专题30 三角形综合练习（基础）-冲刺2021年中考几何专项复习（解析版）.docx

1、专题30 三角形综合练习（基础）一选择题1如图，在ABC中，ADBC于点D，BF平分ABC交AD于点E，交AC于点F，AC13，AD12，BC14，则AE的长等于（）A5B6C7D152【分析】利用勾股定理可得DC和AB的长，由角平分线定理可得EGED，证明RtBDERtBGE（HL），可得BGBD9，设AEx，则ED12x，根据勾股定理列方程可得结论【解答】解：ADBC，ADCADB90，AD12，AC13，DC=AC2-AD2=132-122=5，BC14，BD1459，由勾股定理得：AB=92+122=15，过点E作EGAB于G，BF平分ABC，ADBC，EGED，在RtBDE和RtBG

2、E中，EG=EDBE=BE，RtBDERtBGE（HL），BGBD9，AG1596，设AEx，则ED12x，EG12x，RtAGE中，x262+（12x）2，x=152，AE=152故选：D【点评】本题考查了角平分线性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键2如图，在ABC中，ACB90，ACBC1，E、F为线段AB上两动点，且ECF45，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G现有以下结论：AB=2；当点E与点B重合时，MH=12；AF+BEEF；MGMH=12，其中正确结论的个数是（）A1B2C3D4【分析】由题意知，ABC是等腰直角三角

3、形，根据等腰直角三角形即可作出判断；如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，可得MGBC，四边形MGCB是矩形，进一步得到FG是ACB的中位线，从而作出判断；如图2所示，SAS可证ECFECD，根据全等三角形的性质和勾股定理即可作出判断；根据AA可证ACEBFC，根据相似三角形的性质可得AFBFACBC1，由题意知四边形CHMG是矩形，再根据平行线的性质和等量代换得到MGMH=22AE22BF=12AEBF=12ACBC=12，依此即可作出判断【解答】解：由题意知，ABC是等腰直角三角形，AB=AC2+BC2=2，故正确；如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，MBBC，MBC90，M

4、GAC，MGC90CMBC，MGBC，四边形MGCB是矩形，MHMBCG，FCE45ABC，AACF45，CFAFBF，FG是ACB的中位线，GC=12ACMH，故正确；如图2所示，ACBC，ACB90，A545将ACF顺时针旋转90至BCD，则CFCD，14，A645；BDAF；245，1+33+445，DCE2在ECF和ECD中，CF=CD2=DCECE=CE，ECFECD（SAS），EFDE545，DBE90，DE2BD2+BE2，即EF2AF2+BE2，故错误；71+A1+451+2ACE，A545，ACEBFC，AEBC=ACBF，AEBFACBC1，由题意知四边形CHMG是矩形，M

5、GBC，MHCG，MGCH，MHAC，CHBC=AEAB；CGAC=BFAB，即MG1=AE2；MH1=BF2，MG=22AE；MH=22BF，MGMH=22AE22BF=12AEBF=12ACBC=12，故正确；故选：C【点评】此题考查了三角形综合题，涉及的知识点有：等腰直角三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，综合性较强，有一定的难度3如图，ABC和ADE都是等腰直角三角形，BACDAE90，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接BE下列结论中，正确的结论有（）CEBD；ADC是等腰

6、直角三角形；ADBAEB；S四边形BCDE=12BDCE；BC2+DE2BE2+CD2A1个B2个C3个D4个【分析】根据等腰直角三角形的性质可得ABAC，ADAE，然后求出BADCAE，再利用“边角边”证明ABD和ACE全等，根据全等三角形对应边相等可得CEBD，判断正确；根据全等三角形对应角相等可得ABDACE，从而求出BCG+CBGACB+ABC90，再求出BGC90，从而得到BDCE，根据四边形的面积判断出正确；根据勾股定理表示出BC2+DE2，BE2+CD2，得到正确；再求出AECD时，ADC90，判断出错误；AEC与BAE不一定相等判断出错误【解答】解：，ABC和ADE都是等腰直角

7、三角形，ABAC，ADAE，BADBAC+CAD90+CAD，CAEDAE+CAD90+CAD，BADCAE，在ABD和ACE中，AB=ACBAD=CAEAD=AE，ABDACE（SAS），CEBD，故正确；ABDACE，BCG+CBGACB+ABC90，在BCG中，BGC180（BCG+CBG）1809090，BDCE，S四边形BCDE=12BDCE，故正确；由勾股定理，在RtBCG中，BC2BG2+CG2，在RtDEG中，DE2DG2+EG2，BC2+DE2BG2+CG2+DG2+EG2，在RtBGE中，BE2BG2+EG2，在RtCDG中，CD2CG2+DG2，BE2+CD2BG2+CG

8、2+DG2+EG2，BC2+DE2BE2+CD2，故正确；只有AECD时，AECDCE，ADCADB+BDC90，无法说明AECD，故错误；ABDACE，ADBAEC，AEC与AEB相等无法证明，ADBAEB不一定成立，故错误；综上所述，正确的结论有共3个故选：C【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半的性质，熟记各性质是解题的关键4如图，ABC中，ABC45，CDAB于D，BE平分ABC，且BEAC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G，下列结论正确的有（）

9、个BFAC；AE=12BF；A67.5；DGF是等腰三角形；S四边形ADGES四边形GHCEA5个B2个C4个D3个【分析】只要证明BDFCDA，BAC是等腰三角形，DGFDFG67.5，即可判断正确，作GMBD于M，只要证明GHDG即可判断错误【解答】解：CDAB，BEAC，BDCADCAEB90，A+ABE90，ABE+DFB90，ADFB，ABC45，BDC90，DCB904545DBC，BDDC，在BDF和CDA中BDF=CDAA=DFBBD=CD，BDFCDA（AAS），BFAC，故正确ABEEBC22.5，BEAC，ABCA67.5，故正确，BABC，BEAC，AEEC=12AC=

10、12BF，故正确，BE平分ABC，ABC45，ABECBE22.5，BDC90，BHHC，BHG90，BDFBHG90，BGHBFD67.5，DGFDFG67.5，DGDF，故正确作GMAB于MGBMGBH，GHBC，GHGMDG，SDGBSGHB，SABESBCE，S四边形ADGES四边形GHCE故错误，正确，故选：C【点评】此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点的综合运用，第五个问题难度比较大，添加辅助线是解题关键，属于中考选择题中的压轴题5如图，射线AB射线CD，CAB与ACD的平分线交于点E，AC4，点P是射线AB上的

