专题7.5 锐角三角函数（全章直通中考）（基础练）-2023-2024学年九年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（苏科版）.docx

1、专题7.5 锐角三角函数（全章直通中考）（基础练）【要点回顾】【知识点一】锐角三角函数正弦： sinA 余弦： cosA正切： tanA.【知识点二】特殊三角函数度数三角函数3045601【知识点三】解直角三角形的常用关系(1) 三边之间的关系：； (2) 锐角之间的关系：；(3) 边角之间的关系：，.【知识点四】解直角三角形的应用 (1) 仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角(2) 坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度（或者叫做坡比），用字母表示坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用表示，则有. (3) 方向角：平面上，通过观察点作一条水平线（向右为东向）

2、和一条铅垂线（向上为北向），则从点出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角.(4) 解直角三角形实际应用的一般步骤：a.弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；b.将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；c.选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；d.得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1（2023四川攀枝花统考中考真题）中，、的对边分别为、已知，则的值为（）A B C D2（2023四川南充统考中考真题）如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再

3、向正北方向走到处，已知，则，两处相距（）A米 B米 C米 D米3（2023广东深圳统考中考真题）爬坡时坡角与水平面夹角为，则每爬1m耗能，若某人爬了1000m，该坡角为30，则他耗能（参考数据：，）（）A58J B159J C1025J D1732J4（2023山东统考中考真题）如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为，高为7米用计算器求的长，下列按键顺序正确的是（）A BC D5（2023湖南益阳统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，有三点，则（）A B C D6（2023吉林长春统考中考真题）学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳到地面，如图所示已彩旗绳与地

4、面形成角（即）、彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米（即米），则彩旗绳的长度为（）A米 B米 C米 D米7（2023内蒙古统考中考真题）如图是源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，则的值为（）A B C D8（2023浙江杭州统考中考真题）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”如图，在由四个全等的直角三角形（）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，连接设，若正方形与正方形的面积之比为，则（）A5 B4 C3 D29（2023新疆统考

5、中考真题）如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部交于点，作射线交于点若，则的长为（）A B1 C D210（2023湖北十堰统考中考真题）如图所示，有一天桥高为5米，是通向天桥的斜坡，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使，则的长度约为（参考数据：）（）A米 B米 C米 D米二、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11（2011湖南邵阳中考真题）tan30 12（2019四川乐山统考中考真题）如图，在中，,.则边的长为 . 13（2023青海西宁统考中考真题）在中，则的长约为 （结果精确到参考

6、数据：，）14（2023江苏统考中考真题）如图，在中，点D在边AB上，连接CD若，则 15（2023广西统考中考真题）如图，焊接一个钢架，包括底角为的等腰三角形外框和3m高的支柱，则共需钢材约 m（结果取整数）（参考数据：，）16（2023山西统考中考真题）如图，在中，以点为圆心，以的长为半径作弧交边于点，连接分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，交边于点，则的值为 17（2023湖南岳阳统考中考真题）2023年岳阳举办以“跃马江湖”为主题的马拉松赛事如图，某校数学兴趣小组在处用仪器测得赛场一宣传气球顶部处的仰角为，仪器与气球的水平距离为20米，且距地面高度为1.5米

7、，则气球顶部离地面的高度是 米（结果精确到0.1米，）18（2022湖南湘西统考中考真题）阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题余弦定理是这样描述的：在ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍用公式可描述为：a2b2c22bccosAb2a2c22accosBc2a2b22abcosC现已知在ABC中，AB3，AC4，A60，则BC 三、解答题（本大题共6小题，共58分）19（8分）（2023山东日照统

8、考中考真题）（1）化简：；（2）先化简，再求值：，其中20（8分）（2022广西贵港中考真题）（1）计算：； （2）解不等式组：21（10分）（2022吉林长春统考中考真题）如图，在Rt中，点D是的中点，过点D作交于点E.延长至点F，使得，连接、（1）求证：四边形是菱形；（2）若，则的值为_22（10分）（2021北京统考中考真题）如图，在四边形中，点在上，垂足为（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若平分，求和的长23（10分）（2021湖南永州统考中考真题）已知锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，边角总满足关系式：（1）如图1，若，求b的值；（2）某公园准备在园内一个锐角三角形水池

