专题强化 函数的单调性和奇偶性必刷题-2022-2023学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019必修第一册）.docx

1、专题强化：函数的单调性和奇偶性必刷题一、单选题1已知是偶函数，当时，时，等于（）ABCD2已知函数，则不等式的解集为（）ABCD3已知函数在区间上是减函数，则整数a的取值可以为（）ABC0D14若函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，则不等式的解集为（）ABCD5已知是定义在，上的偶函数，且在，上为增函数，则的解集为ABCD6定义在R上的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（）ABCD7已知函数对于任意都有，且在区间上是单调递增的，则，的大小关系是（）ABCD8已知奇函数是定义在上的单调函数，若正实数，满足则的最小值是（）ABC2D49函数的图像为（）ABCD10定义在R上的偶函数满足：

2、对任意的，有，且，则不等式的解集是（）ABCD11已知定义在上的奇函数在上单调递增，且，若实数x满足，则x的取值范围是（）ABCD12已知定义在上的函数在上单调递增，若，且函数为偶函数，则不等式的解集为（）ABCD13已知函数满足，且对任意的，都有，则满足不等式的的取值范围是（）ABCD14设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，若，则（）ABCD二、多选题15函数是定义在R上的奇函数，下列说法正确的是（）AB若在上有最小值，则在上有最大值1C若在上为增函数，则在上为减函数D若时，则时，16已知函数为上的奇函数，为偶函数，下列说法正确的有（）A图象关于直线对称BC的最小正周期为4D对任意

3、都有17定义在上的函数满足，当时，则满足（）AB是奇函数C在上有最大值D的解集为18已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：，；，当时，；.则下列选项成立的是（）AB若，则C若，则D，使得19已知函数的图象关于对称，且对，当时，成立，若对任意的恒成立，则的可能取值为（）ABCD20已知是定义在区间，上的奇函数，且（1），若，时，有若对所有，恒成立，则实数的取值范围可能是（）A(，6B(6，6)C(3，5D6，)三、填空题21已知偶函数在单调递减，.若，则的取值范围是_.22已知函数f(x)为定义是区间2a，3a1上的奇函数，则ab_23函数是定义在上的奇函数，并且满足，当时，则_

4、.24若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是_.25已知定义在上的函数满足：，且函数是偶函数，当时，则_.26若函数，对任意的，恒成立，则的取值范围是_27已知函数在定义域上是偶函数，在上单调递减，并且，则的取值范围是_.四、解答题28已知是定义在上的奇函数.(1)求的值；(2)判断在上的单调性，并用定义证明；(3)若，求实数的取值范围.29设是定义在R上的函数,对任意的,恒有，且当时, . (1)求的值;(2)求证:对任意,恒有.(3)求证:在R上是减函数.30已知函数是定义在上的函数，恒成立，且(1)确定函数的解析式；(2)用定义证明在上是增函数；(3)解不等式31已知函数是定义域为上

5、的奇函数，且(1）求的解析式. (2)用定义证明：在上是增函数.（3）若实数满足，求实数的范围.32已知函数过定点，函数的定义域为.（）求定点并证明函数的奇偶性；（）判断并证明函数在上的单调性；（）解不等式.33已知定义域为的单调减函数是奇函数，当时，.（1）求的值；（2）求的解析式；（3）若任意，不等式恒 成立，求实数的取值范围.34已知是定义在上的奇函数，且当时，.(1)求函数在上的解析式；(2)若对所有，恒成立，求实数的取值范围.35已知函数的定义域为，且对任意 ，都有，且当时，恒成立（1）证明：函数是奇函数；（2）在定义域上单调递减；（3），求的取值范围.36设，已知函数.（1）若是奇

6、函数，求的值；（2）当时，证明：；（3）设，若实数满足，证明：.参考答案：1B【分析】根据偶函数定义求解【详解】由题意时，故选：B2B【分析】由分段函数表达式，判断其单调性，利用单调性，求解不等式【详解】根据题目所给的函数解析式，可知函数在上是减函数，所以，解得故选：B3A【分析】由题意可得，解不等式即可得出答案.【详解】解：由题意可得，解得，整数a的取值可以为.故选：A4A【分析】由题意可得偶函数在，是减函数，原不等式可化为，可得所求解集【详解】函数是定义在上的偶函数，可得，由在，上是增函数，可得在，是减函数，又（2），可得不等式即为即有，即，解得，所以解集为故：A5B【分析】由偶函数定义域

