专题34 利用相似解决四边形问题——几何综合（解析版）.docx

1、专题34 利用相似解决四边形问题几何综合（解析版）专题诠释：几何综合题是中考必考题型。试题一般以全等或相似为中心 , 以四边形为重点 , 常常是三角形、四边形、相似三角形、锐角三角函数等知识的综合运用.解题策略：解答几何综合题应注意 :(1) 注意观察、分析图形 , 把复杂的图形分解成几个基本图形 , 通过添加辅助线补全或构造基本图形 .(2) 掌握常规的证题方法和思路 ;(3) 运用转化的思想解决几何证明问题 , 运用方程的思想解决计算问题。另外还用结合数学思想和方法。第一部分 专题典例剖析类型一 利用相似解决平行四边形问题1（2022贺州）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，

2、BC上，且EDBF，连接AF，CE，AC，EF，且AC与EF相交于点O（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若AC平分FAE，AC8，tanDAC=34，求四边形AFCE的面积思路引领：（1）根据平行四边形性质得出ADBCAEFC，根据等量减等量差相等，得出AEFC，从而证明四边形AFCE是平行四边形；（2）先证明平行四边形AFCE是菱形，根据三角函数求出EO3，求出SAEO=12AOEO6，从而求出四边形AFCE的面积（1）证明：在平行四边形ABCD中，ADBCAEFC，EDBF，ADEDBCBF，AEFC，四边形AFCE是平行四边形；（2）解：AEFC，EACACF，EACFAC，

3、ACFFAC，AFFC，四边形AFCE是平行四边形，平行四边形AFCE是菱形，AO=12AC4，ACEF，在RtAOE中，AO4，tanDAC=34，EO3，SAEO=12AOEO6，S菱形4SAEO24总结提升：本题考查了解直角三角形、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质，掌握这几个知识点的综合应用是解题关键2（2022杭州）如图，在ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF已知四边形BFED是平行四边形，DEBC=14（1）若AB8，求线段AD的长（2）若ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积思路引领：（1）证明ADEABC，根据相似三角形对应边的比相等列式

4、，可解答；（2）根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得ABC的面积是16，同理可得EFC的面积9，根据面积差可得答案解：（1）四边形BFED是平行四边形，DEBF，DEBC，ADEABC，ADAB=DEBC=14，AB8，AD2；（2）ADEABC，SADESABC=（DEBC）2（14）2=116，ADE的面积为1，ABC的面积是16，四边形BFED是平行四边形，EFAB，EFCABC，SEFCSABC=（34）2=916，EFC的面积9，平行四边形BFED的面积16916总结提升：本题主要平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题关键3（20

5、21长春）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC4，BD8，点E在边AD上，AE=13AD，连结BE交AC于点M（1）求AM的长（2）tanMBO的值为 思路引领：（1）由菱形的性质可得AEMCBM，再由AMCM=AEBC求解（2）由tanMBO=MOBO求解解：（1）在菱形ABCD中，ADBC，ADBC，AEMCBM，AMCM=AEBC，AE=13AD，AE=13BC，AMCM=AEBC=13，AM=13CM=14AC1（2）AO=12AC2，BO=12BD4，ACBD，BOM90，AMOM=12AO1，tanMBO=OMBO=14故答案为：14总结提升：本题考查菱形与直角

6、三角形，解题关键是熟练掌握菱形的性质与解直角三角形的方法类型二 利用相似解决矩形问题4（2022玉林）如图，在矩形ABCD中，AB8，AD4，点E是DC边上的任一点（不包括端点D，C），过点A作AFAE交CB的延长线于点F，设DEa（1）求BF的长（用含a的代数式表示）；（2）连接EF交AB于点G，连接GC，当GCAE时，求证：四边形AGCE是菱形思路引领：（1）根据矩形的性质可得ADEABF，DAE+BAE90，结合题干AFAE可得BAF+BAE90，进而可得DAEBAF，进而可得ADEABF，利用相似三角形的性质可得BF的长度；（2）先根据AGCE，GCAE进而可得四边形AGCE是平行四边

