专题3.6大题能力提升考前必做30题-2020-2021学年八年级数学上学期期中考试高分直通车（解析版）【人教版】.docx

1、2020-2021学年八年级数学上学期期中考试高分直通车【人教版】专题3.6大题能力提升考前必做30题1（2019秋乐昌市期中）如图，ABC中，CD是ACB的角平分线，CE是AB边上的高，（1）若A40，B60，求DCE的度数（2）若Am，Bn，求DCE（用m、n表示）【分析】（1）根据三角形内角和定理，求得ACB的度数，再根据CD是ACB的角平分线，CE是AB边上的高，求得ACD与ACE的度数，最后根据DCEACEACD进行计算即可；（2）根据三角形内角和定理，用m和n表示出ACB的度数，再根据CD是ACB的角平分线，CE是AB边上的高，用m和n表示出ACD与ACE的度数，最后根据DCEAC

2、EACD进行计算即可【解析】（1）ABC中，A40，B60，ACB80，又CD是ACB的角平分线，CE是AB边上的高，ACD=12ACB40，ACE90A50，DCEACEACD504010；（2）ABC中，Am，Bn，ACB180mn，又CD是ACB的角平分线，CE是AB边上的高，ACD=12ACB=12（180mn），ACE90A90m，DCEACEACD（90m）-12（180mn）=n-m2或DCEACDACE=12（180mn）（90m）=m-n2，故答案为：|m-n|2【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理以及三角形的高线和角平分线的概念，解题时注意：根据DCEACEACD这一关

3、系式进行计算是解决问题的关键2（2019春邳州市期中）四边形ABCD中，BAD的角平分线与边BC交于点E，ADC的角平分线交直线AE于点O（1）若点O在四边形ABCD的内部，如图1，若ADBC，B40，C70，则DOE125；如图2，试探索B、C、DOE之间的数量关系，并将你的探索过程写下来（2）如图3，若点O在四边形ABCD的外部，请你直接写出B、C、DOE之间的数量关系【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义可求BAE，CDO，再根据三角形外角的性质可求DOE的度数；根据三角形外角的性质和角平分线的定义可得DOE和BAD、ADC的关系，再根据四边形内角和等于360可求B、C、DOE之

4、间的数量关系；（2）根据四边形和三角形的内角和得到BAD+ADC360BC，EAD+ADO180DOE，根据角平分线的定义得到BAD2EAD，ADC2ADO，于是得到结论【解析】（1）ADBC，B40，C70，BAD140，ADC110，AE、DO分别平分BAD、CDA，OAD70，ADO55，DOEOAD+ADO70+55125故答案为：125；B+C+2DOE360，理由：DOEOAD+ADO，AE、DO分别平分BAD、CDA，2DOEBAD+ADC，B+C+BAD+ADC360，B+C+2DOE360；（2）B+C2DOE，理由：BAD+ADC360BC，EAD+ADO180DOE，AE

5、、DO分别平分BAD、CDA，BAD2EAD，ADC2ADO，BAD+ADC2（EAD+ADO），360BC2（180DOE），B+C2DOE【点评】此题考查了多边形内角与外角，平行线的性质，角平分线的定义，关键是熟练掌握四边形内角和等于360的知识点3（2019秋长白县期中）在ABC中，点D是BC上一点，F是BA延长线一点，DF交AC于E，B42，C59，DEC47求F【分析】先利用外角定理求FACB+C101，由对顶角相等得：AEFDEC47，最后利用三角形的内角和定理求F的度数【解析】B42，C59，FACB+C42+59101，AEFDEC47，F180FACAEF1801014732

6、【点评】本题考查了三角形的内角和定理和外角定理，明确三角形的内角和为180，且三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和4（2019春嘉兴期中）已知在四边形ABCD中，AC90（1）ABC+ADC180；（2）如图，若DE平分ADC，BF平分ABC的外角，请写出DE与BF的位置关系，并证明；（3）如图，若BE，DE分别四等分ABC、ADC的外角（即CDE=14CDN，CBE=14CBM），试求E的度数【分析】（1）根据四边形内角和等于360列式计算即可得解；（2）延长DE交BF于G，根据角平分线的定义可得CDE=12ADC，CBF=12CBM，然后求出CDECBF，再利用三角形的内角和定理求

7、出BGEC90，最后根据垂直的定义证明即可；（3）先求出CDE+CBE，然后延长DC交BE于H，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可【解析】（1）解：AC90，ABC+ADC360902180；故答案为：180；（2）解：延长DE交BF于G，DE平分ADC，BF平分CBM，CDE=12ADC，CBF=12CBM，又CBM180ABC180（180ADC）ADC，CDECBF，又BEDCDE+CCBF+BGE，BGEC90，DGBF，即DEBF；（3）解：由（1）得：CDN+CBM180，BE、DE分别四等分ABC、ADC的外角，CDE+CBE=1418045，延长DC交B

