专题4.5 直线、射线、线段（知识讲解）-2022-2023学年七年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）.docx

1、专题4.5 直线、射线、线段（知识讲解）【学习目标】1 理解直线、射线、线段的概念及表示方法，理解点和直线的位置关系；2 理解并掌握直线、射线、线段之间的区别和联系；3 识别线段、射线、线段的数量，并能掌握线段上的点和线段数量内在关系；4 理解直线交点个数与直线量关之间的内在关系。【要点梳理】要点一、直线1概念：直线是最简单、最基本的几何图形之一，是一个不作定义的原始概念，直线常用“一根拉得紧的细线”、“一张纸的折痕”等实际事物进行形象描述2. 表示方法：（1）可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示，如图1所示，可表示为直线AB(或直线BA)（2）也可以用一个小写英文字母表示，如图2所示，

2、可以表示为直线特别说明：直线的特征：（1）直线没有长短，向两方无限延伸（2）直线没有粗细（3）两点确定一条直线（4）两条直线相交有唯一一个交点3.点与直线的位置关系：（1）点在直线上，如图3所示，点A在直线m上，也可以说：直线m经过点A（2）点在直线外，如图4，点B在直线n外，也可以说：直线n不经过点B要点二、线段1.概念：直线上两点和它们之间的部分叫做线段2.表示方法：（1）线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示，如图5所示，记作：线段AB或线段BA（2）线段也可用一个小写英文字母来表示，如图5所示，记作：线段a要点三、射线1.概念：直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点

3、如图6所示，直线l上点O和它一旁的部分是一条射线，点O是端点图62.特征：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长3.表示方法：（1）可以用两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意一点，端点写在前面，如图6所示，可记为射线OA（2）也可以用一个小写英文字母表示，如图6所示，射线OA可记为射线l特别说明：(1) 端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线如图7中射线OA，射线OB是不同的射线图7 (2)端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线如图8中射线OA、射线OB、射线OC都表示同一条射线图8 要点四、直线、射线、线段的区别与联系1.直线、射

4、线、线段之间的联系（1）射线和线段都是直线上的一部分，即整体与部分的关系在直线上任取一点，则可将直线分成两条射线；在直线上取两点，则可将直线分为一条线段和四条射线（2）将射线反向延伸就可得到直线；将线段一方延伸就得到射线；将线段向两方延伸就得到直线2三者的区别如下表特别说明：（1） 联系与区别可表示如下：（2）在表示直线、射线与线段时，勿忘在字母的前面写上“直线”“射线”“线段”字样【典型例题】类型一、直线、射线、线段的理解1如图，在数轴上，点A表示3，点B表示.(1) 数轴是什么图形？(2) 数轴上原点O左边的部分(包括原点)是什么图形？怎样表示？(3) 射线OB上的点表示什么数？端点表示什

5、么数？(4) 数轴上表示不小于且不大于3的部分是什么图形？怎样表示？【答案】(1)直线;(2)射线，射线OB;(3)非正数，0;(4)线段，线段AB【分析】（1）数轴是直线；（2）根据射线的定义，即可解答；（3）根据负数和0，即可解答；（4）根据线段的定义，即可解答解：（1）数轴是直线；（2）数轴在原点O左边的部分（包括原点）是射线，表示为射线OB；（3）射线OB上的点表示0和负数，端点表示0；（4）数轴上表示不小于-，且不大于3的部分是线段，表示为线段AB【点拨】本题考查了数轴，解决本题的关键是熟记数轴的有关概念举一反三：【变式1】指出下图中的直线、射线、线段，并一一表示出来【答案】射线AB

6、、射线BA，射线BC、射线CB；线段AB、线段AC、线段BC，直线AB、直线BC、直线AC等【分析】根据直线、射线、线段的概念求解即可解：，通过分析上图可得：射线AB，射线BA，射线BC，射线CB；线段AB，线段AC，线段BC； 直线AB、直线BC、直线AC等【点拨】此题考查了直线、射线、线段的概念，解题的关键是熟练掌握直线、射线、线段的概念【变式2】判断下列说法是否正确：（1）线段和射线都是直线的一部分（2）直线和直线是同一条直线；（3）射线和射线是同一条射线；（4）把线段向一个方向无限延伸可得到射线，向两个方向无限延伸可得到直线【答案】（1）（2）（4）正确，（3）错误【分析】根据直线、射

7、线、线段的定义以及表示方法对各小题分析判断即可得解解：（1）线段和射线都是直线的一部分，正确；（2）直线和直线是同一条直线，正确；（3）射线的端点是点，射线的端点是点，不是同一条射线，故本小题错误；（4）把线段向一个方向无限延伸可得到射线，向两个方向无限延伸可得到直线，正确综上所述：（1）（2）（4）正确，（3）错误【点拨】本题考查了直线、射线、线段的定义与表示，解题的关键是熟记概念与它们的区别与联系类型二、几何语言描述：直线、射线、线段2数学学习过程中，正确掌握几何语言是学好几何知识的必备条件(1)下列语句中，能正确描述图1的有 （填序号），直线a经过O，B两点；直线a，b相交于点O；点A在

