专题8.7 立体几何（2021-2023年）真题训练（解析版）.docx

1、专题8.7 立体几何一、单选题1（2021年全国新高考I卷数学试题）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）ABCD【答案】B【分析】设圆锥的母线长为，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得的值，即为所求.【详解】设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得.故选：B.2（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（）ABCD【答案】D【分析】平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可.【详解】如图，连接，因为，所以或其补角为直线与所成的角，因为平面，所以，又，所以平面，所以，设正方体棱长为2

2、，则，所以.故选：D3（2021年全国新高考II卷数学试题）正四棱台的上下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（）ABCD【答案】D【分析】由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解.【详解】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，所以该棱台的高，下底面面积，上底面面积，所以该棱台的体积.故选：D.4（2021年全国新高考II卷数学试题）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）将地

3、球看作是一个球心为O，半径r为的球，其上点A的纬度是指与赤道平面所成角的度数地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为（单位：），则S占地球表面积的百分比约为（）A26%B34%C42%D50%【答案】C【分析】由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得，S占地球表面积的百分比约为：.故选：C.5（2022年新高考全国I卷数学真题）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的

4、形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（）ABCD【答案】C【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出【详解】依题意可知棱台的高为(m)，所以增加的水量即为棱台的体积棱台上底面积，下底面积，故选：C6（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则（）ABAB与平面所成的角为CD与平面所成的角为【答案】D【分析】根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出【详解】如图所示：不妨设，依题以及长方体的结构特征可知，与平面所成角为，与平面所成角为，所以，即，解得对于A，A错误；对于B，过作于，易知平面，所以与平面所成角为

5、，因为，所以，B错误；对于C，C错误；对于D，与平面所成角为，而，所以D正确故选：D7（2022年新高考全国II卷数学真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）ABCD【答案】A【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为故选：A8（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，则该

6、棱锥的体积为（）A1BC2D3【答案】A【分析】证明平面，分割三棱锥为共底面两个小三棱锥，其高之和为AB得解.【详解】取中点，连接，如图，是边长为2的等边三角形，又平面，平面，又，故，即，所以，故选：A9（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）在四棱锥中，底面为正方形，则的面积为（）ABCD【答案】C【分析】法一：利用全等三角形的证明方法依次证得，从而得到，再在中利用余弦定理求得，从而求得，由此在中利用余弦定理与三角形面积公式即可得解；法二：先在中利用余弦定理求得，从而求得，再利用空间向量的数量积运算与余弦定理得到关于的方程组，从而求得，由此在中利用余弦定理与三角形面积公式即可得解.【详解】法

7、一：连结交于，连结，则为的中点，如图，因为底面为正方形，所以，则，又，所以，则，又，所以，则，在中，则由余弦定理可得，故，则，故在中，所以，又，所以，所以的面积为.法二：连结交于，连结，则为的中点，如图，因为底面为正方形，所以，在中，则由余弦定理可得，故，所以，则，不妨记，因为，所以，即，则，整理得，又在中，即，则，两式相加得，故，故在中，所以，又，所以，所以的面积为.故选：C.10（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（）ABCD【答案】A【分析】由题可得为等腰直角三角形，得出外接圆的半径，则可求得到平面的距离，进而求得体

8、积.【详解】，为等腰直角三角形，则外接圆的半径为，又球的半径为1，设到平面的距离为，则，所以.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查球内几何体问题，解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心到截面距离的勾股关系求解.11（2022年新高考全国I卷数学真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（）ABCD【答案】C【分析】设正四棱锥的高为，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.【详解】球的体积为，所以球的半径,方法一：导数法设正四棱锥的底面边长为，高为，则，,所以，所以正四棱锥的体积，所

9、以，当时，当时，所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，又时，时，,所以正四棱锥的体积的最小值为，所以该正四棱锥体积的取值范围是.故选：C.方法二：基本不等式法由方法一故所以当且仅当取到，当时，得，则当时，球心在正四棱锥高线上，此时，正四棱锥体积，故该正四棱锥体积的取值范围是12（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）在正方体中，E，F分别为的中点，则（）A平面平面B平面平面C平面平面D平面平面【答案】A【分析】证明平面，即可判断A；如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，分别求出平面，的法向量，根据法向量的位置关系，即可判断BCD.【详解】解：在正方体中，且平面，又平面，所以，因为分别