7、形，通过勾股定理可得GF2、EF2、AE2，再过点G作GMAF于点M，易得MGFAEF，进而利用相似三角形的性质可得GM的长，即可得GMGB，进而可得GF是AFB的角平分线，最后利用角平分线得性质可得EAEC，即可得平行四边形AGCE是菱形（1）解：四边形ABCD是矩形，ADEABFBAD90，DAE+BAE90，AFAE，BAF+BAE90，DAEBAF，ADEABF，ADAB=DEBF，即48=aBF，BF2a，（2）证明：四边形ABCD是矩形，AGCE，GCAE，四边形AGCE是平行四边形AGCE8a，BGABAG8（8a）a，在RtBGF中，GF2a2+（2a）25a2，在RtCEF中

8、，EF2（2a+4）2+（8a）25a2+80，在RtADE中，AE242+a216+a2，如图，过点G作GMAF于点M，GMAE，MGFAEF，GMAE=GFEF，GM2AE2=GF2EF2，GM216+a2=5a25a2+80，GMa，GMBG，又GMAF，GBFC，GF是AFB的角平分线，EAEC，平行四边形AGCE是菱形解法二：AGCE，CGAE，四边形AGCE是平行四边形，AGCE，ABCD，BGDEa，tanEFC=GBBF=ECCF=12，ECa+28aa3，AE=32+42=5，AECE5，四边形AGCE是菱形总结提升：本题主要考查相似三角形的判定与性质、菱形的判定、矩形性质等

9、，解题关键是熟练掌握相关性质与判定5（2022泰安）如图，矩形ABCD中，点E在DC上，DEBE，AC与BD相交于点O，BE与AC相交于点F（1）若BE平分CBD，求证：BFAC；（2）找出图中与OBF相似的三角形，并说明理由；（3）若OF3，EF2，求DE的长度思路引领：（1）根据矩形的性质和角平分线的定义，求得36，从而求证BFAC；（2）根据相似三角形的判定进行分析判断；（3）利用相似三角形的性质分析求解（1）证明：如图，在矩形ABCD中，ODOC，ABCD，BCD90，234，3+590，DEBE，12，又BE平分DBC，16，36，6+590，BFAC；（2）解：与OBF相似的三角形

10、有ECF，BAF理由如下：13，EFCBFO，ECFOBF，DEBE，12，又24，14，又BFAOFB，BAFOBF；（3）解：在矩形ABCD中，432，12，14又OFBBFA，OBFBFA13，OFBEFC，OBFECFEFOF=CFBF，23=CFBF，即3CF2BF，3（CF+OF）3CF+92BF+9，3OC2BF+93OA2BF+9，ABFBOF，OFBF=BFAF，BF2OFAF，BF23（OA+3），联立，可得BF119（负值舍去），DEBE2+1+19=3+19总结提升：本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质以及勾股定理，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键6（2022

11、秋苏州期末）如图，矩形ABCD中，AD3，CD4，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度在射线AB上向右运动，运动时间为t秒，连接DP交AC于点Q（1）求证：DCQPAQ；（2）若ADQ是以AD为腰的等腰三角形，求运动时间t的值思路引领：（1）由题意可知ABCD，从而可知DCQPAQ，由DQCPQA，可证DCQPAQ；（2）由矩形性质可得及勾股定理可知，AC5，DP=9+t2，分两种情况：当ADAQ时，当ADDQ时，分别利用相似三角形列出比例式可求解得t的值（1）证明：四边形ABCD是矩形，ABCD，DCQPAQ，又DQCPQA，DCQPAQ；（2）解：四边形ABCD是矩形，AD3，CD4，

12、AC5，由题意知，APt，DP=AD2+AP2=9+t2，当ADAQ时，即：AQ3，CQ2DCQPAQ，CQAQ=DCAP，即：23=4t，解得：t6；当.时，即：DQ3，PQ=DPDQ=9+t23DCQPAQ，DQPQ=DCAP，即：39+t23=4t，整理得：34t+3=9+t2，两边同时平方得：916t2+92t+9=9+t2，整理得：t2727t=0，解得：t=727或t0（舍去）综上：ADQ是以AD为腰的等腰三角形时，t6或t=727总结提升：本题考查相似三角形的判定及性质，等腰三角形定义、矩形性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质，分类讨论求解是解决问题的关键类型三 利用相似解决菱形

