专题6.4数列的综合应用(解析版).docx

1、6.4 数列的综合应用思维导图典型例题分析考向一 求通项公式(2019课标理,19,12分)已知数列an和bn满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.(1)证明:an+bn是等比数列,an-bn是等差数列;(2)求an和bn的通项公式.解析(1)证明:由题设得4(an+1+bn+1)=2(an+bn),即an+1+bn+1=12(an+bn).又因为a1+b1=1,所以an+bn是首项为1,公比为12的等比数列.由题设得4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8,即an+1-bn+1=an-bn+2.又因为a1-b1=1,所以an-bn是首项为1

2、,公差为2的等差数列.(2)由(1)知,an+bn=12n-1,an-bn=2n-1.所以an=12(an+bn)+(an-bn)=12n+n-12,bn=12(an+bn)-(an-bn)=12n-n+12.思路分析(1)将两递推关系式左、右两边相加可得an+1+bn+1=12(an+bn),从而证得数列an+bn为等比数列;将两递推关系式左、右两边相减可得an+1-bn+1=an-bn+2,从而证得数列an-bn为等差数列.(2)由(1)可求出an+bn,an-bn的通项公式,从而得an,bn.考向二 求和公式及其应用(2016课标文,17,12分)已知an是公差为3的等差数列,数列bn满

3、足b1=1,b2=13,anbn+1+bn+1=nbn.(1)求an的通项公式;(2)求bn的前n项和.解析(1)由已知,a1b2+b2=b1,b1=1,b2=13,得a1=2,(3分)所以数列an是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为an=3n-1.(5分)(2)由(1)和anbn+1+bn+1=nbn得bn+1=bn3,(7分)因此bn是首项为1,公比为13的等比数列.(9分)记bn的前n项和为Sn,则Sn=1-13n1-13=32-123n-1.(12分)考向三 求参数问题已知数列an的前n项和Sn=1+an,其中0.(1)证明an是等比数列,并求其通项公式;(2)若S5=3132,

4、求.解析(1)由题意得a1=S1=1+a1,故1,a1=11-,a10.(2分)由Sn=1+an,Sn+1=1+an+1得an+1=an+1-an,即an+1(-1)=an.由a10,0得an0,所以an+1an=-1.因此an是首项为11-,公比为-1的等比数列,于是an=11-1n-1.(6分)(2)由(1)得Sn=1-1n.由S5=3132得1-15=3132,即-15=132.解得=-1.(12分)思路分析(1)先由题设利用an+1=Sn+1-Sn得到an+1与an的关系式,要证数列是等比数列,关键是看an+1与an之比是否为一常数,其中说明an0是非常重要的.(2)利用第(1)问的结

5、论解方程求出.考向四 构造法在数列中的应用数列an满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2.(1)设bn=an+1-an,证明bn是等差数列;(2)求an的通项公式.解析(1)证明:由an+2=2an+1-an+2得,an+2-an+1=an+1-an+2,即bn+1=bn+2.又b1=a2-a1=1,所以bn是首项为1,公差为2的等差数列.(5分)(2)由(1)得bn=1+2(n-1),即an+1-an=2n-1.(8分)于是k=1n(ak+1-ak)=k=1n(2k-1),所以an+1-a1=n2,即an+1=n2+a1.又a1=1,所以an的通项公式为an=n2-2n+2.

6、(10分)评析本题着重考查等差数列的定义、前n项和公式及“累加法”求数列的通项等基础知识,同时考查运算变形的能力.考向五 数列求和的综合问题(2021全国乙文,19,12分)设an是首项为1的等比数列,数列bn满足bn=nan3.已知a1,3a2,9a3成等差数列.(1)求an和bn的通项公式;(2)记Sn和Tn分别为an和bn的前n项和.证明:TnSn2.解题指导(1)利用等差中项的概念建立等式,通过等比数列的通项公式即可求出结果;(2)利用等比数列的求和公式算出Sn,对于数列bn,利用错位相减法求出Tn,再利用比较大小的基本方法作差法即可证明不等式.解析(1)设等比数列an的公比为q.a1

