专题强化五 直线与双曲线的位置关系必刷30道题-2022-2023学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019选择性必修第一册）.docx

1、专题强化五：直线与双曲线的位置关系必刷30道题一、单选题1已知双曲线的左、右焦点分别为、，过焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于、两点.若以为直径的圆经过焦点，则双曲线的离心率为（）AB2CD2已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且与直线交于两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的标准方程是ABCD3已知倾斜角为的直线与双曲线，相交于，两点，是弦的中点，则双曲线的渐近线的斜率是（）ABCD4已知双曲线的右支上的点，满足，分别是双曲线的左右焦点），则为双曲线的半焦距）的取值范围是（）A，B，C，D，5已知为焦点在轴上的双曲线，其离心率为，为上一动点（除顶点），过点的直线，分别经过双曲线的两个顶点，已

2、知直线的斜率，则直线的斜率的取值范围为（）ABCD6数学美的表现形式多种多样，其中美丽的黄金分割线分出的又岂止身材的绝妙配置，我们称（其中）的双曲线为黄金双曲线，若P为黄金双曲线上除实轴端点外任意一点，以原点O为圆心，实轴长为直径作，过P作的两条切线，切点分别为A，B，直线与x，y轴分别交于M，N两点，则（）ABCD7设，分别是双曲线的左右焦点，过作的一条渐近线的垂线交双曲线的右支于点，若，则的离心率为（）AB2CD8已知双曲线的离心率为，直线与交于两点，为线段的中点，为坐标原点，则与的斜率的乘积为（）ABCD9已知点P为双曲线上任意一点，为其左右焦点，O为坐标原点.过点P向双曲线两渐近线作垂

3、线，设垂足分别为MN，则下列所述错误的是（）A为定值BOPMN四点一定共圆C的最小值为D存在点P满足PM三点共线时，PN三点也共线10已知点P为双曲线上任意一点，为其左右焦点，O为坐标原点.过点P向双曲线两渐近线作垂线，设垂足分别为MN，则下列所述错误的是（）A为定值BOPMN四点一定共圆C的最小值为D存在点P满足PM三点共线时，PN三点也共线二、多选题11在平面直角坐标系中，动点与两个定点和连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线与交于两点，则（）A的方程为B的离心率为C的渐近线与圆相切D12已知双曲线，下列结论正确的是（）A双曲线C的渐近线方程为B双曲线C的焦点到其渐近线的距离为C若直线

4、l与C相交于A、B两点且AB的中点为，则l的斜率为D若直线与C没有交点，则的取值范围是13已知双曲线，过其右焦点的直线与双曲线交于两点，则（）A若在双曲线右支上，则的最短长度为1B若，同在双曲线右支上，则的斜率大于C的最短长度为6D满足的直线有4条14已知双曲线的右顶点、右焦点分别为、，过点的直线与的一条渐近线交于点，直线与的一个交点为，且，则下列结论正确的是（）A直线与轴垂直B的离心率为C的渐近线方程为D（其中为坐标原点）15在平面直角坐标系中，已知双曲线的离心率为，且双曲线的右焦点在直线上，、分别是双曲线的左、右顶点，点是双曲线的右支上位于第一象限的动点，记、的斜率分别为、，则下列说法正确

5、的是（）A双曲线的渐近线方程为B双曲线的方程为C为定值D存在点，使得16已知F为椭圆C：的左焦点，直线l：与椭圆C交于A，B两点，轴，垂足为E，BE与椭圆C的另一个交点为P，则（）AB的最小值为2C直线BE的斜率为D为钝角三、填空题17已知椭圆交轴于A，两点，点是椭圆上异于A，的任意一点，直线，分别交轴于点，则为定值现将双曲线与椭圆类比得到一个真命题：若双曲线交轴于A，两点，点是双曲线上异于A，的任意一点，直线，分别交轴于点，则为定值_18已知双曲线，直线l交双曲线两条渐近线于点A、B，M为线段的中点，设直线l、的斜率分别为，若，则渐近线方程为_19已知A是抛物线：的准线上的点，B是x轴上一点

6、，O为原点，直线AB与双曲线：两渐近线分别交于不同两点M，N.若双曲线的离心率为2，则的取值范围为_.20设双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，的顶点在轴上，顶点在的左支上，直线分别与的右支交于两点，若，且，则的渐近线方程为_.21已知直线与双曲线相交于M、N两点，双曲线C的左、右顶点分别为A、B，若直线AM与BN相交于点P，则下列说法正确的有_（填写正确命题的序号）实数的取值范围为或；直线AM与直线BN的斜率之积为定值；点P在椭圆上；三角形PAB的面积最大值为ab.22已知，为曲线的左、右焦点，点为曲线与曲线在第一象限的交点，直线为曲线在点处的切线，若三角形的内心为点，直线与直线交于点，则点