13、问题7（2022长春）如图，在RtABC中，ABC90，ABBC点D是AC的中点，过点D作DEAC交BC于点E延长ED至点F，使得DFDE，连结AE、AF、CF（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若BEEC=14，则tanBCF的值为 思路引领：（1）先证四边形AECF是平行四边形，再由DEAC，即可得出结论；（2）设BEa，则CE4a，由菱形的性质得AECE4a，AECF，则BEABCF，再由勾股定理得AB=15a，然后由锐角三角函数定义即可得出结论（1）证明：点D是AC的中点，ADCD，DFDE，四边形AECF是平行四边形，又DEAC，平行四边形AECF是菱形；（2）解：BEEC=14

14、，CE4BE，设BEa，则CE4a，由（1）可知，四边形AECF是菱形，AECE4a，AECF，BEABCF，ABC90，AB=AE2BE2=(4a)2a2=15a，tanBCFtanBEA=ABBE=15aa=15，故答案为：15总结提升：本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理以及锐角三角函数定义等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键8（2022秋海淀区校级期末）如图，在菱形ABCD中，A60，经过点C的直线分别与AB，AD的延长线相交于点P，Q，QB，PD相交于点O（）求证：BD2PBDQ；（）求证：BD2ODPD思路引领：（）由四边形ABCD是菱形，得到ABA

15、DBCCD，ABCD，ADBC，根据平行线的性质得到PBCACDQ，APQDCQ，AEFDCF，于是求得BCPCDQ，得到BPCD=BCDQ，等量代换即可得到BPBD=BDDQ；（）推出DBPQBD，根据相似三角形的性质得到BEDFBD，证得BDOPBD，根据相似三角形的性质即可得到结论解：（）四边形ABCD是菱形，ABADBCCD，ABCD，ADBC，PBCACDQ，APQDCQ，BCPCDQ，BPCD=BCDQ，A60，ABD是等边三角形，BDBCCD，BPBD=BDDQ，BD2PBDQ；（）BPBD=BDDQ，PBDBDQ120，DBPQBD，BPDQBD，BDOBDP，BDOPBD，B

16、DDP=DOBD，BD2ODPD总结提升：本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键9（2022秋汝州市期末）如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，分别过点C、D作CEBD，DEAC，CE和DE交于点E（1）求证：四边形ODEC是矩形；（2）连接AE，交CD于点F，当ADB60，AD43时，直接写出EA的长思路引领：（1）先证四边形ODEC是平行四边形，然后根据菱形的对角线互相垂直，得到DOC90，根据矩形的定义即可判定四边形ODEC是矩形（2）根据含30度角直角三角形的性质、勾股定理来求EA的长度即可（1）证明：C

17、EBD，DEAC，四边形ODEC是平行四边形又菱形ABCD，ACBD，DOC90四边形ODEC是矩形（2）解：RtADO中，ADO60，OAD30，OD=12AD23，AO6，AC12，EC23，AE233总结提升：本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，是基础题，熟记矩形的判定方法与菱形的性质是解题的关键10（2022秋白塔区月考）如图，在菱形ABCD中，DEBC交BC的延长线于点E，连结AE交BD于点F，交CD于点G，连结CF（1）求证：AF2EFGF；（2）若菱形ABCD的边长为2，BAD120，求FG的长思路引领：（1）先由菱形的性质得到ABBC，ABFCBF，然后结合

18、BFBF得到ABFCBF，进而得到AFCF；由菱形得到BADBCD、ADBE，从而得到DAFDCF、DAFFEC，再结合CFGEFC得到CFGEFC，然后利用相似三角形的性质得到CF2EFGF，最后结合AFCF得到AF2EFGF；（2）先由BAD120得到DCE60，然后结合菱形边长为2得到CD的长，进而利用DEBC得到CE、AE的长，然后通过证明FADFEB、GADGEC，进而得到AF、AG的长，最后得到FG的长（1）证明：四边形ABCD是菱形，ABBC，ABFCBF，BFBF，ABFCBF（SAS），AFCF四边形ABCD是菱形，BADBCD，ADBE，DAFFEC，ABFCBF，BAFB

