专题8将军饮马模型-【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（全国通用）（解析版）.docx

1、【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题8将军饮马模型解题策略模型1：当两定点A、B在直线l异侧时，在直线l上找一点P，使PAPB最小 连接AB交直线l于点P，点P即为所求作的点PAPB的最小值为AB.模型2：当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得PAPB最小 作点B关于直线l的对称点B，连接AB交直线l于点P，点P即为所求作的点PAPB的最小值为AB模型3：当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得最大 连接AB并延长交直线l于点P，点P即为所求作的点，的最大值为AB模型4：当两定点A、B在直线l异侧时，在直线l上找一点P，使得最大 作点B关于直

2、线I的对称点B，连接AB并延长交直线l于点P，点P即为所求作的点的最大值为AB模型8：当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得最小连接AB，作AB的垂直平分线交直线l于点P，点P即为所求作的点的最小值为0模型6：点P在AOB内部，在OB边上找点D，OA边上找点C，使得PCD周长最小 分别作点P关于OA、OB的对称点P、P，连接PP，交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求PCD周长的最小值为PP模型7：点P在AOB内部，在OB边上找点D，OA边上找点C，使得PDCD最小 作点P关于OB的对称点P，过P作PCOA交OB，PDCD的最小值为PC经典例题【例1】（2022湖南师大附中博

3、才实验中学九年级开学考试）如果有一条直线经过三角形的某个顶点，将三角形分成两个三角形，其中一个三角形与原三角形相似，则称该直线为三角形的“自相似分割线”如图1，在ABC中，AB=AC=1，BAC=108，DE垂直平分AB，且交BC于点D，连接AD(1)证明直线AD是ABC的自相似分割线；(2)如图2，点P为直线DE上一点，当点P运动到什么位置时，PA+PC的值最小？求此时PA+PC的长度(3)如图3，射线CF平分ACB，点Q为射线CF上一点，当AQ+514CQ取最小值时，求QAC的正弦值【答案】(1)直线AD是ABC的自相似分割线；(2)当点P运动到D点时，PA+PC的值最小，此时PA+PC=

4、5+12；(3)QAC的正弦值为5+14【分析】（1）根据定义证明DBAABC即可得证；（2）根据垂直平分线的性质可得PA+PC=PB+PCBC，当点P与D重合时，PA+PC=PB+PC=BC,此时PA+PC最小，设BD=x，则BC=x+1根据DBAABC，列出方程，解方程求解即可求得BD，进而即可求得BC的长，即PA+PC最小值；（3）过点A作AHBC于点H，过点Q作QGBC于点G，连接AG，设CF与AD交于点M，根据已知条件求得GQ=514CQ，进而转化为AQ+514CQ=AQ+GQ，则当Q点落在AG上时，点G与点H重合，此时AQ+514CQ的值最小，最小值为AH，进而根据sinQAC=s

5、inHAC=CHAC求解即可(1)ABC中，AB=AC=1，BAC = 108B =C =12（180-BAC）= 36DE垂直平分ABAD = BDB =BAD = 36C =BAD又B =BDBAABC直线AD是ABC的自相似分割线(2)如图，连接PB，AD，DE垂直平分AB，PA=PBPA+PC=PB+PCBC当点P与D重合时，PA+PC=PB+PC=BC,此时PA+PC最小，ADC=B+BAD=72，DAC=BACBAD=72ADC=DACCD=CA=1设BD=x，则BC=x+1DBAABCBDAB=ABBCx1=1x+1x2+x1=0解得：x=152x0x= 1+52BC=x+1=5

6、+12PA+PC=5+12当点P运动到D点时，PA+PC的值最小，此时PA+PC=5+12；(3)如图，过点A作AHBC于点H，过点Q作QGBC于点G，连接AG，设CF与AD交于点M，AB=AC，CH=12BC=5+14由（2）知，DC=AC=1CF平分ACBCMADDM=AM=12AD=514sinMCD=GQCQ =DMCD=514GQ=514CQAQ+514CQ=AQ+GQAGAGAHQ点落在AG上时，点G与点H重合，即此时AQ+514CQ的值最小，最小值为AHQAC=HACAB=AC,AHBCCH=12BC=5+14sinQAC=sinHAC=CHAC=5+14QAC的正弦值为5+14

7、【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，求角的正弦，垂直平分线的性质，两点之间线段最短，垂线段最短，胡不归问题，转化线段是解题的关键【例2】（2021四川南充一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2bxc经过点A（4，0）、B（0，4）、C其对称轴l交x轴于点D，交直线AB于点F，交抛物线于点E(1)求抛物线的解析式；(2)点P为直线l上的动点，求PBC周长的最小值；(3)点N为直线AB上的一点（点N不与点F重合），在抛物线上是否存在一点M，使以点E、F、N、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由【答案】(1)y=x2+3x+4(2)17+42(3)

8、存在，（52，214）或（4+312，-7+2314）或（4312，-72314）【分析】（1）把点A（4，0）、B（0，4）代入抛物线y=-x2+bx+c中，求得b和c即可；（2）作点B关于直线l的对称轴B，连接BC交l于一点P，点P即为使PBC周长最小的点，由对称可知，PB=PB，即PBC周长的最小值为：BC+CB；（3）设M（m，-m2+3m+4），当EF为边时，则EFMN，则N（m，-m+4），所以NM=EF=154，即|-m2+3m+4-（-m+4）|=154，求出m的值，代入即可；当EF为对角线时，EF的中点为（32，358），由中点坐标公式可求得点N的坐标，再由点N是直线AB上一

9、点，可知-3+m+4=m2-3m+194，解得m的值即可(1)解：把点A（4，0）、B（0，4）代入抛物线y=-x2+bx+c中，得，16+4b+c=0c=4，解得b=3c=4，抛物线的解析式为：y=-x2+3x+4；(2)解：由抛物线解析式可知，对称轴直线l：x=32，点A（4，0），点C（-1，0），如图，作点B关于直线l的对称轴B，连接BC交l于一点P，点P即为使PBC周长最小的点，此时B（3，4），设直线BC的解析式为y=kx+b1，3k+b1=4k+b1=0，解得：k=1b1=1，直线BC的解析式为：y=x+1，把x=32代入得：y=32+1=52，P（32，52），B（0，4），C

10、（-1，0），B（3，4），BC=12+42=17，CB=(3+1)2+42=42，PBC周长的最小值为：17+42；(3)解：存在，以点E、F、N、M为顶点的四边形为平行四边形的点M的坐标为（52，214）或（4+312，-7+2314）或（4312，-72314）理由如下：由抛物线解析式可知，E（32，254），A（4，0）、B（0，4），直线AB的解析式为：y=-x+4，F（32，52）EF=154设M（m，-m2+3m+4），当EF为边时，则EFMN，N（m，-m+4），NM=EF=154，即|-m2+3m+4-（-m+4）|=154，解得m=32（舍）或52或4+312或4312，M

11、（52，214）或（4+312，-7+2314）或（4312，-72314）当EF为对角线时，EF的中点为（32，358），点N的坐标为（3-m，m2-3m+194），-3+m+4=m2-3m+194，解得m=32（舍），m=52，M（52，214）综上，满足以点E、F、N、M为顶点的四边形为平行四边形的点M的坐标为（52，214）或（4+312，-7+2314）或（4312，-72314）【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形存在性问题，解题过程中注意需要分类讨论【例3】（2022浙江衢州模拟预测）如图，O是ABC的外接圆，AB为直径，弦AD平分BAC，过点D作射线AC的垂