8、E于H，由三角形的外角性质得，BHDCDE+E，BCDBHD+CBE，BCDCBE+CDE+E，E904545【点评】本题考查了三角形的内角和定理，四边形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键，要注意整体思想的利用5（2019春自贡期中）如图，在ABC中，ABC，ACB的角平分线相交于点O（1）若A50，求BOC的度数；（2）设A的度数为n（n为已知数），求BOC的度数；（3）当A为多少度时，BOC3A？【分析】（1）根据三角形的内角和定理求出ABC+ACB，再根据角平分线的定义求出OBC+OCB，然后利用三角形的内角和定理列式

9、计算即可得解；（2）根据（1）的思路把A的度数化为n计算即可得解；（3）根据（2）的结论列出关于A的方程，求解即可【解析】（1）A50，ABC+ACB180A18050130，ABC，ACB的角平分线相交于点O，OBC=12ABC，OCB=12ACB，OBC+OCB=12（ABC+ACB）=1213065，BOC180（OBC+OCB）18065115；（2）An，ABC+ACB180A180n，ABC，ACB的角平分线相交于点O，OBC=12ABC，OCB=12ACB，OBC+OCB=12（ABC+ACB）=12（180n）90-12n，BOC180（OBC+OCB）180（90-12n）9

10、0+12n；（3）BOC3A，90+12A3A，A36【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键6（2018春南岗区校级期中）已知AD是ABC的角平分线（ACBB），P是射线AD上一点，过点P作EFAD，交射线AB于点E，交直线BC于点M，（1）如图1，ACB90，求证：MBAD；（2）如图2，ACB为钝角，P在AD延长线上，连接BP、CP，BP平分EBC，CP平分BCF，BPD50，CPD21，求：M的度数【分析】（1）利用“8字型”证明MPAF即可解决问题；（2）M90MDP，想办法求出MDP即可解决问题；【解析】（1）EFAD，APFMCF90，AF

11、PMFC，MPAF，BADCAD，MBAD（2）BPD50，CPD21，BPC71，PBC+PCB109，BCF2PCB，EBC2PBC，EBC+BCF218，ABC+ACB360218142，BAC18014238，DCPFCPCPD+CAD40，MDPDPC+DCP61，EFAP，MPD90，M906129【点评】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型7（2020春兴化市期中）（1）思考探究：如图，ABC的内角ABC的平分线与外角ACD的平分线相交于P点，已知ABC70，ACD100求A和P的度数；（2）类

12、比探究：如图，ABC的内角ABC的平分线与外角ACD的平分线相交于P点，已知Pn求A的度数（用含n的式子表示）；（3）拓展迁移：已知，在四边形ABCD中，四边形ABCD的内角ABC与外角DCE的平分线所在直线相交于点P，Pn，请画出图形；并探究出A+D的度数（用含n的式子表示）【分析】（1）根据三角形外角的性质可求A，根据角平分线的定义和三角形外角的性质可求P；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得PCDP+PBC，ACDA+ABC，再根据角平分线的性质即可得解；（3）添加辅助线，利用（2）中结论解决问题即可【解析】（1）ABC70，ACD100，A1007030，P点是A

13、BC和外角ACD的角平分线的交点，PCD=12ACD50，PBC=12ABC35，P503515；（2）A2n理由：PCDP+PBC，ACDA+ABC，P点是ABC和外角ACD的角平分线的交点，ACD2PCD，ABC2PBC，A+ABC2（P+PBC），A+ABC2P+2PBC，A+ABC2P+ABC，A2P，A2n；（3）（）如图延长BA交CD的延长线于FF180FADFDA180（180A）（180D）A+D180，由（2）可知：F2P2n，A+D180+2n（）如图，延长AB交DC的延长线于FF180AD，P=12F，P=12（180AD）90-12（A+D）A+D1802n综上所述：A

14、+D180+2n或1802n【点评】本题考查三角形综合题，三角形内角和定理、四边形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用已知结论解决问题，属于中考常考题型8（2019秋衢州期中）如图，在ABC和DCB中，ABDC，ACDB，AC与DB交于点M（1）求证：ABCDCB；（2）过点C作CNBD，过点B作BNAC，CN与BN交于点N，试判断BNC的形状，并证明你的结论【分析】（1）由SSS可证ABCDCB；（2）BNC是等腰三角形，可先证明四边形BMCN是平行四边形，由（1）知，MBCMCB，可得BMCM，于是就有四边形BMCN是菱形，则BNCN【解析】（1）证明：如图，在

