专题7.7 锐角三角函数（全章直通中考）（培优练）-2023-2024学年九年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（苏科版）.docx

1、专题7.7 锐角三角函数（全章直通中考）（培优练）一、 单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1（2023湖南湘西统考中考真题）如图，为的直径，点在的延长线上，与相切，切点分别为C，D若，则等于（）A B C D2（2023山东聊城统考中考真题）如图，已知等腰直角，点C是矩形与的公共顶点，且，；点D是延长线上一点，且连接，在矩形绕点C按顺时针方向旋转一周的过程中，当线段达到最长和最短时，线段对应的长度分别为m和n，则的值为（）A2 B3 C D3（2023江苏苏州统考中考真题）如图，是半圆的直径，点在半圆上，连接，过点作，交的延长线于点设的面积为的面积为，若，则的值为（）A B C

2、D4（2023四川自贡统考中考真题）如图，分别经过原点和点的动直线，夹角，点是中点，连接，则的最大值是（）A B C D5（2022四川眉山中考真题）如图，四边形为正方形，将绕点逆时针旋转至，点，在同一直线上，与交于点，延长与的延长线交于点，以下结论：；其中正确结论的个数为（）A1个 B2个 C3个 D4个6（2021四川内江统考中考真题）如图，菱形的顶点分别在反比例函数和的图象上，若，则的值为（）A B C D7（2021广东深圳统考中考真题）在正方形中，点E是边的中点，连接，延长至点F，使得，过点F作，分别交、于N、G两点，连接、，下列正确的是：；（）A4 B3 C2 D18（2021四川

3、泸州统考中考真题）在锐角ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，有以下结论：（其中R为ABC的外接圆半径）成立在ABC中，若A=75，B=45，c=4，则ABC的外接圆面积为（）A B C D9（2020四川广元统考中考真题）规定：给出以下四个结论：（1） ；（2）；（3） ；（4）其中正确的结论的个数为（）A1个 B2个 C3个 D4个10（2021内蒙古统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的OA边在x轴的正半轴上，OC边在y轴的正半轴上，点B的坐标为（4，2），反比例函数的图象与BC交于点D，与对角线OB交于点E，与AB交于点F，连接OD，DE，EF，DF下列结论：；

4、其中正确的结论有（）A4个 B3个 C2个 D1个二、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11（2021广东统考中考真题）如图，在中，过点D作，垂足为E，则 12（2022江苏常州统考中考真题）如图，在四边形中，平分若，则 13（2022江苏南通统考中考真题）如图，点O是正方形的中心，中，过点D，分别交于点G，M，连接若，则的周长为 14（2022山东济宁统考中考真题）如图，点A，C，D，B在O上，ACBC，ACB90若CDa，tanCBD，则AD的长是 15（2023江苏连云港统考中考真题）如图，矩形的顶点在反比例函数的图像上，顶点在第一象限，对角线轴，交轴于点若矩形的面积是6，

5、则 16（2023四川成都统考中考真题）如图，在中，平分交于点，过作交于点，将沿折叠得到，交于点若，则 17（2023四川自贡统考中考真题）如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线上的一动点，动点，连接当取最小值时，的最小值是 18（2021重庆统考中考真题）如图，三角形纸片ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，BF4，CF6，将这张纸片沿直线DE翻折，点A与点F重合若DEBC，AFEF，则四边形ADFE的面积为 三、解答题（本大题共6小题，共58分）19（8分）（2022广西柳州统考中考真题）如图，已知AB是O的直径，点E是O上异于A，B的点，

6、点F是的中点，连接AE，AF，BF，过点F作FCAE交AE的延长线于点C，交AB的延长线于点D，ADC的平分线DG交AF于点G，交FB于点H（1）求证：CD是O的切线；（2）求sinFHG的值；（3）若GH，HB2，求O的直径20（8分）（2022江苏南通统考中考真题）如图，矩形中，点E在折线上运动，将绕点A顺时针旋转得到，旋转角等于，连接（1）当点E在上时，作，垂足为M，求证；（2）当时，求的长；（3）连接，点E从点B运动到点D的过程中，试探究的最小值21（10分）（2022福建统考中考真题）如图，BD是矩形ABCD的对角线（1）求作A，使得A与BD相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕

7、迹）；（2）在（1）的条件下，设BD与A相切于点E，CFBD，垂足为F若直线CF与A相切于点G，求的值22（10分）（2022海南统考中考真题）无人机在实际生活中应用广泛如图8所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼楼顶D处的俯角为，测得楼楼顶A处的俯角为已知楼和楼之间的距离为100米，楼的高度为10米，从楼的A处测得楼的D处的仰角为（点A、B、C、D、P在同一平面内）（1）填空：_度，_度；（2）求楼的高度（结果保留根号）；（3）求此时无人机距离地面的高度23（10分）（2023安徽统考中考真题）在中，是斜边的中点，将线段绕点旋转至位置，点在直线外，连接（1）如图1，求的

8、大小；（2）已知点和边上的点满足（）如图2，连接，求证：；（）如图3，连接，若，求的值24（12分）（2022辽宁大连统考中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接（1）求点B，点C的坐标；（2）如图1，点在线段上（点E不与点B重合），点F在y轴负半轴上，连接，设的面积为，的面积为，当S取最大值时，求m的值；（3）如图2，抛物线的顶点为D，连接，点P在第一象限的抛物线上，与相交于点Q，是否存在点P，使，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由参考答案：1D【分析】连接、，交于，如图，利用切线的性质和切线长定理得到，平分，根据等腰三

9、角形的性质得到，则，根据圆周角定理得到，所以，然后求出即可解：连接、，交于，如图，与相切，切点分别为，平分，在中，故选：D【点拨】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径也考查了圆周角定理和解直角三角形2D【分析】根据锐角三角函数可求得，当线段达到最长时，此时点在点的下方，且，三点共线，求得，根据勾股定理求得，即，当线段达到最短时，此时点在点的上方，且，三点共线，则，根据勾股定理求得，即，即可求得解：为等腰直角三角形，当线段达到最长时，此时点在点的下方，且，三点共线，如图：则，在中，即，当线段达到最短时，此时点在点的上方，且，三点共线，如图：则，在中，即，故，故选：D【点拨】本题考查

10、了锐角三角函数，勾股定理等，根据旋转推出线段最长和最短时的位置是解题的关键3A【分析】如图，过作于，证明，由，即，可得，证明，可得，设，则，可得，再利用正切的定义可得答案解：如图，过作于，即，即，设，则，；故选A【点拨】本题考查的是圆周角定理的应用，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键4A【分析】根据已知条件，得出的轨迹是圆，取点，则是的中位线，则求得的正弦的最大值即可求解，当与相切时，最大，则正弦值最大，据此即可求解解：如图所示，以为边向上作等边，过点作轴于点，则，则的横坐标为，纵坐标为，取点，则是的中位线， ，点在半径为的上运动，是的中位线，当与

11、相切时，最大，则正弦值最大，在中，过点作轴，过点作于点，过点作于点， 则与相切，设，,则解得：的最大值为，故选：A【点拨】本题考查了相似三角形的性质与判定，求正弦，等边三角形的性质。圆周角定理，得出点的轨迹是解题的关键5D【分析】利用旋转的性质，正方形的性质，可判断正确；利用三角形相似的判定及性质可知正确；证明，得到，即，利用是等腰直角三角形，求出，再证明即可求出可知正确；过点E作交FD于点M，求出，再证明，即可知正确解：旋转得到，为正方形，在同一直线上，故正确；旋转得到，故正确；设正方形边长为a，即，是等腰直角三角形，即，解得：，故正确；过点E作交FD于点M，故正确综上所述：正确结论有4个，

12、故选：D【点拨】本题考查正方形性质，旋转的性质，三角形相似的判定及性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握以上知识点，结合图形求解6D【分析】连接AC、BD，根据菱形的性质和反比例函数的对称性，即可得出BOC=90，BCO=BCD=30，解直角三角形求得，作 BMx轴于M，CNx轴于N，证得OMBCNO，得到，根据反比例函数系数 k的几何意义即可求得结果解：连接、，四边形是菱形，菱形的顶点分别在反比例函数和的图象上，与、与关于原点对称，、经过点，作轴于，轴于，故选：【点拨】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，解直角三角形，三角形相似的判定和性质，反比例函数系数k的几何意义，解题关

13、键是熟练掌握反比例函数的性质与菱形的性质7B【分析】解：中由即可得到，再由正切等于对边比邻边即可求解；中先证明得到EM=EC，DM=FC，再证明即可求解；中先证明GECM，得到即可求解；中由得到，再由即可求解解：，DMF=90=NCF，且对顶角MND=CNF，GFB=EDC，ABCD为正方形，E是BC的中点，BC=CD，正确；由知，又，已知，（），（），故正确；，BE=ME，且B=GME=90，GE为和的公共边，（），由三角形外角定理可知：，故错误；由上述可知：，故正确故选B【点拨】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知