9、中建一座小型景观桥（如图2所示），若米，米，求景观桥的长度24（12分）（2023辽宁统考中考真题）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶高的山峰，由山底A处先步行到达处，再由处乘坐登山缆车到达山顶处已知点A，BD，E，F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计）（1）求登山缆车上升的高度；（2）若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底A处到达山顶处大约需要多少分钟（结果精确到）（参考数据：）参考答案：1C【分析】根据余弦的定义可直接进行求解解：由题意得：；故选C【点拨】本题主要考查余弦，熟练掌握求一个角的余弦值是解题的关键2B【分析】

10、根据锐角三角函数中余弦值的定义即可求出答案.解：小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，米.，米.故选： B .【点拨】本题考查了锐角三角函数中的余弦值，解题的关键在于熟练掌握余弦值的定义.余弦值就是在直角三角形中，锐角的邻边与斜边之比.3B【分析】根据特殊角三角函数值计算求解解：故选：B【点拨】本题考查特殊角三角函数值，掌握特殊角三角函数值是解题的关键4B【分析】根据正弦的定义得出，进而可得答案解：由题意得，按键顺序为，故选：B【点拨】本题考查了正弦的定义，计算器的使用，正确理解三角函数的定义是解题的关键5C【分析】如图，取格点D，连接，则B在上，由，证明，可得解：如图，取

11、格点D，连接，则B在上，；故选C【点拨】本题考查的是坐标与图形，等腰直角三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键6D【分析】根据余弦值的概念即邻边与斜边之比，即可求出答案.解：表示的是地面，表示是图书馆，为直角三角形，（米）.故选：D.【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用，涉及到余弦值，解题的关键在于熟练掌握余弦值的概念.7D【分析】首先根据两个正方形的面积分别求出两个正方形的边长，然后结合题意进一步设直角三角形短的直角边为，则较长的直角边为，再接着利用勾股定理得到关于的方程，据此进一步求出直角三角形各个直角边的边长，最后求出的值即可.解：小正方形

12、的面积为，大正方形的面积为25，小正方形的边长为1，大正方形的边长为5，设直角三角形短的直角边为，则较长的直角边为，其中，其中，解得：，故选：D.【点拨】本题主要考查了勾股定理与一元二次方程及三角函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.8C【分析】设，首先根据得到，然后表示出正方形的面积为，正方形的面积为，最后利用正方形与正方形的面积之比为求解即可解：设，即，整理得，正方形的面积为，正方形的面积为，正方形与正方形的面积之比为，解得故选：C【点拨】此题考查了勾股定理，解直角三角形，赵爽“弦图”等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点9C【分析】过点作于点，勾股定理求得，根据作图可得是的角平分线

13、，进而设，则，根据，代入数据即可求解解：如图所示，过点作于点，在中，根据作图可得是的角平分线，设，解得：故选：C【点拨】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，正弦的定义，勾股定理解直角三角形，熟练掌握基本作图以及角平分线的性质是解题的关键10D【分析】在中，求得米，在中，求得米，即可得到的长度解：在中，米，在中，（米），（米）故选：D【点拨】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键11【分析】根据特殊角的三角函数值直接填空解：tan30故答案为：【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键12【分析】过A作ADBC于D点，根据，可求得CD

14、，在RtACD中由勾股定理可求得AD，再利用RtADB中，可知AB=2AD，即可解题解：过A作ADBC于D点，AC=2CD=在RtACD中由勾股定理得：AD=又B=30AB=2AD=.【点拨】本题考查了锐角三角函数，勾股定理求线段长度，30所对的直角边是斜边的一半，灵活联合运用即可解题.13【分析】根据锐角三角函数的定义进行计算即可解：在中，,，则，故选：【点拨】此题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键14/【分析】由题意可设，则，在中求得，在中求出答案即可解： ，设，则，在中，由勾股定理得：，在中，【点拨】本题考查的是求锐角三角函数，解题关键是根据比值设未知数，表示出边

