专题3.7 垂径定理（基础篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（浙教版）.docx

1、专题3.7 垂径定理（基础篇）（专项练习）一、单选题1AB为O的直径，弦CDAB于点E，已知CD=16，OE=6，则O的直径为（）A8B10C16D202如图，O的直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，连接AC，CAB=22.5，AB=12，则CD的长为（）A3B6C6D63如图以CD为直径的O中，弦ABCD于MAB=16，CM=16则MD的长为（）A2B4C6D84如图，CD是O的直径，弦ABCD于点E，则下列结论不一定成立的是（）AAEBEBOEDECD5如图，点，在圆上，弦和交于点，则下列说法正确的是（ ）A若平分，则B若，则平分C若垂直平分，则圆心在上D若圆心在上，则垂直平分6如图，是的直

2、径，弦于点，连接、，下列结论中不一定正确的是（ ）ABCD7下列命题中假命题是（）A平分弦的半径垂直于弦B垂直平分弦的直线必经过圆心C垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧D平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦8如图，在O中，半径OCAB于点E，AE=2，则下列结论正确的是（）ABC垂直平分D垂直平分9如图，O的半径为5，弦AB8，点C是AB的中点，连接OC，则OC的长为（）A1B2C3D410如图，在O中，弦AB的长是半径OA的倍，C为中点，AB、OC交于点P，则四边形OACB是（）A平行四边形B矩形C菱形D正方形11如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，则以、为顶点的三角形外接圆的圆心坐标是

3、（）ABCD12我国古代数学名著九章算术中有一个经典的“圆材埋壁”问题： “今有圆材埋壁中，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何? 意思是： 如图，CD是O的直径， 弦 ABCD于P，CP=1寸，AB=10寸，则直径CD的长是（）寸A20B23C26D30二、填空题13圆的半径为，圆心到弦的距离为，则_14如图，OEAB于E，若O的半径为10，OE6，则AB_15如图，的半径为4，是的弦，且，则和之间的距离为_16某隧道口横截面如图所示，上部分是圆弧形，下部分是矩形、已知隧道口最高点E与的距离为4米，且弧所在圆的半径为10米，则路面的宽度为_米17如图，CD是O的直径，弦ABCD于点H，若D

4、=30，AD=cm，则AB=_cm18如图，在O中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则的度数为_19如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，4），（5，4），（1，2），则ABC外接圆的圆心坐标是_20如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，3），则该圆弧所在圆的圆心坐标是_21在进行垂径定理的证明教学中，老师设计了如下活动：先让同学们在圆中作了一条直径MN，然后任意作了一条弦（非直径）如图1，接下来老师提出问题：在保证弦AB长度不变的情况下，如何能找到它的中点？在同学们思考作图验证后，小华说了自己的一种想法：只要将弦AB与直径MN保

5、持垂直关系，如图2，它们的交点就是弦AB的中点，请你说出小华此想法的依据是_22如图AB是O的直径，BAC=42，点D是弦AC的中点，则DOC的度数是_度23如图，某小区的一个圆形管道破裂，修理工人准备更换一段新管道，现在量得污水水面宽度为80cm，水面到管道顶部的距离为20cm，则修理工人应准备的新管道的内直径是_cm24已知的半径为2，弦，是上一点，且，直线与交于点，则的长为_三、解答题25如图，在O中，直径AB=10，弦AC=8，连接BC(1)尺规作图：作半径OD交AC于E，使得点E为AC中点；(2)连接AD，求三角形OAD的面积26九章算术是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方

6、数学的最高成就，它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用.书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（寸），锯道长1尺（1尺=10寸）问这块圆形木材的直径（）是多少？”如图所示，请根据所学的知识解答上述问题27已知：如图，在中，为互相垂直的两条弦，D、E为垂足(1)若，求证：四边形为正方形(2)若，判断与的大小关系，并证明你的结论28如图，AB为O的直径，弦于点F，于点E，若，求OF的长 参考答案1D【分析】连接OC，由垂径定理可知，点E为CD的中点，且OECD，在RtOEC

7、中，根据勾股定理，即可得出OC，从而得出直径解：连接OC，AB为O的直径，弦CDAB于点ECE=CD=8，OE=6在RtOEC中，由勾股定理得：OC2=OE2+EC2，即OC2=62+82解得：OC=10直径AB=2OC=20故选D【点拨】本题考查垂径定理，勾股定理熟练掌握定理是解答关键.2C【分析】连接OC，求出COB=45，根据垂径定理求出CD=2CE，根据勾股定理求出CE即可解：连接OC，则OC=AB=12=6， OA=OC，CAB=22.5，CAB=ACO=22.5，COB=CAB+ACO=45，ABCD，AB为直径，CD=2CE，CEO=90，OCE=COB=45，OE=CE，CE2