15、ABC和DCB中，AB=DCAC=DBBC=CB，ABCDCB（SSS）；（2）解：BNC是等腰三角形证明如下：CNBD，BNAC，四边形BMCN是平行四边形，由（1）知，MBCMCB，BMCM（等角对等边），四边形BMCN是菱形，BNCN【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，难度一般，对于此类题目要注意掌握三角形全等及菱形判定定理9（2019秋瑞安市期中）已知：ABCD，BP和CP分别平分ABC和DCB，点E，F分别在AB和CD上（1）如图1，EF过点P，且与AB垂直，求证：PEPF（2）如图2，EF过点P，求证：PEPF【分析】（1）由角平分线的性质定理即可得出结论；（2）过点P作GH

16、AB于G，交CD于H，证明PGEPHF，即可得出结论【解析】（1）证明：作PMBC于M，如图1所示：ABBC，EFAB，EFCD，BP、CP分别是ABC和BCD的平分线，PMBC，PEPM，PMPF，PEPF；（2）证明：过点P作GHAB于G，交CD于H，如图2所示：则PGAB，PHCD，PGEPHF90，由（1）得：PGPH，在PGE和PHF中，PGE=PHFPG=PHGPE=HPF，PGEPHF（ASA），PEPF【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质、角平分线的性质、平行线的性质等知识，熟练掌握角平分线的性质，证明三角形全等是解题的关键10（2019秋长春期中）在数学活动课上，数学老师

17、出示了如下题目：如图，在四边形ABCD中，E是边CD的中点，AE是BAD的平分线，ADBC求证：ABAD+BC小聪同学发现以下两种方法：方法1：如图，延长AE、BC交于点F方法2：如图，在AB上取一点G，使AGAD，连接EG、CG（1）请你任选一种方法写出这道题的完整的证明过程；（2）如图，在四边形ABCD中，AE是BAD的平分线，E是边CD的中点，BAD60，D+12BCD180，求证：CBCE【分析】（1）方法1：延长AE、BC交于点F，证明ADEFCE（ASA），即可解决问题；方法2：在AB上取一点G使AGAD，连接EG、CG想办法证明BCBG即可解决问题；（2）作CMAD交AE的延长线

18、于M，CM交AB于N，连接EN只要证明CNECNB（ASA）即可解决问题；【解析】（1）证明：方法1：如图，延长AE、BC交于点F；ADDF，DECF，E是边CD的中点，DEEC，DEACEF，在ADE和FCE中，D=ECFDE=CEDEA=CEF，ADEFCE（ASA），ADCF，AE平分BAD，DAEBAFF，ABBF，BFCF+BC，ABAD+BC方法2：如图，在AB上取一点G使AGAD，连接EG、CG在DAE和GAE中，AD=AGDAE=GAEAE=AE，DAEGAE（SAS），DEEGEC，AEDAEG，EGCECG，DEGEGC+ECG，DEAECG，AECG，EAGCGB，ADC

19、B，AECG，DAEBCG，BCGBGC，CBBG，ABAD+BC（2）证明：如图中，作CMAD交AE的延长线于M，CM交AB于N，连接EN由（1）可知：ANNM，AEEM，EN平分ANM，BAD60，MNAD，MNBBAD60，ENMENA60，CNBCNE，D+ECN180，D+12BCD180，NCE=12BCDNCB，在CNE和CNB中，NCE=NCBCN=CNCNE=CNB，CNECNB（ASA），CBCE【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题11（2019春交城县期中

20、）（1）如图，AD平分BAC，DEAB，DFAC，EF交AD于点O请问：DO是EDF的平分线？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由（2）若将（1）中的结论与AD平分BAC；DEAB；DFAC这三个条件中的任一个互换，所得命题正确吗？请选择一种情况说明理由【分析】（1）结论：是角平分线证明EDAFDA即可（2）条件为：AD平分BAC，DO是EDF的平分线，DFAC结论为：DEAB，想办法证明FADEDA即可解决问题【解析】（1）是AD平分BAC，EADFAD，DEAB，FADEDA，DFAC，EADFDA，EDAFDA，DO是EDF的平分线（2）正确如：条件为：AD平分BAC，DO是EDF的

21、平分线，DFAC结论为：DEAB，AD平分BAC，EADFAD，DO是EDF的平分线，EDAFDA，DFAC，EADFDA，FADEDA，DEAB【点评】本题考查平行线的性质和判定，角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型12（2019秋麻城市校级期中）如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，BACD，B+AEC180，BCCE求证：ACDC【分析】由B+AEC180，DEC+AEC180，推出BDEC，由AAS证得ABCDEC，即可得出结论【解析】证明：B+AEC180，DEC+AEC180，BDEC，在ABC和DEC中，B=DECBAC=DBC=CE，ABC

