专题4.15 一次函数的应用（知识讲解）-2022-2023学年八年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）.docx

1、专题4.15 一次函数的应用（知识讲解）【学习目标】1. 能从实际问题的图象中获取所需信息；2. 能够将实际问题转化为一次函数的问题并准确的列出一次函数的解析式；3. 能利用一次函数的图象及其性质解决简单的实际问题；4. 提高解决实际问题的能力认识数学在现实生活中的意义，发展运用数学知识解决实际问题的能力【要点梳理】要点一、数学建模的一般思路数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学

2、转化为什么样的函数模型.要点二、正确认识实际问题的应用在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解.特别说明：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点.要点三、选择最简方案问题分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用.【典型例题】类型一、分配方案问题1某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x时所需费用为y元，选择这两种卡消

3、费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；（2）请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算【答案】（1），（2）见分析【分析】（1）运用待定系数法，即可求出y与x之间的函数表达式；（2）解方程或不等式即可解决问题，分三种情形回答即可解：（1）设，根据题意得，解得，；设，根据题意得：，解得，；（2），即，解得，当入园次数小于10次时，选择甲消费卡比较合算；，即，解得，当入园次数等于10次时，选择两种消费卡费用一样；，即，解得，当入园次数大于10次时，选择乙消费卡比较合算【点拨】此题主要考查了一次函数的应用、学会利用方程组求两个函数图象的解得

4、坐标，正确由图象得出正确信息是解题关键，属于中考常考题型举一反三：【变式1】已知A、B两地的路程为240千米，某经销商每天都要用汽车或火车将x吨保鲜品一次性由A地运往B地，受各种因素限制，下一周只能采用汽车和火车中的一种进行运输，且须提前预订.现在有货运收费项目及收费标准表，行驶路程S（千米）与行驶时间t（时）的函数图象（如图），上周货运量折线统计图（如图）等信息如下：货运收费项目及收费标准表运输工具运输费单价：元/（吨千米）冷藏费单价：元/（吨时）固定费用：元/次汽车25200火车1.652280（1）汽车的速度为_千米/时，火车的速度为_千米/时；（2）设每天用汽车和火车运输的总费用分别为

5、y汽（元）和y火（元），分别求y汽、y火与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）及x为何值时y汽y火；（总费用=运输费冷藏费固定费用）（3）请你从平均数、折线图走势两个角度分析，建议该经销商应提前下周预定哪种运输工具，才能使每天的运输总费用较省？【答案】（1） 60，100.（2）.20.（3）建议预定火车费用较省.【分析】（1）根据点的坐标为：（2，120），（2，200），直接得出两车的速度即可；（2）根据图表得出货运收费项目及收费标准表、行驶路程s（千米）与行驶时间t（时）的函数图象，得出关系式即可；（3）根据平均数的求法以及折线图走势两个角度分析得出运输总费用较省方案解：（1）根据图表

6、上点的坐标为：（2，120），（2，200），汽车的速度为 60千米/时，火车的速度为 100千米/时故答案为60千米/时，100千米/时；（2）依据题意得出：y 汽=2402x+5x+200，=500x+200；y 火=2401.6x+5x+2280，=396x+2280若y 汽y 火，得出500x+200396x+2280x20；（3）上周货运量=（17+20+19+22+22+23+24）7=2120，从平均数分析，建议预定火车费用较省从折线图走势分析，上周货运量周四（含周四）后大于20且呈上升趋势，建议预订火车费用较省【点拨】此题主要考查了一次函数的应用以及折线图走势，根据数形结合解决

7、实际问题是解决问题的关键【变式2】陕西省某游乐园推出了两种收费方式方式一：顾客先购买月卡，每张月卡120元，仅限两名家长和一名儿童当月使用，凭卡游玩，不限游玩次数，每人每次只需付5元方式二：顾客不购买月卡，每次游玩，每个成年人付费20元，每个儿童付费15元设一名顾客带着他的妻子和6岁孩子，在一个月内来此游乐园的次数为x次，设选择方式一的总费用为（元），选择方式二的总费用为（元）(1)请分别写出，与x之间的函数表达式(2)该顾客一个月内在此游乐园游玩的次数x在什么范围时，选择方式一比方式二省钱【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据题意分别列出函数式即可；（2）利用（1）的结果，结合选择方式一比

