专题42 二次根式-2022-2023学年初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练（解析版）.docx

1、专题42 二次根式一、二次根式的性质与化简【学霸笔记】1.二次根式的性质（1）；（2）.2.二次根式运算法则（1）；（2）.【典例】如果式子(x-1)2+|x2|化简的结果为2x3，则x的取值范围是（）Ax1Bx2C1x2Dx0【解答】解：(x-1)2+|x2|x1|+|x2|，又化简的结果为2x3，x-10x-20，解得x2故选：B【巩固】实数a、b满足a2-2a+1+25-10a+a2=10|b+4|b2|，则a2+b2的最大值为 【解答】解：a2-2a+1+25-10a+a2=10|b+4|b2|，|a1|+|a5|10|b+4|b2|，|a1|+|a5|+|b+4|+|b2|10，|a

2、1|+|a5|4，|b+4|+|b2|6，|a1|+|a5|4，|b+4|+|b2|6，1a5，4b2，a2+b2的最大值为：52+（4）241故答案为：41二、二次根式分母有理化【典例】已知x=3+23-2，y=3-23+2，则xy+yx=【解答】解：把x、y进行分母有理化可得：x=3+23-2=(3+2)(3+2)(3-2)(3+2)=5+26，y=3-23+2=(3-2)(3-2)(3-2)(3+2)=526，xy+yx=x2+y2xy=(5+26)2+(5-26)2(5+26)(5-26)=98故答案为：98【巩固】已知x=12020-2019，则x622019x5x4+x322020

3、x2+2x-2020的值为（）A0B1C2019D2020【解答】解：x=12020-2019=2020+2019，x622019x5x4+x322020x2+2x-2020x5（x22019）x4+x2（x22020）+2x-2020x5（2020+2019-22019）x4+x2（2020+2019-22020）+2x-2020x5（2020-2019）x4+x2（2019-2020）+2x-2020x4x（2020-2019）1+x2（2019-2020）+2x-20200+x（2020+2019）（2019-2020）+2x-2020x+2x-2020x-2020=2019故选：C三、

4、二次根式中的整数和小数部分应用【典例】已知5+2的整数部分为a，小数部分为b，求a2-4b2a2+4ab+4b2的值【解答】解：459，253，45+25，a4，b=5-2；a2-4b2a2+4ab+4b2=(a-2b)(a+2b)(a+2b)2 =a-2ba+2b =4-25+44+25-4 =455-1【巩固】设a为3+5-3-5的小数部分，b为6+33-6-33的小数部分，则2b-1a= 【解答】解：3+5-3-5=6+252-6-252=5+12-5-12=2，a的小数部分=2-1；6+33-6-33=12+632-12-632=3+32-3-32=6，b的小数部分=6-2，2b-1a

5、=26-2-12-1=6+2-2-1=6-2+1故答案为：6-2+1巩固练习1若实数a，b，c满足等式2a+3|b|=6，4a-9|b|=6c，则c可能取的最大值为（）A0B1C2D3【解答】解：由两个已知等式可得，a=35(c+3)，|b|=25(2-c)，而|b|0，所以c2当c2时，可得a9，b0，满足已知等式所以c可能取的最大值为2故选：C2化简3+2217+122-3-2217-122的结果是（）A2B-2C2D2【解答】解：3+22=(2+1)2，3-22=(2-1)2；17+122=(3+22)2，17-122=(3-22)2，因此，原式=13+22-13-22=12+1-12-

6、1=-2故选：D3如果实数x，y满足（x2+1+x）（y2+1+y）1，那么x+y值为（）A0B1C1D2【解答】解：（x2+1+x）（x2+1-x）x2+1x21，（y2+1+y）（y2+1-y）y2+1y21又（x2+1+x）（y2+1+y）1，x2+1-x=y2+1+yy2+1-y=x2+1+x，+得：xyx+y，2（x+y）0，x+y0故选：A4小明在解方程24-x-8-x=2时采用了下面的方法：由(24-x-8-x)(24-x+8-x)=(24-x)2-(8-x)2=（24x）（8x）16，又有24-x-8-x=2，可得24-x+8-x=8，将这两式相加可得24-x=58-x=3，将