22、DEC（AAS）ACDC【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键13（2019秋黄石港区校级期中）如图，在ABC中，ABC45，AD，BE分别为BC，AC边上的高，连接DE，过点D作DFDE交BE于点F，G为BE中点，连接AF，DG（1）如图1，若点F与点G重合，求证：AFDF；（2）如图2，请写出AF与DG之间的关系并证明【分析】（1）设BE交AD于点H，证出ABD是等腰直角三角形，得出ADBD，证明DAEDBF（ASA），得出BFAE，DFDE，证出FDE是等腰直角三角形，得出DFE45，再证明AEF是等腰直角三角形，得出AFE45，即可得出结论；（2

23、）延长DG至M，使GMDG，交AF于H，连接BM，证明BGMEGD（SAS），得出MBEFED45EFD，BMDEDF，由（1）知：DACDBE，再证明BDMDAF（SAS），得出DMAF2DG，FADBDM，证出AHD90，即可得出结论【解析】（1）证明：设BE交AD于点H，如图1所示：AD，BE分别为BC，AC边上的高，BEAADB90，ABC45，ABD是等腰直角三角形，ADBD，AHEBHD，DACDBH，ADBFDE90，ADEBDF，在DAE和DBF中，DAE=DBFAD=BDADE=BDF，DAEDBF（ASA），BFAE，DFDE，FDE是等腰直角三角形，DFE45，G为BE中

24、点，BFEF，AEEF，AEF是等腰直角三角形，AFE45，AFD90，AFDF；（2）解：AF2DG，且AFDG；理由如下：延长DG至M，使GMDG，交AF于H，连接BM，如图2所示：在BGM和EGD中，BG=GEBGM=DGEMG=DG，BGMEGD（SAS），MBEFED45EFD，BMDEDF，由（1）知：DACDBE，MBDMBE+DBE45+DBE，EFD45DBE+BDF，BDF45DBE，ADEBDF，ADF90BDF45+DBEMBD，在BDM和DAF中，BM=DFMBD=ADFBD=AD，BDMDAF（SAS），DMAF2DG，FADBDM，BDM+MDA90，MDA+FA

25、D90，AHD90，AFDG，AF2DG，且AFDG【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键14（2019春昌江区校级期中）在三角形ABC中，ABAC，A100度，BD平分ABC，求证：AD+BDBC【分析】在BC上截取BEBA，延长BD到F使BFBC，连接DE、CF，由角平分线定义得出ABDEBD，由SAS证得ABDEBD，得出DEBA100，DEC80，由等腰三角形的性质得出ABCACB40，则ABDEBD20，由等腰三角形的性质得出FFCB=12（180CBF）80，得出F

26、CD80ACB40，FCDECD，FDEC，由AAS得出DCEDCF，得出DFDEAD，即可得出结论【解析】证明：在BC上截取BEBA，延长BD到F使BFBC，连接DE、CF，如图所示：BD平分ABC，ABDEBD，在ABD和EBD中，AB=BEABD=EBDBD=BD，ABDEBD（SAS），DEBA100，DEC80，ABAC，ABCACB=180-1002=40，ABDEBD=ABC2=20，BCBF，CBF20，FFCB=12（180CBF）80，FCD80ACB40，FCDECD，FDEC，在DCE和DCF中，FCD=ECDF=DECCD=CD，DCEDCF（AAS），DFDEAD，

27、BCBFBD+DFBD+AD，AD+BDBC【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、角平分线性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质与证明全等三角形是解题的关键15（2009秋扶沟县期末）如图：ABC是等边三角形，AECD，AD、BE相交于点P，BQAD于Q，PQ3，PE1，求AD的长【分析】由已知条件，先证明ABECAD得BPQ60，可得BP2PQ6，ADBE则易求【解析】ABC为等边三角形，ABCA，BAEACD60；又AECD，在ABE和CAD中，AB=CABAE=ACDAE=CD ABECAD；BEAD，CADABE；BPQABE+BADBAD+CADBAE60；BQA

28、D，AQB90，则PBQ906030；PQ3，在RtBPQ中，BP2PQ6；又PE1，ADBEBP+PE7【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质及含30的角的直角三角形的性质；巧妙借助三角形全等和直角三角形中30的性质求解是正确解答本题的关键16（2019秋宜昌期中）直角三角形纸片ABC中，ACB90，ACBC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、F（1）如果AFE65，求CDF的度数；（2）若折叠后的CDF与BDE均为等腰三角形，那么纸片中B的度数是多少？写出你的计算过程，并画出符合条件的折叠后的图形【分析】