12、线，垂足为M，点E为线段AB上的动点(1)求证：MD是O的切线；(2)若B30，AB8，在点E运动过程中，EC+EM是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，说明理由；(3)若点E恰好运动到ACB的角平分线上，连接CE并延长，交O于点F，交AD于点P，连接AF，CP3，EF4，求AF的长【答案】(1)证明见解析(2)存在，EC+EM的最小值为219，理由见解析(3)6【分析】（1）连接OD，交BC于点N，通过证明四边形CNDM为矩形得出ODMD，利用切线的判定定理即可得出结论（2）过点C作CFAB，并延长交O于点F，连接MF，交AB于点E，连接EC，利用将军饮马模型可知此时EC+EM的值

13、最小，由题意可得FD为圆的直径，在RtFDM中，利用勾股定理即可求得结论（3）利用角平分线的定义和三角形的外角的性质可以判定FAP为等腰三角形，证明FAEFCA.，利用相似三角形的性质得出比例式，解关于AF的方程即可得出结论(1)解：如图，连接OD，交BC于点N，AB为直径ACB=90.BCM=90.弦AD平分BAC，CD=BDONBC.DMAC,四边形CNDM为矩形ODMD.OD为圆的半径 MD是O的切线(2)解：在点E运动过程中，EC+EM存在最小值，理由如下：过点C作CFAB，并延长交O于点F，连接MF，交AB于点E，连接EC，则此时EC+EM的值最小B=30,ACB=90,CAB=60

14、.弦AD平分BAC，CAD=DAB=30. CD与BD的度数为60AB是直径AC=CD=BDABCD，AB是直径AC=AF.AF+AC+CD=180FAD为半圆FD为圆的直径由（1）知：MD是O的切线FDMD.由题意得：AB垂直平分FCEC=EF.EC+EM=EF+EM=FMCFD=DAB,DAB=30CFD=30.AB=8,FD=8.由（1）知：四边形CNDM为矩形MD=NC.ONBCCN=12BC.在RtACB中sinCAB=BCAB,BC=ABsin60=832=43.MD=CN=12BC=23.在RtFDM中MF=DF2+MD2=82+(23)2=219 EC+EM的最小值为MF=21

15、9(3)解：如图FC平分ACB，ACB=90,ACF=BCF=45BAF=BCF=45 AD平分BAC，CAD=BADPAF=BAD+BAF,APF=ACF+CAD,PAF=APF,AF=FP.FC=FP+CP=AF+3.FAB=ACF=45,F=F,FAEFCA.FAFC=FEFA.FA2=FEFC=4(AF+3).AF24AF12=0.解得AF=6或AF=2（不合题意，舍去）AF=6.【点睛】本题是一道圆的综合题，此题考查了圆的切线的判定与性质，圆周角定理及其推论，轴对称的性质，角平分线的定义，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，特殊角的三角函数值，连接半径OD和利用轴对称中的将军饮马模

16、型找出EC+EM存在最小值是解题的关键【例4】（2022重庆巴蜀中学七年级期末）在RtABC中，ABBC，在RtCEH中，CEH45，ECH90，连接AE(1)如图1，若点E在CB延长线上，连接AH，且AH6，求AE的长；(2)如图2，若点E在AC上，F为AE的中点，连接BF、BH，当BH2BF，EHB+12HBF45时，求证：AECE；(3)如图3，若点E在线段AC上运动，取AE的中点F，作FHBC交AB于H，连接BE并延长到D，使得BEDE，连接AD、CD；在线段BC上取一点G，使得CGAF，并连接EG；若点E在线段AC上运动的过程中，当ACD的周长取得最小值时，AED的面积为25，请直接

17、写出GE+BH的值【答案】(1)AE6(2)见解析(3)GE+BH15+5102【分析】（1）在RtABC中，由ABBC得BACACB45，从而得ACEACH，再找CECH，进而证明ACEACH，即可得AEAH6；（2）连接BE，设BH与AC交于点G，可证得ABFCBG，从而得出BG=BF，BH2BG，进而得出EGHCGB，进一步得出结果；（3）作DN/AC作点A的对称点A，连接AC交DN于D，连接BD，交AC与E，则当点D在D处，点E在点E处时，ACD的周长最小，进而求得ACD为等腰直角三角形，进而求得AF， AH和EG，进一步得出结果（1）解：在RtABC中，ABBC，BACACB45，E

18、CH90，ACH45，ACEACH，在RtCEH中，CEH45，CHE45，CECH，ACAC，ACEACH（SAS），AEAH6；（2）证明：如图1，连接BE，设BH与AC交于点G，BCE=CEH=45，EH/BC，EHB=CBG，ABC90，12CBG+12HBF+12ABF=45，EHB+12HBF45，EHB=12CBG +12ABF，CBG =ABF，ABAC，AACB45，ABFCBG（ASA），BGBF，BH2BF，BH2BG，HEGBCG45，EGHCGB，EGHCGB（AAS），EGCG，四边形EBCH是平行四边形，BE/CH，BEGECH90，AECE；（3）解：如图2，作

19、DNAC，作点A关于直线DN的对称点A，连接AC交DN于D，连接BD，交AC与E，则当点D在D处，点E在点E处时，ACD的周长最小，此时ACD为等腰直角三角形，SADE12AE225，AE52，AC2AE102，ABBC22AC10，AF12AE522，HFAH22AF52 ，BH1052152，AFCG，BAFBCA45，ABCE，ABFCEG（SAS），BFEG，EGBFBH2+FH2(152)2+(52)25210，GE+BH15+5102【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，轴对称性质以及勾股定理等知识，熟练掌握“将军饮马”等模型是解决问题的关键【例5】（202

20、2江苏九年级课时练习）如图，四边形ABCD中，ADBC，B90，AB8，BC20，AD18，点Q为BC中点，动点P在线段AD边上以每秒2个单位的速度由点A向点D运动，设动点P的运动时间为t秒(1)当t为何值时，四边形PBQD是平行四边形，请说明理由?(2)在AD边上是否存在一点R，使得B、Q、R、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出t的值：若不存在，请说明理由(3)在线段PD上有一点M，且PM10，当点P从点A向右运动_秒时，四边形BCMP的周长最小，其最小值为_【答案】(1)4(2)存在，t=3(3)52；289+30【分析】（1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定方

21、法，得到PD=BQ=10，列出一元一次方程求解即可；（2）利用菱形的判定，由一组邻边相等的平行四边形是菱形，得到PB=PR=10，再利用勾股定理建立方程求解即可；（3）先确定四边形BCMP的周长等于30+QM+CM，再利用轴对称的知识和两点之间线段最短的知识确定QM+CM的最小值即可得到周长最小值，最后求出AP的长即可得到P点运动时间（1）解：连接BP、DQ，BC20，点Q为BC中点，BQ=CQ=10，要使四边形PBQD是平行四边形，则PD=BQ=10，182t=10，t=4，此时，PD=BQ且PDBQ，则四边形PBQD是平行四边形，当t为4时，四边形PBQD是平行四边形（2）存在，t=3；假