8、方式二省钱，列出不等式并求解，则可解决问题解：(1) 由题意得：，；(2)，解得答：当x3时，选择方式一比方式二省钱【点拨】本题考查了一次函数的应用及方案选择问题，正确理解题意列出函数式是解题的关键类型二、最大利润问题2我市某房地产开发公司计划建A、B两种户型的住房共80套，A种户型每套成本和售价分别为90万元和102万元，B种户型每套成本和售价分别为60万元和70万元，设计划建A户型x套，所建户型全部售出后获得的总利润为W万元(1)求W与x之间的函数解析式；(2)该公司所建房资金不少于5700万元，且所筹资金全部用于建房，若A户型不超过32套，则该公司有哪几种建房方案？(3)在（2）的前提下

9、，根据国家房地产政策，公司计划每套A户型住房的售价降低a万元（0a3），B户型住房的售价不变，且预计所建的两种住房全部售出，求该公司获得最大利润的方案【答案】(1)W2x+800(2)该公司有3种建房方案：建A种户型30套，B种户型50套；建A种户型31套，B种户型49套；三建A种户型32套，B种户型48套(3)当0a2时，按（2）中第三种方案；当a2时，按（2）中三种方案均可；当2a3时，按（2）中第一种方案【分析】（1）根据A种户型x套，则B种户型（80x）套，根据一套的利润总的套数总利润，列出一次函数可得出答案；（2）根据该公司所建房资金不少于5700万元且A户型不超过32套，得出该公司

10、建房方案；（3）在（2）的前提下，根据函数的性质求最值即可解：（1）A、B两种户型的住房共80套，A户型x套，则B户型有（80x）套，根据题意得，W（10290）x+（7060）（80x）12x+10（80x）2x+800，W与x之间的函数解析式为W2x+800；（2）由题意得：90x+60（80x）5700，解得：x30，x32，30x32（x为正整数），x取30，31，32，该公司有3种建房方案：第一种：建A种户型30套，B种户型50套；第二种：建A种户型31套，B种户型49套；第三种：建A种户型32套，B种户型48套；（3）由题意得：W（12a）x+10（80x）（2a）x+800，当0

11、a2时，W随x的增大而增大，x32时，W最大，此时按（2）中第三种方案；当a2时，W800，此时按（2）中三种方案均可；当2a3时，W随x的增大而减小，当x30时，W最大，此时按（2）中第一种方案【点拨】此题考查了一元一次不等式的应用和一次函数的应用，读懂题意，找出它们之间的数量关系，列出不等式或一次函数，掌握函数的增减性是解题的关键举一反三：【变式1】某超市经销某品牌的两种包装的产品，进价与售价如表：类别价格礼盒装独享装进价（元袋）a售价（元袋）7810已知购进50袋礼盒装的总价与购进300袋独享装的总价相同：(1)求礼盒装和独享装每袋的进价(2)若超市用4000元购进了两种包装的该产品，其

12、中礼盒装的数量不超过独享装的4倍，在两种包装的产品全部售完的情况下，求总利润的最大值【答案】(1)礼盒装和独享装每袋的进价分别为48元，8元(2)总利润的最大值为2440元【分析】（1）利用“购进50袋礼盒装的总价与购进300袋独享装的总价相同”作为等量关系列方程；（2）列出函数解析式并求出自变量取值范围，利用函数增减性确定结果(1)解：依题意，得解得，答：礼盒装和独享装每袋的进价分别为48元，8元(2)设购进礼盒装x袋，则购进独享装，即袋依题意，得解得，设总利润为w元，则w随x的增大而增大当时，总利润w取到最大值，最大值为元答：总利润的最大值为2440元【点拨】本题考查利用一次函数解决利润最

13、大问题，解决问题的关键是列出函数解析式，确定自变量取值范围，关键一次函数的增减性确定最值【变式2】某电子超市经销甲、乙两种品牌的耳机，进货时发现，甲品牌耳机进货价每副30元，且甲品牌耳机每副的进货价比乙品牌耳机每副的进货价高6元销售时，甲品牌耳机的售价为每副36元，乙品牌耳机的售价为每副28元若超市需要购进甲、乙两种品牌的耳机共120副，且购进两种耳机的总成本不超过3120元，超市应购进甲、乙两种品牌耳机各多少副，才能在两种品牌的耳机完全售出后所获利润最大？最大利润是多少元？【答案】超市应购进甲、乙两种品牌耳机各40副，80副，才能在两种品牌的耳机完全售出后所获利润最大，最大利润是560元【分