8、+OE2=OC2，2CE2=62，解得：CE=3，即CD=2CE=6，故选：C【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的外角性质，垂径定理等知识点，能求出CE=OE是解此题的关键3B【分析】连接OA，如图，设O的半径为r，则OA=r，OM=16-r，根据垂径定理得到AM=BM=8，再根据勾股定理得到82+（16-r）2=r2，解方程求出r=10，然后计算CD-CM即可解：连接OA，如图，设O的半径为r，则OA=r，OM=16-r，ABCD，AM=BM=AB=8，在RtAOM中，82+（16-r）2=r2，解得r=10，MD=CD-CM=20-16=4故选：B【点拨】本题考查了垂径定

9、理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查了勾股定理4B【分析】根据垂径定理即可判断解：是的直径，弦于点， 故选：B【点拨】本题主要考查垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键5C【分析】根据垂径定理的内容和垂径定理的推论的内容进行判断解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，原说法错误，不符合题意；B、垂直于弦的直径平分弦，原说法错误，不符合题意；C、弦的垂直平分线必经过圆心，原说法正确，符合题意；D、若也是直径，则原说法不符合题意；故选：C【点拨】本题考查了垂径定理以及推论，解答时熟悉垂径定理的内容以及推论的内容是关键6C【分析】根据垂径定理判断即可；解：直径垂直于弦于点，则由垂

10、径定理可得，故选项A，B，D正确；无法得出，故C错误故选C【点拨】本题主要考查了垂径定理的应用，准确分析判断是解题的关键7A【分析】根据垂径定理及其推论分别进行判断解：A、平分弦（非直径）的半径垂直于弦，所以A为假命题；B、垂直平分弦的直线必经过圆心，所以B选项为真命题；C、垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧，所以C选项为真命题；D、平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦，所以D选项为真命题故选：A【点拨】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式有些命题的正确性是用推理证实的，这

11、样的真命题叫做定理，也考查了垂径定理的性质8D【分析】由垂径定理和勾股定理分别对各个选项进行判断即可解：连接OA，条件不足，不能求出OE和EC的长，故选项A、B不符合题意；OCAB于点E，OC是线段AB的垂直平分线，故选项D正确，符合题意；选项C不符合题意，故选：D【点拨】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧9C【分析】根据垂径定理的推论，勾股定理即可求得的长解：点C是AB的中点，O的半径为5，弦AB8， 在中故选C【点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键10C【分析】根据弦AB的长是半径OA的倍，C为的中点，判定出四边形OACB是平行四边

12、形，再由，即可判定四边形OACB是菱形.解：弦AB的长是半径OA的倍，C为的中点，OC为半径，即，四边形OACB是平行四边形，又，四边形OACB是菱形.【点拨】本题主要考查了勾股定理，菱形的判定，以及垂径定理的推论，读懂题意是解题的关键11A【分析】根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心”作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心解：如图，作弦、的垂直平分线，点、的坐标分别为，所以弦，弦，弦的垂直平分线与轴相交于点，弦的垂直平分线与轴相交于点，两条垂直平分线的交点即为三角形外接圆的圆心，且点的坐标是故选：【点拨】本题考查了垂径定理，三角形的外接圆与圆心，熟知垂径定理是解题的关键12C【分析】连接O

13、A构成直角三角形，先根据垂径定理，由DP垂直AB得到点P为AB的中点，由AB=6可求出AP的长，再设出圆的半径OA为x，表示出OP，根据勾股定理建立关于x的方程，解方程直接可得2x的值，即为圆的直径解：连接OA，ABCD，且AB=10寸，AP=BP=5寸，设圆O的半径OA的长为x，则OC=OD=x，CP=1，OP=x-1，在直角三角形AOP中，根据勾股定理得：x2-（x-1）2=52，化简得：x2-x2+2x-1=25，即2x=26，CD=26（寸）故选：C【点拨】本题考查了垂径定理和勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是关键13【分析】根据题意，画出图形，利用垂径定理，可得 ，然后利用勾股

14、定理求出，即可求解解：根据题意画出如下图形，半径 ， ，则 ，半径 ， ， ，在 中，由勾股定理得： ， 故答案为： 【点拨】本意主要考查了垂径定理，勾股定理，利用垂径定理，得到是解题的关键1416【分析】连接，由垂径定理可得，在中利用勾股定理即可求得的长，进而求得解：连接，OEAB于E，在中，OE6，故答案为：【点拨】本题考查了垂径定理和勾股定理，构造直角三角形是解题的关键15【分析】作OE于E，交CD于F，连结OA，OC，根据平行线的性质等到，再利用垂径定理得到，再由勾股定理解得OE，OF的长，继而分类讨论解题即可解：作OE于E，交CD于F，连结OA，OC，如图，在中，在中，当圆心O在AB

15、与CD之间时，当圆心O不在AB与CD之间时，即AB和CD之间的距离为，故答案为：【点拨】本题考查勾股定理、垂径定理、分类讨论等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键1616【分析】先根据勾股定理CF=米，根据垂径定理求出DF=CF=8米，然后根据四边形ABCD为矩形，得出AB=DC=16米即可解：EF=4米，OC=OE=10米，OF=OE-EF=6米，在RtOEC中，CF=米，OFDC，DC为弦，DF=CF=8米，DC=28=16米，四边形ABCD为矩形，AB=DC=16米，故答案为：16【点拨】本题考查勾股定理，垂径定理，矩形性质，掌握勾股定理，垂径定理，矩形性质是解题关键17【