22、设R点在图中所示位置，则连接BP、QR，要使得B、Q、R、P四点为顶点的四边形是菱形，则有PB=PR=10，在RtABP中，82+2t2=102，t=3，t=3（舍去），此时AR=23+10=16，符合题意；在AD边上存在一点R，使得B、Q、R、P四点为顶点的四边形是菱形，且t=3（3）52；289+30如图，连接BP、QM，因为PM=10，PM=BQ且PMBQ，四边形PBQM是平行四边形，PB=QM，四边形BCMP的周长=PM+PB+BC+CM =10+QM+20+CM =30+QM+CM，当QM+CM的值最小时，四边形BCMP的周长最小，作Q点关于AD的对称点G，连接CG，则QG=2QE=

23、16，四边形ABQE是矩形，AE=BQ=10，AB=EQ=8，当C、M、G三点共线时（即M点位于图中的F点处），QM+CM的值最小等于CG，RtGQC中，CG=QG2+QC2=162+102=289，此时，四边形BCMP的周长最小值为289+30，E点为QG中点，EFQC，EF=12QC=5，AF=15，AP=15-10=5,t=52当点P从点A向右运动52秒时，四边形BCMP的周长最小，其最小值为289+30故答案为：52；289+30【点睛】本题考查了动点问题，涉及到了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理解三角形、“将军饮马”问题、一元一次方程的应用、解一元二次方程等，解题关

24、键是能正确建立方程，以及能确定最短路径培优训练1（2022江苏八年级专题练习）如图，在ABC中，ABAC，AD是ABC底边BC上的中线，点P为线段AB上一点（1）在AD上找一点E，使得PE+EB的值最小；（2）若点P为AB的中点，当BPE满足什么条件时，ABC是等边三角形，并说明理由【答案】（1）见解析；（2）BPE=90，理由见解析【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可知AD垂直平分BC，再根据两点间线段最短的性质，连接CP交AD于点E，并连接BE，即可得解；（2）因为P为AB的中点，要使ABC是等边三角形，则需BC=AB，根据等腰三角形三线合一的性质，所以CPAB，即BPE=90【详

25、解】解：（1）如图，连接CP交AB于点E，则点E为所求；（2）BPE=90 ，理由如下： BPE=90CPAB，点P为AB的中点，CP垂直平分AB CA=CBAB=ACAB=AC=BCABC是等边三角形【点睛】本题主要考查等腰三角形三线合一的性质以及对称、两点间线段最短、线段中垂线定理，熟练掌握这些性质定理是解决本题的关键2（2021全国八年级专题练习）如图所示，在平面直角坐标系中，已知一次函数y=12x+1的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内作正方形ABCD（1）求边AB的长；（2）求点C，D的坐标；（3）在x轴上是否存在点M，使MDB的周长最小？若存在，请求出点M的

26、坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）AB=5；（2）C（1，3），D（3，2）；（3）M（1，0）【分析】（1）分别求出点A、B坐标，根据勾股定理即可求出AB；（2）作CEy轴，DFx轴，垂足分别为E、F，证明BCEDAFABO，得到BE=DF=OA=2，CE=AF=OB=1，进而得到OE=3，OF= 3，即可求出点C、D坐标；（3）连接BD，作点B关于x轴的对称点B，连接BD，与x轴交于点M，此时BMD周长最小，求出直线BD的解析式为y=x1，令y=0，即可求出点M坐标【详解】解：（1）由一次函数y=12x+1得，令x=0，得到y=1；令y=0，得到x=2，A（2，0），B（0，1），在

27、RtAOB中，OA=2，OB=1，根据勾股定理得：AB=OA2+OB2=22+12=5；（2）如图，作CEy轴，DFx轴，垂足分别为E、F，CEB=AFD=AOB=90，DAF+ADF=90，BAO+ABO=90，四边形ABCD是正方形，BC=AB=AD，DAB=ABC=90，DAF+BAO=90，ABO+CBE=90，BAO=ADF=CBE，BCEDAFABO，BE=DF=OA=2，CE=AF=OB=1，OE=OB+BE=2+1=3，OF=OA+AF=2+1=3，C（1，3），D（3，2）；（3）如图，连接BD，BD为定值，作点B关于x轴的对称点B，连接BD，与x轴交于点M，此时BMD周长最

28、小，B坐标为（0，1），B坐标为（0，1），设直线BD的解析式为y=kx+b，把B与D坐标代入得：3k+b=2b=1，解得：k=1b=1，即直线BD的解析式为y=x1，令y=0，得到x=1，点M坐标为（1，0）【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，待定系数法求函数解析式，将军饮马求最短距离问题，综合性较强，根据题意添加辅助线，求出点C、D坐标是解题关键3（2022江苏八年级专题练习）已知RtABC中C90，且BC9，B30（1）如图1、2，若点D是CB上一点，且CD3，点E是AB上的动点，将DBE沿DE对折，点B的对应点为B（点B和点C在直线AB的异侧），DB与AB交于点H当BEA20时，

29、求EDB的度数当BHE是等腰三角形时，求DEB的度数（2）如图2，若点D是CB上一点，且CD3，M是线段AC上的动点，以MDN为直角构造等腰直角DMN（D，M，N三点顺时针方向排列），在点M的运动过程中，直接写出CN+NB的最小值【答案】（1）50；105或127.5；（2）313【分析】（1）由题意利用翻折变换的性质求出DEB，可得结论；根据题意分三种情形，利用翻折变换的性质分别求出DEB即可；（2）根据题意连接CN，BN，过点N作直线lAC，BTCB于点T，作点C关于直线l的对称点Q，连接BQ证明DCMNTD（AAS），推出CDNT3，推出点N在直线l上运动，由C，Q关于直线l对称，推出N

30、CNQ，CQ2NT6，根据CN+BNNQ+BNBQ，求出BQ，可得结论【详解】解：（1）当BEA20时，由翻折的性质可知，DEBDEB12 360（18020）100，EDB180DEBB1801003050；（2）当HBHE时，BBAEB30，DEBDEB12 360（18030）105；当BHBE时，AEBBHE12（18030）75，DEBDEB12 360（18075）127.5，当EBHE时，AEB1803030120，DEBDEB12 360（180120）150（舍弃），综上所述，DEB为105或127.5；（3）如图3中，连接CN，BN，过点N作直线lAC，NTCB于点T，作点

31、C关于直线l的对称点Q，连接BQDCMMDNDTN90，CDM+TDN90，TDN+TND90，CDMDNT，在DCM和NTD中，DCM=NTDCDM=DNTDM=ND，DCMNTD（AAS），CDNT3，点N在直线l上运动，C，Q关于直线l对称，NCNQ，CQ2NT6，CN+BNNQ+BNBQ，BQBC2+CQ292+62313，CN+BN313，CN+BN的最小值为313【点睛】本题属于三角形综合题，考查翻折变换和三角形内角和定理和全等三角形的判定和性质以及两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题4（2021湖北武汉八年级期中）如图，在RtABC中，ACB90，ABC

32、30，AC2，以BC为边向左作等边BCE，点D为AB中点，连接CD，点P、Q分别为CE、CD上的动点（1）求证：ADC为等边三角形；（2）求PD+PQ+QE的最小值【答案】（1）证明见解析；（2）4【分析】（1）先根据直角三角形的性质可得BAC=60,AD=CD，再根据等边三角形的判定即可得证；（2）连接PA,QB，先根据等边三角形的性质可得ACE=12ACD，再根据等腰三角形的三线合一可得CE垂直平分AD，然后根据线段垂直平分线的性质可得PA=PD，同样的方法可得QB=QE，从而可得PD+PQ+QE=PA+PQ+QB，最后根据两点之间线段最短即可得出答案【详解】证明：（1）在RtABC中，A