7、的对称性可求，从而可得在，上为增函数，在，上为减函数，距离对称轴越远，函数值越小，可求【详解】解：是定义在，上的偶函数，在，上为增函数，在，上为减函数，距离对称轴越远，函数值越小，由可得，且，且，解得，故不等式的解集为故选：【点睛】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用6C【分析】结合函数的单调性与奇偶性解不等式即可.【详解】义在R上的偶函数在上单调递增，且，所以在上单调递减，且，或，故或，故选：C7D【分析】由已知条件可得函数是周期为2的偶函数，再利用周期结合已知条件将自变量转化到上，然后根据在区间上是单调递增的可得结果.【详解】

8、因为，所以，所以的周期为2，因为，所以为偶函数，所以，因为在区间上是单调递增的，所以，所以，故选：D8B【分析】由奇函数是定义在上的单调函数，可得，即，所以，化简后利用基本不等式可求得结果【详解】解：因为，所以，因为奇函数是定义在上的单调函数，所以，所以，即，所以，即，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值是.故选：B9D【分析】分析函数的定义域、奇偶性、单调性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.【详解】函数的定义域为，且，函数为奇函数，A选项错误；又当时，C选项错误；当时，函数单调递增，故B选项错误；故选：D.10B【分析】由题意可知在上是减函数，再根据对称性和得出在各个区间

9、的函数值的符号，从而可得出答案【详解】解：对任意的恒成立，在上是减函数，又，当时，当时，又是偶函数，当时，当时，的解为故选B【点睛】本题考查了函数的单调性与奇偶性，考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于中档题11A【分析】首先根据函数的奇偶性和单调性得到函数在上单调递增，且，从而得到，再分类讨论解不等式即可.【详解】因为奇函数在上单调递增，定义域为，所以函数在上单调递增，且.所以，.因为，当时，即或，解得.当时，符合题意.当时，或，解得.综上：或.故选：A12D【分析】分析可知函数的图象关于直线对称，可得出函数的单调性，分析的符号变化，由可得或，解之即可.【详解】因为函数为偶函数，则，故函数

10、的图象关于直线对称，因为函数在上单调递增，故函数在上单调递减，因为，则，所以，由可得，由可得或，解不等式，可得或，解得或，故不等式的解集为.故选：D.13A【分析】可化为，构造函数，再结合奇偶性可知该函数在R上单调递增，又将所求不等式变形，即可由单调性解该抽象不等式.【详解】根据题意可知，可转化为，所以在0，+)上是增函数，又，所以为奇函数，所以在R上为增函数，因为，所以，所以，解得，即x的取值范围是.故选：A.【关键点点睛】本题的关键是将不等式化为，从而构造函数，再根据奇偶性和单调性解抽象不等式.14D【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得

11、到答案【详解】方法一：因为是奇函数，所以；因为是偶函数，所以令，由得：，由得：，因为，所以，令，由得：，所以思路一：从定义入手所以方法二：因为是奇函数，所以；因为是偶函数，所以令，由得：，由得：，因为，所以，令，由得：，所以思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数的周期所以故选：D【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果15ABD【分析】根据奇函数的定义并取特值即可判定；利用奇函数的定义和最值得定义可以求得在上有最大值，进而判定；利用奇函数的单调性性质判定；利用奇函数的定义根据时的解析式求得时的解析式，进而判定【详解】由得，故正确；

12、当时，且存在使得，则时，且当有,在上有最大值为1，故正确；若在上为增函数，而奇函数在对称区间上具有相同的单调性，则在上为增函数，故错误；若时，则时，故正确故选：【点睛】本题考查函数的奇偶性，掌握奇函数的定义是解题关键16ABD【分析】由奇偶性知的对称中心为、对称轴为，进而推得，即可判断各选项的正误.【详解】由的对称中心为，对称轴为，则也关于直线对称且，A、D正确，由A分析知：，故，所以，所以的周期为4，则，B正确；但不能说明最小正周期为4，C错误；故选：ABD17ABD【分析】利用赋值法可判断A选项的正误；利用函数奇偶性的定义可判断B选项的正误；利用函数单调性的定义可判断C选项的正误；利用函数

13、的单调性解不等式，可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，令，可得，解得，A对；对于B选项，函数的定义域为，令，可得，则，故函数是奇函数，B对；对于C选项，任取、且，则，即，所以，所以，函数为上的减函数，所以，在上有最大值，C错；对于D选项，由于为上的减函数，由，可得，解得，D对.故选：ABD.18CD【分析】根据题中的条件确定函数的奇偶性和单调性，再逐项验证即可得出答案.【详解】根据题中条件知，函数为R上的偶函数；根据题中条件知，函数在上单调递增.根据函数的单调性得，选项A错误；是R上的偶函数，且在上单调递增时， ，解得，选项B错误；或 解得或，即 时，选项C正确；根据偶函数的单调性可得，函