10、为的中点，所以，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正确；选项BCD解法一：如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，则，则，设平面的法向量为， 则有，可取，同理可得平面的法向量为，平面的法向量为，平面的法向量为，则，所以平面与平面不垂直，故B错误；因为与不平行，所以平面与平面不平行，故C错误；因为与不平行，所以平面与平面不平行，故D错误，故选：A.选项BCD解法二：解：对于选项B，如图所示，设，则为平面与平面的交线，在内，作于点，在内，作，交于点，连结，则或其补角为平面与平面所成二面角的平面角，由勾股定理可知：，底面正方形中，为中点，则，由勾股定理可得，从而有：，据此可得，即，据此

11、可得平面平面不成立，选项B错误；对于选项C，取的中点，则，由于与平面相交，故平面平面不成立，选项C错误；对于选项D，取的中点，很明显四边形为平行四边形，则，由于与平面相交，故平面平面不成立，选项D错误；故选：A.13（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和若，则（）ABCD【答案】C【分析】设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，根据圆锥的侧面积公式可得，再结合圆心角之和可将分别用表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.【详解】解：设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆

12、半径为，则，所以，又，则，所以，所以甲圆锥的高，乙圆锥的高，所以.故选：C.14（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知为等腰直角三角形，AB为斜边，为等边三角形，若二面角为，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（）ABCD【答案】C【分析】根据给定条件，推导确定线面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.【详解】取的中点，连接，因为是等腰直角三角形，且为斜边，则有，又是等边三角形，则，从而为二面角的平面角，即，显然平面，于是平面，又平面，因此平面平面，显然平面平面，直线平面，则直线在平面内的射影为直线，从而为直线与平面所成的角，令，则，在中，由余弦定理得：，由正弦定理得，即，显然是锐角，

13、所以直线与平面所成的角的正切为.故选：C15（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）ABCD【答案】C【分析】方法一：先证明当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值.【详解】方法一：【最优解】基本不等式设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，设四边形ABCD对角线夹角为，则（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）即当四棱锥的顶

14、点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为又设四棱锥的高为，则，当且仅当即时等号成立.故选：C方法二：统一变量基本不等式由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，所以该四棱锥的高， (当且仅当，即时，等号成立)所以该四棱锥的体积最大时，其高.故选：C方法三：利用导数求最值由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，所以该四棱锥的高，令，设，则，单调递增， ，单调递减，所以当时，最大，此时故选：C.【点评】方法一：思维严谨，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是该题的最优解；方法二：消元，实现变量统

15、一，再利用基本不等式求最值；方法三：消元，实现变量统一，利用导数求最值，是最值问题的常用解法，操作简便，是通性通法二、多选题16（2021年全国新高考II卷数学试题）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点则满足的是（）ABCD【答案】BC【分析】根据线面垂直的判定定理可得BC的正误，平移直线构造所考虑的线线角后可判断AD的正误.【详解】设正方体的棱长为，对于A，如图（1）所示，连接，则，故（或其补角）为异面直线所成的角，在直角三角形，故，故不成立，故A错误.对于B，如图（2）所示，取的中点为，连接，则，由正方体可得平面，而平面，故，而，故平面，又平面，而，所以

16、平面，而平面，故，故B正确.对于C，如图（3），连接，则，由B的判断可得，故，故C正确.对于D，如图（4），取的中点，的中点，连接，则，因为，故，故，所以或其补角为异面直线所成的角，因为正方体的棱长为2，故，故不是直角，故不垂直，故D错误.故选：BC.17（2022年新高考全国I卷数学真题）已知正方体，则（）A直线与所成的角为B直线与所成的角为C直线与平面所成的角为D直线与平面ABCD所成的角为【答案】ABD【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.【详解】如图，连接、，因为，所以直线与所成的角即为直线与所成的角，因为四边形为正方形，则，故直线与所成的角为，A正确；连接，因为平面，平面，则