33、CB=90,ABC=30,AC=2，BAC=60,AB=2AC=4，点D是RtABC斜边AB的中点，AD=AC=2，ADC是等边三角形；（2）如图，连接PA,QB，BCE和ADC都是等边三角形，BCE=60，ACD=60，ACE=ACBBCE=30=12ACD，CE垂直平分AD，PA=PD，同理可得：CD垂直平分BE，QB=QE，PD+PQ+QE=PA+PQ+QB，由两点之间线段最短可知，当点A,P,Q,B共线时，PA+PQ+QB取得最小值AB，故PD+PQ+QE的最小值为4【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、含30角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握等边三角形的性质是解题关键5（20

34、22江苏八年级专题练习）如图，在ABC中，已知AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE（1）若ABC=68，求AED的度数；（2）若点P为直线DE上一点，AB=8,BC=6，求PBC周长的最小值【答案】（1）46；（2）14【分析】（1）利用三角形的内角和及等腰三角形的性质求得A的度数，继而求得AED；（2）利用最短路线模型计算即可；【详解】解：（1）AB=AC，C=ABC=68，A=1806868=44，DE垂直平分AB，ADE=90，AED=9044=46； （2）当点P与点E重合时，PBC的周长最小，理由：PB+PC=PA+PCAC，当点P与点E重合时，PA+PC

35、=AC，此时PB+PC最小值等于AC的长，PBC的周长最小值为=AC+BC=8+6=14【点睛】本题考查了最短路线问题问题以及等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟记性质是解题的关键6（2021江苏星海实验中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l平行于x轴，l上有两点A、B，且点A坐标为（14，8），点B位于A点右侧，两点相距8个单位，动点P、Q分别从A、B出发，沿直线l向右运动，点P速度为2个单位/秒，点Q速度为6个单位/秒，设运动时间为t秒（1）用含t的代数式表示P、Q的坐标：P（ _ ），Q（ _ ）；（2）在P、Q运动过程中，取线段PQ的中点D，当OBD为直角三角形时，求出

36、t的值及相应的点D的坐标；（3）取满足（2）中条件最右侧的D点，若坐标系中存在另一点E（133，4），请问x轴上是否存在一点F，使FDFE的值最大，若存在，求出最大值；若不存在，说明理由【答案】（1）142t，8；66t，8；（2）当OBD为直角三角形时，t=2.5，点D的坐标为（0，8）或者t=316，点D的坐标为（323，8）；（3）x轴上存在一点F，使FDFE的值最大，最大值为241【分析】（1）根据点A坐标为（ 14，8），点B位于A点右侧，两点相距8个单位可得点B的坐标，进而可得点P、Q的坐标；（2）先表示出中点D的坐标，再根据OBD为直角三角形画出相应图形逐个求解即可；（3）作点E

37、关于x轴的对称点E1，连接DE1并延长，交x轴于点F，连接EF，先利用两点之间线段最短证明FDFE取得最大值，最大值为线段DE1的长，再利用两点间的距离公式计算即可求得答案【详解】解：（1）点A坐标为（ 14，8），点B位于A点右侧，两点相距8个单位，点B的坐标为（6，8），动点P、Q分别从A、B出发，沿直线l向右运动，点P速度为2个单位/秒，点Q速度为6个单位/秒，设运动时间为t秒，点P、Q的坐标分别为P（ 142t，8），Q（66t，8），故答案为：142t，8；66t，8；（2）由（1）可得：点P、Q的坐标分别为P（ 142t，8），Q（66t，8），线段PQ的中点D的坐标为（14+2t

38、6+6t2，8），即D（10+4t，8），点D在直线l上，OBD不可能是直角如图，当BDO90时，点D位于点D1处，此时点D的坐标为（0，8），则10+4t=0，解得：t=2.5；当BOD90时，点D位于点D2处，则OB2+OD2=BD2，点O（0，0），B（6，8），D（10+4t，8），(62+82)+(10+4t)2+82=(10+4t+6)2+02，解得：t=316，10+4t=10+4316=323，此时点D的坐标为（323，8），综上所述：当OBD为直角三角形时，t=2.5，点D的坐标为（0，8）或者t=316，点D的坐标为（323，8）；（3）如图，作点E关于x轴的对称点E1，连

39、接DE1并延长，交x轴于点F，连接EF，点E与点E1关于x轴对称，点F在x轴上，FEFE1，当点F、D、E1在同一直线上时，则FDFEFDFE1DE1，当点F、D、E1不在同一直线上时，则FDFEFDFE1DE1，当点F、D、E1在同一直线上时，FDFE取得最大值，最大值为线段DE1的长，点E与点E1关于x轴对称，点E（133，4），点E1（133，4），又点D的坐标为（323，8），DE1=323(133)2+(84)2=152+42=225+16=241，x轴上存在一点F，使FDFE的值最大，最大值为241【点睛】本题考查了平面直角坐标系与直角三角形以及轴对称的性质，理清题意并能熟练运用勾

40、股定理是解决本题的关键7（2021全国九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y33x2233x3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上（1）求直线AE的解析式；（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE当PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KMMNNK的最小值；（3）点G是线段CE的中点，将抛物线y33x2233x3沿x轴正方向平移得到新抛物线y，y经过点D，y的顶点为点F在新抛物线y的对称轴上，是否存在一点Q，使得FGQ为等腰三角形？若存在，

41、直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）y33x33；（2）3，（3）存在，点Q的坐标为（3，43+2213），Q（3，432213）或（3，23）或（3，235）【详解】试题解析：（1）yx2x，y（x1）（x3）A（1，0），B（3，0）当x4时，yE（4，）设直线AE的解析式为ykxb，将点A和点E的坐标代入得：，解得：k，b直线AE的解析式为yx（2）设直线CE的解析式为ymx，将点E的坐标代入得：4m，解得：m直线CE的解析式为yx过点P作PFy轴，交CE与点F设点P的坐标为（x，x2x），则点F（x，x），则FP（x）（x2x）x2xEPC的面积（x2x）4x2x当x

42、2时，EPC的面积最大P（2，）如图2所示：作点K关于CD和CP的对称点G、H，连接G、H交CD和CP与N、MK是CB的中点，k（，）点H与点K关于CP对称，点H的坐标为（，）点G与点K关于CD对称，点G（0，0）KMMNNKMHMNGN当点O、N、M、H在条直线上时，KMMNNK有最小值，最小值GHGH3.KMMNNK的最小值为3.（3）如图3所示：y经过点D，y的顶点为点F，点F（3，）点G为CE的中点，G（2，）FG当FGFQ时，点Q（3，），Q（3，）当GFGQ时，点F与点Q关于y对称，点Q（3，2）当QGQF时，设点Q1的坐标为（3，a）由两点间的距离公式可知：a，解得：a点Q1的坐

43、标为（3，）综上所述，点Q的坐标为（3，），Q（3，）或（3，2）或（3，）8（2021四川省成都市七中育才学校八年级开学考试）以BC为斜边在它的同侧作RtDBC和RtABC，其中AD90，ABAC，AC、BD交于点P（1）如图1，BP平分ABC，求证：BCAB+AP；（2）如图2，过点A作AEBP，分别交BP、BC于点E、点F，连接AD，过A作AGAD，交BD于点G，连接CG，交AF于点H，求证：ABGADC；求证：GHCH；（3）如图3，点M为边AB的中点，点Q是边BC上一动点，连接MQ，将线段MQ绕点M逆时针旋转90得到线段MK，连接PK、CK，当DBC15，AP2时，请直接写出PK+C