14、识解决问题8A【分析】方法一：先求出C，根据题目所给的定理， , 利用圆的面积公式S圆=方法二：设ABC的外心为O，连结OA，OB，过O作ODAB于D，由三角形内角和可求C=60，由圆周角定理可求AOB=2C=120，由等腰三角形性质，OAB=OBA=，由垂径定理可求AD=BD=，利用三角函数可求OA=，利用圆的面积公式S圆=解：解:方法一：A=75，B=45，C=180-A-B=180-75-45=60，有题意可知，S圆=方法二：设ABC的外心为O，连结OA，OB，过O作ODAB于D，A=75，B=45，C=180-A-B=180-75-45=60，AOB=2C=260=120，OA=OB，

15、OAB=OBA=，ODAB，AB为弦，AD=BD=，AD=OAcos30，OA=，S圆=故答案为A【点拨】本题考查三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理，锐角三角函数，圆的面积公式，掌握三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理，锐角三角函数，圆的面积公式是解题关键9C【分析】根据题目所规定的公式，化简三角函数，即可判断结论解：（1），故此结论正确；（2），故此结论正确；（3）故此结论正确；（4）=，故此结论错误.故选：C【点拨】本题属于新定义问题，主要考查了三角函数的知识，解题的关键是熟练掌握三角函数的基础知识，理解题中公式.10A【分析】

16、根据题意，图中各点的坐标均可以求出来，只需证明即可证明结论；先求出直线OB的解析式，然后求直线OB与反比例函数的交点坐标，即可证明结论；分别求出和，进行比较即可证明结论；只需证明，即可求证结论解：OABC为矩形，点B的坐标为（4，2），A点坐标为（4，0），C点坐标为（0，2），根据反比例函数，当时，即D点坐标为（1，2），当时，即F点坐标为（4，），故结论正确；设直线OB的函数解析式为：，点B代入则有：，解得：，故直线OB的函数解析式为：，当时，（舍）即时，点E的坐标为（2，1），点E为OB的中点，故结论正确；，由得：，故结论正确；在和中，故结论正确，综上：均正确，故选：A【点拨】本题主要考

17、查矩形的性质，相似三角形判定与性质，锐角三角函数，反比例函数与几何综合，结合题意求出图中各点坐标是解决本题的关键11【分析】首先根据题目中的，求出ED的长度，再用勾股定理求出AE，即可求出EB，利用平行四边形的性质，求出CD，在RtDEC中，用勾股定理求出EC，再作BFCE，在BEC中，利用等面积法求出BF的长，即可求出解：，ADE为直角三角形，又， , 解得DE=4,在RtADE中，由勾股定理得：,又AB=12, ,又四边形ABCD为平行四边形，CD=AB=12,AD=BC=5在RtDEC中，由勾股定理得：,过点B作BFCE，垂足为F,如图在EBC中：SEBC= ;又SEBC ,解得,在Rt

18、BFC中，,故填：【点拨】本题考查解直角三角形，平行四边形的性质，勾股定理，三角形的等面积法求一边上的高线，解题关键在于熟练掌握解直角三角形的计算，平行四边形的性质，勾股定理的计算和等面积法求一边上的高12【分析】过点作的垂线交于，证明出四边形为矩形，为等腰三角形，由勾股定理算出，即可求解解：过点作的垂线交于，四边形为矩形，平分，CDB=CBD，故答案为：【点拨】本题考查了锐角三角函数、矩形、等腰三角形形、勾股定理、平行线的性质，解题的关键是构造直角三角形求解13【分析】连接BD，则BD过正方形的中心点O，作FHCD于点H，解直角三角形可得BG，AGAB，然后证明ABGHFD（AAS），可得D

19、HAGABCD，BCHF，进而可证BCMFHM（AAS），得到MHMCCD，BMFM，然后根据等腰三角形三线合一求出DFFM，则BGDFFMBM，再根据直角三角形斜边中线的性质和三角形中位线定理分别求出OM、EM和OE即可解决问题解：如图，连接BD，则BD过正方形的中心点O，作FHCD于点H，AGAB，BG，BEF90，ADC90，EGDEDG90，EDGHDF90，EGDHDFAGBEGD，AGBHDF，在ABG和HFD中，ABGHFD（AAS），AGDH，ABHF，在正方形中，ABBCCDAD，C90，DHAGABCD，BCHF，在BCM和FHM中，BCMFHM（AAS），MHMCCD，B