29、（1）在CDF中，求出CFD即可解决问题；（2）先确定CDF是等腰三角形，得出CFDCDF45，因为不确定BDE是以那两条边为腰的等腰三角形，故需讨论，DEDB，BDBE，DEBE，然后分别利用角的关系得出答案即可【解析】（1）根据翻折不变性可知：AFEDFE65，CFD180656550，C90，CDF905040（2）CDF中，C90，且CDF是等腰三角形，CFCD，CFDCDF45，设DAEx，由对称性可知，AFFD，AEDE，FDA=12CFD22.5，DEB2x，分类如下：当DEDB时，BDEB2x，由CDEDEB+B，得45+22.5+x4x，解得：x22.5此时B2x45；见图形

30、（1），说明：图中AD应平分CAB当BDBE时，则B（1804x），由CDEDEB+B得：45+22.5+x2x+1804x，解得x37.5，此时B（1804x）30图形（2）说明：CAB60，CAD22.5DEBE时，则B（180-2x2），由CDEDEB+B得，45+22.5+x2x+180-2x2，此方程无解DEBE不成立综上所述B45或30【点评】本题考查了翻折变换及等腰三角形的知识，有一定的综合性，在不确定等腰三角形的腰时要注意分类讨论，不要漏解，另外要注意方程思想在求解几何问题中的应用17（2019秋长春期中）如图，在RtABC中，C90，A60，AB10cm，若点M从点B出发以2

31、cm/s的速度向点A运动，点N从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，设M、N分别从点B、A同时出发，运动的时间为ts（1）用含t的式子表示线段AM、AN的长；（2）当t为何值时，AMN是以MN为底边的等腰三角形？（3）当t为何值时，MNBC？并求出此时CN的长【分析】（1）根据直角三角形的性质即可得到结论；（2）根据等腰三角形的性质得到AMAN，列方程即可得到结论；（3）根据题意列方程即可得到结论【解析】（1）C90，A60，B30，AB10cm，AMABBM102t，ANt；（2）AMN是以MN为底的等腰三角形，AMAN，即102tt，当t=103时，AMN是以MN为底边的等腰三角形；（3

32、）当MNAC时，MNBCC90，A60，B30MNBC，NMA30AN=12AM，t=12（102t），解得t=52，当t=52时，MNBC，CN5-521=52【点评】本题考查的是等腰三角形的判定及平行线的判定与性质，熟知等腰三角形的两腰相等是解答此题的关键18（2019秋邵阳期中）根据下面图形，解答问题：（1）在ABC中，ABAC，BAC100，DE、FG分别是边AB、AC的垂直平分线（如图1），求DAG的度数？（2）在（1）中，若去掉“ABAC”的条件，其余条件不变（如图2），还能求出DAG的度数吗？若能，请求出DAG的度数；若不能，请说明理由；（3）在（2）的情况下，试探索ADG的周长

33、与BC长的关系？【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质求出BAM+NAC80，BAC100，易求解；（2）利用线段垂直平分线的性质求出BAM+NAC80，BAC100，求出即可；（3）根据等腰三角形的性质即可得到结论【解析】（1）DE垂直平分AB，DADB，BBAD，同理：GAGC，CGAC，B+C+BAC180，BAC100，B+C80，BAD+GAC80，DAGBAC（BAD+GAC）1008020；（2）能，DAG20；理由是：DE垂直平分AB，DADB，BBAD，同理：GAGC，CGAC，B+C+BAC180，BAC100，B+C80，BAD+GAC80，DAGBAC（BAD+GAC）

34、1008020；（3）由（2）知，ADBD，AGGC，AD+DG+AGBD+DG+GCBC【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质；进行有效的角与线段的转化是正确解答本题的关键19（2019秋葫芦岛期中）如图，在ABC中，已知ABC和ABC的外角ACG的平分线交于点F，过点F作FDBC，FD分别交AB、AC于点D、E，求证：DEBDCE【分析】证明BDFD，CEFE，即可解决问题【解析】证明：ABC的平分线和外角ACF的平分线交于点F，DBFCBF，ECFGCF；FDBC，DFBCBF，EFCGCF，DBFDFB，ECFEFC，BDFD，ECEF；DEBDCE【点评】该题主

35、要考查了等腰三角形的判定、平行线的性质等几何知识点的应用问题；牢固掌握等腰三角形的判定、平行线的性质等几何知识点是灵活运用、解题的基础和关键20（2019秋越城区校级期中）如图，D是边长为4cm的等边ABC的边AB上的一点，作DQAB交边BC于点Q，RQBC交边AC于点R，RPAC交边AB于点E，交QD的延长线于点P（1）请说明PQR是等边三角形的理由；（2）若BD1.3cm，则AE2.4cm（填空）（3）如图，当点E恰好与点D重合时，求出BD的长度【分析】PQR是等边的理由就是可以求出DQR和PRQ都是60，灵活运用Rt中30所对的边是斜边的一半的知识【解析】（1）根据题意，ABC为等边三角

