直角就是正方形了（1）证明：如图，连接，在和中，OD是半径，DE是的切线；（2）证明：，,，即E是AC中点，O是AB中点，在中，BC=2OE=10，故答案是：10；当时，四边形AODE为正方形，证明：，是等腰直角三角形，AB=AC，由（2）得AO=AE，AO=DO=AE=DE，四边形AODE是菱形，四边形AODE是正方形，故答案是：【点拨】本题考查切线的证明，三角形中位线定理，正方形的证明，解题的关键是熟练掌握这些几何的性质定理并结合题

25、目条件进行证明16（1）见解析；（2）四边形ABCO是菱形，理由见解析；（3）阴影部分的面积为【分析】（1）利用圆内接四边形的性质证得D=EBC，再利用圆周角的性质证得D+CAD=，即可证明CAD=ECB；（2）利用切线的性质得到OCEC，从而证明OCAE，再证明BAO=EBC =60，推出BCAO，即可证明四边形ABCO是菱形；先计算，再利用扇形的面积公式计算，即可求得阴影部分的面积（1）证明：四边形ABCD内接于O，D+ABC=，EBC+ABC=，D=EBC，AD为O直径，ACD=，D+CAD=，CEAB，ECB+EBC=，CAD=ECB；（2）四边形ABCO是菱形，理由如下：CE是O的切

26、线，OCEC，ABEC，OCE=E=，OCE+E=18，OCAE，ACO=BAC，OA=OC，ACO=CAD，BAC=CAD，CAD=ECB，CAD=30，EBC=90-30=60，BAO=EBC =60，BCAO，四边形ABCO是平行四边形，OA=OC，四边形ABCO是菱形；四边形ABCO是菱形，AO=AB=2，AD=4，CAD=30，CD=AD=2，AC=2，过点C作CFAD于点F，CF=，OCAE，DOC=BAO=60，阴影部分的面积为【点拨】本题主要考查了切线的性质、菱形的判定和性质以及扇形面积的求法，熟练掌握切线的性质定理以及扇形面积的求法是解答此题的关键17（1）见解析；（2）见解

27、析；（3）【分析】（1）连接OD，由同圆半径相等和平行线性质证明可证E是弧BD的中点；（2）先证明OCDOCB得到ODC=OBC=90，然后根据切线的判定方法得到结论；（3）连接BD，先根据垂径定理得到DG=FG，再利用圆周角定理得到ADB=90，则可根据勾股定理计算出BD，然后利用面积法计算出DG，从而得到DF的长（1）证明：连接OD，如图，又， = 点E为弧BD的中点（2）证明：在与中， ，CD为的切线（3），设，则，在和中，由勾股定理得： ，解得：【点拨】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径

28、，证明该半径垂直于这条直线也考查了圆周角定理和垂径定理18（1）证明见解析；（2）【分析】（1）如图（见解析），先根据等腰三角形的性质可得，再根据直角三角形的两锐角互余、等量代换可得，从而可得，然后根据圆的切线的判定即可得证；（2）如图（见解析），先根据等边三角形的判定与性质可得，再利用勾股定理可得，然后利用扇形的面积公式和三角形的面积公式即可得（1）证明：如图，连接OD，又，即，点D在上，即OD为的半径，DE是的切线；（2）如图，过点O作于点H，为等边三角形，则阴影部分的面积为【点拨】本题考查了圆的切线的判定、等边三角形的判定与性质、勾股定理、扇形的面积公式等知识点，较难的是题（2），熟练掌

29、握等边三角形的判定与性质是解题关键19（1）2；（2）见解析【分析】（1）由OA=OB，弦ABOC，易证得OBC是等边三角形，则可求得BC的长；（2）由OC=CP=2，OBC是等边三角形，可求得BC=CP，即可得P=CBP，又由等边三角形的性质，OBC=60，CBP=30，则可证得OBBP，继而证得PB是O的切线（1）证明：OA=OB，弦ABOC，AOC=BOC=12AOB=60，OB=OC，OBC是等边三角形，BC=OC=2；（2）证明：OC=CP，BC=OC，BC=CP，CBP=CPB，OBC是等边三角形，OBC=OCB=60，CBP=30，OBP=CBP+OBC=90，OBBP，点B在O