19、CF，DAFDCF，GCFCEF，CFGEFC，CFGEFC，CFEF=FGCF，CF2EFGF，AFCF，AF2EFGF（3）解：BAD120，DCE60，菱形边长为2，CDAD2，DEBC，ADECED90，CDE30，CE=12CD=1，DE=3，AE=AD2+DE2=22+(3)2=7，BEBC+CE2+13，ADBE，FADFEB，GADGEC，AFEF=ADBE=23，AGEG=ADCE=21，AF=25AE=275，AG=23AE=273，FGAGAF=273275=4715总结提升：本题考查了菱形的性质、含30角的直角三角形的三边关系、勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角

20、形的判定与性质，解题的关键是熟知菱形的性质得到相关的角相等类型一 利用相似解决正方形问题11（2022秋青浦区校级期末）如图，在三角形ABC中，C90，四边形DEFC是边长为4的正方形，且D、E、F分别在边AC、AB、BC上把三角形ADE绕点E逆时针旋转一定的角度（1）当点D与点F重合时，点A的对应点G落在边BC上，此时四边形ACGE的面积为 ；（2）当点D的对应点D1落在线段BE上时，点A的对应点为点A1，在旋转过程中点A经过的路程为l1，点D经过的路程为l2，且l1：l23：2，求线段AD1的长思路引领：（1）由题意可知，ADEGFE，所以S四边形ACGESADE+S四边形DCGESGFE

21、+S四边形DCGE等于正方形DEFC的面积，求解即可；（2）由l1：l23：2得AEDE=32，求出AE6，在RtADE中，求出AD，在RtAD1A1中，求出AD1解：（1）由题意可知，ADEGFE，DCCFEFDE4，S四边形ACGE=SADE+S四边形DCGE=SGFE+S四边形DCGE=S正方形DCFE=DC2=42=16，故答案为：16；（2）如图：设旋转角为n，则l1=nAE180，l2=nDE180，l1：l23：2，nAE180nDE180=AEDE=32，DE4，AE6，AD1AE+D1EAE+DE10，在RtADE中，AD=AE2+DE2=62+42=25，在RtAD1A1中

22、，AD1=AD12+A1D12=102+(25)2=430总结提升：本题考查了旋转的性质、正方形的性质、弧长公式、以及用勾股定理求线段长度；熟练利用旋转的性质、勾股定理求线段长度是解题的关键12（2022秋成华区期末）如图，点E是正方形ABCD的对角线CA延长线上一点，连接BE，将BE绕点B顺时针旋转90至BF，连接EF，EF交AD于点G（1）求证：ABEAEG；（2）若正方形ABCD的边长为4，点G为AD的中点，求AE的长思路引领：（1）由ABCBADCD，ABCD90，得BACDAC45，则BAEEAC18045135，由旋转得BEBF，EBF90，则BEF45，可推导出AEGAEG45A

23、EB，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明ABEAEG；（2）由ABAD4，得AG=12AD2，由ABEAEG，得AEAG=ABAE，可求得AE22（1）证明：四边形ABCD是正方形，ABCBADCD，ABCD90，BACBCADACDCA45，BAEEAC18045135，将BE绕点B顺时针旋转90得到BF，BEBF，EBF90，BEFF45，AEG45AEB，ABEBACAEB45AEB，ABEAEG，ABEAEG（2）解：正方形ABCD的边长为4，点G为AD的中点，ABAD4，AG=12AD2，ABEAEG，AEAG=ABAE，AE2ABAG428，AE22，AE的长是22总结提