7、，横坐标之差为_23给出下列命题：直线的倾斜角是；已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，则有；已知、为双曲线：的左、右焦点，点为双曲线右支上异于顶点的任意一点，则的内心始终在一条直线上其中所有正确命题的序号为_24已知双曲线G的方程，其左、右焦点分别是，已知点P坐标为，双曲线G上点，满足，则_四、解答题25已知点、为双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴的上方交双曲线于点，且.(1)求双曲线的方程；(2)若直线过点且与双曲线交于A、两点，若A、中点的横坐标为1，求直线的方程.26已知双曲线的离心率为，点在上.(1)求双曲线的方程.(2)设过点的直线与双曲线交于两点，问在轴上是否存在

8、定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标以及该常数的值；若不存在，请说明理由.27设双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的左、右准线与其一条渐近线的交点分别为，四边形的面积为4.（1）求双曲线的方程；（2）已知为圆的切线，且与相交于，两点，求.28已知双曲线：的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为1(1)求双曲线的标准方程与离心率；(2)已知斜率为的直线与双曲线交于轴上方的A，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积为，求的面积29已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为.(1)求C的方程；(2)设A，B是直线上关于x轴对称的两点，直线与C交于M，N两点，证明：直线AM与BN的交点在定直

9、线上.30已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为.(1)求C的方程；(2)设A，B是直线上关于x轴对称的两点，直线与C交于M，N两点，证明：直线AM与BN的交点在定直线上.参考答案：1C【分析】由题可得，从而可建立方程，即可得出双曲线的离心率.【详解】由题可得，代入双曲线，解得，因为以为直径的圆过焦点，所以，即，.故选：C2C【分析】先求出双曲线的方程，然后与直线方程联立方程组，经消元得二元一次方程，再根据韦达定理及中点的横坐标可得、的一个方程，又双曲线中有，则另得、的一个方程，最后解、的方程组即得双曲线方程【详解】设双曲线方程为将代入，整理得由韦达定理得，则又抛物线的焦点，

10、所以，解得，所以双曲线的方程是故选C【点睛】本题主要考查代数方法解决几何问题，同时考查双曲线的标准方程与性质等3A【分析】依据点差法即可求得的关系，进而即可得到双曲线的渐近线的斜率.【详解】设，则由，可得则，即，则则双曲线的渐近线的斜率为故选：A4B【分析】根据得，再换元利用函数的单调性求解.【详解】解：由双曲线的第二定义可知，右支上的点，满足，由，解得，在右支上，可得，可得，即，则，令，可得而在，单调递减，故选：B5C【分析】由离心率可得由题意可得，由斜率，即可得斜率的取值范围.【详解】设双曲线的方程为为上一动点，上顶点下顶点离心率为，即可得直线为直线PA, 直线为直线PB,则，又，可得，故

11、选：C6B【分析】先求出直线的方程，然后求出的坐标，代入可得结果.【详解】设，则，即.因为，所以，解得.由题意四点共圆，圆心为的中点，半径为，所以方程为；的方程为；两式相减可得直线的方程，令得，即；令得，即；，所以.故选：B.7A【分析】根据在中，结合双曲线中，间的关系求得.【详解】如图，根据双曲线的对称性，过点作渐近线的垂线，垂足为，则，因为，即，结合，且为的中点可知，结合双曲线的定义可知，即，所以，则的离心率为.故选：A.8B【分析】设出，的坐标，利用点差法，结合为线段的中点，以及两点之间的斜率公式，通过恒等变换，得到与的斜率的乘积与的关系，根据化简可得答案.【详解】设，则，两式作差，并化

12、简得，所以，因为为线段的中点，即所以，即，由，得.故选：B.9D【分析】对于A，设，表示出，即可判断A；对于B，由题目可得，M，N两点在以OP为直径的圆上，故可判断B；对于C，由双曲线的对称性可知， 由，故可判断C；对于D，利用双曲线的对称性，不妨设直线垂直一条渐近线，垂足为N；直线垂直另一条渐近线且交双曲线于点P，易知直线与直线的交点始终落在y轴上，可判断D.【详解】设，点到渐近线的距离为，同理，则，即，（定值），故A正确；，OMP和ONP均为直角三角形，M，N两点在以OP为直径的圆上，故B正确；由双曲线的对称性可知，其中，成立，故C正确；如图利用双曲线的对称性，不妨设直线垂直一条渐近线，垂