20、MFM，DHMH，FHCD，DFFM，BGDFFMBM，BF，M是BF中点，O是BD中点，BEF是直角三角形，OM，EM，BD，BED是直角三角形，EO，的周长EOOMEM3，故答案为：【点拨】本题主要考查了正方形的性质，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质以及三角形中位线定理，综合性较强，能够作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键14【分析】如图，连接，设交于点，根据题意可得是的直径，设，证明，根据相似三角形的性质以及正切的定义，分别表示出，根据，勾股定理求得，根据即可求解解：如图，连接，设交于点，ACB90是的直径， ta

21、nCBD，在中， ，设则， ACBC， 中， ,又，解得，故答案为：【点拨】本题考查了90圆周角所对的弦是直径，同弧所对的圆周角相等，正切的定义，相似三角形的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键15【分析】方法一：根据的面积为，得出，在中，得出，根据勾股定理求得，根据的几何意义，即可求解方法二：根据已知得出则，即可求解解：方法一：，设，则，矩形的面积是6，是对角线，的面积为，即在中，即即解得：在中，对角线轴，则，,反比例函数图象在第二象限，方法二：，设，则，故答案为：【点拨】本题考查了矩形的性质，反比例函数的几何意义，余弦的定义，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键16【分析】过点作

22、于，证明，得出，根据，得，设，则，则，在中，在中，则，解方程求得，则，勾股定理求得，根据正切的定义，即可求解解：如图所示，过点作于，平分交于点，,折叠，,又，则，设，则，则，在中，在中，即解得：，则故答案为：【点拨】本题考查了求正切，折叠的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键17【分析】作出点，作于点D，交x轴于点F，此时的最小值为的长，利用解直角三角形求得，利用待定系数法求得直线的解析式，联立即可求得点D的坐标，过点D作轴于点G，此时的最小值是的长，据此求解即可解：直线与x轴，y轴分别交于A，B两点， 作点B关于x轴的对称点，把点向右平移3

23、个单位得到，作于点D，交x轴于点F，过点作交x轴于点E，则四边形是平行四边形，此时，有最小值，作轴于点P，则，即，则，设直线的解析式为，则，解得，直线的解析式为，联立，解得，即；过点D作轴于点G，直线与x轴的交点为，则，即的最小值是，故答案为：【点拨】本题考查了一次函数的应用，解直角三角形，利用轴对称求最短距离，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题18【分析】根据折叠的性质得到DE为的中位线，利用中位线定理求出DE的长度，再解求出AF的长度，即可求解解：将这张纸片沿直线DE翻折，点A与点F重合，DE垂直平分AF，DEBC，即D为AB的中点，DE为的中位线，AFEF，是等边三角形，在中，四边形A

24、DFE的面积为，故答案为：【点拨】本题考查解直角三角形、中位线定理、折叠的性质等内容，掌握上述基本性质定理是解题的关键19（1）见分析；（2）；（3）O的直径为【分析】（1）连接OF，先证明OFAC，则OFDC，根据切线的判定定理可得出结论（2）先证DFBOAF，ADGFDG，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和得出FGHFHG，从而可求出sinFHG的值（3）先在GFH中求出FH的值为4，根据等积法可得，再证DFBDAF，根据对应边成比例可得，又由角平分线的性质可得，从而可求出AG、AF在RtAF中根据勾股定理可求出AB的长，即O的直径解：（1）证明：连接OFOAOF，OAFOF

25、A，CAFFAB，CAFAFO，OFAC，ACCD，OFCD，OF是半径，CD是O的切线（2）AB是直径，AFB90，OFCD，OFDAFB90，AFODFB，OAFOFA，DFBOAF，GD平分ADF，ADGFDG，FGHOAF+ADG，FHGDFB+FDG，FGHFHG45，sinFHG=（3）解：过点H作HMDF于点M，HNAD于点NHD平分ADF，HMHN，SDHFSDHB= FHHB=DF DBFGH是等腰直角三角形，GHFHFG4， 设DBk，DF2k，FDBADF，DFBDAF，DFBDAF，DF2DBDA，AD4k，GD平分ADFAG8，AFB90，AF12，FB6，O的直径为