17、，因为，所以平面，又平面，所以，故B正确；连接，设，连接，因为平面，平面，则，因为，所以平面，所以为直线与平面所成的角，设正方体棱长为，则，所以，直线与平面所成的角为，故C错误；因为平面，所以为直线与平面所成的角，易得，故D正确.故选：ABD18（2023年新课标全国卷数学真题）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，点C在底面圆周上，且二面角为45，则（）A该圆锥的体积为B该圆锥的侧面积为CD的面积为【答案】AC【分析】根据圆锥的体积、侧面积判断A、B选项的正确性，利用二面角的知识判断C、D选项的正确性.【详解】依题意，所以，A选项，圆锥的体积为，A选项正确；B选项，圆锥的侧面积为

18、，B选项错误；C选项，设是的中点，连接，则，所以是二面角的平面角，则，所以，故，则，C选项正确；D选项，所以，D选项错误.故选：AC.19（2022年新高考全国II卷数学真题）如图，四边形为正方形，平面，记三棱锥，的体积分别为，则（）ABCD【答案】CD【分析】直接由体积公式计算，连接交于点，连接，由计算出，依次判断选项即可.【详解】设，因为平面，则，连接交于点，连接，易得，又平面，平面，则，又，平面，则平面，又，过作于，易得四边形为矩形，则，则，则，则，则，故A、B错误；C、D正确.故选：CD.20（2023年新课标全国卷数学真题）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（

19、容器壁厚度忽略不计）内的有（）A直径为的球体B所有棱长均为的四面体C底面直径为，高为的圆柱体D底面直径为，高为的圆柱体【答案】ABD【分析】根据题意结合正方体的性质逐项分析判断.【详解】对于选项A：因为，即球体的直径小于正方体的棱长，所以能够被整体放入正方体内，故A正确；对于选项B：因为正方体的面对角线长为，且，所以能够被整体放入正方体内，故B正确；对于选项C：因为正方体的体对角线长为，且，所以不能够被整体放入正方体内，故C正确；对于选项D：因为，可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆，如图，过的中点作，设，可知，则，即，解得，且，即，故以为轴可能对称放置底面直径为圆柱，若底面直径为的圆柱与正方体

20、的上下底面均相切，设圆柱的底面圆心，与正方体的下底面的切点为，可知：，则，即，解得，根据对称性可知圆柱的高为，所以能够被整体放入正方体内，故D正确；故选：ABD.【点睛】关键点睛：对于C、D：以正方体的体对角线为圆柱的轴，结合正方体以及圆柱的性质分析判断.21（2021年全国新高考I卷数学试题）在正三棱柱中，点满足，其中，则（）A当时，的周长为定值B当时，三棱锥的体积为定值C当时，有且仅有一个点，使得D当时，有且仅有一个点，使得平面【答案】BD【分析】对于A，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；对于B，将点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；对于

21、C，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数；对于D，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数【详解】易知，点在矩形内部（含边界）对于A，当时，即此时线段，周长不是定值，故A错误；对于B，当时，故此时点轨迹为线段，而，平面，则有到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确对于C，当时，取，中点分别为，则，所以点轨迹为线段，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，则，所以或故均满足，故C错误；对于D，当时，取，中点为，所以点轨迹为线段设，因为，所以，所以，此时与重合，故D正确故选：BD【点睛】本题主要考查向量的等价替换，关键之处

22、在于所求点的坐标放在三角形内三、填空题22（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为则该圆锥的侧面积为_.【答案】【分析】利用体积公式求出圆锥的高，进一步求出母线长，最终利用侧面积公式求出答案.【详解】.故答案为：.23（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则_【答案】2【分析】先用正弦定理求底面外接圆半径，再结合直棱柱的外接球以及求的性质运算求解.【详解】如图，将三棱锥转化为直三棱柱，设的外接圆圆心为，半径为，则，可得，设三棱锥的外接球球心为，连接，则，因为，即，解得.故答案为：2.【点睛】方法点睛