7、24-x=5两边平方可解得x1，经检验x1是原方程的解请你学习小明的方法，解决下列问题：（1）已知22-a2-10-a2=32，则22-a2+10-a2的值为 （2）解方程4x2+6x-5+4x2-2x-5=4x，得方程的解为 【解答】解：（1）（22-a2+10-a2）（22-a2-10-a2）22a2（10a2）12，22-a2-10-a2=32，22-a2+10-a2=22，故答案为：22；（2）（4x2+6x-5+4x2-2x-5）（4x2+6x-5-4x2-2x-5）（4x2+6x5）（4x22x5）8x，4x2+6x-5+4x2-2x-5=4x，4x2+6x-5-4x2-2x-5=

8、2，将这两式相加可得4x2+6x-5=2x+1，解得x3，经检验，x3是原方程的解原方程的解为：x3，故答案为：x35已知整数x、y满足：1xy100，且xy+yx-2009x-2009y+2009xy=2009则：x+y+10=【解答】解：xy+yx-2009x-2009y+2009xy=2009xy（x+y）-2009（x+y）+2009xy-20092=0（x+y+2009）（xy-2009）01xy100xy-2009=0xy200977414941整数x、y满足：1xy100x41，y49x+y+10=41+49+10=100=10故本题答案为：106已知x=b-b2-4122（b2

9、1），则x2bx+103【解答】解：将x=b-b2-4122代入x2bx+103， x2bx+103（b-b2-4122）2bb-b2-4122+103=b2-2bb2-412+b2-4124-b2-2bb2-412+b2-4124 0，故答案为07已知x3+22，求：x2+1x2+6x+6x+7的值【解答】解：原式x2+2+1x2+6（x+1x）+5（x+1x）2+6（x+1x）+5（x+1x+1）（x+1x+5），x3+22，1x=13+22=322，x+1x=3+22+322=6原式（6+1）（6+5）778计算：（1）25（420-345+25）；（2）23-1+27-（3-）0+32

10、（3）若a=5+1，b=5-1，求a2b+ab2的值（4）已知a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简：a2-|a+b|+(c-a)2+|b+c|【解答】解：（1）原式25（85-95+25）25510；（2）原式=3+1+33-1+1943+19；（3）a=5+1，b=5-1，a+b25，ab4，a2b+ab2ab（a+b）42585；（4）由图可知：a0，a+b0，ca0，b+c0a2-|a+b|+(c-a)2+|b+c|a+a+b+cabca9已知xy6，x2-xy+xy-y2=9，求x2-xy-xy-y2的值【解答】解：xy6，(x+y)(x-y)=6，x+y=6x-y，x2-xy+x

11、y-y2=xx-y+yx-y =x-y（x+y）9，66x-y=9，即x-y=669，x2-xy-xy-y2=x-y（x-y）=6669 410若m满足关系3x+5y-2-m+2x+3y-m=x-199+y199-x-y，试求m的值【解答】解：根据题意得：x-199+y0199-x-y0，则x+y1990，即3x+5y-2-m+2x+3y-m=0，则x+y-199=03x+5y-2-m=02x+3y-m=0，解得x=396y=-197m=201故m20111已知x=n+1-nn+1+n，y=n+1+nn+1-n（n为自然数），问：是否存在自然数n，使代数式19x2+36xy+19y2的值为1

12、998？若存在，求出n；若不存在，请说明理由【解答】解：不存在x+y=n+1-nn+1+n+n+1+nn+1-n=(n+1-n)2+(n+1+n)2n+12n(n+1)+n+n+1+n+2n(n+1)=4n+2xy=n+1-nn+1+nn+1+nn+1-n=1假设存在n使代数式19x2+36xy+19y2的值为1998即19x2+36xy+19y2199819x2+19y21962，（x2+y2）=196219（x+y）2=196219+3819=200019.x+y=200019=209519由已知条件，得x+y2（2n+1）n为自然数，2（2n+1）为偶数，x+y=209519不为整数不存在这样的自然数n