专题3.3 与圆有关的角（知识解读）-2022-2023学年九年级数学下册《同步考点解读•专题训练》（北师大版）.docx

1、专题3.3 与圆有关的角（知识解读）【直击考点】 【学习目标】1.掌握弧、弦、圆心角的定义，并会根据其性质进行简单的计算2.理解圆周角、圆心角的定义，并掌握它们之间的关系.3.理解圆内接四边形概念，掌握圆内接四边形性质，并进行有关运算。【知识点梳理】考点1 圆心角的概念 圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。考点2 圆角角的概念圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都

2、和圆相交的角叫做圆周角。圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角= 12 圆心角）推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径。 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。考点3 圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在中， 四边是内接四边形 【典例分析】【例1】（2022灌阳县一模）如图，在O中，145，则2（）A60B30C45D40【变式1-1】（2020秋道外区期

3、末）下列图形中，AOB为圆心角的是（）ABCD【变式1-2】（2020秋新化县期末）如图，AB为O的直径，点C、D是的三等分点，AOE60，则BOD的度数为（）A40B60C80D120【变式1-3】（2020秋越秀区校级期中）如图在O中，若点C是的中点，AOC45，则AOB（）A45B80C85D90【考点2 圆周角】【典例2】（2021秋临邑县期末）如图，AB是O的直径，点C、D是O上的点，若CAB25，则ADC的度数为（）A65B55C60D75【变式2-1】（2021重庆）如图，AB是O的直径，AC，BC是O的弦，若A20，则B的度数为（）A70B90C40D60【变式2-2】（202

4、1宿迁）如图，在RtABC中，ABC90，A32，点B、C在O上，边AB、AC分别交O于D、E两点，点B是的中点，则ABE【考点3 圆心角与圆周角】【典例3】（2021锡山区一模）如图，在O中，AC为O直径，B为圆上一点，若OBC26，则AOB的度数为 【变式3-1】（2019秋点军区校级期中）如图，在O中，ABAC，若ABC57.5，则BOC的度数为（）A132.5B130C122.5D115【变式3-2】（2019东台市模拟）如图，AB是O的弦，半径OCAB，D为圆周上一点，若的度数为50，则ADC的度数为（）A20B25C30D50【变式3-3】（2021邵阳）如图，点A，B，C是O上的

5、三点若AOC90，BAC30，则AOB的大小为（）A25B30C35D40【考点4 圆内接四边形】【典例4】（2022湘潭县校级模拟）如图，O是四边形ABCD的外接圆，连接OD和OB，且BCD110，则BOD的度数是（）A140B120C110D70【变式4-1】（2022长沙一模）如图，在圆内接四边形ABCD中，A，B，C的度数之比为4：3：5，则D的度数是（）A80B120C135D140【变式4-2】（2021秋泰安期末）如图，圆内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别相交于点E，F，若E30，F40，则A（）A25B30C40D55【变式4-3】（2021秋鼓楼区校级期末）如图，四边形

6、ABCD内接于O，如果它的一个外角DCE63，那么BOD的度数为（）A63B126C116D117专题3.3 与圆有关的角（知识解读）【直击考点】 【学习目标】1.掌握弧、弦、圆心角的定义，并会根据其性质进行简单的计算2.理解圆周角、圆心角的定义，并掌握它们之间的关系.3.理解圆内接四边形概念，掌握圆内接四边形性质，并进行有关运算。【知识点梳理】考点1 圆心角的概念 圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组

7、量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。考点2 圆角角的概念圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角= 12 圆心角）推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径。 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。考点3 圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在中， 四边是内接四边形 【典例分析】【例1】（2022灌

8、阳县一模）如图，在O中，145，则2（）A60B30C45D40【答案】C【解答】解：，2145，故选：C【变式1-1】（2020秋道外区期末）下列图形中，AOB为圆心角的是（）ABCD【答案】C【解答】解：根据圆心角定义可知：A顶点不是圆心，所以A选项不符合题意；B顶点在圆上，AOB圆周角，所以B选项不符合题意；CAOB顶点是圆心，两边与圆相交，所以C选项符合题意；D顶点在圆上，AOB圆周角，所以D选项不符合题意故选：C【变式1-2】（2020秋新化县期末）如图，AB为O的直径，点C、D是的三等分点，AOE60，则BOD的度数为（）A40B60C80D120【答案】C【解答】解：AOE60，