23、：多面体与球切、接问题的求解方法（1）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解；（2）若球面上四点P、A、B、C构成的三条线段PA、PB、PC两两垂直，且PAa，PBb，PCc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2a2b2c2求解；（3）正方体的内切球的直径为正方体的棱长；（4）球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长；（5）利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解24（2023

24、年新课标全国卷数学真题）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为_【答案】【分析】方法一：割补法，根据正四棱锥的几何性质以及棱锥体积公式求得正确答案；方法二：根据台体的体积公式直接运算求解.【详解】方法一：由于，而截去的正四棱锥的高为，所以原正四棱锥的高为，所以正四棱锥的体积为，截去的正四棱锥的体积为，所以棱台的体积为.方法二：棱台的体积为.故答案为：.25（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）在正方体中，E，F分别为CD，的中点，则以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为_【答案】12【分析】根据正方体的对称性，可知球心到

25、各棱距离相等，故可得解.【详解】不妨设正方体棱长为2，中点为，取，中点，侧面的中心为，连接，如图，由题意可知，为球心，在正方体中，即，则球心到的距离为，所以球与棱相切，球面与棱只有1个交点，同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有1个交点，所以以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为12.故答案为：1226（2023年新课标全国卷数学真题）在正四棱台中，则该棱台的体积为_【答案】/【分析】结合图像，依次求得，从而利用棱台的体积公式即可得解.【详解】如图，过作，垂足为，易知为四棱台的高，因为，则，故，则，所以所求体积为.故答案为：.27（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）在正方体

26、中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是_【答案】【分析】当球是正方体的外接球时半径最大，当边长为的正方形是球的大圆的内接正方形时半径达到最小.【详解】设球的半径为.当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，若半径变得更大，球会包含正方体，导致球面和棱没有交点，正方体的外接球直径为体对角线长，即，故；分别取侧棱的中点，显然四边形是边长为的正方形，且为正方形的对角线交点，连接，则，当球的一个大圆恰好是四边形的外接圆，球的半径达到最小，即的最小值为.综上，.故答案为：四、解答题28（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）如图，四棱锥的底面是

27、矩形，底面，M为的中点，且（1）证明：平面平面；（2）若，求四棱锥的体积【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）由底面可得，又，由线面垂直的判定定理可得平面，再根据面面垂直的判定定理即可证出平面平面；（2）由（1）可知，由平面知识可知，由相似比可求出，再根据四棱锥的体积公式即可求出【详解】（1）因为底面，平面，所以，又，所以平面，而平面，所以平面平面（2）方法一：相似三角形法 由（1）可知于是，故因为，所以，即故四棱锥的体积方法二：平面直角坐标系垂直垂直法由（2）知,所以建立如图所示的平面直角坐标系，设因为，所以，从而所以，即下同方法一. 方法三【最优解】：空间直角坐标系法建立如图所示的

28、空间直角坐标系，设，所以，所以，所以所以，即下同方法一. 方法四：空间向量法由，得所以即又底面，在平面内，因此，所以所以，由于四边形是矩形，根据数量积的几何意义，得，即所以，即下同方法一.【整体点评】(2)方法一利用相似三角形求出求出矩形的另一个边长，从而求得该四棱锥的体积；方法二构建平面直角坐标系，利用直线垂直的条件得到矩形的另一个边长，从而求得该四棱锥的体积；方法三直接利用空间直角坐标系和空间向量的垂直的坐标运算求得矩形的另一个边长,为最常用的通性通法，为最优解；方法四利用空间向量转化求得矩形的另一边长.29（2023年新高考天津数学高考真题）三棱台中，若面，分别是中点. (1)求证：/平

29、面；(2)求平面与平面所成夹角的余弦值；(3)求点到平面的距离【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，然后用线面平行的判定解决；（2）利用二面角的定义，作出二面角的平面角后进行求解；（3）方法一是利用线面垂直的关系，找到垂线段的长，方法二无需找垂线段长，直接利用等体积法求解【详解】（1）连接.由分别是的中点，根据中位线性质，/，且，由棱台性质，/，于是/，由可知，四边形是平行四边形，则/，又平面，平面，于是/平面.（2）过作，垂足为，过作，垂足为,连接.由面，面，故，又，平面，则平面.由平面，故，又，平面，于是平面，由平面，故.于是平面与平面所成角即.又，则

