专题3.7 圆（全章直通中考）（培优练）-2023-2024学年九年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（北师大版）.docx

1、专题3.7 圆（全章直通中考）（培优练）一、 单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1（2023江苏宿迁统考中考真题）在同一平面内，已知的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（）A2 B5 C6 D82（2020山东青岛中考真题）如图，是的直径，点，在上，交于点若则的度数为（）A B C D3（2023湖北十堰统考中考真题）如图，是的外接圆，弦交于点E，过点O作于点F，延长交于点G，若，则的长为（）A B7 C8 D4（2023四川乐山统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的上两动点

2、，且，P为弦CD的中点当C、D两点在圆上运动时，面积的最大值是（）A8 B6 C4 D35（2023天津统考中考真题）如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线分别与边相交于点D，E，连接若，则的长为（）A9 B8 C7 D66（2021浙江金华统考中考真题）如图，在中，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点都在同一个圆上记该圆面积为，面积为，则的值是（）A B C D7（2023四川泸州统考中考真题）如图，在中，点在斜边上，以为直径的半圆与相切于点，与相交于点，连接若，则的长是（）A B C D8（2023浙江台州统

3、考中考真题）如图，的圆心O与正方形的中心重合，已知的半径和正方形的边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为（）A B2 C D9（2022江苏镇江统考中考真题）如图，在等腰中，BC= ，同时与边的延长线、射线相切，的半径为3将绕点按顺时针方向旋转，、的对应点分别为、，在旋转的过程中边所在直线与相切的次数为（）A1 B2 C3 D410（2021湖北荆州统考中考真题）如图，在菱形中，以为圆心、长为半径画，点为菱形内一点，连接，当为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为（）A B C D二、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11（2018上河北衡水九年级阶段练习）

4、如图，以ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交于点，连接AD若B40，C36，则DAC的大小为 度12（2023湖北襄阳统考中考真题）如图，四边形内接于，点在的延长线上若，则 度13（2019辽宁盘锦中考真题）如图，ABC内接于O，BC是O的直径，ODAC于点D，连接BD，半径OEBC，连接EA，EABD于点F若OD2，则BC 14（2021辽宁本溪统考中考真题）如图，是半圆的直径，C为半圆的中点，反比例函数的图象经过点C，则k的值为 15（2023北京统考中考真题）如图，是的半径，是的弦，于点D，是的切线，交的延长线于点E若，则线段的长为 16（2023青海西宁统考中考真题）如图，边长为

5、的正方形内接于，分别过点A，D作O的切线，两条切线交于点P，则图中阴影部分的面积是 17（2023湖南岳阳统考中考真题）如图，在中，为直径，为弦，点为的中点，以点为切点的切线与的延长线交于点（1）若，则的长是 （结果保留）；（2）若，则 18（2022下广东深圳九年级红岭中学校考阶段练习）如图，在等腰直角三角形中，点P在以斜边为直径的半圆上，M为的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是 三、解答题（本大题共6小题，共58分）19（8分）（2023贵州统考中考真题）如图，已知是等边三角形的外接圆，连接并延长交于点，交于点，连接，（1）写出图中一个度数为的角：_，图中与全等的三角

6、形是_；（2）求证：；（3）连接，判断四边形的形状，并说明理由20（8分）（2023辽宁丹东统考中考真题）如图，已知是的直径，是的弦，点P是外的一点，垂足为点C，与相交于点E，连接，且，延长交的延长线于点F（1）求证：是的切线；（2）若，求的长21（10分）（2020广西中考真题）如图，将一副斜边相等的直角三角板按斜边重合摆放在同一平面内，其中CAB30，DAB45，点O为斜边AB的中点，连接CD交AB于点E（1）求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上；（2）求证：CD平分ACB；（3）过点D作DFBC交AB于点F，求证：BO2+OF2EFBF22（10分）（2020辽宁大连中考

7、真题）四边形内接于是的直径，（1）如图1，求证；（2）过点D作的切线，交延长线于点P（如图2），求的长23（10分）（2023内蒙古呼和浩特统考中考真题）已知在中，以边为直径作，与边交于点，点为边的中点，连接（1）求证：是的切线；（2）点为直线上任意一动点，连接交于点，连接当时，求的长；求的最大值24（12分）（2020上江西南昌九年级期末）如图，抛物线的图象的顶点坐标是，并且经过点，直线与抛物线交于B，D两点，以为直径作圆，圆心为点C，圆C与直线m交于对称轴右侧的点，直线m上每一点的纵坐标都等于1（1）求抛物线的解析式；（2）证明：圆C与x轴相切；（3）过点B作，垂足为E，再过点D作，垂足为