7、,3a2,9a3成等差数列,6a2=a1+9a3,又an是首项为1的等比数列,6a1q=a1+9a1q2,9q2-6q+1=0,解得q1=q2=13,an=a1qn-1=13n-1,bn=nan3,bn=n13n.(2)Sn为an的前n项和,Sn=a1(1-qn)1-q=321-13n.Tn为bn的前n项和,Tn=b1+b2+bn=1131+2132+n13n,13Tn=1132+2133+n13n+1.-可得23Tn=13+132+13n-n13n+1=131-13n1-13-n13n+1=-13n+1213n+12,Tn=-12n+3413n+34,Tn-Sn2=-12n13n0,TnSn

8、2.已知数列an的前n项和为Sn,a1=-94,且4Sn+1=3Sn-9(nN*).(1)求数列an的通项公式;(2)设数列bn满足3bn+(n-4)an=0(nN*),记bn的前n项和为Tn,若Tnbn对任意nN*恒成立,求实数的取值范围.解析本题主要考查等比数列定义、通项公式、前n项和公式等基础知识,同时考查数学运算和逻辑推理等素养.(1)由4Sn+1=3Sn-9,得4Sn=3Sn-1-9(n2),则4an+1=3an(n2),又4(a1+a2)=3a1-9,a1=-94,所以4a2=3a1,所以an是以-94为首项,34为公比的等比数列,因此an=-334n.(2)由题意得bn=(n-4

9、)34n.则Tn=(-3)34+(-2)342+(n-4)34n,34Tn=(-3)342+(-2)343+(n-4)34n+1,两式相减,得14Tn=(-3)34+342+343+34n-(n-4)34n+1,所以Tn=-4n34n+1,由题意得-4n34n+1(n-4)34n恒成立,所以(+3)n-40,记f(n)=(+3)n-4(nN*),所以+30,f(1)0,解得-31.方法总结一般地,如果an是等差数列,bn是等比数列,求数列anbn的前n项和时,可采用错位相减法.在写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.基础题型训

10、练一、单选题1在等差数列中，已知，公差，则（ ）A10B12C14D16【答案】A【分析】由等差数列的通项公式计算【详解】由题意故选：A2若数列的前4项分别是，则该数列的一个通项公式为（）ABCD【答案】D【分析】利用观察归纳法求出通项公式.【详解】因为数列的前4项分别是，正负项交替出现，分子均为1，分母依次增加1，所以对照四个选项，正确.故选：D3在等比数列中，则公比等于（）A4B2CD或4【答案】C【解析】根据等比数列的求和公式，直接计算，即可得出结果.【详解】因为在等比数列中，所以，则.故选：C.【点睛】本题主要考查等比数列前项和的基本量运算，属于基础题型.4在各项为正的递增等比数列 中

11、，则（）ABCD【答案】B【分析】首先根据等比数列的通项公式求，再利用公比表示，代入方程，即可求得公比，再表示通项公式.【详解】数列 为各项为正的递增数列，设公比为，且，即 ，解得: .故选：B5已知数列满足，则数列的前9项和为（ ）A35B48C50D51【答案】A【分析】直接利用数列的递推关系式求出数列的各项，进一步求出数列的和【详解】解：数列满足，当时，当时，当时，当时，当时，当时，当时，所以故选：A6已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，即此数列第1项是，接下来2项是，再接下来3项是，设是数列的前项和，则（）ABCD【答案】A【分析】结合分组求和法、等比

12、数列前项和公式求得.【详解】分组：第1组有1项为；第2组有2项，为，；第组有项，为，.根据等比数列的前项和公式得每组各项和分别为，.前63组共有（项），.故选：A.二、多选题7数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（）A是递增数列BC当时，D当或4时，取得最大值【答案】CD【分析】根据表达式及时，的关系，算出数列通项公式，即可判断A、B、C选项的正误. 的最值可视为定义域为正整数的二次函数来求得.【详解】当时，又，所以，则是递减数列，故A错误；，故B错误；当时，故C正确；因为的对称轴为，开口向下，而是正整数，且或距离对称轴一样远，所以当或时，取得最大值，故D正确.故选：CD.8设等差数列的首

13、项为，公差为d，其前n项和为，已知，则下列结论正确的是（）ABC与均为的最大值D【答案】ABD【解析】由可得、，即可判断出答案.【详解】，B正确又，A、D正确易知是的最大值，不是的最大值，C错误故选：ABD三、填空题9已知数列的前项和，则_【答案】7【分析】利用求解.【详解】由题得.故答案为：7【点睛】本题考查数列项求和公式，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于基础题.10下面给出一个“直角三角形数阵”：满足每一列的数成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第行第列的数为，则_【答案】/ 【分析】先确定每行首项的规律，再确定，即可求得结论【详解】解