44、K的最小值【答案】（1）见解析；（2）见解析；见解析；（3）PK+CK的最小值为4【分析】（1）过点P作PTBC于点T，根据等腰直角三角形和角平分线的性质可得AP=PT=TC，证明RtABPRtTBP（HL），可得AB=TB，由BC=TB+TC，等量代换即可得出结论；（2）根据同角的余角相等得BAG=CAD，根据等角的余角相等得PBA=PCD，利用“ASA”即可得ABGACD（ASA）；过点C作CRAF交AF延长线于点R，首先证明ABECAR（AAS），由全等三角形的性质得AE=CR，再由ABGACD（ASA），得AG=AD，根据等腰直角三角形的性质得AE=GE=DE，等量代换得CR=GE，然

45、后证明EHGRHC（AAS），即可得出结论；（3）过点A作AOBC于点O，连接OM，BK，先证MBQMOK（SAS），得MBQ=MOK=45，可得点K在OA所在的直线上移动，则PK+CK=PK+BKBP，可得出当且仅当B，K，P三点共线时PK+CK取得最小值，然后根据含30直角三角形的性质即可求解【详解】（1）证明：过点P作PTBC于点T，A90，ABAC，ABCACB45，PTBC，PTC90，TPCTCP45，TPTC，BP平分ABC，PAAB，PTBC，PAPT，TCPA，在RtABP和RtTBP中，BP=BPPA=PT，RtABPRtTBP（HL），ABTB，BCTB+TC，BCAB+

46、AP；（2）证明：AGAD，GAD90，BAC90，BACGACGADGAC，BAGCAD，BACBDC90，PBA+APBPCD+DPC90，APBDPC，ABGACD，在ABG和ACD中，BAG=CADAB=ACABG=ACD，ABGACD（ASA）；证明：过点C作CRAF交AF延长线于点R，AFBP，CRAF，AEBCRA90，ABE+BAE90，BAE+CAR90，ABECAR，在ABE和CAR中，ABE=CARAEB=CRAAB=CA，ABECAR（AAS），AECR，ABGACD（ASA），AGAD，AEDG，AEGEDE，CRGE，在EHG和RHC中，EHG=EHCGEH=CRH

47、GE=CR，EHGRHC（AAS），GHCH；（3）解：过点A作AOBC于点O，连接OM，BK，ABAC，BAC90，AOBC，AOBOCO，点M是AB的中点，OMBMAM，OMAB，OAMOBM45，OMB90，线段MQ绕点M逆时针旋转90得到线段MK，MQMK，QMK90，OMBQMK，OMBOMQQMKOMQ，BMQOMK，在MBQ和MOK中，MB=MOBMQ=OMKMQ=MK，MBQMOK（SAS），MBQMOK45，点K在OA所在的直线上移动，OA垂直平分BC，CKBK，PK+CKPK+BKBP，当且仅当B，K，P三点共线时PK+CK取得最小值，ABC45，DBC15，ABPABCD

48、BC30，在RtBAP中，BAP90，ABP30，AP2，BP2AP4，PK+CK的最小值为4【点睛】本题是三角形综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形和直角三角形解决问题，属于中考常考题型9（2021广东岭南画派纪念中学八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线y12x2分别与x、y轴交于A、C两点，点B（1，0）在x轴上（1）求直线BC的解析式；（2）若点C关于原点的对称点为C，问在AB的垂直平分线上是否存在一点G，使得GBC的周长最小？若存在，求出点G的坐标和最小周

49、长；若不存在，请说明理由（3）设点P是直线BC上异于点B、C的一个动点，过点P作PQx轴交直线AC于点Q，过点Q作QMx轴于点M，再过点P作PNx轴于点N，得到矩形PQMN，在点P的运动过程中，当矩形PQMN为正方形时，求该正方形的边长【答案】（1）y=2x2；（2）存在，G(32,54)，CGBC=35；（3）107或103【分析】（1）由y=12x2可求得，A(4,0)，C(0,2)，结合B(1,0)，即可求得直线BC的解析式；（2）由CGBC=GB+BC+GC可知当A、G、C三点共线时，GBC的周长取得最小值，分别在RtAOC和RtBOC利用勾股定理计算相关线段即可得到周长最小值的数值，

50、此时点G横坐标为xG=4+12=32，通过计算得到直线AC表达式，代入求解即可（3）设正方形的变成为t,则用t表示出P、Q、M、N四点坐标，由MN=t，分两种情况，列式计算即可【详解】解：（1）y=12x2分别与x、y轴交于A、C两点，令x=0，得y=2 ，即C(0,2)，令y=0，得x=4，即A(4,0)，设直线BC的解析式为：y=kx+b(k0），将B(1,0),C(0,2),代入y=kx+b(k0）中，得：0=k+bb=2，解得：k=2b=2.直线BC的解析式为：y=2x2，（2）存在，理由如下：据题意，作图如下：点C与点C关于原点对称，且C(0,2),C(0,2),CGBC=GB+BC

51、+GC,BC 为定长，当GB+GC取得最小值时，GBC的周长取得最小值，即当A、G、C三点共线时，GB+GC取得最小值作图如下：设线段AC所在的直线函数表达式为：y=mx+n(n0）， 将点A(4,0)，C(0,2)代入，得：4m+n=0n=2，解得：m=12n=2线段AC所在的直线函数表达式为：y=12x+2，点G为线段AB垂直平分线上的点，点G的横坐标为：xG=4+12=32，点G的纵坐标为：yG=12(32)+2=54，G(32,54)又点G为线段AB垂直平分线上，GA=GB，GB+GC=GA+GC=AC，在RtAOC中，AO=4,OC=2，AC2=AO2+OC2=16+4=20，AC0

52、，AC=25，在RtBOC中，OB=1,OC=2，BC2=OB2+OC2=1+4=5，BC0，BC=5，CGBC=AC+BC=25+5=35（3）当点P在线段BC之间时，存在正方形PQMN，如下图：设正方形的边长为t，点P在直线BC上，点Q在直线AC上，点P(2t2,t)，点Q(2t4,t)，点N(2t2,0),点M(2t4,0)，MN=t，即2t+4+2t2=t，解得：t=107 当点P在直线BC的左下方时，存在正方形PQMN，如下图：同理可得：N(2t2,0)，M(2t4,0)，此时：2t42t2=t，解得：t=103，综上所述，正方形PQMN的边长为107或103【点睛】本题考查一次函数

53、综合，一次函数解析式求法，勾股定理等，灵活应用知识点解题是关键10（2021陕西宝鸡九年级期中）问题提出（1）在图1中作出点B关于直线AC的对称点B问题探究（2）如图2，在ABC中，AB=AC=6，BAC=120，D为AC的中点，P为线段BC上一点，求AP+DP的最小值.问题解决（3）如图3，四边形ABCD为小区绿化区，DA=DC，ADC=90，AB=6+63，BC=12，B=30，AC是以D为圆心，DA为半径的圆弧.现在规划在AC，边BC和边AC上分别取一点P，E，F，使得DP+PE+EF+PF为这一区域小路，求小路长度的最小值.【答案】（1）见解析；（2）33；（3）65+23【分析】（1