11、一动点，连接PE并延长交射线CD于点Q给出下列结论：ACE是直角三角形；S四边形APQC2SACE；设APx，CQy，则y关于x的函数表达式是yx+4（0x4），其中正确的是（）ABCD【分析】正确由ABCD，推出BAC+DCA180，由ACE=12DCA，CAE=12BAC，即可推出ACE+CAE=12（DCA+BAC）90，延长即可解决问题正确首先证明ACAK，再证明QCEPKE，即可解决问题正确只要证明AP+CQAC即可解决问题【解答】解：如图延长CE交AB于KABCD，BAC+DCA180，ACE=12DCA，CAE=12BAC，ACE+CAE=12（DCA+BAC）90，AEC90，

12、AECK，AEC是直角三角形，故正确，QCKAKCACK，ACAK，AECK，CEEK，在QCE和PKE中，QCE=PKEEC=EKCEQ=PEK，QCEPKE，CQPK，SQCESPEK，S四边形APQCSACK2SACE，故正确，APx，CQy，AC4，AP+CQAP+PKAKAC，x+y4，yx+4（0x4），故正确，故选：A【点评】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题6如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三

13、角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下五个结论：ADBE；PQAE；APBQ；DEDP；DOE60，其中正确的结论数是（）A2个B3个C4个D5个【分析】首先证明ADCBEC可得ADBE；证明CDPCEQ可得CPCQ，然后可得QPCBCA，进而可证明PQAE；根据全等三角形的性质可得DPQE，ADBE，进而可得APBQ；根据三角形大角对大边可得DEQE，进而可得DEDP；根据角之间的关系可得AOBDCE60，再由对顶角相等可得DOE60【解答】解：ABC和CDE是等边三角形，ACBC，CDCE，ACBDCE60，ACDACB+BCD，BCEDCE

14、+BCD，ACDBCE，在ADC和BEC中BC=ACACD=BCEDC=CE，ADCBEC（SAS），ADBE（故正确）；BCADCE60，BCD60，ADCBEC，ADCBEC，在CDP和CEQ中DCE=DCPCD=CECEQ=CDP，CDPCEQ（ASA）CPCQ，CPQCQP60，QPCBCA，PQAE，（故正确）；CDPCEQ，DPQE，ADCBECADBE，ADDPBEQE，APBQ，（故正确）；DEQE，且DPQE，DEDP，（故错误）；AOBDAE+AEODAE+ADCDCE60，DOE60，（故正确）正确的有：故选：C【点评】本题考查三角形综合，同学们要熟练掌握等边三角形的性质

15、及全等三角形的判定和性质；得到三角形全等是正确解答本题的关键7如图，在ABC中，ABAC，BAC90，直角EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，连接EF交AP于点G，给出以下五个结论：BC45；AECF，APEF，EPF是等腰直角三角形，四边形AEPF的面积是ABC面积的一半其中正确的结论是（）A只有BCD【分析】根据等腰直角三角形的性质得：BC45，APBC，AP=12BC，AP平分BAC所以可证CEAP；FPCEPA；APPC即证得APE与CPF全等根据全等三角形性质判断结论是否正确，根据全等三角形的面积相等可得APE的面积等于CPF的面积相等，然后求出四边

16、形AEPF的面积等于ABC的面积的一半【解答】解：ABAC，BAC90，直角EPF的顶点P是BC的中点，BC=12（18090）45，APBC，AP=12BCPC，BAPCAP45C，APF+FPC90，APF+APE90，FPCEPAAPECPF（ASA），AECF；EPPF，即EPF是等腰直角三角形；同理可证得APFBPE，四边形AEPF的面积是ABC面积的一半，ABC是等腰直角三角形，P是BC的中点，AP=12BC，EF不是ABC的中位线，EFAP，故错误；AGFEGP180APEPEF180APE45，AEP180APEEAP180APE45，AEPAGF故正确的有、，共四个因此选D【

17、点评】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，中位线的性质的运用，等腰直角三角形的判定定理的运用，三角形面积公式的运用，解答时灵活运用等腰直角三角形的性质求解是关键8如图，在ABC中，C90，ACBC4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AECF，连接DE、DF、EF在此运动变化的过程中，有下列结论：DFE是等腰直角三角形；四边形CEDF不可能为正方形；四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化；点C、E、D、F四点在同一个圆上，且该圆的面积最小为4其中错误结论的个数是（）个A1B2C3D4【分析】正确连接CD只要证

18、明ADECDF（SAS），即可解决问题错误当E、F分别为AC、BC中点时，四边形CEDF为正方形错误四边形CEDF的面积=12SABC=1212444，为定值错误以EF为直径的圆的面积的最小值（ 122 2）22【解答】解：连接CD，如图1，C90，ACBC4，ABC是等腰直角三角形，AB45，D为AB的中点，CDAB，CDADBD，DCBB45，ADCF，在ADE和CDF中AE=CFA=DCFAD=CD，ADECDF（SAS），EDDF，CDFADE，ADE+EDC90，EDC+CDF90，即EDF90，DFE是等腰直角三角形，所以正确；当E、F分别为AC、BC中点时，如图2，则AECECF

19、BF，DEAECE，CECFDEDF，而ECF90，四边形CDFE是正方形，所以错误；ADECDF，SADESCDF，S四边形CEDFSCDE+SCDFSCDE+SADESADC=12SABC=1212444，所以错误；CEF和DEF都为直角三角形，点C、D在以EF为直径的圆上，即点C、E、D、F四点在同一个圆上，DEF是等腰直角三角形，EF=2DE，当DEAC时，DE最短，此时DE=12AC2，EF的最小值为2 2，以EF为直径的圆的面积的最小值（ 122 2）22，所以错误；故选：C【点评】本题考查三角形的综合题、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、全等三角形的判定和性

20、质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题9如图，C为线段AE上一动点（不与A、E重合），在AE同侧分别作等边ABC和等边CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下五个结论：ADBE；PQAE；CPCQ；BOOE；AOB60，恒成立的结论有（）ABCD【分析】根据全等三角形的判定方法，证出ACDBCE，即可得出ADBE先证明ACPBCQ，即可判断出CPCQ，正确；根据PCQ60，可得PCQ为等边三角形，证出PQCDCE60，得出PQAE，正确没有条件证出BOOE，得出错误；AOBDAE+AEODAE+ADCDCE60