15、长从而求出锐角三角函数值1521【分析】根据解直角三角形及等腰三角形的性质可进行求解解：是等腰三角形，且，共需钢材约为；故答案为21【点拨】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键16【分析】证明，再利用正切函数的定义求解即可解：在中，由作图知平分，是等边三角形，故答案为：【点拨】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，尺规作图作角平分线，等边三角形的判定和性质，正切函数的定义，求得是解题的关键179.5【分析】通过解直角三角形，求出，再根据求出结论即可解：根据题意得，四边形是矩形，在中，,故答案为：9.5【点拨】此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题此题难度适中，注意能

16、借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键18【分析】从阅读可得：BC2AB2AC22ABACcosA，将数值代入求得结果解：由题意可得，BC2AB2AC22ABACcosA3242234cos6013，BC，故答案为：【点拨】本题考查了阅读理解能力，特殊角锐角三角函数值等知识，解决问题的关键是公式的具体情景运用19（1）；（2），【分析】（1）根据平方根，绝对值，负整数指数幂，特殊角的三角函数，实数的混合运算法则进行计算即可；（2）根据分式的性质进行化简，再将代入求解即可（1）解：（2）解：将代入可得，原式【点拨】本题考查了平方根，绝对值，负整数指数幂，特殊角的三角函数，实数的混合运

17、算法则，分式的化简求值等，熟练掌握以上运算法则是解题的关键20（1）4；（2）【分析】（1）根据绝对值的意义、零指数幂、负整数指数幂的运算法则以及特殊角的三角函数值进行计算即可；（2）先分别求解出不等式和不等式的解集，再找这个两个解集的公共部分即可（1）解：原式；（2）解不等式，得：，解不等式，得：，不等式组的解集为【点拨】本题考查了绝对值的意义、零指数幂、负整数指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值以求解不等式组的解集的知识，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键21（1）见分析；（2）【分析】（1）根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可得证；（2）设，则，根据菱形的性质可得，勾股定理求得，

18、根据，即可求解解：（1）证明：，四边形是平行四边形， 四边形是菱形；（2）解：，设，则，四边形是菱形；，在中，故答案为：【点拨】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，求正切，掌握以上知识是解题的关键22（1）见详解；（2），【分析】（1）由题意易得ADCE，然后问题可求证；（2）由（1）及题意易得EF=CE=AD，然后由可进行求解问题解：（1）证明：，ADCE，四边形是平行四边形；（2）解：由（1）可得四边形是平行四边形，平分，EF=CE=AD，【点拨】本题主要考查平行四边形的性质与判定、勾股定理、角平分线的性质定理及三角函数，熟练掌握平行四边形的性质与判定、勾股定理、角平分线的性质定理及三角

19、函数是解题的关键23（1）；（2）【分析】（1）过C作于点D，解直角三角形即可；（2）由已知条件可知，求得，勾股定理求得， 解即可求得的长解：（1）如图，过C作于点D,即 （2），,在中，设，则在中，即: 解得：（不符题意，舍）【点拨】本题考查解直角三角形应用，掌握锐角三角函数的定义是解题关键24（1）登山缆车上升的高度；（2）从山底A处到达山顶处大约需要.【分析】（1）过B点作于C，于E，则四边形是矩形，在中，利用含30度的直角三角形的性质求得的长，据此求解即可；（2）在中，求得的长，再计算得出答案（1）解：如图，过B点作于C，于E，则四边形是矩形，在中，答：登山缆车上升的高度；（2）解：在中，从山底A处到达山顶处大约需要：，答：从山底A处到达山顶处大约需要.【点拨】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握直角三角形的边角关系是解题关键