9、BOE180AOE120，的度数是120，点C、D是的三等分点，的度数是12080，BOD80，故选：C【变式1-3】（2020秋越秀区校级期中）如图在O中，若点C是的中点，AOC45，则AOB（）A45B80C85D90【答案】D【解答】解：，AOCBOC45，AOB45+4590，故选：D【考点2 圆周角】【典例2】（2021秋临邑县期末）如图，AB是O的直径，点C、D是O上的点，若CAB25，则ADC的度数为（）A65B55C60D75【答案】A【解答】解：AB为O的直径，ACB90，CAB25，ABC90CAB65，ADCABC65故选：A【变式2-1】（2021重庆）如图，AB是O的

10、直径，AC，BC是O的弦，若A20，则B的度数为（）A70B90C40D60【答案】A【解答】解：AB是O的直径，C90，A20，B90A70，故选：A【变式2-2】（2021宿迁）如图，在RtABC中，ABC90，A32，点B、C在O上，边AB、AC分别交O于D、E两点，点B是的中点，则ABE【答案】13【解答】解：如图，连接DC，DBC90，DC是O的直径，点B是的中点，BCDBDC45，在RtABC中，ABC90，A32，ACB903258，ACDACBBCD584513ABE，故答案为：13【考点3 圆心角与圆周角】【典例3】（2021锡山区一模）如图，在O中，AC为O直径，B为圆上一

11、点，若OBC26，则AOB的度数为 【答案】52【解答】解：OBC26，OBOC，COBC26，AOB2C52，故答案为：52【变式3-1】（2019秋点军区校级期中）如图，在O中，ABAC，若ABC57.5，则BOC的度数为（）A132.5B130C122.5D115【答案】B【解答】解：ABAC，ABC57.5，ACBABC57.5，A180ABCACB65，由圆周角定理得：BOC2A130，故选：B【变式3-2】（2019东台市模拟）如图，AB是O的弦，半径OCAB，D为圆周上一点，若的度数为50，则ADC的度数为（）A20B25C30D50【答案】B【解答】解：的度数为50，BOC50

12、，半径OCAB，ADCBOC25故选：B【变式3-3】（2021邵阳）如图，点A，B，C是O上的三点若AOC90，BAC30，则AOB的大小为（）A25B30C35D40【答案】B【解答】解：BAC与BOC所对弧为，由圆周角定理可知：BOC2BAC60，又AOC90，AOBAOCBOC906030故选：B【考点4 圆内接四边形】【典例4】（2022湘潭县校级模拟）如图，O是四边形ABCD的外接圆，连接OD和OB，且BCD110，则BOD的度数是（）A140B120C110D70【答案】A【解答】解：四边形ABCD内接于O，BCD110，A180BCD70，由圆周角定理得，BOD2A140，故选

13、：A【变式4-1】（2022长沙一模）如图，在圆内接四边形ABCD中，A，B，C的度数之比为4：3：5，则D的度数是（）A80B120C135D140【答案】B【解答】解：A，B，C的度数之比为4：3：5，设A4x，则B3x，C5x四边形ABCD是圆内接四边形，B+D180，A+C180，即4x+5x180，解得x20，B3x60，D18060120故选：B【变式4-2】（2021秋泰安期末）如图，圆内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别相交于点E，F，若E30，F40，则A（）A25B30C40D55【答案】D【解答】解：四边形ABCD内接于O，ADCFBC，ADC180AF，FBCA+E，180AFA+E，则2A180（F+E）110，解得，A55，故选：D【变式4-3】（2021秋鼓楼区校级期末）如图，四边形ABCD内接于O，如果它的一个外角DCE63，那么BOD的度数为（）A63B126C116D117【答案】B【解答】解：DCE63，BCD180DCE117，四边形ABCD内接于O，A180BCD63，由圆周角定理，得BOD2A126，故选：B