30、，故，在中，则，于是（3）方法一：几何法过作，垂足为，作，垂足为，连接，过作，垂足为.由题干数据可得，根据勾股定理，由平面，平面，则，又，平面，于是平面.又平面，则，又，平面，故平面.在中，又，故点到平面的距离是到平面的距离的两倍，即点到平面的距离是.方法二：等体积法辅助线同方法一.设点到平面的距离为.，.由，即.30（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）如图，在三棱锥中，的中点分别为，点在上，(1)求证：/平面；(2)若，求三棱锥的体积【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据给定条件，证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答.（2）作出并证明为棱锥的高，利用三棱锥的体积

31、公式直接可求体积.【详解】（1）连接，设，则，则，解得，则为的中点，由分别为的中点，于是，即，则四边形为平行四边形，又平面平面，所以平面.（2）过作垂直的延长线交于点，因为是中点，所以，在中，所以，因为，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，即三棱锥的高为，因为，所以，所以，又，所以.31（2021年全国新高考I卷数学试题）如图，在三棱锥中，平面平面，为的中点.（1）证明：；（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可；(2)方法二

32、：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可.【详解】（1）因为，O是中点，所以，因为平面，平面平面，且平面平面，所以平面因为平面，所以.（2）方法一：通性通法坐标法如图所示，以O为坐标原点，为轴，为y轴，垂直且过O的直线为x轴，建立空间直角坐标系，则，设,所以，设为平面的法向量，则由可求得平面的一个法向量为又平面的一个法向量为，所以，解得又点C到平面的距离为，所以，所以三棱锥的体积为方法二【最优解】：作出二面角的平面角如图所示，作，垂足为点G作，垂足为点F，连结，则因为平面，所以平面，为二面角的平面角因为，所以由已知得，故又，所以因为，方法三：三面角公式考虑三

33、面角，记为，为，记二面角为据题意，得对使用三面角的余弦公式，可得，化简可得使用三面角的正弦公式，可得，化简可得将两式平方后相加，可得，由此得，从而可得如图可知，即有，根据三角形相似知，点G为的三等分点，即可得，结合的正切值，可得从而可得三棱锥的体积为【整体点评】(2)方法一：建立空间直角坐标系是解析几何中常用的方法，是此类题的通性通法，其好处在于将几何问题代数化，适合于复杂图形的处理；方法二：找到二面角的平面角是立体几何的基本功，在找出二面角的同时可以对几何体的几何特征有更加深刻的认识，该法为本题的最优解.方法三：三面角公式是一个优美的公式，在很多题目的解析中灵活使用三面角公式可以使得问题更加

34、简单、直观、迅速.32（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知直三棱柱中，侧面为正方形，E，F分别为和的中点，D为棱上的点 （1）证明：；（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）方法二：通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直；（2）方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案；【详解】（1）方法一：几何法因为，所以又因为，所以平面又因为，构造正方体，如图所示，过E作的平行线分别与交于其中点，连接，因为E，F分别为和的中点，所以是BC的中点，

35、易证，则又因为，所以又因为，所以平面又因为平面，所以 方法二 【最优解】：向量法因为三棱柱是直三棱柱，底面，又，平面所以两两垂直以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，由题设（）因为，所以，所以 方法三：因为，所以，故，所以，所以（2）方法一【最优解】：向量法设平面的法向量为，因为，所以，即令，则因为平面的法向量为，设平面与平面的二面角的平面角为，则当时，取最小值为，此时取最大值为所以，此时 方法二 ：几何法如图所示，延长交的延长线于点S，联结交于点T，则平面平面作，垂足为H，因为平面，联结，则为平面与平面所成二面角的平面角设，过作交于点G由得又，即，所以又，即，所以所以则，