14、数在上单调递减在R上有最小值，故选项D正确.故选：CD.19BC【解析】由已知得函数是偶函数，在上是单调增函数，将问题转化为对任意的恒成立，由基本不等式可求得范围得选项【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以函数的图象关于直线（即轴）对称，所以函数是偶函数.又时，成立，所以函数在上是单调增函数.且对任意的恒成立，所以对任意的恒成立，当时，恒成立，当时，又因为，当且仅当时，等号成立，所以，因此，故选：BC.【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法： 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； 数形结合( 图象在 上方即可)； 讨论最值或恒成立.20AD【分析】先判断的单调性，求得的最大值，化简不

15、等式，利用构造函数法，结合一次函数的性质列不等式组，由此求得的取值范围.【详解】任取，由于，结合可知，即，所以在上递增.所以.由可得，即对任意恒成立.构造函数，则，即，解得或.故选：AD【点睛】求解多变量的不等式恒成立问题，可考虑减少变量来进行求解.21【详解】因为是偶函数，所以不等式，又因为在上单调递减，所以，解得.考点：本小题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性，考查绝对值不等式的解法，熟练基础知识是关键.222.【分析】由奇函数定义，列出等式可求得b的值，由奇函数定义域的对称性可列式求得a的值.【详解】因为函数为定义是区间2a，3a1上的奇函数，所以2a3a10，所以a1.又，所以b1.故a

16、b2.【点睛】本题考查奇函数的定义以及奇函数定义域的特点，注意由解析式判断函数奇偶性要利用定义法，判断函数奇偶性的第一步就是要判断函数定义域是否关于原点对称.23【分析】根据已知条件，可求函数的周期性，对称性，以及的值，利用函数函数的周期性，奇偶性进行计算即可.【详解】解：因为，故，则函数的周期是2，又函数是定义在上的奇函数，则；则，当时，则，则.故答案为：.24【分析】根据偶函数的性质得到时，即可将不等式化为，解得即可.【详解】解：因为偶函数在上单调递减，所以在上单调递增，又，所以，所以当时，则不等式等价于，解得，所以原不等式的解集为.故答案为：252【分析】先根据条件求出其周期为4，再结合

17、周期性可得，即可求解结论【详解】定义在上的函数满足：，且函数是偶函数，且，；.即；.得；故函数f(x)周期为4,故答案为：2【点睛】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的周期性，函数求值，是函数图象和性质的简单综合应用26（2，）【详解】f(x)3x210，f(x)在R上为增函数又f(x)为奇函数，由f(mx2)f(x)0知，f(mx2)f(x)mx2x，即mxx20，令g(m)mxx2，由m2,2知g(m)0恒成立，可得，2x .27.【分析】根据函数定义域的对称性求出,再利用函数的单调性及偶函数得到不等式，求解即可.【详解】因为函数在定义域上是偶函数，所以，解得，所以可得又在上单调递减，所

18、以在上单调递增,因为，所以由可得，解得.故的取值范围是.【点睛】本题主要考查了偶函数的定义域，偶函数的单调性，不等式的解法，属于难题.28(1) ；(2)单调递减函数，证明见解析；(3).【分析】(1)根据函数是上的奇函数，可知 ，把代入，即可得到结果； (2)利用减函数的定义即可证明(3)根据奇函数的性质，可得成立，等价于成立，再根据在上是减函数，可得，由此即可求出结果【详解】(1)因为是奇函数，所以，解得，(2)证明：由(1)可得： 设 ， 则， 在上是减函数 (3)函数是奇函数 成立，等价于成立， 在上是减函数，所以.【点睛】本题主要考查了奇函数的性质，定义法证明函数的单调性，以及利用函

19、数的单调性和奇偶性求参数的值，属于函数性质的应用；属于基础题29（1）;（2）证明见解析；（3）证明见解析；【分析】(1)应用取特殊值法.令,根据当时,可以求出的值;(2)当时,应用,再根据当时,可以证明此时,再结合(1)的结论,可以证明对任意,恒有.(3)运用定义法证明在R上是减函数.在证明过程中结合(2)中的结论,和已知当时,这一条件.【详解】(1) 令,有,当时,所以有,于是有；(2)当时,有,因为,所以,已知当时,所以,由(1)可知,所以有；已知当时,；由(1)可知,故对任意,恒有；(3)设且,所以有,而已知当时,因此有,而,由(2)的证明过程可知：,于是由可得,所以有,根据(2)的性