14、析】设购进甲品牌耳机x副，则购买乙品牌耳机副，利润为W，根据利润=（售价-进价）乘以数量，列出W关于x的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可解：设购进甲品牌耳机x副，则购买乙品牌耳机副，利润为W，由题意得，总成本不超过3120元，20，W随x增大而增大，当x=40时，W最大，最大为560，答：超市应购进甲、乙两种品牌耳机各40副，80副，才能在两种品牌的耳机完全售出后所获利润最大，最大利润是560元【点拨】本题主要考查了一次函数的应用，正确理解题意列出函数关系式是解题的关键类型三、行程问题3.快车和慢车分别从A市和B市两地同时出发，匀速行驶，先相向而行，慢车到达A市后停止行驶，快车到达B

15、市后，立即按原路原速度返回A市（调头时间忽略不计）结果与慢车同时到达A市快、慢两车距B市的路程y1、y2（单位：km）与出发时间x（单位h）之间的函数图象如图所示(1) A市和B市之间的路程是 km；(2) 求a的值并解释图中点M的横坐标、纵坐标的实际意义；(3) 快车与慢车迎面相遇以后，再经过多长时间两车相距90km？【答案】(1)360(2)a120，点M的横坐标、纵坐标的实际意义是两车出发2小时时，在距B市120km处相遇(3)快车与慢车迎面相遇以后，再经过0.5h或2.5h两车相距90km【分析】（1）由函数图象的数据意义直接可以得出A、B两地之间的距离；（2）根据题意得快车速度是慢车

16、速度的2倍，观察图象知2小时快车与慢车迎面相遇，列出方程可求得答案；（3）利用待定系数法分别求出AB、BC、OC的解析式，根据题意列出方程求解即可（1）解：由函数图象可知：A市和B市之间的路程是360 km，故答案为：360；（2）解：快车与慢车同时出发，又同时到达A市，在整个行进过程中，在相同的时间内，快车走了两个A市与B市的距离，而慢车只走了一个A市与B市的距离，快车的速度是慢车速度的两倍，设慢车速度为x km/h，则快车速度为2x km/h根据题意，得2(x2x)360，解得x60260120，a120点M的横坐标、纵坐标的实际意义是两车出发2小时时，在距B市120km处相遇（3）解：由

17、（2）得快车速度为120 km/h，到B市后又回到A市的时间为（h）慢车速度为60 km/h，到达A市的时间为360606（h）如图：当0x3时，设AB的解析式为：由图象得：，；，；代入得：解得：AB的解析式为：y120x360(0x3) 当3x6时，设BC的解析式为：由图象得：，；，；代入得：解得：函数的解析式为： 设OC的解析式为：由图象得：，；代入得：，解得：，OC的解析式为：当0x3时，根据题意，得，即，解得，当3x6时，根据题意，得，即，解得，快车与慢车迎面相遇以后，再经过0.5h或2.5h两车相距90km【点拨】本题考查了行程问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用

18、，一次函数与一元一次方程的运用，解答时求出函数的解析式是关键【变式1】小明和小军在一条直道上由西向东匀速行走，小明以每分钟60米的速度从A地出发，小军同时以每分钟v米的速度从A地东边80米的B地出发，小明和小军离A地的距离y（米）与行走时间x（分钟）的关系如图(1)求小军离A地的距离y（米）与行走时间x（分钟）的函数表达式(2)当小明到达离A地720米的C地时，小军离C地还有多少米？【答案】(1)y=40x+80(2)160米【分析】（1）设y=kx+b根据小明的速度和关系图确定直线y=kx+b的图象经过点（4，240），根据小军的出发地点确定直线y=kx+b的图象经过点（0，80），再应用待

19、定系数法求解即可（2）根据小明离C地的距离求出小明行走的时间，进而求出小军行走的时间，再根据（1）中函数表达式求出此时小军离A地的距离，进而求出小军离C地的距离（1）解：设y=kx+b小明的速度是每分钟60米，当小明的行走时间为4分钟时，小明离A地的距离是604=240米当小军的行走时间为4分钟时，小军离A地的距离是240米直线y=kx+b的图象经过点（4，240）小军从A地东边的80米的B地出发，直线y=kx+b的图象经过点（0，80）把（0，80）和（4，240）代入y=kx+b得解得小军离A地的距离y（米）与行走时间x（分钟）的函数表达式是y=40x+80（2）解：小明以每分钟60米的速