36、所以，当时，方法三：投影法如图，联结，在平面的投影为，记面与面所成的二面角的平面角为，则设，在中，在中，过D作的平行线交于点Q在中，在中，由余弦定理得，当，即，面与面所成的二面角的正弦值最小，最小值为【整体点评】第一问，方法一为常规方法，不过这道题常规方法较为复杂，方法二建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量求解是最简单，也是最优解；方法三利用空间向量加减法则及数量积的定义运算进行证明不常用，不过这道题用这种方法过程也很简单，可以开拓学生的思维.第二问：方法一建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角是最常规的方法，也是最优方法；方法二：利用空间线面关系找到，面与面所成的二面角，并求出

37、其正弦值的最小值，不是很容易找到；方法三：利用面在面上的投影三角形的面积与面积之比即为面与面所成的二面角的余弦值，求出余弦值的最小值，进而求出二面角的正弦值最小，非常好的方法，开阔学生的思维33（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）已知直三棱柱中，侧面为正方形，E，F分别为和的中点，.（1）求三棱锥的体积；（2）已知D为棱上的点，证明：.【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）先证明为等腰直角三角形，然后利用体积公式可得三棱锥的体积；（2）将所给的几何体进行补形，从而把线线垂直的问题转化为证明线面垂直，然后再由线面垂直可得题中的结论.【详解】（1）由于，所以，又ABBB1，故平面，则

38、，为等腰直角三角形，.（2）由（1）的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体，如图所示，取棱的中点，连结，正方形中，为中点，则，又，故平面，而平面，从而.【点睛】求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积对于空间中垂直关系（线线、线面、面面）的证明经常进行等价转化.34（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点，且（1）求；（2）求二面角的正弦值【答案】（1）；（2）【分析】（1）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，设，由已知条件得出，求

39、出的值，即可得出的长；（2）求出平面、的法向量，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果.【详解】（1）方法一：空间坐标系+空间向量法平面，四边形为矩形，不妨以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设，则、，则，则，解得，故；方法二【最优解】：几何法+相似三角形法如图，连结因为底面，且底面，所以又因为，所以平面又平面，所以从而因为，所以所以，于是所以所以 方法三：几何法+三角形面积法如图，联结交于点N由方法二知在矩形中，有，所以，即令，因为M为的中点，则，由，得，解得，所以（2）方法一【最优解】：空间坐标系+空间向量法设平面的法向量为，则，由，取，可得，设

40、平面的法向量为，由，取，可得，所以，因此，二面角的正弦值为.方法二：构造长方体法+等体积法如图，构造长方体，联结，交点记为H，由于，所以平面过H作的垂线，垂足记为G联结，由三垂线定理可知，故为二面角的平面角易证四边形是边长为的正方形，联结，由等积法解得在中，由勾股定理求得所以，即二面角的正弦值为【整体点评】（1）方法一利用空坐标系和空间向量的坐标运算求解；方法二利用线面垂直的判定定理，结合三角形相似进行计算求解，运算简洁，为最优解；方法三主要是在几何证明的基础上，利用三角形等面积方法求得.（2）方法一，利用空间坐标系和空间向量方法计算求解二面角问题是常用的方法，思路清晰，运算简洁，为最优解；方

41、法二采用构造长方体方法+等体积转化法，技巧性较强，需注意进行严格的论证.35（2021年全国新高考II卷数学试题）在四棱锥中，底面是正方形，若（1）证明：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）取的中点为，连接，可证平面，从而得到面面.（2）在平面内，过作，交于，则，建如图所示的空间坐标系，求出平面、平面的法向量后可求二面角的余弦值.【详解】（1）取的中点为，连接.因为，则，而，故.在正方形中，因为，故，故，因为，故，故为直角三角形且，因为，故平面，因为平面，故平面平面.（2）在平面内，过作，交于，则，结合（1）中的平面，故可建如图所示的空间坐标