26、【点拨】本题是一道综合性题目，考查了圆的相关性质、切线的判定、相似三角形的判定和性质、角平分线性、勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键20（1）见详解；（2）或；（3）【分析】（1）证明即可得证（2）分情况讨论，当点E在BC上时，借助，在中求解；当点E在CD上时，过点E作EGAB于点G，FHAC于点H，借助并利用勾股定理求解即可（3）分别讨论当点E在BC和CD上时，点F所在位置不同，DF的最小值也不同，综合比较取最小即可解：（1）如图所示，由题意可知，由旋转性质知：AE=AF，在和中，（2）当点E在BC上时，在中，则，在中，则，由（1）可得，在中，则，当点E在CD上时，如图，过点E作E

27、GAB于点G，FHAC于点H，同（1）可得，由勾股定理得；故CF的长为或（3）如图1所示，当点E在BC边上时，过点D作于点H，由（1）知，故点F在射线MF上运动，且点F与点H重合时，DH的值最小在与中，即，在与中，即，故的最小值；如图2所示，当点E在线段CD上时，将线段AD绕点A顺时针旋转的度数，得到线段AR，连接FR，过点D作，由题意可知，在与中，故点F在RF上运动，当点F与点K重合时，DF的值最小；由于，故四边形DQRK是矩形；，故此时DF的最小值为；由于，故DF的最小值为【点拨】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理、解直角三角形，解决本题的关键是各

28、性质定理的综合应用21（1）作图见分析；（2）【分析】（1）先过点A作BD的垂线，进而找出半径，即可作出图形；（2）根据题意，作出图形，设，A的半径为r，先判断出BEDE，进而得出四边形AEFG是正方形，然后在RtABE中，根据勾股定理建立方程求解，再判定，根据，在RtADE中，利用，得到，求解得到tanADB的值为（1）解：如图所示，A即为所求作：（2）解：根据题意，作出图形如下：设，A的半径为r，BD与A相切于点E，CF与A相切于点G，AEBD，AGCG，即AEFAGF90，CFBD，EFG90，四边形AEFG是矩形，又，四边形AEFG是正方形，在RtAEB和RtDAB中，在RtABE中，

29、四边形ABCD是矩形，ABCD，又，在RtADE中，即，即，即tanADB的值为【点拨】此题是圆的综合题，主要考查了尺规作图，切线的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，利用三角函数得出线段长建立方程是解决问题的关键22（1）75；60；（2）米；（3）110米【分析】（1）根据平角的定义求，过点A作于点E，再利用三角形内角和求；（2）在中，求出DE的长度再根据计算即可；（3）作于点G，交于点F，证明即可解：（1）过点A作于点E，由题意得：（2）由题意得：米，在中，楼的高度为米（3）作于点G，交于点F，则，（AAS）无人机距离地面的高度为1

30、10米【点拨】此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题的知识此题难度适中，注意能借助仰角或俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键23（1）；（2）（）见分析；（）【分析】（1）根据旋转的性质得出，根据等边对接等角得出，在中，根据三角形内角和定理即得出，进而即可求解；（2）（）延长交于点，证明四边形是菱形，进而根据平行线分线段成比例得出，根据等腰三角形的性质，得出是的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得证；（）如图所示，过点作于点，由，得出，进而根据正切的定义即可求解（1）解：，在中，（2）证明：（）证法一：如图，延长，交于点，则，又，四边形是平行四边形是的中点，四边

31、形是平行四边形，是菱形，即，即点是斜边的中点证法二：，是斜边的中点，点在以为圆心，为直径的上，垂直平分，证法三：，又，四边形是平行四边形是的中点，四边形是平行四边形，是菱形，是斜边的中点，点在以为圆心，为直径的上（）如图所示，过点作于点，则，【点拨】本题考查了三角形内角和定理，菱形的性质与判定，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，求正切，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键24（1）；（2）当最大时，；（3）【分析】（1）利用抛物线的解析式，令x=0，可得C的坐标，令y=0，可得A，B的坐标；（2）由 可得 再分别表示 再建立二次函数关系式，再利用二次函数的性质可得答案；（3） 如图，延长DC与x轴交于点N，过A作于H，过作轴于K，连接BD，证明 证明 求解 可得 再求解 及为再联立： 从而可得答案（1）解：，令 则 令 则 解得： （2） 而 当最大时，则（3）如图，延长DC与x轴交于点N，过A作于H，过作轴于K，连接BD， ， 抛物线 顶点 轴， 设为 解得 为联立： 解得： 所以【点拨】本题考查的是二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的应用，利用待定系数法求解一次函数的解析式，函数的交点坐标问题，求解Q的坐标是解本题的关键