54、）根据对称性即可作图；（2）作点A关于BC的对称点A，连接AD交BC于点P，此时AP+DP值最小，连接AC，根据图形的特点及等边三角形的性质即可求解；（3）因为DP为定值，所以即求PE+EF+FP的最小值，连接DP，BP，分别以AB，BC所在的直线为对称轴作点p的对称点P1，P2，连接P1P2，此时PE+EF+FP的值最小，即为P1P2长，根据图形的特点、等边三角形的性质与勾股定理即可求解【详解】解：（1）如图1所示，点B即为所求.（2）如图2，作点A关于BC的对称点A，连接AD交BC于点P，此时AP+DP值最小，连接AC.BAC=120，AAC=60.AA垂直平分BC，AAC为等边三角形.点

55、D为中点，ADAC，AP+DP=AD=33.（3）要求DP+PE+EF+FP的最小值，因为DP为定值，所以即求PE+EF+FP的最小值.如图，连接DP，BP，分别以AB，BC所在的直线为对称轴作点p的对称点P1，P2，连接P1P2，此时PE+EF+FP的值最小，即为P1P2长.ABC=30，P1BP2=60，P1BP2为等边三角形，即P1P2=BP1.BP1=BP=BP2，P1P2=BP，DP+PE+EF+FP的最小值为DP+BP.当D，P，B三点共线时值最小，由题知BC=12，AB=6+63，ABC=30，AD=DC=6，DB=62+(6+63)2=65+23【点睛】此题主要考查轴对称的应用

56、，解题的关键是熟知对称性、等边三角形的性质及勾股定理的运用11（2021全国九年级专题练习）已知在RtOAB中，OAB=90，ABO=30，OB=4，将RtOAB绕点O顺时针旋转60，得到ODC，点D在BO上，连接BC（1）如图，求线段BC的长；（2）如图，连接AC，作OPAC，垂足为P，求OP的长度；（3）如图，点M是线段OC的中点，点N是线段OB上的动点（不与点O重合），求CMN周长的最小值【答案】（1）BC=4；（2）OP=2217；（3）CMN周长的最小值为27+2【分析】（1）根据旋转的性质以及旋转角度，可以得出BOC是等边三角形，所以BC=OB=OC=4（2）由三角函数以及勾股定理

57、，可以得出OA、AB、BC以及AC的长度，算出SAOC的面积，根据等面积法，求出OP的长度即可（3）连接BM，AM，连接AC交OB于点N，证明BAOBMO，所以得到AB=BM，OA=OM，BO垂直平分AM，即点M关于直线BO的对称点为点A，所以当CN+MN取最小值时，CMN周长最小，即当点A、N、C三点共线时，CMN的周长取得最小值，为AC+MC的值，求出结果即可【详解】解：（1）由旋转性质可知：OB=OC，BOC=60BOC是等边三角形BC=OB=OC=4（2）OB=4，ABO=30OA=12OB=2，AB=3OA=23SAOC=12OAAB=12223=23BOC是等边三角形OBC=60，

58、ABC=ABO+OBC=90AC=AB2+BC2=27SAOC=12ACOP，OP=2SAOCAC=4327=2217（3）如解图，连接BM，AM，连接AC交OB于点NOBC为等边三角形，点M为OC的中点BMOC，即BMO=90在RtAOB中，BAO=90，ABO=30BOA=60BOC=60，BOA=BOM在BAO和BMO中BAO=BMO=90BOA=BOMBO=BOBAOBMO(AAS)AB=BM，OA=OMBO垂直平分AM，即点M关于直线BO的对称点为点ACMN的周长为CM+MN+CN，CM为定值当CN+MN取最小值时，CMN周长最小即当点A、N、C三点共线时，CMN的周长取得最小值，为

59、AC+MC点M是OC的中点，MC=12OC=2AC+MC=27+2CMN周长的最小值为27+2【点睛】本题主要考查了三角形旋转，勾股定理，以及最短路径的作图，能够熟悉旋转的性质、熟练等面积法的运用和最短路径的作图是解决本题的关键12（2021全国九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，A0,2、B2,0、C2,2，点E、F分别是直线AB和x轴上的动点，求CEF周长的最小值【答案】CEF周长的最小值为210【分析】分别作点C关于x轴、直线AB的对称点C、C，连接CC，分别交x轴、直线AB于点F、E，由对称AC性质可得CF=CF，CE=CE，此时CEF的周长为CF+EF+CE=CF+EF+CE=

60、CC【详解】如图，分别作点C关于x轴、直线AB的对称点C、C，连接CC，分别交x轴、直线AB于点F、E，由对称AC性质可得CF=CF，CE=CE，此时CEF的周长为CF+EF+CE=CF+EF+CE=CC此时CEF的周长最小，最小值为CC的长A0,2、B2,0，OA=OB，BAO=45C2,2，C2,2，C0,4过点C作CHy轴于点H，CH=2,，CH=6CC=CH2+CH2=210CEF周长的最小值为210【点睛】本题考查轴对称-最短问题、坐标与图形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用轴对称正确找到点C的位置13（2021全国九年级专题练习）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A1,

61、0、B两点，与y轴交于点C0,3（1）求抛物线的解析式；（2）如图，连接BC，点P是抛物线在第四象限上一点，连接PB，PC，求BCP面积的最大值；（3）如图，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线对称轴的对称点为点E，连接DE将抛物线沿x轴向右平移t个单位，点A，B的对应点分别为A、B，连接AD、BE，当四边形ADEB的周长取最小值时，求t的值【答案】（1）y=x22x3；（2）当m=32时，SBCP取得最大值，最大值为278；（3）t=27【分析】（1）根据点A、C的坐标，利用待定系数法即可得；（2）先利用抛物线的解析式求出点B的坐标，再利用待定系数法求出直线BC的解析式，设Pm,m22m3，从

62、而可得Qm,m3，然后利用三角形的面积公式可得SBCP的表达式，最后利用二次函数的性质求最值即可；（3）先求出顶点D的坐标，再根据点坐标、对称性分别求出点E的坐标、DE、AB的长，然后根据平行四边形的判定与性质、轴对称的性质得出AD=BD=BD，又根据两点之间线段最短得出当B、E、D三点共线时，BD+BE取最小值DE，从而得出此时四边形ADEB的周长最小，最后利用待定系数法求出直线DE的解析式，从而得出点B的坐标，据此即可得出答案【详解】（1）将A1,0，C0,3代入抛物线解析式，得1b+c=0c=3，解得b=2c=3，故抛物线的解析式为y=x22x3；（2）如解图，过点P作x轴的垂线，交BC

63、于点Q，抛物线的解析式为y=x22x3，令y=0，则x22x3=0，解得x1=1，x2=3，B3,0，设直线BC的解析式为y=kx+n，将点B3,0，C0,3代入y=kx+n得3k+n=0n=3，解得k=1n=3，则直线BC的解析式为y=x3，设Pm,m22m3，则Qm,m3，PQ=3mm2，且0m3，SBCP=1233mm2=32m322+278，在0m3范围内，当m=32时，SBCP取得最大值，最大值为278；（3）抛物线的解析式为y=x22x3=x124，D1,4，点C和点E关于抛物线的对称轴x=1对称，E2,3，DE=(21)2+(3+4)2=2，A1,0，B3,0，AB=3(1)=4

64、，由平移的性质得：AB=AB=4，如解图，将点D向右平移4个单位得到点D，作点D关于x轴的对称点D，连接BD,BD，由轴对称的性质得：BD=BD，DD=AB，DD/AB，四边形ADDB为平行四边形，AD=BD，AD+BE=BD+BE=BD+BE，四边形ADEB的周长为AD+DE+AB+BE，且DE+AB为定值，当AD+BE的值最小，即BD+BE的值最小时，四边形ADEB的周长最小，由两点之间线段最短得：当B、E、D三点共线时，BD+BE取最小值DE，D1,4，D1+4,4，即D5,4，D5,4，设直线DE的解析式为y=kx+b，将E2,3，D5,4代入得2k+b=35k+b=4，解得k=73b