42、系.则，故.设平面的法向量，则即，取，则，故.而平面的法向量为，故.二面角的平面角为锐角，故其余弦值为.36（2022年新高考全国I卷数学真题）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为(1)求A到平面的距离；(2)设D为的中点，平面平面，求二面角的正弦值【答案】(1)(2)【分析】（1）由等体积法运算即可得解；（2）由面面垂直的性质及判定可得平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.【详解】（1）在直三棱柱中，设点A到平面的距离为h，则，解得，所以点A到平面的距离为；（2）取的中点E,连接AE,如图，因为，所以,又平面平面，平面平面，且平面，所以平面，在直三棱柱中，平面，由平面，平面可得，又

43、平面且相交，所以平面，所以两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，由（1）得，所以，所以，则,所以的中点，则，,设平面的一个法向量，则，可取，设平面的一个法向量，则，可取，则，所以二面角的正弦值为.37（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）如图，四面体中，E为的中点(1)证明：平面平面；(2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值【答案】(1)证明过程见解析(2)与平面所成的角的正弦值为【分析】（1）根据已知关系证明，得到，结合等腰三角形三线合一得到垂直关系，结合面面垂直的判定定理即可证明；（2）根据勾股定理逆用得到，从而建立空间直角坐标系，结合线面角的运算法则进行计

44、算即可.【详解】（1）因为，E为的中点，所以；在和中，因为，所以，所以，又因为E为的中点，所以；又因为平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.（2）连接，由（1）知，平面，因为平面，所以，所以，当时，最小，即的面积最小.因为，所以，又因为，所以是等边三角形，因为E为的中点，所以，因为，所以,在中，所以.以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为，则，取，则，又因为，所以，所以，设与平面所成的角的正弦值为，所以，所以与平面所成的角的正弦值为.38（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）在四棱锥中，底面(1)证明：；(2)求PD与平面所成的角的正弦值【答案】(1)证明

45、见解析；(2).【分析】（1）作于，于，利用勾股定理证明，根据线面垂直的性质可得，从而可得平面，再根据线面垂直的性质即可得证；（2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.【详解】（1）证明：在四边形中，作于，于，因为，所以四边形为等腰梯形，所以，故，所以，所以，因为平面，平面，所以，又，所以平面，又因为平面，所以；（2）解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，则，则，设平面的法向量，则有，可取，则，所以与平面所成角的正弦值为.39（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角

46、形，且它们所在的平面都与平面垂直(1)证明：平面；(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）分别取的中点，连接，由平面知识可知，依题从而可证平面，平面，根据线面垂直的性质定理可知，即可知四边形为平行四边形，于是，最后根据线面平行的判定定理即可证出；（2）再分别取中点，由（1）知，该几何体的体积等于长方体的体积加上四棱锥体积的倍，即可解出【详解】（1）如图所示：分别取的中点，连接，因为为全等的正三角形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，同理可得平面，根据线面垂直的性质定理可知，而，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面（2

47、）方法一：分割法一如图所示：分别取中点，由（1）知，且，同理有，由平面知识可知，所以该几何体的体积等于长方体的体积加上四棱锥体积的倍因为，点到平面的距离即为点到直线的距离，所以该几何体的体积方法二：分割法二如图所示：连接AC,BD,交于O，连接OE,OF,OG,OH.则该几何体的体积等于四棱锥O-EFGH的体积加上三棱锥A-OEH的倍,再加上三棱锥E-OAB的四倍容易求得，OE=OF=OG=OH=8,取EH的中点P，连接AP,OP.则EH垂直平面APO.由图可知，三角形APO,四棱锥O-EFGH与三棱锥E-OAB的高均为EM的长.所以该几何体的体积40（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）如

48、图，四面体中，E为AC的中点(1)证明：平面平面ACD；(2)设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积【答案】(1)证明详见解析(2)【分析】（1）通过证明平面来证得平面平面.（2）首先判断出三角形的面积最小时点的位置，然后求得到平面的距离，从而求得三棱锥的体积.【详解】（1）由于，是的中点，所以.由于，所以，所以，故，由于，平面，所以平面，由于平面，所以平面平面.（2）方法一：判别几何关系依题意，三角形是等边三角形，所以，由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以.，所以，由于，平面，所以平面.由于，所以，由于，所以，所以，所以，由于，所以当最短时，三角形的面积最小过作，垂足为，在中，解