21、，正确；即可得出结论【解答】解：ABC和CDE都是等边三角形，ACBC，CDCE，ACBDCE60，ACB+BCDDCE+BCD，ACDBCE，在ACD和BCE中，AC=BCACD=BCECD=CE，ACDBCE（SAS），ADBE，结论正确ACDBCE，CADCBE，又ACBDCE60，BCD180606060，ACPBCQ60，在ACP和BCQ中，ACP=BCQCAP=CBQAC=BC，ACPBCQ（AAS），APBQ，CPCQ，结论正确；又PCQ60，PCQ为等边三角形，PQCDCE60，PQAE，结论正确ACDBCE，ADCAEO，AOBDAE+AEODAE+ADCDCE60，结论正确

22、没有条件证出BOOE，错误；综上，可得正确的结论有4个：故选：C【点评】此题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定和性质的应用、等边三角形的性质和应用、平行线的判定；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键10如图所示，在RtABC中，C90，AC4，BC3，AB上有一动点D以每秒4个单位的速度从点A向点B运动，当点D运动到点B时停止运动过点D作DEAB，垂足为点D，过点E作EFAB交BC于点F，连接BE交DF于点G，设点D运动的时间为t，当SBDG4SEFG时，t的值为（）At=1417Bt=1210Ct=1017Dt=817【分析】首先求出AB，由ADEACB，求出AE5

23、t，DE3t，EC45t，再根据EFAB，得ECAC=EFAB，求出EF，由EFDB，推出EGFBGD，得SEGFSBDG=（EFDB）2=14，推出DB2EF，列出方程即可解决问题【解答】解：在RtABC中，C90，AC4，BC3，AB=AC2+BC2=42+32=5，AA，EDAC90，ADEACB，ADAC=DECB=AEBC，AD4t，AE5t，DE3t，EC45t，EFAB，ECAC=EFAB，4-5t4=EF5，EF=54（45t），EFDB，EGFBGD，SEGFSBDG=（EFDB）2=14，BD2EF，54t=54（45t），t=1017故选：C【点评】本题考查三角形综合题动

24、点问题、相似三角形的判定和性质平行线的性质等知识，解题的关键是利用相似三角形的性质，解决问题，学会利用方程的思想思考问题，属于中考常考题型11如图，D为等腰RtABC的斜边AC的中点，E为BC边上一动点，连接ED并延长交BA的延长线于点F，过D作DHEF交AB于G，交CB的延长线于H，则以下结论：DEDG；BEDG；DFDH；BGCE其中正确的是（）ABCD【分析】欲证线段相等，就证它们所在的三角形全等证明DCEDBG，DBHDAF【解答】解：ABC是等腰直角三角形，且D点是斜边AB的中点，CDADDB，BDAC，CDEBDG，DCEDBG45，在DCE与DBG中，CDE=BDGCD=BDDC

25、E=DBG=45，DCEDBG（ASA），DEDG，CEBG故正确；当DEBE时，BEDG不成立，故错误；同理可证DBHDAF，DFDH故正确；故选：C【点评】本题考查了三角形综合题，重点对三角形全等的判定定理和等腰直角三角形的理解和掌握，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS12在等腰 RtABC中，A90，ACAB2，D是BC边上的点且BD=13CD，连接ADADAE，AEAD，连接BE下列结论：ADCAEB；BECB；点B到直线AD的距离为105；四边形AEBC的周长是72+102+2；S四边形ADBE2其中正确的有（）A2个B3个C4个D5个【分析】用同角的余

26、角相等即可得出BAECAD，进而判断出ADCAEB，得出正确；用全等三角形的性质得出ABEACD，再利用等腰直角三角形的性质得出ABEABCACB45即可得出正确；先求出BD，AD，再用等面积法求出BM即可得出正确；用四边形的周长的计算方法即可得出正确；用全等三角形的面积相等转化即可得出正确【解答】解：ADAE，DAEBAC90，BAECAD，在ADC和AEB中，AD=AECAD=BAEAC=AB，ADCAEB故正确；ADCAEB，ABEACD，在等腰RtABC中，BAC90，ACAB2，ACBABC45，CBEABC+ABE90，BEBC，故正确；如图，作ANBC于N，BMAD于MABAC2

27、，BAC90，BC22，ANBNNC=2，BD=13CD，BDDN=22，AD=AN2+DN2=102，12BDAN=12ADBM，222=102BM，BM=105，故正确；ADCAEB，AEAD=102，BECD3BD=322，四边形AEBC的周长是AE+EB+BC+AC=102+322+22+2=72+102+2，故正确；ADCAEB，SADCSAEB，S四边形ADBESABD+SABESABD+SACDSABC2，故正确；即：正确的有共五个，故选：D【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，四边形的面积计算和周长的计算；解本题的关键是求

28、出BM的长度二填空题13如图，在ABC中，BABC，ABC90，BN平分ABC，AE平分BAC，AE交BN于G，EFAC于F，连接GFAEBAEF；EFGAFG；图中有3对全等三角形；EFGF；SAEF2SAGN上述结论正确的序号有【分析】首先证明ABEAFE，再证明BGEBEG67.5，推出四边形BGFE是菱形，由此即可判断正确，由NGEF，得到ANGAFE，所以SANGSAEF=（GNEF）2=12，即可判断正确【解答】解：EFAC，ABC90，ABEAFE90，AE平分BAF，EABEAF，在AEB和AEF中，ABE=AFEBAE=FAEAE=AE，ABEAFE，故正确，BEEF，BGE

29、GAB+ABG22.5+4567.5，BEAC+EAC45+22.567.5，BGEBEG，BGBEEF，BNAC，EFAC，BGEF，四边形BGFE是平行四边形，BGBE，四边形BGFE是菱形，EFEG，故正确，EFGEBG45，EFA90，GFEGFN45，故正确，ABEAFE，AGBAGF，EGBEGF，ABNCBN，故错误，NGFNFG45，NGNF，EFGF=2NG，NGEF，ANGAFE，SANGSAEF=（GNEF）2=12，SAEF2SANG故正确，正确，故答案为【点评】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、相似三角形的判定和性

30、质，解题的关键是灵活运用直线知识问题，最后有关结论的判断有点难度，用了相似三角形的面积比等于相似比的平方，属于中考填空题中的压轴题14如图，ABC的内部有一点P，且点D，E，F是点P分别以AB，BC，AC为对称轴的对称点若ABC的内角BAC70，ABC60，ACB50，PD、PE恰好分别为边AB、BC的中垂线，则下列命题中正确的是（1）（2）（3）（4）（1）A，C两点关于直线PF对称；（2）PFBE；（3）ADB+BEC+CFA360；（4）DBA+FACBAC【分析】根据线段垂直平分线的性质定理和判定定理判断（1）；根据等边三角形的判定定理和性质定理、等腰三角形的性质判断（2）；根据轴对称