8、直线b的延长线上；经过O，A两点有且只有一条直线b(2)已知平面上三点A，B，C，如图2，按下列语句画图：画射线AB，直线AC；连接BC，并延长BC到点D，使【答案】(1)(2)画图见详解【分析】利用直线、射线、线段的定义，根据题中的几何语言画出对应的几何图形(1)正确，点O点B都在直线a上正确，直线a，b的交点是点O错误，直线b向两端无限延伸的，点A在直线b上正确，两点确定一条直线故：正确(2)如图，射线AB，直线AC就是所求的线；连接BC，并延长BC到点D，使如图线段BD就是所求的线段【点拨】本题考查了直线射线以及线段的知识，解题的关键是掌握三者各自的特点举一反三：【变式】作图题：如图，平

9、面上四个点A、B、C、D，根据下列语句作图画直线AB；画射线BC；画线段CD，连结AD（不写作法）【答案】图形见分析分析：根据直线、射线、线段的定义作图即可.解：如图所示： 类型三、由几何语言的描述画直线、射线、线段3已知四点A、B、C、D根据下列语句，画出图形画直线AB；连接AC、BD，相交于点O；画射线AD、射线BC，相交于点P 【分析】根据直线、射线、线段的性质画图即可解：如图【点拨】此题主要考查了简单作图，解答此题需要熟练掌握直线、射线、线段的性质，认真作图解答即可举一反三：【变式1】作图：如图，平面内有 A，B，C，D 四点 按下列语句画图： （1）画射线 AB，直线 BC，线段 A

10、C（2）连接 AD 与 BC 相交于点 E. 【分析】利用作射线，直线和线段的方法作图解：如图：【点拨】本题考查了作图复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图【变式2】如图 按下列语句画图（1）连接BC（2）画直线AB、CD相交于E（3）作射线AD（4）连接AC、BD，相交于点O 【分析】根据线段、直线、射线的画法即可得解：由题意，画图如下：【点拨】本题考查了画线段、直线、射线，熟练掌握线段、直线、射线的画法是解题关键类型四、点线位置关系4按下列要求分别画出图形（1）直线AB外有一点C；（2）P是直线a外一点，经过点P有一条直线b与直

11、线a相交于点Q【答案】（1）见分析；（2）见分析【分析】（1）根据点与直线的关系进行作图即可；（2）根据点与直线的关系进行作图即可解：（1）如图所示（画法不唯一）； （2）如图所示（画法不唯一） 【点拨】本题考查了点与直线的相关作图，明确点与直线的位置关系是解题的关键举一反三：【变式】按照下列语句画出图形（1）点P在直线AB上，但不在直线CD上；（2）点Q既不在直线a上，也不在直线b上；（3）直线EF经过点D，点C不在直线EF上【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）见分析【分析】（1）画两条直线、，在上标记一点，且不在直线上；（2）画两条直线，在这两条直线外标记一点；（3）画一条直线，在直

12、线上标记一点，直线外标记一点解：（1）如图所示： （画法不唯一）（2）如图所示： （画法不唯一）（3）如图所示： （画法不唯一）【点拨】此题考查了点与直线的位置关系，熟练掌握点与直线的位置关系是解题的关键类型五、直线、射线、线段的数量问题5若直线上有两个点，则以这两点为端点可以确定一条线段请仔细观察图形，解决下列问题：(1)如图1，直线l上有3个点A，B，C，则可以确定 条线段；(2)如图2，直线l上有4个点A，B，C，D，则可以确定 条线段；(3)若直线上有n个点，一共可以确定多少条线段？请写出解题过程【答案】(1)3(2)6(3)条，见分析【分析】（1）根据线段定义即可求解（2）根据线段的

13、定义即可求解（3）由（1）（2）找出规律即可求解（1）解：由图可得：直线l上有3个点A，B，C，可得线段AB、线段BC和线段AC，则可以确定3条线段，故答案为：3（2）有图可得：直线l上有4个点A，B，C，D，可得线段AB、线段AC、线段AD、线段BC、线段BD和线段CD，则可以确定6条线段，故答案为：6（3）由（1），（2）可得，当直线上有n个点，则：【点拨】本题考查了线段的定义及数量关系，熟练掌握线段的定义及数量关系是解题的关键举一反三：【变式1】如图，在平面内有A，B，C三点(1)画直线AB；画射线AC；画线段BC；(2)在线段BC上任取一点D（不同于B，C两点），连接AD，并延长AD至

14、点E，使；(3)数一数，此时图中共有多少条线段？多少条射线？【答案】(1)见分析(2)见分析(3)有8条线段，6条射线【分析】（1）根据直线、射线、线段的定义，即可求解；（2）先画出线段AD，再延长AD至点E，使，即可求解；（3）根据射线、线段的定义，即可求解(1)解：如图，直线AB，射线AC，线段BC即为所求；(2)解：如图，线段AD和DE即为所求；(3)解：图中的线段有AB、AC、AD、DE、AE、CD、DB、BC，共有8条，射线有AC、CH、AG、BG、BF、AF，共有6条【点拨】本题主要考查了直线、射线、线段的定义，熟练掌握直线没有端点、长度无限，可以向两端无限延长；射线只有一个端点，