49、得，所以，所以过作，垂足为，则，所以平面，且，所以，所以.方法二：等体积转换， 是边长为2的等边三角形， 连接41（2022年新高考全国II卷数学真题）如图，是三棱锥的高，E是的中点(1)证明：平面；(2)若，求二面角的正弦值【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接并延长交于点，连接、，根据三角形全等得到，再根据直角三角形的性质得到，即可得到为的中点从而得到，即可得证；（2）建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦的绝对值，再根据同角三角函数的基本关系计算可得.【详解】（1）证明：连接并延长交于点，连接、，因为是三棱锥的高，所以平面，平面，所以、，又，所以，即，所以，又

50、，即，所以，所以所以，即，所以为的中点，又为的中点，所以，又平面，平面，所以平面（2）解：过点作，如图建立空间直角坐标系，因为，所以，又，所以，则，所以，所以，所以，则，设平面的法向量为，则，令，则，所以；设平面的法向量为，则，令，则，所以；所以.设二面角的大小为，则，所以，即二面角的正弦值为.42（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）在三棱柱中，底面ABC，到平面的距离为1(1)求证：；(2)若直线与距离为2，求与平面所成角的正弦值【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据线面垂直，面面垂直的判定与性质定理可得平面，再由勾股定理求出为中点，即可得证；（2）利用直角三角形求出的长及点到

51、面的距离，根据线面角定义直接可得正弦值.【详解】（1）如图，底面，面，又，平面，,平面ACC1A1，又平面，平面平面， 过作交于，又平面平面，平面，平面到平面的距离为1，在中，设，则，为直角三角形，且，解得，（2），过B作，交于D，则为中点，由直线与距离为2，所以，在，延长，使，连接，由知四边形为平行四边形，平面，又平面，则在中，在中，,又到平面距离也为1，所以与平面所成角的正弦值为.43（2023年新课标全国卷数学真题）如图，在正四棱柱中，点分别在棱,上，(1)证明：；(2)点在棱上，当二面角为时，求【答案】(1)证明见解析；(2)1【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明；（

52、2）设，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解.【详解】（1）以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，则，又不在同一条直线上，.（2）设，则，设平面的法向量，则，令 ，得，设平面的法向量，则，令 ，得，化简可得，解得或，或，.44（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）如图，在三棱柱中，平面(1)证明：平面平面；(2)设，求四棱锥的高【答案】(1)证明见解析.(2)【分析】(1)由平面得，又因为，可证平面，从而证得平面平面；(2) 过点作，可证四棱锥的高为,由三角形全等可证，从而证得为中点，设，由勾股定理可求出，再由勾股定理即可求.【详解】（1）证明：因为平面，平面,所以,又因为

53、，即，平面，,所以平面，又因为平面,所以平面平面.（2）如图，过点作，垂足为.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以四棱锥的高为.因为平面，平面,所以,又因为，为公共边，所以与全等，所以.设，则，所以为中点，,又因为,所以,即，解得，所以，所以四棱锥的高为45（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）如图，在三棱锥中，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，点F在AC上，.(1)证明：平面；(2)证明：平面平面BEF；(3)求二面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3).【分析】（1）根据给定条件，证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答.（2）由（1）的信息，结合勾股定理的逆定理及线面垂直、面面垂直的判定推理作答.（3）由（2）的信息作出并证明二面角的平面角，再结合三角形重心及余弦定理求解作答.【详解】（1）连接，设，则，则，解得，则为的中点，由分别为的中点，于是，即，则四边形为平行四边形，又平面平面，所以平面.（2）由（1）可知，则，得，因此，则，有，又，平面，则有平面，又平面，所以平面平面.（3）过点作交于点，设，由，得，且，又由（2）知，则为二面角的平面角，因为分别为的中点，因此为的重心，即有，又，即有，解得，同理得，于是，即有，则，从而，在中，于是，所以二面角的正弦值为.