14、：依题意，每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，均为，；故答案为：.11设等比数列的前项和为，若，则_.【答案】156【分析】方法一：设等比数列的公比为，然后由列方程可求出，再利用等比数列的求和公式对化简计算即可，方法二：利用等比数列前项和的性质计算即可.【详解】法一：设等比数列的公比为，显然.因为，所以，所以.法二：设，则.因为为等比数列，所以仍成等比数列.因为，所以，所以，即.故答案为：15612在等差数列中，其前项和为，已知公差，则_【答案】190【分析】由已知条件可求得，得出，进而由得出答案【详解】，解得，故答案为：190四、解答题13已知数列中，且.

15、求数列的通项公式.【答案】.【分析】由等比数列定义知数列是等比数列，从而易得通项公式【详解】由，且，可得数列是公比为3的等比数列，所以14已知数列满足，是等比数列（1）求证：；（2）求数列的前项和【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】(1)由已知条件得到数列的公比，从而求出的通项公式，即可证明.(2)利用分组求和即可求解.【详解】解：（1）证明：，设等比数列的公比为，则，即，解得（2）由（1）知：15已知等差数列的前n项和为，.（1）求的通项公式；（2）设，记为数列的前n项和.若，求.【答案】（1）；（2）；【解析】（1）利用等差数列的通项公式以及数列的求和公式，求出数列的首项以及公差，然

16、后求解通项公式.（2）说明数列是等比数列，然后求解数列的和，求解即可.【详解】（1）设的首项为，公差为，由已知得，解得.所以.（2）因为，由（1）可得，是首项为4，公比为2的等比数列，则.由，得，解得.【点睛】本题考查数列的通项公式以及数列求和以及应用，考查计算能力，属于基础题.16设函数，设，(1)计算的值(2)求数列的通项公式【答案】(1)2(2)【分析】（1）直接计算可得答案；（2）由（1）的计算结果，当时，利用倒序相加法可得答案.【详解】（1）；（2）由题知，当时，又，两式相加得，所以，又不符合，所以.提升题型训练一、单选题1已知等差数列中，公差，则等于（）ABC24D27【答案】A【

17、分析】利用等差数列的通项公式进行求解即可.【详解】因为等差数列中，公差，所以，故选：A2等比数列的前项和为，已知，且与的等差中项为，则A29B31C33D36【答案】B【详解】试题分析：设等比数列的首项为，公比为，由题意知，解得，所以，故选B考点：等比数列通项公式及求前项和公式【一题多解】由，得又，所以，所以，所以，所以，故选B3在等差数列中，已知，则该数列前13项和（）A42B26C52D104【答案】C【分析】利用等差数列的性质与前项和公式即可得解.【详解】因为是等差数列，所以，故.故选：C.4意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，该数

18、列的特点是前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，数列的前项和为，则下列结论错误的是（）ABCD【答案】D【分析】对于A，由定义可以列举数列前8项，求和即可；对于B，依次递推累加即可；对于C，依次递推累加即可；对于D，根据定义判定即可.【详解】对A：，故选项A正确；对B：，故选项B正确；对C：同上，故选项C正确；对D：，故选项D错误.故选：D.5已知等差数列的前项和为，若，则（）ABCD【答案】D【分析】根据题意，解得等差数列的公差，求得，对和式的通项裂项求和【详解】等差数列的公差为，由，得，所以，解得，所以，所以故选：

19、D6高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为“高斯函数”，例如：，已知数列满足，若，为数列的前n项和，则（）ABCD【答案】C【分析】运用构造法可得为等比数列，再运用累加法可得通项公式，进而求得通项公式，再运用裂项相消求和可得结果.【详解】由，得又，所以数列构成以2为首项，2为公比的等比数列，所以.又，叠加可得，即，所以.又因为满足上式，所以.所以.因为，所以，即，所以.故.所以.故选：C.二、多选题7下列说法正确的是（）A已知数列是等差数列，则数列是等比数列B已知数列是等比数列，则数列是等差数列C