16、分析】根据D=30，直角三角形中30角对应的直角边等于斜边的一半计算出AH，再根据垂直于弦的直径平分弦得到AB=2AH计算出AB解：在中，D=30cm弦ABCDcm故答案为：【点拨】本题考查直角三角形和圆的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识18【分析】先根据垂径定理可得，再根据等腰直角三角形的判定与性质即可得解：由题意得：，是等腰直角三角形，故答案为：【点拨】本题考查了垂径定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握垂径定理是解题关键19（3，1）【分析】根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心”，作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心解：根据垂径定理的推论，则作弦AB、AC的垂直

17、平分线，交点D即为圆心，且坐标是（3，1）故答案为：（3，1）【点拨】此题考查了垂径定理的推论，能够准确确定一个圆的圆心20【分析】直接利用垂径定理推论得出圆心位置，进而利用点坐标得出原点位置即可得出答案解：如图示，点A的坐标为（0，3），据此建立平面直角坐标系如下图所示， 连接，作，的中垂线，交点是点则，该圆弧所在圆的圆心坐标是：故答案是：【点拨】本题主要考查了垂径定理以及坐标与图形的性质，正确得出圆心位置是解题关键21等腰三角形三线合一的性质【分析】连接OA、OB，则OAB是等腰三角形，依据等腰三角形的性质判断解：连接OA、OB，则OAB是等腰三角形，当MNAB时，一定有MB过AB的中点，

18、依据三线合一的性质可得故答案是：等腰三角形三线合一的性质【点拨】本题考查了垂径定理，正确转化为等腰三角形的性质解决问题是关键2248【分析】根据点D是弦AC的中点，得到ODAC，然后根据DOC=DOA即可求得答案：解：AB是O的直径，OA=OCA=42，ACO=A=42D为AC的中点，ODACDOC=90DCO=9042=48故答案为：4823100【分析】由垂径定理和勾股定理计算即可解：如图所示，作管道圆心O，管道顶部为A点，污水水面为BD，连接AO，AO与BD垂直相交于点C设AO=OB=r则OC=r-20，BC=有化简得r=50故新管道直径为100cm故答案为：100【点拨】本题为垂径定理

19、的实际应用题，主要是通过圆心距，圆的半径及弦长的一半构成直角三角形，并应用勾股定理，来解决问题241或3【分析】根据垂径定理建立直角三角形，再运用勾股定理求得，进而分两种情况讨论即可解：如图，连接，由垂径定理可知，则在中，或，故答案为：1或3【点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理计算圆周上点到弦得距离，熟练掌握基本定理，准确分类讨论是解题关键25(1)见分析(2)10【分析】（1）过点O作ODAC，交AC于点E，交O于点D；（2）由题意可得OD=5，由（1）得：OEAC，点E为AC中点，继而可得，然后根据三角形的面积公式即可求得答案(1)解：如图，点E即为所求；(2)解：如图，连接AD，O的直径

20、是10，OD=5，由（1）得：OEAC，点E为AC中点，【点拨】本题主要考查了垂径定理、三角形的面积公式，熟练掌握垂径定理是解题的关键26这块圆形木材的直径（）是26寸【分析】设的半径为x寸，根据题意可得，在中，勾股定理求解即可解：设的半径为x寸，寸，寸，在中，由勾股定理得，解得.的直径（寸）.答：这块圆形木材的直径（）是26寸.【点拨】本题考查了垂径定理的应用，掌握垂径定理是解题的关键27(1)见分析(2)ODOE【分析】（1）先根据垂径定理，由ODAB，OEAC得到ADAB，AEAC，且ADOAEO90，加上DAE90，则可判断四边形ADOE是矩形，由于ABAC，所以ADAE，于是可判断四

21、边形ADOE是正方形；（2）由（1）得四边形ADOE是矩形，可得OEADAB，ODAEAC，又ABAC，即可得出OE和OD的大小关系(1)证明：ODAB，OEAC，ABAC，四边形ADOE为矩形，且OD平分AB，OE平分AC，BDADAB，AEECAC，ABAC，ADAE，四边形ADOE为正方形(2)解：ODOE，理由如下：由（1）得四边形ADOE是矩形，OEAD，ODAE，ADAB，AEAC，OE AB，ODAC，又ABAC，ODOE【点拨】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧、也考查了正方形的判定281.4【分析】根据垂径定理得到，根据勾股定理求出AE设，再次根据勾股定理得到等式，代入求值即可解答解：连接OC，在中，设，在中，在中，解得：，即【点拨】本题考查了垂径定理、勾股定理知识，关键在于合理运用垂径定理和勾股定理求出边的长度