8、F，求的值参考答案：1B【分析】过点作于点，连接，判断出当点为的延长线与的交点时，点到直线的距离最大，由此即可得解：如图，过点作于点，连接，当点为的延长线与的交点时，点到直线的距离最大，最大距离为，故选：B【点拨】本题考查了圆的性质，正确判断出点到直线的距离最大时，点的位置是解题关键2B【分析】先根据圆周角定理得到，再根据等弧所对的弦相等，得到，最后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得到CAD=，BAG=，即可求解解：是的直径故选：B【点拨】此题主要考查圆周角定理和弧、弦及圆周角之间的关系，熟练掌握圆周角定理和三者之间的关系是解题关键3B【分析】作于点M，由题意可得出，从而可得出为等边三角

9、形，从而得到，再由已知得出，的长，进而得出，的长，再求出的长，再由勾股定理求出的长解：作于点M，在和中，又，为等边三角形，又， ，故选：B【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形的外接圆与外心、勾股定理等知识点，综合性较强，掌握基本图形的性质，熟练运用勾股定理是解题关键4D【分析】根据一次函数与坐标轴的交点得出，确定，再由题意得出当的延长线恰好垂直时，垂足为点E，此时即为三角形的最大高，连接，利用勾股定理求解即可解：直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，当时，当时，的底边为定值，使得底边上的高最大时，面积最大，点P为的中点，当的延长线恰好垂直时，垂足为点E，此时即为

10、三角形的最大高，连接，的半径为1，故选：D【点拨】题目主要考查一次函数的应用及勾股定理解三角形，垂径定理的应用，理解题意，确定出高的最大值是解题关键5D【分析】由作图可知直线为边的垂直平分线，再由得到，则可知三点在以为圆心直径的圆上，进而得到，由勾股定理求出即可解：由作图可知，直线为边的垂直平分线，三点在以为圆心直径的圆上，故选：D【点拨】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图和性质，圆的基本性质和勾股定理，解答关键是熟练掌握常用尺规作图的作图痕迹，由作图过程得到新的结论6C【分析】先确定圆的圆心在直角三角形斜边的中点，然后利用全等三角形的判定和性质确定ABC是等腰直角三角形，再根据直角三角形斜边

11、中线的性质得到，再由勾股定理解得，解得，据此解题即可解：如图所示，正方形的顶点都在同一个圆上，圆心在线段的中垂线的交点上，即在斜边的中点，且AC=MC，BC=CG，AG=AC+CG=AC+BC，BM=BC+CM=BC+AC，AG=BM，又OG=OM，OA=OB，AOGBOM，CAB=CBA，ACB=90，CAB=CBA=45，故选：C【点拨】本题考查勾股定理、直角三角形斜边的中线的性质、圆的面积、三角形的面积等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键7B【分析】连接，首先根据勾股定理求出，然后证明出，利用相似三角形的性质得到，证明出，利用相似三角形的性质求出解：如图所示，连接，以为直

12、径的半圆与相切于点，即，又，即，解得故选：B【点拨】此题考查了圆与三角形综合题，切线的性质定理，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点8D【分析】设正方形四个顶点分别为，连接并延长，交于点，由题意可得，的长度为圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值，求解即可解：设正方形四个顶点分别为，连接并延长，交于点，过点作，如下图：则的长度为圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值，由题意可得：，由勾股定理可得：，故选：D【点拨】此题考查了圆与正多边形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握圆与正多边形的性质，确定出圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值的位置

13、9C【分析】首先以A为圆心，以BC边的中线为半径画圆，可得A的半径为3，计算出OA的长度，可知O与A相切，根据两个相切圆的性质，即可得到答案解：如图：作ADBC，以A为圆心，以AD为半径画圆AC、AB所在的直线与O相切，令切点分别为P、Q，连接OP、OQAO平分PAQCAB=120PAO=30OP=3AO= =6BAC=120，AB=ACACB=30，CD= BC= AD= =3A的半径为3,O与A的半径和为6AO=6O与A相切ADBCBC所在的直线是A的切线BC所在的直线与O相切当=360时，BC所在的直线与O相切同理可证明当=180时，所在的直线与O相切当AO时，即=90时，所在的直线与O

14、相切当为90、180、360时，BC所在的直线与O相切故答案选C【点拨】本题主要考查了圆的切线，涉及到等腰三角形的性质、两圆的位置关系和特殊角的三角函数等知识，熟练掌握相关知识，精准识图并准确推断图形的运动轨迹，进行合理论证是本题的解题关键10A【分析】以点B为原点，BC边所在直线为x轴，以过点B且与BC垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，判断出，再根据BCP=90和BPC=90两种情况判断出点P的位置，启动改革免费进行求解即可解：以点B为原点，BC边所在直线为x轴，以过点B且与BC垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图，BPC为等腰直角三角形，且点P在菱形ABCD的内部，很显然， 若BCP