31、的性质和周角的概念判断（3）；根据线段垂直平分线的性质、轴对称的性质判断（4）【解答】解：连接PA、PB、PC，PD、PE分别为边AB、BC的中垂线，PAPB，PCPB，PAPC，PE为AC的垂直平分线，A，C两点关于直线PF对称，A命题正确；ABC60，BAC+BCA120，PAPB，PBPC，PABPBA，PCBPBC，PAB+PCBPBA+PBC60，PAC+PCA60，PAPC，PCA30，CPF60，CFPC，PCF为等边三角形，PFPC，PCPBBE，BEPF，B命题正确；点P、D关于AB对称，ADBAPB，同理可得，BECBPC，AFCAPC，ADB+BEC+CFAAPB+BPC

32、+CPA360，C命题正确；PD是AB的垂直平分线，DBDA，DBADAB，点P、D关于AB对称，DABPAB，同理，FACPAC，DBA+FACPAB+PACBAC，D命题正确；故答案为：（1）（2）（3）（4）【点评】本题考查的是轴对称的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键15如图所示，已知ABC中，B90，BC16cm，AC20cm，点P是ABC边上的一个动点，点P从点A开始沿ABCA方向运动，且速度为每秒4cm，设出发的时间为t（s），当点P在边CA上运动时，若ABP为等腰三角形，则运动时间t425或9或192【分析】

33、分三种情形：ABAP，ABBP，PAPB，画出图形分别求解即可【解答】解：如图，过点B作BHAC于HABC90，AC20，BC16，AB=AC2-BC2=202-162=12，BHAC，SABC=12ACBH=12ABBC，BH=121620=485，AH=AB2-BH2=122-(485)2=365，当BABP1时，AHHP1=365，AB+BC+AP120+16+12-725=1685，此时t=425，当ABAP2时，AB+BC+CP220+16+121236，此时t9，当AP3BP3时，AB+BC+CP320+16+121038，此时t=192，综上所述，满足条件的t的值为425或9或1

34、92【点评】本题考查的是等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型16如图，ABC90，P为射线BC上任意一点（点P和点B不重合），分别以AB，AP为边在ABC内部作等边ABE和等边APQ，连接QE并延长交BP于点F，连接EP，若FQ11，AE43，则EP13【分析】连接EP，过点E作EMBC，由题意可得AEQABP，可得QEBP，AEQABC90，可求EBFBEF30，根据勾股定理可求BE2EM43，BM=3EM，EFBF2FM，EM=3FM，可求BFEF4，EM23，FM2，由QF11，EF4，可得BPEQ7，可求MP的长，根据勾

35、股定理可求EP的长【解答】解：如图：连接EP，过点E作EMBCAEB，APQ是等边三角形ABAEBE43，AQAP，ABEBAEQAP60AEBBAPQAE且AQAP，ABAEABPAEQQEBP，AEQABC90AEQABC90，ABEAEB60BEFEBF30BFEF，EFM60EMBCFEM30EF2FMBF，EM=3FMEBM30，EMBCBE2EM，BM=3EMEB43EM23，BM6BF+FMBMFM2，BFEF4QFEQ+EFEQ1147BP7MPBPBM1在RtEMP中，EP=EM2+MP2=13故答案为13【点评】本题考查了三角形综合题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，构造

36、直角三角形用勾股定理求线段的长度是本题的关键17如图，在RtACB中，ACB90，ACBC，D是AB上的一个动点（不与点A，B重合），连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90得到CE，连接DE，DE与AC相交于点F，连接AE下列结论：ACEBCD；若BCD25，则AED65；DE22CFCA；若AB32，AD2BD，则AF=53其中正确的结论是（填写所有正确结论的序号）【分析】先判断出BCDACE，即可判断出正确；先求出BDC110，进而得出AEC110，即可判断出正确；先判断出CAECEF，进而得出CEFCAE，即可得出CE2CFAC，最后用勾股定理即可得出正确；先求出BCAC3，再求出BD=2

37、，进而求出CECD=5，求出CF=53，即可判断出错误【解答】解：ACB90，由旋转知，CDCE，DCE90ACB，BCDACE，在BCD和ACE中，BC=ACBCD=ACECD=CE，BCDACE，故正确；ACB90，BCAC，B45BCD25，BDC1804525110，BCDACE，AECBDC110，DCE90，CDCE，CED45，则AEDAECCED65，故正确；BCDACE，CAECBD45CEF，ECFACE，CEFCAE，CEAC=CFCE，CE2CFAC，在等腰直角三角形CDE中，DE22CE22CFAC，故正确；如图，过点D作DGBC于G，AB32，ACBC3，AD2BD

38、，BD=13AB=2，DGBG1，CGBCBG312，在RtCDG中，根据勾股定理得，CD=CG2+DG2=5，BCDACE，CE=5，CE2CFAC，CF=CE2AC=53，AFACCF3-53=43，故错误，故答案为：【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出BCDACE是解本题的关键18如图，在RtABC中，BC2，BAC30，斜边AB的两个端点分别在相互垂直的射线OM、ON上滑动，下列结论：若C、O两点关于AB对称，则OA23；C、O两点距离的最大值为4；若AB平分CO，则ABCO；斜边AB的

39、中点D运动路径的长为2；其中正确的是（把你认为正确结论的序号都填上）【分析】先根据直角三角形30的性质和勾股定理分别求AC和AB，由对称的性质可知：AB是OC的垂直平分线，所以OAAC；当OC经过AB的中点E时，OC最大，则C、O两点距离的最大值为4；如图2，当ABO30时，易证四边形OACB是矩形，此时AB与CO互相平分，但所夹锐角为60，明显不垂直，或者根据四点共圆可知：A、C、B、O四点共圆，则AB为直径，由垂径定理相关推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，但当这条弦也是直径时，即OC是直径时，AB与OC互相平分，但AB与OC不一定垂直；如图3，半径为2，圆心角为90，根据弧长公式