24、升：此题重点考查正方形的性质、旋转的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明ABEAEG是解题的关键13（2022秋洛阳期末）如图，把边长为3的正方形OABC绕点O逆时针旋转n（0n90）得到正方形ODEF，DE与BC交于点P，ED的延长线交AB于点Q，交OA的延长线于点M，若BQ：AQ4：1，求AM的值思路引领：由BQ：AQ3：1，AQ：AB1：4，再由ODMQAM可得AM：DM1：4，设AMx，在RtODM中由勾股定理即可求解；解：BQ：AQ3：1，AQAB=14，把边长为3的正方形OABC绕点O逆时针旋转n（0n90）得到正方形ODEF，ODABOA3，ODEOAB

25、90，ODMQAM90，又MM，ODMQAM，AQOD=AMDM=AQAB=14，设AMx，则DM4x，OM3+x，在RtODM中，由勾股定理得：OD2+DM2OM2，即32+（4x）2（3+x）2，解得：x=25或0（舍去），AM=25总结提升：本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键14（2022秋邹平市校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AEBC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且AFEB（1）求证：ADFDEC；（2）若AB4，AD3，AE3，求AF的长思路引领：（1）ADF和DEC中，易知ADFCED（平行线的

26、内错角），而AFD和C是等角的补角，由此可判定两个三角形相似；（2）在RtADE中，由勾股定理易求得DE的长，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出AF的长（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ABCD，ADFCED，B+C180AFE+AFD180，AFEB，AFDC，ADFDEC；（2）解：四边形ABCD是平行四边形，CDAB4，ADBC，AEBC，AEAD，在RtADE中，DE=AD2+AE2=32+32=32，ADFDEC，ADDE=AFDC，即332=AF4，AF=4332=22总结提升：本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质，以及勾股定理，解题的关键是掌握相似

27、三角形的判定方法及性质第二部分 专题提优训练1（2023偃师市一模）如图，在ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF已知四边形BFED是平行四边形，DEBC=14（1）若AB12，求线段AD的长（2）若ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积思路引领：（1）证明ADEABC，根据相似三角形对应边的比相等列式，可解答；（2）根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得ABC的面积是16，同理可得EFC的面积9，根据面积差可得答案解：（1）四边形BFED是平行四边形，DEBF，DEBC，ADEABC，ADAB=DEBC=14，AB12，AD3；（2）ADEABC，SADE

28、SABC=（DEBC）2（14）2=116，ADE的面积为1，ABC的面积是16，四边形BFED是平行四边形，EFAB，EFCABC，SEFCSABC=（34）2=916，EFC的面积9，平行四边形BFED的面积16916总结提升：本题主要平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题关键2（2022秋济南期末）如图，点F是平行四边形ABCD的边AD上的一点，直线CF交线段BA的延长线于点E（1）求证：AEFDCF；（2）若AF：DF1：2，AE=2，SAEF=23求AB的长；求EBC的面积思路引领：（1）根据平行四边形的性质，可以得到BACD，然后即可

29、得到EFCD，EAFCDF，从而可以得到结论成立；（2）根据相似三角形的性质和题目中的数据，平行四边形的性质，可以计算出AB的长；根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可以计算出EBC的面积（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，BACD，EFCD，EAFCDF，AEFDCF；（2）解：由（1）知AEFDCF，AEDC=AFDF，AF：DF1：2，AE=2，2DC=12，DC22，四边形ABCD是平行四边形，ABDC，AB22；四边形ABCD是平行四边形，ADBC，EAFEBC，SEAFSEBC=（EAEB）2，SAEF=23，AB22，AE=2，EBEA+AB32，EAEB=232=13，2

30、3SEBC=(13)2，解得SEBC6，即EBC的面积是6总结提升：本题考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答3（2022秋金东区期末）如图，在矩形ABCD中，AB3，AD6，动点E在边BC上，连结DE，过点A作AHDE，垂足为H，AH交CD于F（1）求证：CDEDAF；（2）当FC1时，求EC的长思路引领：（1）根据矩形的性质得到ADCBCD90根据相似三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据矩形的性质得到DCAB3，根据相似三角形的性质即可得到结论（1）证明：四边形ABCD是矩形，ADCBCD90，又AHDE，EDC90DFADAF，