20、度从A地出发，小明到达离A地720米的C地所用时间为72060=12分钟小明行走12分钟时，小军离A地的距离是4012+80=560米小军离C地的距离是米当小明到达离A地720米的C地时，小军离C地还有160米【点拨】本题考查一次函数的实际应用，正确理解题意并从图象中获取信息是解题关键【变式2】岁暮天寒后，万物复苏，周末，甲、乙两人相约沿同一路线从学校去净月公园踏青，甲、乙分别以不同的速度匀速行驶，乙比甲早出发3分钟，乙行驶23分钟后，甲以原速的继续行驶在此过程中，甲、乙两人相距的路程（米与乙行驶的时间（分钟）之间的函数关系如图所示(1)乙的速度为 米分，学校与净月公园的距离为 米(2)求段的

21、函数解析式并写出自变量的取值范围(3)直接写出乙比甲晚几分钟到达净月公园？【答案】(1)300，24600(2)(3)乙比甲晚10分钟到达净月公园【分析】（1）根据乙3分钟行900米可得乙的速度，根据甲乙23分钟时相距1900米可得甲的速度，根据甲到净月公园用72分钟，可得学校与净月公园的距离；（2）利用待定系数法可得的解析式；（3）根据总路程和乙的速度可得乙到达净月公园所需的时间，再和甲的时间比较即可（1）解：由题意乙的速度为（米分），设甲的速度为米分，由题意得，解得，23分钟后甲的速度为（米分），学校与净月公园的距离为（米故答案为：300，24600；（2）设段的函数解析式为，把和代入可得

22、，解得，段的函数解析式为；（3）乙到净月公园所用的时间为（分钟），（分钟），答：乙比甲晚10分钟到达净月公园【点拨】本题考查了一次函数的应用，根据函数图象获取信息是解题的关键类型四、几何问题4随着国民经济的飞速发展，中国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合已知某类果蔬的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：）满足一次函数的关系，实验发现：该果蔬在6的保鲜时间为224小时，在24的保鲜时间为8小时(1)求保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：）之间的函数关系式；(2)若该果蔬所需的物流时间为3天，则物流过程中果蔬的储藏温度最高不能超过多少？【答案】(1)y12x296

23、(2)【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为：ykxb（k0），然后用待定系数法求函数解析式；（2）令y243解得x的值即可（1）解：设y与x之间的函数关系式为：ykxb（k0），依题意得，当x6时，y224，当x24时，y8，代入得，解得：，y与x之间的函数关系式为：y12x296；（2）解：依题意得：12x296243，解得：x18物流过程中果蔬的储藏温度最高不能超过【点拨】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是理解题意，掌握待定系数法举一反三：【变式1】某果园苹果的售价为5元/斤，如果一次性购买10斤以上，该果园出台优惠促销，即超过10斤部分的苹果按原售价打8折(1)设小华购买苹果x斤

24、，付款金额为y元，求y与x之间的函数关系式；(2)若小华想购买130元的苹果送给朋友，求小华一共能购买多少斤苹果？【答案】(1)(2)30斤【分析】（1）根据题意列出函数关系式即可（2）根据题意和函数值求自变量的值即可(1) 解：根据题意可知当时，y=5x当x10时，所以y与x之间的函数关系式为(2) 解：令y=130，得解得答：小李一共能购买30斤苹果【点拨】本题考查一次函数的实际应用，熟练掌握该知识点是解题关键【变式2】某太阳能热水器水箱的最大水量为160升，在没有放水的情况下匀速注水已知水箱的蓄水量y（升）与注水时间x（分）之间有如表对应关系 x（分）04812y（升）206010014

25、0（1）建立平面直角坐标系，如图，横轴表示注水时间x，纵轴表示水箱的蓄水量y，描出以表格中数据为坐标的各点观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由（2）应用上述发现的规律解决下列问题：注水时间达到9分钟，水箱的蓄水量为多少升？按上述速度注满水箱，需要多少分钟？【答案】（1）见分析；是，y10x+20；（2）110升；14分钟【分析】（1）先描点，再连线即可；利用待定系数法求解即可；（2）结合（1）的图象解答即可；把y=160代入函数关系式解答即可解：（1）如图所示：观察图象，这些点都在同一条直线上，所以变量x，y满足一次函数关系式，则设y关于x的函数关系式为ykx+b，根据表格可得：，解得：，y关于x的函数关系式为y=10x+20；（2）由图象可知，x=9时，y=109+20=110，即注水时间达到9分钟，水箱的蓄水量为110升；当10x+20=160时，解得x=14，即按上述速度注满水箱，需要14分钟【点拨】本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式的步骤，理解一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键