40、进行计算即可【解答】解：在RtABC中，BC2，BAC30，AB4，AC=42-22=23，若C、O两点关于AB对称，如图1，AB是OC的垂直平分线，则OAAC23；所以正确；如图1，取AB的中点为E，连接OE、CE，AOBACB90，OECE=12AB2，当OC经过点E时，OC最大，则C、O两点距离的最大值为4；所以正确；如图2，当OBCAOBACB90，四边形AOBC是矩形，AB与OC互相平分，但AB与OC的夹角为60、120，不垂直，所以不正确；如图3，斜边AB的中点D运动路径是：以O为圆心，以2为半径的圆周的14，则：902180=，所以不正确；综上所述，本题正确的有：；故答案为：【点

41、评】本题是三角形的综合题，考查了直角三角形30的性质、直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质、轴对称的性质、线段垂直平分线的性质、动点运动路径问题、弧长公式，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半是本题的关键，难度适中19如图，ABC，ACB90，点D，E分别在AB，BC上，ACAD，CDE45，CD与AE交于点F，若AECDEB，CE=7104，则CF5【分析】作辅助线，构建特殊的四边形ACGH，设AEC，则DEB，根据SAS证明AECDEB，得ACCH，ACEEGH90，证明四边形ACGH是矩形；设ACDADC，根据三角形的内角和表示CAD1802，根据平角ADB180列式：+45+B

42、DE180，在BDE中根据三角形的内角和列式为：+BDE+ABC180，两式综合可得：BDE；证明四边形ACGH是正方形，得出ADAC4BE4BD；设BEx，则BDx，在RtACB中，由勾股定理列方程可求出x的值；过F作FMBC于M，设EMy，则FM2y，EF=5y，根据EF的长列方程可求出y的值；在RtCFM中，利用勾股定理可求CF的长【解答】解：延长CE至G，使ECEG，延长ED至H，使EHAE，过D作DTBC，交AE于T，连接GH、AH，设AEC，则DEB，AECDEB，AECDEB，ACGH，ACEEGH90，ACGH，四边形ACGH是矩形，AHCG，AHEHEG，ACAD，ACDAD

43、C，设ACDADC，CDE45，+45+BDE180，135BDE，ACD是等腰三角形，CAD1802，ACB是直角三角形，ABC90CAD90（1802）290，在BDE中，由内角和得：+BDE+ABC180，+BDE+290180，把代入得：+BDE+2（135BDE）90180，BDE，ADHBDE，ADAHAC，四边形ACGH是正方形，AHAC2CE=7102，ADAC=7102，BEDBDE，BEBD，设BEx，则BDx，在RtACB中，由勾股定理得：AC2+BC2AB2，(7102)2+(7104+x)2=(7102+x)2，解得：x=7108，BEBD=7108，CE2BE2BD

44、，AD4BD，ADAB=45，DTBC，ADTABE，DTEB=ADAB=ATAE=45，CE2BE，DTCE=25，DTCE，TFEF=DTCE=25，在RtACE中，由勾股定理得：AE=AC2+CE2=(7102)2+(7104)2=3524，ET=15AE=153524=724，EF=57ET=57724=542，过F作FMBC于M，tan=ACCE=FMEM=71027104=21，设EMy，则FM2y，EF=5y，5y=542，y=104，FM2y=102，EMy=104，CMCEEM=7104-104=3102，在RtCFM中，由勾股定理得：CF=CM2+FM2=(3102)2+(

45、102)2=5；故答案为：5【点评】本题是三角形和四边形的综合题，考查了矩形、正方形的性质和判定，平行相似及平行线分线段成比例定理，三角函数，勾股定理等知识，比较麻烦，计算量较大；注意线段的比的关系，利用线段的比和未知数，根据勾股定理计算边的长，从而使问题得以解决20如图，已知ABC中，ABAC2，BAC90，直角EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：图中只有2对全等三角形AECF；EPF是等腰直角三角形；S四边形AEPF=12SABC；EF的最小值为2上述结论始终正确的有（填序号）【分析】根据全等三角形的判定定理、等腰直角三角形的判定定理、全

46、等三角形的性质定理判断即可【解答】解：ABAC2，BAC90，BC45，点P是BC的中点，BAPCAP45，EPF90，BPE+EPA90，BPEAPF，EPAFPC，在BPE和APF中，BPE=APFB=PAFBP=AP，BPEAPF，EPAFPC，APCAPB，有3对全等三角形，错误；EPAFPC，AECF，；BPEAPF，PEPF，又EPF90，EPF是等腰直角三角形，正确；BPEAPF，S四边形AEPFSABP=12SABC，正确；由知，EPF是等腰直角三角形，则EF=2EP当EPAB时，EP取最小值，此时EP=12AB，则EF最小值=22AB=2故正确，故答案为：【点评】本题考查的是

47、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键21如图，D、E分别是ABC的边BC和AB上的点，ABD与ACD的周长相等，CAE与CBE的周长相等，设BCa，ACb，ABc，给出以下几个结论：如果AD是BC边中线，那么CE是AB边中线；AE的长度为c+a-b2；BD的长度为b+a-c2；若BAC90，ABC的面积为S，则SAEBD其中正确的结论是（将正确结论的序号都填上）【分析】由中线的定义，可得到ABAC，但ABAC时未必有ACBC，可判断；ABD与ACD的周长相等，我们可得出：AB+BDAC+CD，等式的左右边正好是三角形ABC周长的一半，有A

48、B，AC的值，那么就能求出BD的长了，同理可求出AE的长，可判断；把AE和BD代入计算，结合勾股定理可求得S，可判断；则可得出答案【解答】解：当AD是BC边中线时，则BDCD，ABD与ACD的周长相等，ABAC，但此时，不能得出ACBC，即不能得出CE是AB的中线，故不正确；ABD与ACD的周长相等，BCa，ACb，ABc，AB+BD+ADAC+CD+AD，AB+BDAC+CD，AB+BD+CD+ACa+b+c，AB+BDAC+CD=a+b+c2BD=a+b+c2-c=a+b-c2，同理AE=a+c-b2，故都正确；当BAC90时，则b2+c2a2，AEBE=a+c-b2a+b-c2=14a+

49、（cb）a（cb）=14a2（cb）2=14a2（c2+b22bc）=142bc=12bcS，故正确；综上可知正确的结论，故答案为：【点评】本题为三角形的综合应用，主要考查了三角形各边之间的关系问题及三角形的面积，在列式子的时候要注意找出等量关系，难度适中22如图，在ABC中，ACB90，ACBC1，E、F为线段AB上两动点，且ECF45，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G现有以下结论：AB=2；当点E与点B重合时，MH=12；AF+BEEF；MGMH=12，其中正确结论为【分析】由题意知，ABC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形即可作出判断；如图1，当点E与点B重