36、形，B60又DQAB，B+BQDBQD+PQR90，PQR60同理，得PRQ60PQR是等边三角形；（2）DQB30，BD1.3cm，BQ2.6cm，CQ42.61.4CM，QRC30，CR2.8cm，AR42.81.2cm，AER30，AE2AR2.4cm；（3）易证BDQRQCADR，DBAR，RQBC，A60，2ARAD，3DBAB，DB=134=43（cm）【点评】本题主要考查了等边三角形的性质和判定三角形全等的方法21（2018秋青山区期中）在ABC中，ABAC，CAB50在ABC的外侧作直线AP，作点C关于直线AP的对称点D，连接BD，CD，AD，其中BD交直线AP于点 E（1）如

37、图1，与AD相等的线段是AC，AB；（2）如图2，若PAC20，求BDC的度数；（3）如图3，当65PAC130时，作AFCE于点F，若EF1，BE5，求DE的长【分析】（1）根据轴对称的性质和等腰三角形的性质即可得到结论；（2）根据轴对称的性质的ADAC，DAPCAP20根据等腰三角形的性质即可得到结论；（3）在 CE 上截取 GFEF，连接 AG，根据轴对称的性质得到ADAC，ADEACE，根据等腰三角形的性质得到ADBABD，根据线段垂直平分线的性质得到AGAE，根据全等三角形的性质即可得到结论【解析】（1）如图 1，点C关于直线AP的对称点D，ADAC，ACAB，ADACAB，与 AD

38、 相等的线段是AC，AB；故答案为：AC，AB；（2）点 C 与点 D 关于直线 AP 对称，ADAC，DAPCAP20DAC40，ADC70，又CAB50，DAB90，ACAB，ADAB，ADB45，BDCADCADB25；（3）在 CE 上截取 GFEF，连接 AG点 C 与点 D 关于直线 AP 对称ADAC，ADEACEADACAB，ADBABD，ACEABD，AFCE，GFEF，AGAE，AGEAEG，AEDAEG，AGEAED，AGCAEB，在ACG 和ABE 中，ACG=ABDAGC=AEBAC=AB，ACGABE（AAS），BECG，BE5，EF1，DECECG+2EFBE+2

39、EF7【点评】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键22（2019秋海淀区期中）如图，在等腰ABC中，ABAC，45ACB60，将点C关于直线AB对称得到点D，作射线BD与CA的延长线交于点E，在CB的延长线上取点F，使得BFDE，连接AF（1）依题意补全图形；（2）求证：AFAE；（3）作BA的延长线与FD的延长线交于点P，写出一个ACB的值，使得APAF成立，并证明【分析】（1）根据题意画出图形即可；（2）根据SAS证明ABEACF，进而利用全等三角形的性质解答即可；（3）根据全等三角形的判定和性质以及轴对称的性质解答【解析】（1）如图

40、所示（2）证明：点C与点D关于直线AB对称，DBBC，ABDABC，DEBF，DE+BDBF+BCBECFABAC，ABCCABDCABEACF（SAS）AEAF；（3）ACB54，证明：如图，ABAC，ABCACB54BAC180ABCC72点C与点D关于直线AB对称，DABBAC72，ADBC54，ADABACDAE180DABBAC36，EADBDAE18由（2）得，ABFADE（或者ACFABE）（SAS），AFBE18BAFABCAFB36=12BADABAD，AF垂直平分BDFBFDAFDAFB18，PBAFAFD18AFD，APAF由（2）得AEAF，APAE【点评】此题考查作图

41、轴对称变换，关键是根据轴对称的性质和全等三角形的判定和性质解答23（2019秋丹江口市期中）在ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，MN垂直平分AC，分别交AC，BC于点M、N（1）如图1，若BAC112，求EAN的度数；（2）如图2，若BAC82，求EAN的度数；（3）若BAC（90），直接写出用表示EAN大小的代数式【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AEBE，再根据等边对等角可得BAEB，同理可得，CANC，然后利用三角形的内角和定理求出B+C，再根据EANBAC（BAE+CAN）代入数据进行计算即可得解；（2）同（1）的思路，最后根据EAN

42、BAE+CANBAC代入数据进行计算即可得解；（3）根据前两问的求解方法，分090与18090两种情况解答【解析】（1）DE垂直平分AB，AEBE，BAEB，同理可得：CANC，EANBACBAECAN，BAC（B+C），在ABC中，B+C180BAC68，EANBAC（BAE+CAN）1126844；（2）DE垂直平分AB，AEBE，BAEB，同理可得：CANC，EANBAE+CANBAC，（B+C）BAC，在ABC中，B+C180BAC98，EANBAE+CANBAC988216；（3）当090时，EAN1802；当18090时，EAN2180【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两