31、ADFDCE；（2）解：四边形ABCD是矩形，DCAB3，FC1，DFDCFC2，ADFDCE，ADDC=DFEC，EC=DCDFAD=326=1总结提升：本题考查了相似三角形的判定，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键4（2022秋惠济区校级期末）如图1，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，点E为BD上的一个动点，连接CE并延长到点F，使EFCE，连接AF（1）若点E与点B重合（如图2），判断AF与BD的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）若以A，F，B，E为顶点的四边形是平行四边形，BD3，请直接写出线段BE的长度思路引领：（1）如图2，先根据矩形的性质得到ADBC，

32、ADBC，然后判断四边形AFBD为平行四边形，从而得到AFBD，AFBD；（2）当AB为对角线时，如图1，先根据矩形的性质得到OCOA，OBOD，再根据三角形中位线的性质得到OEAF，OE=12AF，当AB为对角线时，如图1，根据平行四边形的性质得到AFBE，则OB=32BE，此时BE1；当AB为边时，如图3，此时E点与D点重合，从而得到BEBD3解：（1）AFBD，AFBD理由如下：如图2，四边形ABCD为矩形，ADBC，ADBC，EFCF，EFAD，ADEF，四边形AFBD为平行四边形，AFBD，AFBD（2）四边形ABCD为矩形，OCOA，OBOD，CEEF，OEAF，OE=12AF，当

33、AB为对角线时，如图1，四边形AFBE为平行四边形，AFBE，OBOE+BE=32BE，BD3，32BE1.5，BE1；当AB为边时，如图3，四边形ABEF为平行四边形，ABCE，而ABCD，此时E点与D点重合，BEBD3，综上所述，BE的长为1或3总结提升：本题考查了矩形的性质：平行四边形的性质矩形都具有；矩形的四个角都是直角；也考查了平行四边形的判定和三角形中位线性质5（2022秋路南区校级期末）如图，矩形ABCD中，AB16，BC8，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q（1）求证：APQCDQ；（2）P点从A点出发沿AB边以每秒2个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒当t为何值时，

34、DPAC？思路引领：（1）根据矩形的性质可得CDAB，根据平行线的性质可得DCQQAP，PDCQPA，进而可得判定APQCDQ；（2）首先证明DAPABC，结合相似三角形即可得到t的值（1）证明：四边形ABCD是矩形，CDAB，DCQQAP，PDCQPA，APQCDQ；（2）解：当t2时，DPAC；ADC90，DPAC，AQDAQPABC90，CAB+APQCAB+ACB90，APQACB，DAPABC，DAAB=APBC，816=2t8解得：t2，即当t2时，DPAC总结提升：此题主要考查了相似三角形的判定和性质，关键是掌握有两个角对应相等的三角形相似，相似三角形对应边成比例6（2022秋嘉

35、定区校级期末）在矩形ABCD中，AB3，AD4，点E是边AD上一点，EMEC交AB于点M，点N在射线MB上，且ANEDCE（1）如图，求证：AE是AM和AN的比例中项；（2）当点N在线段AB的延长线上时，联结AC，且AC与NE互相垂直，求MN的长思路引领：（1）利用矩形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可；（2）利用EDCCAD，得出比例式求得线段DE，AE，利用AMEDEC求得线段AM，利用（1）的结论求得线段AN，则MNANAM（1）证明：EMEC，AEM+DEC90四边形ABCD为矩形，AD90，DEC+ECD90，AEMDCE，ANEDCE，ANEAEMAA，ANEAEM，AEAN=

36、AMAEAE2AMAN，AE是AM和AN的比例中项；（2）解：如图，AC=AD2+CD2=32+42=5AC与NE互相垂直，AFE90，ANE+NAF90NAF+CAD90，ANEDACANEDCE，DACDCE，DD，EDCCAD，CDAD=DECD，34=DE3，DE=94，AEADDE=74EMEC，AEM+DEC90四边形ABCD为矩形，MAED90，DEC+ECD90，AEMDCE，AMEDEC，AEAM=CDDE，74AM=394，AM=2116由（1）知：AE2AMAN，AN=73，MNANAM=732116=4948总结提升：本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟

37、练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键7（2022秋唐河县期末）如图，在矩形ABCD中，AB3cm，BC6cm，动点M以1cm/s的速度从A点出发，沿AB向点B运动，同时动点N以2cm/s的速度从点D出发，沿DA向点A运动，设运动的时间为t秒（0t3）（1）当t为何值时，AMN的面积等于矩形ABCD面积的19？（2）是否存在某一时刻t，使得以A、M、N为顶点的三角形与ACD相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由思路引领：（1）根据矩形的性质求出BAD90，求出AM、AN，根据三角形的面积公式，利用S=1918建立方程，解之即可；（2）先假设相似，利用相似中的比例线段列出方程，有解的且

38、符合题意的t值即可说明存在，反之则不存在解：（1）四边形ABCD是矩形，ADBC6cm，BAD90，AMtcm，AN62t（cm），SAMN=12ANAM=12（62t）t（t32）2+94（0t3），依题意得：（t32）2+94=1936，t23t+20，t12，t21答：经过1秒或2秒时，AMN的面积等于矩形ABCD面积的19；（2）设运动时间为t秒，由题意得DN2t（cm），AN（62t）（cm），AMt（cm），若NMAACD，则有AD：ANCD：AM，即6：（62t）3：t，解得t1.5，若MNAACD则有AD：AMCD：AN，即6：t3：（62t），解得t2.4，答：当运动时间为1

39、.5秒或2.4秒时，以A、M、N为顶点的三角形与ACD相似总结提升：本题考查了相似三角形的判定，矩形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键8（2022秋运城期末）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点F，延长BC到点E，使CEBC，连接DE，连接AE交BD于点G，交CD于点H（1）求证：四边形ACED是平行四边形；（2）求证：DG2FGBG；（3）若AB14，BC24，求线段GH的长度思路引领：（1）根据矩形的性质和平行四边形的判定定理即可得到结论；（2）由已知可证得ADGEBG，AGFEGD，根据相似三角形的对应边成比例即可得到DG2FGBG；（3）由已知可得到DH，AH的长，又

40、因为ADGEBG，从而求得AG的长，则根据GHAHAG就得到了线段GH的长度（1）证明：四边形ABCD是矩形，ADBC，ADBC，延长BC到点E，使CEBC，ADCE，ADCE，四边形ACED是平行四边形；（2）证明：ABCD是矩形，且ADBC，ADGEBG，DGBG=AGGE，四边形ACED是平行四边形，ACDE，AGFEGD，AGEG=FGDG，DGBG=FGDG，DG2FGBG；（3）解：四边形ACED为平行四边形，AE，CD相交点H，DH=12DC=12AB7，ADCE24，在RtADH中，AH2AD2+DH2，AH25，在RtABE中，AE2AB2+BE2，AE50，ADGEBG，A

41、GEG=ADBE=12，AG=12GE，GE2AG，AG=13AE=503，GHAHAG=253总结提升：本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、平行四边形的判定定理，正确寻找相似三角形，利用相似三角形的性质是解题的关键9（2021秋三原县期末）如图，在菱形ABCD中，C60，AB4，点E是边BC的中点，连接DE、AE、BD（1）求DE的长；（结果保留根号）（2）点F为边CD上的一点，连接AF，交DE于点G，连接EF，AFEF求证：AGEDGF；求DF的长（提示：过点E作EHCD于点H）思路引领：（1）只要证明DE是等边DBC的高即可解决问题；（2）由AGDEGF，可得AGEG=DGFG，

42、推出AGDG=EGFG，又AGEDGF，即可推出AGEDGF；求出CF的长即可解决问题（1）解：四边形ABCD是菱形，CBCD，C60，CDB是等边三角形，DBDCAB4，BEECDEBC，DECDsinC23（2）证明：ADBCADGDEC90，ADGGFE90，又AGDEGF，AGDEGF，AGEG=DGFG，AGDG=EGFG，AGEDGF，AGEDGF，解：作EHCD于HAGEDGF，EAGGDF30，GFEADG90，EF=12AE=1242+(23)2=7，在RtECH中，CH1，EH=3，在RtEFH中，FH=(7)2(3)2=2，CF2+13，DFCDCF1总结提升：本题主要考