50、合时，点H与点B重合，可得MGBC，四边形MGCB是矩形，进一步得到FG是ACB的中位线，从而作出判断；如图2所示，SAS可证ECFECD，根据全等三角形的性质和勾股定理即可作出判断；根据AA可证ACEBFC，根据相似三角形的性质可得AFBFACBC1，由题意知四边形CHMG是矩形，再根据平行线的性质和等量代换得到MGMH=22AE22BF=12AEBF=12ACBC=12，依此即可作出判断【解答】解：由题意知，ABC是等腰直角三角形，AB=AC2+BC2=2，故正确；如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，MBBC，MBC90，MGAC，MGC90CMBC，MGBC，四边形MGCB是矩形

51、，MHMBCG，FCE45ABC，AACF45，CFAFBF，FG是ACB的中位线，GC=12ACMH，故正确；如图2所示，ACBC，ACB90，A545将ACF顺时针旋转90至BCD，则CFCD，14，A645；BDAF；245，1+33+445，DCE2在ECF和ECD中，CF=CD2=DCECE=CEECFECD（SAS），EFDE545，BDE90，DE2BD2+BE2，即EF2AF2+BE2，故错误；71+A1+451+2ACE，A545，ACEBFC，AEBC=ACBF，AEBFACBC1，由题意知四边形CHMG是矩形，MGBC，MHCG，MGBC，MHAC，CHBC=AEAB；C

52、GAC=BFAB，即MG1=AE2；MH1=BF2，MG=22AE；MH=22BF，MGMH=22AE22BF=12AEBF=12ACBC=12，故正确故答案为【点评】此题是三角形综合题，主要考查了相似形综合题，涉及的知识点有：等腰直角三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，综合性较强，有一定的难度三解答题23如图，等腰RtAOB在平面直角坐标系xOy上，B90，OA4点C从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向运动，过点C作直线lOA，直线l与射线OB相交于点N（1）点B的坐标为（2，2）

53、；（2）点C的运动时间是t秒当2t4时，AOB在直线l右侧部分的图形的面积为S，求S（用含t的式子表示）；当t0时，点M在直线l上且ABM是以AB为底的等腰三角形，若CN=32CM，求t的值【分析】（1）过B点作BDOA于点D，根据等腰直角三角形的性质求得OD与BD的长度，便可写出B点的坐标；（2）证明ACM为等腰直角三角形，再由三角形的面积公式求得结果；过AB的中点D，作线段AB的垂直平分线DE，求出直线OB与DE的解析式，再用t表示C、M、N的坐标，进而用t表示CN与CM，根据已知条件CN=32CM，列出t的方程进行解答便可【解答】解：（1）过B点作BDOA于点D，如图1，OBA90，OB

54、AB，OA4BDODAD=12OA2，B（2，2），故答案为（2，2）；（2）当2t4时，如图2，则ACOAOC4t，OBA90，OBAB，OAB45，直线lOA，ACM90，AMC45CAM，ACCM4t，S=SACM=12(4-t)2；过AB的中点D，作线段AB的垂直平分线DE，如图3，ABM是以AB为底的等腰三角形，MAMB，点M在直线DE上，点M在直线l上，点M为直线l与直线DE的交点，设直线OB的解析式为ykx（k0），由（1）知，B（2，2），22k，k1，直线OB的解析式为：yx，ABOADM90，DEOB，设直线DE的解析式为yx+n，A（4，0），B（2，2），D为AB的中点

55、，D（3，1），把D（3，1）代入yx+n中，得13+n，n2，直线DE的解析式为：yx2，OCt，C（t，0），N（t，t），M（t，t2），CN=32CM，t0t=32|t2|，t=32（t2），或t=32（2t），解得，t6，或t=65【点评】本题主要考查了点的坐标，待定系数法，求函数的解析式，等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式，难度不大，第（3）题关键是求出AB的垂直平分线的解析式和正确列出t的方程24如图1，ACBAED90，ACBC，AEDE（1）若D为AC的中点，求BDCE的值；（2）将图1中的ADE绕点A顺时针旋转，使点D落任AB上，如图2，F为DB的中点画出DEF关于点F

56、成中心对称的图形，求EFCE的值；（3）如图3，将ADE绕点A顺时针旋转，F为BD的中点，当AC6，AD4时，则CF的最大值为32+2（直接写出结果）【分析】（1）如图1中，作EQAC于Q设EQQAQDa，利用勾股定理求出BD、CE即可解决问题；（2）如图2中，DEF关于点F对称的FBH如图所示；只要证明CAECBH，推出ECH是等腰直角三角形即可解决问题；（3）如图3中，延长EF到H，使得EFFH连接CF、CH，延长ED交BC于K想办法证明ECH是等腰直角三角形，可得EC=2CF，由此可知，CE最大时，CF的值最大；【解答】解：（1）如图1中，作EQAC于QADE是等腰直角三角形，EQQAQ

57、D，设EQQAQDa，ADDC，ADDC2a，BCAC4a，在RtCDB中，BD=CD2+BC2=25a，在RtCQE中，EC=CQ2+EQ2=10a，BDCE=25a10a=2（2）如图2中，DEF关于点F对称的FBH如图所示；连接CF、CHFDEFBH，DEBHAE，EDFFBH135，EFFH，ABC45，CBH90CAE，CACB，CAECBH，ECCH，ACEBCH，ECHACB90，ECH是等腰直角三角形EFFH，CFEH，CFEFFH，ECF是等腰直角三角形，EC=2EF，EFEC=22（3）如图3中，延长EF到H，使得EFFH连接CF、CH，延长ED交BC于KACKAEK90，

58、CAE+EKC180，EKC+EKB180，CAEEKB，DFFB，DFEBFH，FEFH，DFEBFH，DEBHQE，DEFFHB，EKBH，EKBCBH，CAECBH，CACB，CAECBH，ECCH，ACEBCH，ECHACB90，ECH是等腰直角三角形EFFH，CFEH，CFEFFH，ECF是等腰直角三角形，EC=2CF，当EC的值最大时，CF的值也最大，EC的最大值AC+AE6+22，6+22=2CF，CF的最大值32+2，故答案为32+2【点评】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解