43、端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，整体思想的利用是解题的关键24（2020春开江县期末）如图，在ABC中，ABAC，D为BC中点，点E是BA延长线上一点，点F是AC上一点，连接EF并延长交BC于点G，且AEAF（1）判断EG与BC的位置关系，并说明理由（2）若ABC65，求AEF的度数（3）若ABC60，AE：BE1：3，CG1，求EF的长【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到ADBC，AD平分BAC，BC，求得AEFBAD，根据平行线的性质即可得到结论；（2）根据三角形的内角和定理得到BAC180656550，求得BADCAD=12BAC=125025，于是得到结论

44、；（3）根据已知条件得到AFCF=12AC，求得C60，得到AF2，作AHEG于H，则AHF90，根据勾股定理即可得到结论【解析】（1）GEBC，理由：ABAC，D为BC中点，ADBC，AD平分BAC，BC，BADCAD=12BAC，AEAF，EAFE，BACBAD+CADAEF+AFE，AEFBAD，ADEG，EGBC；（2）BC65，BAC180656550，BADCAD=12BAC=125025，AEFBAD25；（3）AE：BE1：3，ABAC，AEAF，BEBA+AE，AFCF=12AC，BC，B60，C60，EGBC，FGC90，GFC30，FC2GC2，AF2，作AHEG于H，则

45、AHF90，AEAF，EF2HF，AFECFG30，AH=12AF1，HF=AF2-AH2=22-12=3，EF23【点评】本题考查等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题25（2020春竞秀区期末）如图，点P在AOB的内部，点C和点P关于OA对称，点P关于OB对称点是D，连接CD交OA于M，交OB于N（1）若AOB60，则COD120；若AOB，求COD的度数（2）若CD4，则PMN的周长为4【分析】（1）根据轴对称的性质，可知AOCAOP，BODBOP，可以求出COD的度数；（2）根据轴对称的性质，可知CMPM，DNPN，根据周长定义可以求

46、出PMN的周长；【解析】（1）点C和点P关于OA对称，AOCAOP，点P关于OB对称点是D，BODBOP，CODAOC+AOP+BOP+BOD2（AOP+BOP）2AOB260120，故答案为：120点C和点P关于OA对称AOCAOP，点P关于OB对称点是D，BODBOP，CODAOC+AOP+BOP+BOD2（AOP+BOP）2AOB2（2）根据轴对称的性质，可知CMPM，DNPN，所以PMN的周长为：PM+PN+MNCM+DN+MNCD4，故答案为：4【点评】本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应

47、点之间的距离相等，对应的角、线段都相等26（2020春叙州区期末）如图，在ABC中，ABCACB，E为BC边上一点，以E为顶点作AEF，AEF的一边交AC于点F，使AEFB（1）如果ABC40，则BAC100；（2）判断BAE与CEF的大小关系，并说明理由；（3）当AEF为直角三角形时，求AEF与BAE的数量关系【分析】（1）根据等腰三角形的性质解答即可；（2）根据三角形内角与外角的关系可得B+BAEAECAEF+FEC，再由条件AEFB可得BAEFEC；（3）分别根据当AFE90时，以及当EAF90时利用外角的性质得出即可【解析】（1）在ABC中，ABCACB，ABC40，ACB40，BAC

48、1804040100，故答案为：100（2）BAEFEC；理由如下：B+BAEAEC，AEFB，BAEFEC；（3）如图1，当AFE90时，B+BAEAEF+CEF，BAEFC，BAECEF，C+CEF90，BAE+AEF90，即AEF与BAE的数量关系是互余；如图2，当EAF90时，B+BAEAEF+1，BAEFC，BAE1，C+1+AEF90，2AEF+190，即2AEF与BAE的数量关系是互余【点评】此题考查了等腰三角形的性质以及外角的性质，此题难度适中，注意掌握分类讨论思想的应用27（2019秋大连期末）如图，等腰ABC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，且BACADEADF60（

49、1）在图中找出与DAC相等的角，并加以证明；（2）若AB6，BEm，求：AF（用含m的式子表示）【分析】（1）首先证明ABC是等边三角形，再利用三角形的外角的性质解决问题即可（2）在DE上截取DGDF，连接AG，先判定ADGADF，得到AGAF，再根据AEGAGE，得出AEAG，进而得到AEAF即可解决问题【解析】（1）结论：BDEDAC理由：ABAC，BAC60，ABC是等边三角形，C60，ADB3+ADE1+C，ADEC60，31（2）如图，在DE上截取DGDF，连接AG，ABC是等边三角形，BC60，ADEADF60，ADAD，ADGADF（SAS），AGAF，12，31，32AEG60

50、+3，AGE60+2，AEGAGE，AEAG，AEAF6m【点评】本题主要考查了等边三角形的性质与判断，全等三角形的判定与性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的对应边相等，对应角相等得出结论28（2019秋中原区校级期末）已知等边ABC和点P，设点P到ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1，h2，h3，ABC的高为h（1）若点P在一边BC上如图，此时h30，求证：h1+h2+h3h；（2）当点P在ABC内如图，以及点P在ABC外如图这两种情况时，上述结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，h1，h2，h3与h之间又有怎样的关系，请说出你的猜想，并说明理由【