20、质可知：,所以有,因此在R上是减函数.【点睛】本题考查了抽象函数的单调性的证明,考查了抽象函数正负性的证明,充分使用已知的等式和已知给的函数性质是解题的关键.30(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）先由函数的奇偶性得到b=0，然后由求解；（2）利用函数单调性定义证明； （3）将，转化为，利用单调性求解.（1）解：因为函数，恒成立，所以，则，此时，所以，解得，所以；（2）证明：设，则，且，则，则，即，所以函数是增函数（3），是定义在上的增函数，得，所以不等式的解集为31(1)；(2)见证明；(3).【分析】(1)首先根据函数是定义域在上的奇函数可计算出的值，然后根据可计算出的值，即可得出结

21、果；(2)可根据增函数的定义，通过设并计算的值得出结果；(3)可通过奇函数的相关性质将转化为，然后列出算式即可得出结果【详解】(1)因为函数是定义域在上的奇函数,所以，因为，所以，(2)在任取，设，即，则，因为，所以，即当时，在是增函数(3)由题意可知，所以，即，解得【点睛】本题考查函数的相关性质，主要考查奇函数的相关性质以及增函数的证明，奇函数有，可以通过增函数的定义来证明函数是增函数，考查化归与转化思想，考查计算能力，是中档题32（）定点为，奇函数，证明见解析；（）在上单调递增，证明见解析；（）.【解析】（）根据解析式可求得定点为，即可得的解析式，根据奇函数的定义，即可得证；（）利用定义法

22、即可证明的单调性；（）根据的单调性和奇偶性，化简整理，可得，根据函数的定义域，列出不等式组，即可求得答案.【详解】（）函数过定点，定点为，定义域为，.函数为奇函数.（）在上单调递增.证明：任取，且，则.，即，函数在区间上是增函数.（），即，函数为奇函数在上为单调递增函数， ，解得：.故不等式的解集为：【点睛】解题的关键是熟练掌握函数奇偶性、单调性的定义，并灵活应用，在处理单调性、奇偶性综合问题时，需要注意函数所有的自变量都要在定义域内，方可求得正确答案.33（1）；（2）；（3）.【分析】（1）利用函数奇函数的性质求的值；（2）利用函数是奇函数，求的解析式，即得函数的解析式；（3）利用函数是奇

23、函数，变形为，再利用函数的单调性，解抽象不等式，利用不等式恒成立，求参数的取值范围.【详解】解：（1）因为定义域为的函数是奇函数，所以.（2）因为当时，所以，又因为函数是奇函数，所以，所以，综上，（3）由，得，因为是奇函数，所以，又在上是减函数，所以，即对任意恒成立，令，则，由，解得，故实数的取值范围为.34(1)(2)【分析】（1）利用奇函数的定义可得函数的解析式；（2）由二次函数的性质可得函数的最小值，代入不等式，进而利用一次函数的性质列不等式组，可得实数的取值范围(1)因为函数为定义域上的奇函数，所以，当时，所以，因为是奇函数，所以，所以，所以(2)作出在区间上的图象，如图：可得函数在上

24、为减函数，所以的最小值为，要使对所有，恒成立，即对所有恒成立，令，则，即，可得：，所以实数的取值范围是.35（1）见解析；（2）见解析；（3）【分析】（1）令，得到，令，得到即可证明；（2）设，则，由条件得，再由条件可得，即可得证；（3）利用函数的奇偶性与单调性化抽象不等式为具体不等式组，即可得到结果.【详解】（1）证明： ，令，则令，即，而，即函数是奇函数；（2）设，则，当时，恒成立，则，函数是上的减函数；（3）由，可得，又函数是奇函数，在定义域上单调递减 ，解得，解得，故的取值范围.36（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】（1）由于函数的定义域为，进而结合奇函数即可得；（2）采用作差比较大小，整理化简得；（3）令，进而得，再结合题意即可得，再分和两种情况讨论，其中当时，结合（2）的结论得，等号不能同时成立.【详解】解：（1）由题意，对任意，都有，即，亦即，因此；（2）证明：因为，.所以，.（3）设，则，当时，；当时，；，所以.由得，即.当时，所以；当时，由（2）知，等号不能同时成立.综上可知.【点睛】本题第二问解题的关键在于作差法比较大小，第三问在于换元法求得函数的值域，进而结合题意得，再结合第二问的结论分类讨论求解.考查换元思想和运算求解能力，是难题.