59、决问题，属于中考压轴题25如图，ABC中，ABAC，tanB=12，作ADAC交BC于E，且ADAC，连接CD（1）若CD42，求BE的长度；（2）如图2，BAD的角平分线交BC于F，作CGAF的反向延长线于点G，求证：2BF+AGCG；（3）如图3，将“tanB=12”改为“sinB=12”，作ADAC，且ADAC，连接BD，CD，延长DA交BC于E，BAD的角平分线的反向延长线交BC于F，作CGAF于G，直接写出BFGCBDBE的值【分析】（1）如图1中，过A作AFBC于F，根据RtACD中，AC4，可得RtACE中，AE2，CE25，再根据BC2CG，求得BC=1655，最后根据BEBC

60、CE进行计算即可；（2）如图2中，连接DF，延长AF交BD于M首先证明BFD是等腰直角三角形，再证明AMDCGA，推出AGDMBMFM，CGAM，由BFD是等腰直角三角形，FMBD，推出BFMAFN45，推出2BF=2ANAF，由此即可证明；（3）如图3中，作AMBC于M，连接DF，FA的延长线交BD于N首先证明BD=2BF，由sinABC=12，推出ABCACBEAM30，设EMm，则AE2mBE，EC2AE4m，AMFM=3m，CFCMFM3m-3m，CG=3m-3m2，由此即可解决问题【解答】解：（1）如图1，过A作AFBC于H，ADAC，ADAC，CD42，等腰直角三角形ACD中，AC

61、4，BC2CH，ABAC，tanB=12，tanACB=12，RtACE中，AE2，CE=22+42=25，tanACH=12，AH=455，CH=855，BC2855=1655，BEBCCE=1655-25=655；（2）证明：如图2，连接DF，延长AF交BD于MABADAC，点B、D、C在以A为圆心的圆上，DAAC，DAC90，DBC=12DAC45，AF平分BAD，FABFAD，在FAB和FAD中，AB=ADFAB=FADAF=AF，FABFAD（SAS），BFDF，DBFFDB45，DFBC，ABAD，MA平分BAD，BMDM，AMBD，DAM+CAG90，CAG+ACG90，MADA

62、CG，在AMD和CGA中，AMD=G=90MAD=ACGAD=AC，AMDCGA（AAS），AGDMBMFM，CGAM，BFD是等腰直角三角形，FMBD，BFMAFH45，AHFH=12BH，BFFHAH，2BF=2AHAF，CGAMFM+AFAG+2BF，即2BF+AGCG；（3）如图3，作AMBC于M，连接DF，延长FA交BD于NABAD，AN平分BAD，ANBD，BNDN，FBFD，ABACAD，CBD=12CAD45，FBDFDB45，BDF是等腰直角三角形，BD=2BF，sinABC=12，ABCACBEAM30，BAM60，BAC120，DAC90，BAD150，BAN75，MAF

63、180756045AFM，AMFM，GFCGCF45，FGCG，AEC60，ABE30，ABEBAE30，AEBE，设EMm，则AE2mBE，EC2AE4m，AMFM=3m，CFCMFM3m-3m，CG=3m-3m2，BFGCBDBE=BF2BF3m-3m22m=3-34【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识的综合应用，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形和直角三角形，利用含30角的直角三角形以及等腰直角三角形的边角关系来解决问题26（1）问题探究如图1，在直角ABC中，BAC90，BC13，AB5

64、，若P是BC边上一动点，连接AP，则AP的最小值为6013如图2，在等腰直角ABC中，ABC90，ACa，求边AB的长度（用含a的代数式表示）（2）问题解决如图3，在等腰直角ABC中，ABC90，AC4，D是边BC的中点，若P是AB边上一动点，E是AC边上一动点，试求PD+PE的最小值【分析】（1）过A作AECB于E，依据三角形面积相等可求出AE=6013，再根据垂线段最短可知当AP与AE重合时AP的值最小，故可得结果；根据勾股定理求解即可；（2）作AHAC，PEAH，DFAH交AB于T，可得PD+PE的最小值为DF的长，由勾股定理求出DT和TF的长即可得到结论【解答】解：（1）如图1，过A作

65、AECB于E，在RtABC中，BAC90，AB5，BC13，AC=BC2-AB2=132-52=12，SABC=12ABAC=12BCAE，AE=ABACBC=51213=6013，根据垂线段最短可知当AP与AE重合时AP的值最小，最小值为6013故答案为6013如图2，ABC90，ABAC，AB2+BC2AC2，ACa，AB2=12a2，AB=22a或-22a（舍去），AB=22a（2）作AHAC，PEAH于E，DFAH交AB于T，作TQAC于点Q，如图3，ABC是等腰直角三角形，AC4，ABBC=22，BACBCA45，D为BC的中点，BDCD=2，DFAH，ACAH，DFAC，BTDBA

66、C45，BDTBCA45，BTDBDT45，BTBDAT=2，DT2，AHAC，BAC45，AFTF1，易证四边形AQTF是正方形，得TQ1，根据垂线段最短可得，当点E与点Q重合，点P与点T重合时PD+PE的值最小，最小值为DFDT+TF2+13【点评】此题考查了勾股定理以及运用垂线段最短求线段和最小值，知道线段最短时点的位置并能确定出最小时点的位置是解题关键，也是本题的难点27如图，点O是等边ABC内一点，AOB105，BOC，点D是等边ABC外一点，OCD60，OCOD，连接OD、AD（1）求AOD的度数（用含的式子表示）；（2）求证：BOCADC；（3）探究：当为多少度时，AOD是等腰三

67、角形？【分析】（1）由等边三角形的判定可证OCD是等边三角形，可得CODCDO60，由周角的性质可求解；（2）由“SAS”可证BOCADC；（3）先求出OAD，ADO的度数，分三种情况讨论，根据等腰三角形的判定定理计算即可【解答】解：（1）OCD60，OCOD，OCD是等边三角形，CODCDO60，AOD360BOCAOBCOD195；（2）ABC是等边三角形，BCAC，BCA60，BCAOCD，BCOACD，且CDOC，BCAC，BOCADC（SAS）；（3）BOCADC，ADCBOC，CBOCAD，ADO60，ABO+BAO180AOB75，且ABC+BAC120OBC+OAC45，OAC