51、分析】（1）把点P与A点连接起来根据组合图形的面积与分割成的图形面积之间的关系建立关系式，然后根据等边三角形性质求解（2）把点P与各顶点分别连接起来根据组合图形的面积与分割成的图形面积之间的关系建立关系式，然后根据等边三角形性质求解；把点P与各顶点分别连接起来根据组合图形的面积与分割成的图形面积之间的关系建立关系式，然后根据等边三角形性质求解【解析】（1）如图1，连接AP，则 SABCSABP+SAPC12BCAM=12ABPD+12ACPF即 12BCh=12ABh1+12ACh2又ABC是等边三角形BCABAC，hh1+h2；（2）点P在ABC内时，hh1+h2+h3，理由如下：如图2，连

52、接AP、BP、CP，则 SABCSABP+SBPC+SACP12BCAM=12ABPD+12ACPE+12BCPF即12BCh=12ABh1+12ACh2+12BCh3又ABC是等边三角形，BCABAChh1+h2+h3；点P在ABC外时，hh1+h2h3理由如下：如图3，连接PB，PC，PA由三角形的面积公式得：SABCSPAB+SPACSPBC，即12BCAM=12ABPD+12ACPE-12BCPF，ABBCAC，h1+h2h3h，即h1+h2h3h【点评】此题考查等边三角形的性质，运用等积法建立关系构思巧妙，也是此题的难点29（2019秋东至县期末）在ABC和DCE中，CACB，CDC

53、E，CABCED（1）如图1，将AD、EB延长，延长线相交于点O：求证：BEAD；用含的式子表示AOB的度数（直接写出结果）；（2）如图2，当45时，连接BD、AE，作CMAE于M点，延长MC与BD交于点N，求证：N是BD的中点【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到ACBDCE，根据全等三角形的性质即可得到结论；根据全等三角形的性质得到CADCBE+BAO，根据三角形的内角和即可得到结论；（2）如图2，作BPMN交MN的延长线于P，作DQMN于Q，根据全等三角形的性质得到MCBP，同理，CMDQ，等量代换得到DQBP，根据全等三角形的性质即可得到结论【解析】（1）CACB，CD

54、CE，CABCED，ACB1802，DCE1802，ACBDCE，ACBDCBDCEDCB，ACDBCE，在ACD和BCE中，AC=BCACD=BCEDC=CE，ACDBCE（SAS），BEAD；ACDBCE，CADCBE+BAO，ABEBOA+BAO，CBE+BOA+BAO，BAO+BOA+BAO，BOA2；（2）如图2，作BPMN交MN的延长线于P，作DQMN于Q，BCP+BCACAM+AMC，BCAAMC，BCPCAM，在CBP与ACM中，AC=BCBPC=AMCBCP=CAM，CBPACM（AAS），MCBP，同理，CMDQ，DQBP，在BPN与DQN中，BP=DQBNP=DNQBPC

55、=DQN，BPNDQN（AAS），BNND，N是BD的中点【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键30（2019秋涞水县期末）在ABC中，ABAC，在ABC的外部作等边三角形ACD，E为AC的中点，连接DE并延长交BC于点F，连接BD（1）如图1，若BAC100，求BDF的度数；（2）如图2，ACB的平分线交AB于点M，交EF于点N，连接BN补全图2；若BNDN，求证：MBMN【分析】（1）分别求出ADF，ADB，根据BDFADFADB计算即可；（2）根据要求画出图形即可；设ACMBCM，由ABAC，推出ABCACB2，可得NACN

56、CA，DAN60+，由ABNADN（SSS），推出ABNADN30，BANDAN60+，BAC60+2，在ABC中，根据BAC+ACB+ABC180，构建方程求出，再证明MNBMBN即可解决问题；【解析】（1）解：如图1中，在等边三角形ACD中，CADADC60，ADACE为AC的中点，ADE=12ADC30，ABAC，ADAB，BADBAC+CAD160，ADBABD10，BDFADFADB20（2）补全图形，如图所示证明：连接ANCM平分ACB，设ACMBCM，ABAC，ABCACB2 在等边三角形ACD中，E为AC的中点，DNAC，NANC，NACNCA，DAN60+，在ABN 和ADN 中，AB=ADBN=DNAN=AN ABNADN（SSS），ABNADN30，BANDAN60+，BAC60+2，在ABC中，BAC+ACB+ABC180，60+2+2+2 180，20，NBCABCABN10，MNBNBC+NCB30，MNBMBN，MBMN【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型