65、=233，则直线DE的解析式为y=73x233，当y=0时，73x233=0，解得x=237，则t=2373=27【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数与一次函数的解析式、二次函数的性质、平行四边形的判定与性质、轴对称的性质等知识点，较难的是题（3），利用轴对称的性质和两点之间线段最短确定周长取得最小值时点B的位置是解题关键14（2022全国八年级课时练习）如图，在四边形ABCD中，B=D=90，E，F分别是BC，CD上的点，连接AE，AF，EF（1）如图，AB=AD，BAD=120，EAF=60求证：EF=BE+DF；（2）如图，BAD=120，当AEF周长最小时，求AEF+AFE的度数

66、；（3）如图，若四边形ABCD为正方形，点E、F分别在边BC、CD上，且EAF=45，若BE=3，DF=2，请求出线段EF的长度【答案】（1）见解析；（2）AEF+AFE =120；（3）EF=5【分析】（1）延长FD到点G,使DG=BE，连接AG，首先证明ABEADG，则有AE=AG，BAE=DAG，然后利用角度之间的关系得出EAF=FAG=60，进而可证明EAFGAF，则EF=FG=DG+DF，则结论可证；（2）分别作点A关于BC和CD的对称点A，A，连接AA，交BC于点E，交CD于点F，根据轴对称的性质有AE=AE，AF=AF，当点A、E、F、A在同一条直线上时，AA即为AEF周长的最小

67、值，然后利用AEF+AFE=EAA+EAA+FAD+A求解即可；（3）旋转ABE至ADP的位置，首先证明PAFEAF，则有EF=FP，最后利用EF=PF=PD+DF=BE+DF求解即可【详解】（1）证明：如解图，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，在ABE和ADG中，AB=AD,ABE=ADG,BE=DG,ABEADGSASAE=AG，BAE=DAG，BAD=120，EAF=60，BAE+FAD=DAG+FAD=60EAF=FAG=60，在EAF和GAF中，AE=AG,EAF=GAF,AF=AF,EAFGAFSASEF=FG=DG+DF，EF=BE+DF；（2）解：如解图，分别作点A关于B

68、C和CD的对称点A，A，连接AA，交BC于点E，交CD于点F由对称的性质可得AE=AE，AF=AF，此时AEF的周长为AE+EF+AF=AE+EF+AF=AA当点A、E、F、A在同一条直线上时，AA即为AEF周长的最小值DAB=120，AAE+A=180120=60EAA=EAA,FAD=A，EAA+EAA=AEF,FAD+A=AFE，AEF+AFE=EAA+EAA+FAD+A= 2AAE+A=260=120；（3）解：如解图，旋转ABE至ADP的位置，PAE=DAE+PAD=DAE+EAB=90，AP=AE，PAF=PAEEAF =9045=45=EAF在PAF和EAF中，AP=AE,PAF

69、=EAF,AF=AF,PAFEAFSASEF=FPEF=PF=PD+DF=BE+DF=3+2=5【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，轴对称的性质，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键15（2021全国九年级专题练习）如图，等边ABC的边长为6，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接BE（1）如图，求点D到线段BE的最短距离；（2）点P，N分别是BE，BC上的动点，连接PN、PD如图，当PN+PD的长度取得最小值时，求BP的长度；如图，点Q在BE上，若BQ=1，连接QN，求QN+NP+PD的最小值【答案】（1）DH=32；（2）当PN+PD的长度取得最小值时，BP=3；QN+NP+PD

70、的最小值为10【分析】（1）本题过点D向BE作垂线，继而根据等边三角形性质以及中点性质求解BD，最后利用30直角三角形边长比例关系求解DH（2）本题通过作点D关于BE的对称点，从而确定点P、N的位置，继而根据对称性质以及等边三角形性质判定BDD为等边三角形，最后根据三线合一以及三角函数求解BP本题分别作点D、Q关于BE、BC的对称点，从而将不同的三线段相加问题转化为同一条直线上线段相加问题，继而利用等边三角形以及对称性质求解BD，DBQ度数，最后利用勾股定理求解本题【详解】（1）过点D作DHBE于点H，如下图图所示，DH即为所求ABC是等边三角形，点D，E分别是边BC，AC的中点，BD=CD=

71、3，ABE=CBE=12ABC=30在RtBDH中，BD=3，DBH=30，DH=12BD=32（2）作点D关于BE的对称点D，过点D作DNBC于点N，交BE于点P，如下图图所示：点D，D关于BE对称，PD=PDDNBC，PN+PD=DN，此时PN+PD的值最小BE垂直平分DD，BD=BDABC=60，BDD是等边三角形BN=12BD=32在RtPBN中，PBN=30，PB=BNcos30=3当PN+PD的长度取得最小值时，BP=3作Q关于BC的对称点Q，连接BQ，作D关于BE的对称点D，连接QD，分别交BE，BC于点P、N，如下图图所示：点D，D关于BE对称，PD=PD，BD=BD=3点Q，

72、Q关于BC对称，QN=QN，BQ=BQ=1此时QN+NP+PD=QN+NP+PD当点Q、N、P、D四点共线时，QN+NP+PD取得最小值，最小值为QD的长度等边ABC，根据轴对称的定义可知QBN=QBN=12ABC=30，DBQ=90在RtDBQ中，DQ=DB2+QB2=32+12=10QN+NP+PD的最小值为10【点睛】本题考查等边三角形与动点的综合问题，难度主要在于辅助线的构造，核心思想是将不在同一条直线上的各线段通过对称性，利用线段等量替换将问题转化到同一条直线，线段和最值另一典型题型为将军饮马，可对比练习16（2021全国九年级课时练习）在平面直角坐标系中，以点P23,3为圆心的圆与

73、x轴相交于A、B两点，与y轴相切于点C，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C，顶点为D（1）求抛物线的表达式；（2）点M为y轴上一点，连接DM，MP，是否存在点M使得DMP的周长最小？若存在，求出点M的坐标及DMP的周长最小值；若不存在，请说明理由【答案】（1）y=13x2+433x3；（2）存在M0,1；DMP的周长最小值为12【分析】（1）如图，连接PA，PB，PC，设抛物线对称轴交x轴于点G，先求出A(3,0)，B(33,0)，C(0,3)，把这三点代入y=ax2+bx+c求解即可；（2）如图，作点P关于y轴的对称点P，连接PD与y轴交于点M，连接PM，此时DMP的周长为PM+MD

74、+DP=PM+MD+DP=PD+DP，即当点D，M，P三点共线时，DMP的周长取得最小值，最小值为PD+DP的长，先求出DMP的周长最小值，然后求出直线DP的解析式，即可求出点M【详解】（1）如图，连接PA，PB，PC，设抛物线对称轴交x轴于点G，由题意得PA=PB=PC=23，PG=3AG=BG=(23)232=3A(3,0)，B(33,0)，C(0,3)把点A(3,0)，B(33,0)，C(0,3)代入y=ax2+bx+c中，得3a+3b+c=0,27a+33b+c=0,c=3解得a=13,b=433,c=3.抛物线的解析式为y=13x2+433x3；（2）存在如图，作点P关于y轴的对称点