68、+CAD45，即OAD45，当ADOD时，OADAOD，45195150当AOAD时，AODADO，19560127.5，当AOOD时，OADADO，4560105综上所述：150或127.5或105时，AOD是等腰三角形【点评】本题是三角形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，直角三角形的判定以及等腰三角形的判定，掌握相关的判定定理是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用28如图，ABC是等边三角形（1）如图1，AHBC于H，点P从A点出发，沿高线AH向下移动，以CP为边在CP的下方作等边三角形CPQ，连接BQ求CBQ的度数；（2）如图2，若点D为ABC内任意一点，连接DA

69、，DB，DC证明：以DA，DB，DC为边一定能组成一个三角形；（3）在（1）的条件下，在P点的移动过程中，设xAP+2PC，点Q的运动路径长度为y，当x取最小值时，写出x，y的关系，并说明理由【分析】（1）只要证明ACPBCQ，即可推出CBQCAP30；（2）如图2中，将ADC绕当A顺时针旋转60得到ABQ，连接DQ可以证明DA，DB，DC为边一定能组成一个三角形（图中BDQ）；（3）作PEAB于E，CFAB于F交AH于GPA+2PC2（12PA+PC）2（PE+PC），根据垂线段最短可知，当E与F重合，P与G重合时，PA+2PC的值最小，最小值为2CF，由此即可解决问题；【解答】（1）解：如

70、图1中ABC是等边三角形，AHBC，CAP=12BAC30，CACB，ACB60，PCQ是等边三角形，CPCQ，PCQACB60，ACPBCQ，ACPBCQ，CBQCAP30（2）证明：如图2中，将ADC绕当A顺时针旋转60得到ABQ，连接DQACDABQ，AQAD，CDBQ，DAQ60，ADQ是等边三角形，ADDQ，DA，DB，DC为边一定能组成一个三角形（图中BDQ）（3）如图3中，作PEAB于E，CFAB于F交AH于GPE=12PA，PA+2PC2（12PA+PC）2（PE+PC），根据垂线段最短可知，当E与F重合，P与G重合时，PA+2PC的值最小，最小值为2CF由（1）可知ACPBC

71、Q，可得BQPA，PABQAGCGy，FG=12y，x2（y+12y），y=13x【点评】本题考查三角形综合题、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、旋转变换等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，利用垂线段最短解决最短问题，属于中考压轴题29如图，已知A（a，0）、B（0，b），且a、b满足a26a+9+a-b=0（1）求A、B两点的坐标；（2）如图1，若C（5，0），连CB，过B点作BDBC，且BDBC，求点D的坐标；（3）如图2，若点M是AB的中点，E为线段AO上一动点，F点在y轴负半轴上，当EMF45时，试判断线段AE、OF、EF

72、具有怎样的数量关系？请说明理由【分析】（1）理由非负数的性质即可解决问题；（2）如图作DEy轴于E只要证明DBEBCO，可得DEBO3，BEOC5，推出OE2，即可解决问题；（3）结论：EFAE+OF如图2中，连接OM，将MOF绕点M逆时针旋转90得到MAH只要证明点H在x轴上，EMFEMH即可解决问题；【解答】解：（1）a26a+9+a-b=0，（a3）2+a-b=0，（a3）20，a-b0，ab3，A（3，0），B（0，3）（2）如图作DEy轴于EDBBC，DBCDEBBOC90，DBE+D90，DBE+CBO90，DCBO，BDBC，DBEBCO（AAS），DEBO3，BEOC5，OE2

73、，D（3，2）（3）结论：EFAE+OF理由：如图2中，连接OM，将MOF绕点M逆时针旋转90得到MAHOAOB，AOB90，BMAM，OMBMAM，MAOMOA45，MOF45+90135，MAO+MAH180，点H在x轴上，FME45OMF+AME45，EMHAME+AMH45，EMFEMH，EMEM，MFMH，EMFEMH（SAS），EFEHAE+AHAE+OF【点评】本题考查三角形综合题、等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、非负数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题30在ABC与ADE中，BACDAE90，ABAC，ADA

74、E，延长DE交BC于点F，连接DC，BE（1）如图1，当点B，A，D在同一直线上时，且ABE30，AE2，求BF的长（2）如图2，当BEA90时，求证：BFCF（3）如图3，当点E在ABC的平分线上时，BE交DC于点G，请直接写出EG、DG、CG之间的数量关系【分析】（1）先根据直角三角形30角的性质得：BE2AE4，由ADE是等腰直角三角形，计算DE的长，同时得BDF也是等腰三角形，设BFx，RtBEF中，由勾股定理列方程解出x的值即可；（2）如图2，连接AF，先证明ADCAEB，得ADCAEB90，证明ADEACB45，可知A、F、C、D四点共圆，根据四点共圆的性质：圆内接四边形的对角互补

75、得：ADC+AFC180，则AFC90，由等腰三角形三线合一得：BFCF；（3）结论：DG+EG=2CG，作辅助线，构建直角三角形和正方形，首先证明四边形ANGM是正方形，由A、G、C、B四点共圆，推出AGOACB45，再利用四点共圆的性质推出CGAG，由AMDANE，推出NGMG，可得EG+DG=2CG【解答】（1）解：BAC90，ABE30，AE2，BE2AE4，ADE是等腰直角三角形，DE=2AE22，ABC也是等腰三角形，ABCADE45，DFB90，BFDF，设BFx，则EFDFDEx22，在RtBEF中，由勾股定理得：42=x2+(x-22)2，解得：x1=2+6，x2=2-6（舍

76、），BF=2+6；（2）证明：如图2，连接AF，BACEAD90，BAE+EACCAD+EAC，BAECAD，在ABE和ACD中，AB=ACBAE=CADAE=AD，ADCAEB（SAS），ADCAEB90，AED和ABC是等腰直角三角形，ADEACB45，A、F、C、D四点共圆，ADC+AFC180，AFC90，AFBC，ABAC，BFCF；（3）解：如图3，DG+EG=2CG，理由是：过A作ANBG于G，作AMCD于M，连接AG，同理得：ABEACD，ABOACD，A、B、C、G四点共圆，AGBACB45，OGCBAO90，BGD90，NGAAGD45，ANAM，ADAE，RtANERtAMD（HL），ENDM，ANGNGDAMG90，ANAM，四边形ANGM是正方形，NGGM，A、B、C、G四点共圆，GACGBC，ACGABG，ABGGBC，GACACG，AGCG，ANG是等腰直角三角形，AG=2NG，CGAG=2NG，EG+DGEN+NG+MGDMNG+MG2NG2CG2=2CG【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质、四点共圆等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会添加常用辅助线，本题的难点是，四点共圆的应用，属于中考压轴题