15、=90，则CP=BC=2这C作CEAD,交AD于点E，四边形ABCD是菱形AB=BC=CD=DA=2，D=ABC=60CE=CDsinD=2 点P在菱形ABCD的外部，与题设相矛盾，故此种情况不存在；BPC=90过P作PFBC交BC于点F，BPC是等腰直角三角形，PF=BF=BC=1P（1,1），F（1,0）过点A作AGBC于点G，在RtABG中，ABG=60BAG=30BG=，AG= A， 点F与点G重合点A、P、F三点共线 故选：A【点拨】此题主要考查了菱形的性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质以及求不规则图形的面积等知识，正确作出辅助线是解答此题的关键1134【分析】先根据同圆的

16、半径相等可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据三角形的外角性质即可得解：由同圆的半径相等得：，故答案为：34【点拨】本题考查了圆的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握同圆的半径相等是解题关键12140【分析】首先根据圆内接四边形的性质得，再根据圆心角与圆周角的关系即可得出的度数解：四边形内接于，又，故答案为：140【点拨】此题主要考查了圆内接四边形的性质，圆心角与圆周角之间的关系，熟练掌握圆内接四边形的对角互补，理解圆心角与圆周角之间的关系是解答此题的关键134.【分析】根据垂径定理得到ADDC，由等腰三角形的性质得到AB2OD224，得到BAECAEBAC9045，求得ABDADB4

17、5，求得ADAB4，于是得到DCAD4，根据勾股定理即可得到结论解：ODAC，ADDC，BOCO，AB2OD224，BC是O的直径，BAC90，OEBC，BOECOE90，BAECAEBAC9045，EABD，ABDADB45，ADAB4，DCAD4，AC8，BC4故答案为4【点拨】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键14【分析】连接CD，并延长交x轴于点P，分别求出PD，PO，CD和PC的长，过点C作CFx轴于点F，求出PF，CF的长，进一步得出点C的坐标，从而可得出结论解：连接CD，并延长交x轴于点P，如图，C为半圆的中点，CPAB，即

18、ADP=90又AOB=90APD=ABOA（2，0），B（0，1）AO=2，OB=1 又 过点C作CFx轴于点F， 点C的坐标为（，）点C在反比例函数的图象上，故答案为：【点拨】本题考查反比例函数的解析式，解题的关键是利用过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式；求出点C坐标是关键15【分析】根据，得出，根据等腰直角三角形的性质得出，即，根据，得出为等腰直角三角形，即可得出解：，为等腰直角三角形，是的切线，为等腰直角三角形，故答案为：【点拨】本题主要考查了垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质，切线的性质，解题的关键是熟练掌握垂径定理，得出16【分析】连接，证明四边形是正方形，由勾股定理求得，

19、根据阴影部分面积求解即可解：如图所示，连接，、是的切线，四边形是正方形，四边形是正方形，阴影部分面积故答案为：【点拨】本题考查切线的性质，正方形的判定与性质，扇形的面积，勾股定理等知识，熟练掌握切线的性质、正方形的判定得出圆的半径是解题的关键17 【分析】（1）连接，根据点为的中点，根据已知条件得出，然后根据弧长公式即可求解；（2）连接，根据垂径定理的推论得出，是的切线，则,得出，根据平行线分线段成比例得出，设，则，勾股定理求得,J进而即可求解解：（1）如图，连接，点为的中点，又，故答案为：（2）解：如图，连接，点为的中点，是的切线，,，设，则，故答案为：【点拨】本题考查了垂径定理，圆周角定理

20、，切线的性质，弧长公式，平行线分线段成比例定理等知识，综合性较强，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键18【分析】取的中点、的中点、的中点，连接、，可得四边形CEOF是正方形，由OP=OC得OMPC，则可得点M的运动路径，从而求得路径的长解：取的中点、的中点、的中点，连接、，如图，则，且，四边形CEOF为平行四边形，AC=BC，ACB=90，四边形为正方形，CE=CF=，EF=OC，由勾股定理得：，在等腰中，为的中点，点在以为直径的圆上，当点点在点时，点在点；点点在点时，点在点，点的路径为以为直径的半圆，点运动的路径长故答案是：【点拨】本题考查了勾股定理、直角三角形斜边上中线的性质、三角形中

21、位线定理、等腰三角形的性质及正方形的判定，确定点M的运动路径是关键与难点19（1）、；（2）证明见详解；（3）四边形是菱形；【分析】（1）根据外接圆得到是的角平分线，即可得到的角，根据垂径定理得到，即可得到答案；（2）根据（1）得到，根据垂径定理得到，即可得到证明；（3）连接，结合得到 ，是等边三角形，从而得到，即可得到证明；（1）解：是等边三角形的外接圆，是的角平分线，是的直径，的角有：、，是的角平分线，在与中，故答案为：、，；（2）证明：，；（3）解：连接， ，是等边三角形，四边形是菱形【点拨】本题考查垂径定理，菱形判定，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握