75、P，连接PD与y轴交于点M，连接PM，此时DMP的周长为PM+MD+DP=PM+MD+DP=PD+DP，即当点D，M，P三点共线时，DMP的周长取得最小值，最小值为PD+DP的长，点P(23,3)与点P关于y轴对称，点P的坐标为(23,3)，PP=43，易得D(23,1)，DP=4PD=PP2+DP2=8，PD+DP=12DMP的周长最小值为12；设直线DP的解析式为y=kx+b1，将P(23,3)、D(23,1)代入，得23k+b1=3,23k+b1=1.解得k=33b1=1，直线DP的解析式为y=33x1，令x=0，则y=1，M(0,1)【点睛】本题属于二次函数的综合题，考查了用待定系数法

76、求二次函数解析式，求一次函数解析式，勾股定理，圆的性质，掌握这些知识点灵活运用是解题关键17（2021全国九年级专题练习）如图，在RtABC中，BAC=90，C=30，BC=4，O是ABC的外接圆，D是CB延长线上一点，且BD=2，连接DA，点P是射线DA上的动点（1）求证：DA是O的切线；（2）DP的长度为多少时，BPC的度数最大，最大度数是多少？请说明理由；（3）点P运动的过程中，PB+PC的值能否达到最小，若能，求出这个最小值；若不能，请说明理由【答案】（1）见解析；（2）当DP=23时，BPC的度数达到最大为90；理由见解析；（3）能； BP+PC的最小值为27【分析】（1）本题首先通

77、过外角性质求解AOB度数，继而确定等边AOB，随即利用边的长度证明BD=BA以求得D度数，最后求得DAO度数结合半径判定切线（2）本题根据点P分别在DA上，与A重合，在DA延长线上三种情况分类讨论，与A重合时利用三角函数知识求解AC，继而根据等腰性质求解DP；其他两种情况需要利用三角形外角性质并结合同弧所对的圆周角相等进行判断（3）本题作点C关于DA的对称点，进而确定点P位置，继而利用对称性质判定等边DCC，继而求解BH、HC，最后利用勾股定理求解本题【详解】（1）连接AO，如下图所示：C=30，AOB=2C=60AO=BO，ABO是等边三角形BC=4，AB=BO=2又BD=2，AB=BDAD

78、C=DAB=12ABO=30AOD=60，DAO=90，OA为O的半径，DA是O的切线（2）根据点P不同位置，本题分三种情况讨论，如下图所示：当点P运动到A处，即点P与点A重合时，由第一问可知D=ACB=30，故AD=AC=DP，且BAC=BPC=90BC=4，DP=AC=BCcos30=432=23；当点P在DA的延长线上时，连接BP，交O于点E，连接CE，因为BC， 则BPCBEC=BAC=90；当点P在线段DA上时，同方法得，BPC90综上，当DP=23时，BPC的度数最大，最大度数为90；（3）能作点C关于射线DA的对称点C，连接CC，CB，CB交DA于点P，如下图所示：则BP+PC=

79、BP+PC，当点C、P、B三点共线时，BP+PC的值最小，最小值为BC的长度，过点C作CHDC于点H，连接DC由第一问可知PDC=30，故结合对称性质有CDC=60，DC=DCDCC为等边三角形H为DC的中点DC=6，DH=12CD=3，BH=DHDB=32=1，CH=3DH=33在RtBCH中，根据勾股定理得：BC=BH2+CH2=1+27=27BP+PC的最小值为27【点睛】本题考查圆与动点的综合问题，切线判定掌握两条原则，即是半径、是直角；涉及动点问题常需要分类讨论，解题时首先选取特殊情况求解，借此观察一般情况下动点运动规律；线段和最值问题通常利用对称性质做辅助线解答，可与将军饮马模型进

80、行对比练习18（2021全国九年级专题练习）如图，在ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点，过点A作AFBC交BE的延长线于F，连接CF（1）求证：AEFDEB；（2）若BAC=90，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论；（3）在（2）的情况下，点M在AC线段上移动，请直接回答，当点M移动到什么位置时，MB+MD有最小值【答案】（1）见解析；（2）四边形ADCF是菱形，理由见解析；（3）见解析【分析】（1）根据平行线的性质得到AFE=DBE，利用AAS定理证明AEFDEB；（2）根据全等三角形的性质得到AF=DC，得到四边形ADCF是平行四边形，根据直角三角形的性质得到AD=D

81、C，证明四边形ADCF是菱形；（3）根据菱形的性质得到点D与点F关于直线AC对称，根据轴对称的性质作图即可【详解】（1）证明：AFBC，AFE=DBE，在AEF和DEB中，AFEDBEAEFDEBAEDE，AEFDEB；（2）四边形ADCF是菱形，理由如下：AEFDEB，AF=BD，BD=DC，AF=DC，又AFBC，四边形ADCF是平行四边形，BAC=90，AD是BC边上的中线， AD=DC，四边形ADCF是菱形；（3）连接BF交AC于M，则点M即为所求，四边形ADCF是菱形，点D与点F关于直线AC对称，MD=MF，MB+MD=MB+MF=BF，即MB+MD有最小值【点睛】本题考查的是全等三

82、角形的判定和性质、菱形的判定以及轴对称-最短路径问题，掌握邻边相等的平行四边形是菱形、全等三角形的判定定理是解题的关键19（2022全国八年级课时练习）（1）【问题解决】已知点P在AOB内，过点P分别作关于OA、OB的对称点P1、P2.如图1，若AOB=25，请直接写出P1OP2=_；如图2，连接P1P2分别交OA、OB于C、D，若CPD=98，求AOB的度数；在的条件下，若CPD=度（900和t0讨论，当t0时，不存在符合的点(1)解：将A（-3，0），B（1，0）代入y=ax2+bx6，得：0=a(3)2+b(3)60=a12+b16，解得：a=2b=4，抛物线的解析式为y=2x2+4x6

83、；(2)解：点P是抛物线对称轴上一点，PA=PB，PB+PC=PA+PCAC，连接AC，AC与对称轴的交点即为点P，如图对于y=2x2+4x6，令x=0，则y=6，C(0，-6)，设直线AC的解析式为y=kx+b(k0)，0=3k+b6=b，解得：k=2b=6，直线AC的解析式为y=2x6抛物线对称轴为x=422=1，对于y=2x6，令x=1，则y=2(1)6=4，P(-1，-4)；(3)解：设M点的坐标为（t，2t2+4t6 ），当点M在点C下方时，过M点作MDy轴于点D，当CMNCOA时，MCD=OCA，CMN=MDN=90，CMD+NMD=CMD+MCD=90，NMD=MCD，CMNMD

84、N，tanMCD=tanOCA=tanDMN =AOOC=12，即MDCD=DNMD=12，CD=2|t|，DN=12|t|，则OD=OC+CD=|2t2+4t6|，即6+2|t|=|2t2+4t6| ，即62t=2t24t+6，解得t=-1，点M和点N的坐标分别为M（-1，-8），N（0，172 ）当CMNAOC时，可得CD=12t，则12t+6=2t24t+6，解得t=74 ，点M和点N的坐标分别为M(74,558)，N（0，838 ）当t0时，没有符合的点，存在点M，N，使得CMN=90，点M和点N的坐标分别为M（-1，-8），N（0，172 ）或M(74,558)，N（0，838 ）【点睛】本题是二次函数综合题，涉及最短路径问题，相似三角形问题，整体难度较大