15、长度无限，可以向一端无限延长；线段有两个端点，长度有限是解题的关键【变式2】（1）【观察思考】如图，线段上有两个点、，分别以点、为端点的线段共有_条（2）【模型构建】若线段上有个点（包括端点），则该线段上共有_条线段（3）【拓展应用】若有10支球队参加校级篮球比赛，比赛采用单循环制（即每支球队之间都要进行一场比赛），请你应用上述模型构建，求一共要进行多少场比赛？【答案】（1）6；（2）；（3）45场【分析】（1）从左向右依次固定一个端点A，C，D找出线段，最后求和即可；（2）根据数线段的特点列出式子化简即可；（3）将实际问题转化成（2）的模型，借助（2）的结论即可得出结论解：（1）以点A为左端

16、点向右的线段有：线段AB、AC、AD，以点C为左端点向右的线段有线段CD、CB，以点D为左端点的线段有线段DB，共有3216（条）故答案为：6；（2）设线段上有m个点，该线段上共有线段x条，则x（m1）（m2）（m3）321，倒序排列有x123（m3）（m2）（m1），2xmmmmm（m1），xm（m1）故答案为：；（3）把10支球队看作直线上的10个点，每两支球队之间的一场比赛看作一条线段，由题知，当m10时，答：一共要进行45场比赛【点拨】此题主要考查了线段的计数问题，解本题的关键是找出规律，此类题目容易数重或遗漏，要特别注意类型六、直线相交的交点个数问题6按要求完成作图及作答：(1)如图

17、1，请用适当的语句表述点P与直线l的关系： ；(2)如图1，画直线PA；(3)如图1，画射线PB；(4)如图2，平面内三条直线交于A、B、C三点，点M、N是平面内另外两点，若分别过点M、N各作一条直线，则新增的两条直线使得平面内最多新增 个交点【答案】(1)P在直线l外；(2)见分析(3)见分析(4)7【分析】（1）根据点与直线的关系即可填空；（2）根据直线的定义即可画直线PA；（3）根据射线的定义即可画射线PB；（4）根据题意画出图形即可得平面内最多新增的交点个数解：(1)点P与直线l的关系：P在直线l外；故答案为：P在直线l外；(2)如图1，直线PA即为所求；(3)如图1，射线PB即为所求

18、；(4)如图2，新增的两条直线使得平面内最多新增7个交点故答案为：7【点拨】本题考查了作图应用与设计作图，直线的性质：两点确定一条直线，相交线，解决本题的关键是掌握直线的性质举一反三：【变式1】两条直线相交，有一个交点，三条直线相交，最多有多少个交点？四条直线呢？你能发现什么规律吗？【答案】两条直线相交，最多有1个交点，三条直线相交，最多有3个交点，四条直线相交，最多有6个交点，规律：n条直线相交，最多有个交点【分析】根据两直线相交，最多有1个交点，三直线相交最多有1+2=3个交点，四条直线相交，最多有1+2+3=6个交点，由此可以发现最多交点个数就是从1开始的连续的正整数相加，最后一个加数比

19、直线的条数少1，由此进行求解即可解：两条直线相交，最多有1个交点，三条直线相交，最多有1+2=3个交点，四条直线相交，最多有1+2+3=6个交点由此可以发现最多交点个数就是从1开始的连续的正整数相加，最后一个加数比直线的条数少1，一般地，n条直线相交，最多有（首尾相加和为n，第二和倒数第二个的和也为n，由此即可推出此式子）个交点【点拨】本题主要考查了直线的交点个数问题，解题的关键在于能够根据特例推出相应的规律【变式2】观察表格：1条直线0个交点平面分成（1+1）块2条直线1个交点平面分成（1+1+2）块3条直线（1+2）个交点平面分成（1+1+2+3）块4条直线（1+2+3）个交点平面分成（1

20、+1+2+3+4）块根据表格中的规律解答问题：（1）5条直线两两相交，有 个交点，平面被分成 块；（2）n条直线两两相交，有 个交点，平面被分成 块；（3）应用发现的规律解决问题：一张圆饼切10刀（不许重叠），最多可得到 块饼【答案】（1）10，16；（2）n(n1)；1+n(n+1)；（3）56【分析】（1）总结规律，根据规律求解；（2）根据题目中的交点个数，找出n条直线相交最多有的交点个数公式：n(n1)；n条直线两两相交，平面被分成1+n(n+1)块；（3）根据（2）的结论解答即可解：（1）5条直线两两相交，有10个交点，平面被分成16块；故答案为：10，16；（2）2条直线相交有1个交点；3条直线相交有1+23个交点；4条直线相交有1+2+36个交点；5条直线相交有1+2+3+410个交点；6条直线相交有1+2+3+4+515个交点；n条直线相交有1+2+3+4+(n1)n(n1)；平面被分成1+1+2+3+4+(n+1)1+n(n+1)；故答案为：n(n1)；1+n(n+1)；（3）当n10时，（块），故答案为：56【点拨】本题考查了直线的交点，规律探索问题以及代数式求值，根据表格找出规律是解题的关键.