30、上，PB是O的切线【点拨】本题考查了切线的判定，等边三角形的判定与性质要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可20（1）见解析；（2）BC的长为4【分析】（1）连接OD，推出ODA=OAD=EAD，推出ODAE，推出ODDE，根据切线的判定推出即可；（2）过点O作OKAC，证得四边形OKED为矩形，AK=KC，得出EK=OD=3，由勾股定理可求出答案（1）证明：如图1，连接OD ODOA，OADODA，AD平分BAC，BADCAD，ODACAD，AEOD，DEAE，EDDO，点D在O上，ED是O的切线（2）解：如图2，过点O作OKAC， EODEOKE9

31、0，四边形OKED为矩形，AKKC，EKOD3，AKCKEKCE321，AC2，AB是O的直径，ACB90，在RtABC中，ACB90，AC2+BC2AB2 ， BC 4 ，答：BC的长为4【点拨】本题考查了切线的性质和判定，平行线的性质和判定，圆周角定理，矩形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键21（1）证明见解析；（2）；（3）【分析】（1）连接、，根据圆内接四边形的性质得到，求得，又点在上，于是得到结论；（2）由（1）知：又，设为，则为，根据勾股定理即可得到结论；（3）连接BD，OA，根据已知条件推出当四边形ABOD的面积最大时，四边形ABCD的面积最大，当OABD时，

32、四边形ABOD的面积最大，根据三角形和菱形的面积公式即可得到结论（1）证明：连接、，四边形为圆内接四边形，又点在上，是的切线；（2）由（1）知：又，设为，则为，在中，即，又，；（3）连接，当四边形的面积最大时，四边形的面积最大，当时，四边形的面积最大，四边形的最大面积，故答案为：【点拨】本题考查了圆的综合题，切线的判定，勾股定理，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键22（1）详见解析；（2）【分析】（1）连接OC，如图，根据切线的性质得到PAB=90，再根据垂径定理得到CD=AD，则OD垂直平分AC，所以PA=PC，利用等腰三角形的性质得到OCA+PCA=OAC+PAC=90，然后

33、根据切线的判定方法可判断PC是O的切线；（2）先证明OBC为等边三角形得到BOC=60，再计算出，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积=SOCE-S扇形BOC进行计算（1）证明：如图，连接OC， PA为O的切线，PAOA，PAB90，ODAC，CDAD，OD垂直平分AC，PAPC，PCAPAC，而OCOA，OCAOAC，OCA+PCAOAC+PAC90，即POC90，OCPC，PC是O的切线；（2）解：OBOC，OBC60，OBC为等边三角形，BOC60，CEOC，图中阴影部分的面积SOCES扇形BOC1【点拨】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切

34、线；圆的切线垂直于经过切点的半径也考查了扇形的面积公式23（1）见解析；（2）AB【分析】（1）先由垂径定理得ABMN，再由平行线的性质得BCAB，然后由切线的判定定理即可得到BC是O的切线；（2）连接OM，设O的半径是r，在RtOEM中，根据勾股定理得到r2=32+（4-r）2，解方程即可得到O的半径，即可得出答案（1）证明：MENE3，ABMN，又MNBC，BCAB，BC是O的切线；（2）解：连接OM，如图，设O的半径是r，在RtOEM中，OEAEOA4r，ME3，OMr，OM2ME2+OE2，r232+（4r）2，解得：r，AB2r【点拨】本题考查了切线的判定定理、垂径定理和勾股定理等知

35、识；熟练掌握切线的判定和垂径定理是解题的关键24证明见解析【分析】连接OE，由OB=OD和AB=AC可得，则OFAC，可得，由圆周角定理和等量代换可得，由SAS证得，从而得到，即可证得结论证明：如图，连接，则，即，在和中，是的切线，则，则，是的切线【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质、切线的性质和判定、圆周角定理和全等三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理和全等三角形的判定与性质是解题的关键25（1）见解析；（2）【分析】（1）连接，通过证明CODCOB得到即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质，在结合平行线分线段成比例的性质，即可求解（1）证明：如图，连接.，.又，.，在和中，.又点在的