22、垂径定理，从而得到相应角的等量关系20（1）见分析；（2）【分析】（1）根据，得出，进而得出，易得，根据，得出，则，即可求证是的切线；（2）易得，则，根据，求出，则，根据勾股定理求出，进而求出，最后根据勾股定理即可求解解：（1）证明：，则，即，是的切线；（2）解：，是的切线，则，根据勾股定理可得：，根据勾股定理可得：【点拨】本题主要考查了切线的判定，解题直角三角形，解题的关键是熟练掌握经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线，以及解直角三角形的方法和步骤21（1）详见分析；（2）详见分析；（3）详见分析【分析】（1）利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，判断出OAOBOCOD，即可得出结论；

23、（2）先求出COD150，利用等腰三角形的性质得出ODC15，进而求出BDC30，进而求出BCD45，即可得出结论；（3）先判断出，得出DF2BFEF，再利用勾股定理得出OD2+OF2DF2，即可得出结论解：证明：（1）如图，连接OD，OC，在Rt中，ACB90，点O是AB的中点，OCOAOB，在Rt中，ADB90，点O是AB的中点，ODOAOB，OAOBOCOD，A，B，C，D四个点在以点O为圆心，为半径的同一个圆上；（2）连接OC，OD，由（1）知，OAOCOD，OCDODC，在Rt中，BAC30，ABCBOC60，在Rt中，DAB45，ABD45DAB，ADBD，点O是AB的中点，ODA

24、B，BOD90，ODBADB45，COD150，OCDODC15，BDCODBODC30，CBDABC+ABD105，BCD180CBDBDC45，ACD90BCD45BCD，CD平分ACB；（3）由（2）知，BCD45，ABC60，BEC75，AED75，DFBC，BFDABC60，ABD45，BDF180BFDABD75AED，DFEBFD，DF2BFEF，连接OD，则BOD90，OBOD，在Rt中，根据勾股定理得，OD2+OF2DF2，OB2+OF2BFEF，即BO2+OF2EFBF【点拨】本题考查的是三角形的内角和定理，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，四

25、点共圆的判定，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键22（1）证明见分析；（2）【分析】（1）连接证明结合从而可得结论；（2）由为的直径，得 利用锐角三角函数求解，连接 交于，证明四边形为矩形，从而可得答案解：证明：（1）如图，连接 （2）如图，连接 交于，为的直径， 为的切线， 四边形为矩形， 【点拨】本题考查了圆的基本性质，考查圆心角，弧，弦的关系，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的性质，矩形的判定与性质，锐角三角函数，掌握以上知识是解题的关键23（1）见分析；（2）或；【分析】（1）连接，由是的直径，可得，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据等腰三角形性质可得，进而

26、可得，即，再利用切线的判定定理即可证得结论；（2）分两种情况：当点在线段上时，过点作于点，利用勾股定理和解直角三角形即可求得答案；当点在的延长线上时，过点作于点，运用勾股定理和解直角三角形即可；设，则，利用面积法可得，得出，即，再运用乘法公式和不等式性质可得，即可得出答案解：（1）证明：如图，连接，是的直径，点为边的中点，即，即，是的半径，是的切线；（2）当点在线段上时，如图，过点作于点，在中，设，解得：，即，；当点在的延长线上时，如图，过点作于点，设，则，在中，即，解得：，（舍去），设，则，在中，即，解得：，（舍去），；综上所述，的长为或；设，则，如图，是的直径，的最大值为【点拨】本题是圆的

27、综合题，考查了切线的判定定理，圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，三角形面积，乘法公式和不等式性质等熟练掌握圆的相关性质和解直角三角形等是解题关键24（1）；（2）见分析；（3）【分析】1可设抛物线的顶点式，再结合抛物线过点，可求得抛物线的解析式；2联立直线和抛物线解析式可求得、两点的坐标，那么可求得C点坐标和线段的长，可求得圆的半径，可证得结论；3过点C作于点H，连接，可求得，利用2中所求B、D的坐标可求得，那么可求得和的长，可求得其比值（1）解：抛物线的图象的顶点坐标是，可设抛物线解析式为，抛物线经过点，解得，抛物线解析式为；（2）解：联立直线和抛物线解析式可得，解得或，为的中点，点的纵坐标为，圆的半径为，点到轴的距离等于圆的半径，圆与轴相切；（3）解：如图，过点作，垂足为H，连接，由2可知，在中，由勾股定理可求得，【点拨】此题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、切线的判定和性质、勾股定理等知识在1中注意利用抛物线的顶点式，在2中求得B、D的坐标是解题的关键，在3中求得、的长是解题的关键此题考查知识点较多，综合性较强，计算量较大，难度较大