20、已知数列是等差数列且，数列是等比数列，则数列是等比数列D已知数列是等比数列且，数列是等差数列，则数列是等差数列【答案】AC【分析】对于ACD，根据等差数列和等比数列的定义判断即可；对于B，根据对数函数的定义域必须大于0即可判断；【详解】设，故A正确中，但中可能，不成立，故B错误设，且，则，为常数，故C正确设，则，当时，不恒为定值，故D错误故选：AC8已知是数列的前项和，且，则下列结论正确的是（）A数列为等比数列B数列为等比数列CD【答案】ABD【分析】根据已知递推公式进行变形求解判断AB求出数列前几项，验证后判断C，求出前20项和可判断D，【详解】因为，所以，又，所以是等比数列，A正确；同理，

21、而，所以是等比数列，B正确；若，则，但，C错；由A是等比数列，且公比为2，因此数列仍然是等比数列，公比为4，所以，D正确故选：ABD【点睛】方法点睛：本题考查数列的递推公式，解题关键是由已知递推关系变形推导出新数列的递推关系，从而得证新数列的性质而对称错误的结论，可以求出数列的某些项进行检验三、填空题9已知等比数列满足且，则_.【答案】【解析】由得，再求出.【详解】因为，所以.故由等比数列的通项公式得.故答案为：10已知数列an是等差数列，若a4a7a1017，a4a5a6a12a13a1477且ak13，则k_.【答案】18【分析】利用等差数列的性质，由a4a7a1017，a4a5a6a12

22、a13a1477，分别求得a7，a9，再利用等差数列的通项公式求解.【详解】a4a7a103a717，a7.又a4a5a13a1411a977，a97.所以d.aka9(k9)d13，137(k9)，k18故答案为：1811在数列中，已知，且数列是等比数列，则_.【答案】【分析】根据等比数列的定义可求出的公比，再由等比数列的通项公式可得，进而可得.【详解】因为，所以，因为数列是等比数列，所以公比为，所以，所以，故答案为：.12设是数列前项和，且，则数列的通项公式_.【答案】【详解】试题分析：由得，所以是以首项为，公差是的等差数列，故.当时，首项不符合上式，故.考点：数列的概念及求通项公式.【思

23、路点晴】已知求是一种非常常见的题型，这些题都是由与前项和的关系来求数列的通项公式，可由数列的通项与前项和的关系是，注意：当时，若适合，则的情况可并入时的通项；当时，若不适合，则用分段函数的形式表示.四、解答题13求数列的通项公式为；设为数列的前项和，求使成立的的取值集合.【答案】【分析】根据等差数列的求和公式可得，解不等式即可.【详解】由知：，且数列为等差数列，所以，由得：，即，解得，所以的取值集合为.14已知数列是等比数列，且成等差数列.数列满足：.(1)求数列和的通项公式；(2)求证：.【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）根据等比数列的通项公式、等差数列的性质，结合递推公式进行

24、求解即可；（2）根据（1）的结论，利用放缩法，结合裂项相消法进行证明即可.（1）设等比数列的公比为，则，由于成等差数列，则，故，即，则.从而，当时，故；当时，两式相减得，因此.显然当时，也成立.因此综合上述，数列和的通项公式为：；（2）由于，因此.15已知数列的首项，且，.(1)计算，的值，并证明是等比数列；(2)记，求数列的前项和.【答案】(1)，证明见解析(2)【分析】（1）由，分别计算出，可得，转化得，即，即可证明数列是等比数列；（2）写出数列的通项公式，然后利用错位相减法求和.【详解】（1）在中，令得，.同理可得，.，.由得，即，又，是以为首项，为公比的等比数列.（2）由（1）可知，.

25、则.，上述两式相减，得【点睛】本题的核心是考查错位相减求和.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解16已知数列满足递推式，其中 （1）求，；（2）求证数列是等比数列，并求数列的通项公式；（3）已知数列有，求数列的前项和【答案】（1），（2）证明见解析，（3）【分析】（1）由，代入计算，可求，；（2）由得，即可得到数列是等比数列，从而可求数列的通项公式；（3）利用错位相减法，可求数列的前项和【详解】（1）解：由，及，知得，同理得，；（2）证明：由得，所以，数列是首项为，公比为2的等比数列，所以，所以数列的通项公式为 ；（3）解：因为，所以 所以 ；所以 ；由错位相减得：，故.