36、切线.是的切线.（2），.，.，.的半径为2，.【点拨】本题考查了圆切线的判定，以及平行线分线段成比例的性质，熟练掌握圆切线的判定定理是解题关键26(1)证明见解析（2）图见解析（2）证明见解析【分析】（1）连接AC，根据等腰三角形的性质得到OACOCA，BACBCA，得到OCBOAB90，根据切线的判定定理证明；（2）根据题意画出图形；根据切线长定理得到BABC，得到BD是AC的垂直平分线，根据垂径定理、圆心角和弧的关系定理得到AOC120，根据等腰三角形的判定定理证明结论（1）证明：如图1，连接AC， OAOC，OACOCA，BABC，BACBCA，OACBCAOCABCA，即OCBOAB

37、90，OCBC，BC是O的切线；（2）解：补全图形如图2；证明：OAB90，BA是O的切线，又BC是O的切线，BABC，BABC，OAOC，BD是AC的垂直平分线，=,AOC120，AOBCOBCOE60，OBFF30，OFOB【点拨】本题考查的是切线的判定、垂径定理、切线长定理的应用，掌握切线的判定定理、圆心角和弧之间的关系定理是解题的关键27（1）见解析；（2）正方形，理由见解析【分析】（1）连接OD、CD，结合AC为直径可得到CDB90，E为中点，可得到EDCE，再利用角的和差可求得ODE90，可得DE为切线；（2）由条件可得ODAA45，可求得CODODEACB90，且OCOD，可知四

38、边形ODEC为正方形（1）证明：如图，连接OD、CD，OCOD，OCDODC，AC为O的直径，CDB90，E为BC的中点，DECE，ECDEDC，OCD+ECDODC+EDC90，ODEACB90，即ODDE，又D在圆O上，DE与圆O相切；（2）若ACBC，四边形ODEC为正方形，理由：ACBC，ACB90，A45，OAOD，ODAA45，CODA+ODA90，四边形ODEC中，CODODEACB90，且OCOD，四边形ODEC为正方形【点拨】本题考查了切线的判定、正方形的判定、圆的性质、三角形的外角、直角三角形的性质等知识，解答本题的关键是熟练运用以上知识证明ODDE以及CODODEACB9

39、0，OCOD28（1）是的切线；理由见解析；（2）【分析】（1）连接OC，如图，证明得到，然后根据切线的判定定理可判断CD为O的切线；（2）根据已知条件得到DE=2BE=4，设，在中，根据勾股定理求出x，设的半径为，在中，根据勾股定理求出r，再在在中，根据勾股定理求出AC，于是得到结论证明：解：（1）是的切线，证明：连接，在和中，OD是圆的半径，是的切线；（2），设，在中，设的半径为，则，在中，在中，【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质：在判定两个三角形全等时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；也考查了切线的判定以及勾股定理的应用29（1）见解析；（

40、2）2【分析】（1）先证得AOB为等边三角形，从而得出OAB=60，利用三角形外角的性质得出C=CAB=30，由此可得OAC=90即可得出结论；（2）过O作OMDF于M，DNOC于N，利用勾股定理得出AC=，根据含30的直角三角形的性质得出DN =，再根据垂径定理和勾股定理即可求出GF的长（1）证明：AB=OA，OA=OBAB=OA=OBAOB为等边三角形OAB=60，OBA=60BC=OBBC=ABC=CAB又OBA=60=C+CABC=CAB=30OAC=OAB+CAB=90AC是O的切线；（2）OA=4OB=AB=BC=4OC=8AC=D、E分别为AC、OA的中点，OE/BC，DC=过O作OMDF于M，DNOC于N则四边形OMDN为矩形DN=OM在RtCDN中，C=30，DN=DC=OM=连接OG，OMGFGF=2MG=2=2【点拨】本题考查了切线的判定、垂径定理、等边三角形的性质和判定，熟练掌握相关的知识是解题的关键