43、查相似三角形的判定和性质、直角三角形30角性质、勾股定理等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题10（2022江西）如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，ACDABE（1）求证：ABCAEB；（2）当AB6，AC4时，求AE的长思路引领：（1）根据两角相等可得两三角形相似；（2）根据（1）中的相似列比例式可得结论（1）证明：四边形ABCD为菱形，ACDBCA，ACDABE，BCAABE，BACEAB，ABCAEB；（2）解：ABCAEB，ABAE=ACAB，AB6，AC4，6AE=46，AE=364=9总结提升：本题考查了菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角

44、形的性质和判定是解本题的关键11（2021秋宝塔区校级期末）如图，在菱形ABOC中，对角线AO，BC相交于点D，BEAC于点E，A0与BE交于点H（1）求证：BADHBD；（2）延长OC交BE的延长线于点F求证：HB2HEHF思路引领：（1）由题意可知，ADBHEA90由互余及菱形的性质可知，CADDBHBAD，由此可得结论；（2）如图，连接CH，由菱形的性质可知，AD垂直平分BC，所以HBHC，则HBCHCB由平行的性质可得，HCF90可证FHCCHE，所以HC：HEHF：HC，进而可得结论证明：（1）四边形ABOC是菱形，ADBC，BADCAD，ADB90BEAC于点E，HEA90CAD+

45、AHEDBH+BHD90，AHEBHD，CADDBH，BADDBH又ADBBDH，BADHBD（2）如图，连接CH，四边形ABOC是菱形，AD垂直平分BC，HBHC，HBCHCBABAC，ABCACBBEC90，HBC+ACB90，HCB+ABC90CFAB，ABC+HCB+HCF180，HCF90HCFHEC90，FHCCHE，FHCCHE，HC：HEHF：HC，HC2HEHF，HB2HEHF总结提升：本题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的性质及平行线的性质等若干几何知识点，具有一定的综合性与难度12（2022秋未央区校级期末）已知有一块三角形材料ABC，其中BC120cm，高AD80cm

46、，现需要在三角形ABC上裁下一个正方形材料做零件，使得正方形EFGH的顶点E、F分别在边AB，AC上，H、G在BC上，裁下的正方形EFGH的边长是多少？思路引领：利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出边长解：正方形EFGH的边HG在BC上，EFBC，AEFABC，AD是ABC的高，EFBC=AMAD，设EFxcm，则EHEHMDxcm，x120=80x80，解得：x48，这个正方形零件的边长为48cm总结提升：本题主要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程即可求出边长，此题考查了相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方27（2022秋

47、东明县校级期末）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F（1）如图，当CEEB=13时，求SCEFSCDF的值；（2）如图，当点E是BC的中点时，过点F作FGBC于点G，求证：CG=12BG思路引领：（1）由四边形ABCD是正方形得BCAD，由CEEB=13得CEBC=14，则CEAD=14，再证明CFEAFD，得EFDF=CEAD=14，即可求得SCEFSCDF=EFDF=14；（2）由E是BC的中点得CEBE=12BC，则CE=12AD，再证明CFEAFD，得CFAF=CEAD=12，由FGAB，根据平行线分线段成比例定理得CGB

48、G=CFAF=12，所以CG=12BG（1）解：如图，四边形ABCD是正方形，BCAD，CEEB=13，CEBC=14，CEAD=14，CEAD，CFEAFD，EFDF=CEAD=14，CEF与CDF在EF、DF边上的高相等，SCEFSCDF=EFDF=14，SCEFSCDF的值是14（2）证明：如图，E是BC的中点，CEBE=12BC，CE=12AD，CEAD，CFEAFD，CFAF=CEAD=12，FGBC于点G，FGCABC90，FGAB，CGBG=CFAF=12，CG=12BG总结提升：此题重点考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理等知识，证明CFEAFD是解题的关键