13、足为N；直线垂直另一条渐近线且交双曲线于点P，易知直线与直线的交点始终落在y轴上，故D不正确.故选：D.10D【分析】对于A，设，表示出，即可判断A；对于B，由题目可得，M，N两点在以OP为直径的圆上，故可判断B；对于C，由双曲线的对称性可知， 由，故可判断C；对于D，利用双曲线的对称性，不妨设直线垂直一条渐近线，垂足为N；直线垂直另一条渐近线且交双曲线于点P，易知直线与直线的交点始终落在y轴上，可判断D.【详解】设，点到渐近线的距离为，同理，则，即，（定值），故A正确；，OMP和ONP均为直角三角形，M，N两点在以OP为直径的圆上，故B正确；由双曲线的对称性可知，其中，成立，故C正确；如图利

14、用双曲线的对称性，不妨设直线垂直一条渐近线，垂足为N；直线垂直另一条渐近线且交双曲线于点P，易知直线与直线的交点始终落在y轴上，故D不正确.故选：D.11ACD【分析】根据题意求得双曲线的方程，可判定A正确；根据离心率的定义，求得的值，可判定B不正确；利用直线与圆的位置关系的判定方法，可判定C正确；联立方程组，结合根与系数的关系和弦长公式，可判定D正确.【详解】设点，由直线与的斜率之积为，可得，整理得，即曲线的方程为，所以A正确；曲线的离心率，所以B不正确；由圆，可得圆心为，可得圆心到曲线的渐近线的距离，又由圆的半径为1，所以曲线的渐近线与圆相切，所以C正确；联立方程组 ，整理得，则，所以，所

15、以D正确故选：ACD12AB【分析】结合双曲线的渐近线，焦点到渐近线的距离，点差法、直线与双曲线的位置关系判断出正确选项.【详解】依题意，双曲线，双曲线的渐近线方程为，A选项正确.焦点到渐近线的距离为，B选项正确.设，则，两式相减并化简得，若的中点为，则，即的斜率为，C选项错误.双曲线的渐近线与双曲线没有交点，所以D选项错误.故选：AB13AD【分析】由双曲线的方程求出的值，在双曲线右支上，则的最短长度为可判断A；求出双曲线的渐近线方程，由直线的斜率与渐近线斜率的关系可判断B，讨论的斜率不存在和斜率为时弦长，即可得的最短长度可判断C，由的斜率不存在和斜率为时弦长，结合双曲线的对称性可判断D，进

16、而可得正确选项.【详解】由双曲线可得，所以，对于A：若在双曲线右支上，则的最短长度为，故选项A正确；对于B：双曲线的渐近线方程为：，若，同在双曲线右支上，则的斜率大于或小于，故选项B不正确；对于C：当，同在双曲线右支上时，轴时，最短，将代入可得，此时，当，在双曲线两支上时，最短为实轴长，所以的最短长度为，故选项C不正确；对于D：当，同在双曲线右支上时，当，在双曲线两支上时，根据双曲线对称性可知：满足的直线有4条，故选项D正确；故选：AD.14AB【分析】利用平面向量数量积的运算性质可判断A选项的正误；求出点的坐标，代入双曲线的方程，求出该双曲线的离心率，可判断B选项的正误；求出的值，可判断C选

17、项的正误；利用两点间的距离公式可判断D选项的正误.【详解】由已知得，设，由，得，所以轴，即，A正确；不妨设点在第一象限，易知，即点，设，由，得，所以，所以，即因为点在双曲线上，所以，整理得，所以，解得或（负值舍去），B正确；，故C的渐近线的斜率的平方为，C错误；不妨设点在第一象限，则，所以，D错误故选：AB15ABD【分析】对于AB，利用双曲线的概念及几何性质可以容易判断；对于C，利用点在双曲线上得到，进而直接化简即可；对于D，利用的范围可以判断得范围，进而可以判断存在点与否.【详解】因为双曲线的右焦点在直线上，易得右焦点坐标为，故，由于离心率为，则，所以，所以双曲线方程为，故B正确；易得双曲

18、线渐近线方程为，故A正确；设点，又、，则，即，故，故C错误；因为在第一象限，则，即，即，所以，故存在点，使得，故D正确.故选：ABD.16AC【分析】对于A，利用椭圆与的对称性可证得四边形为平行四边形，进而得到；对于B，利用A中的结论及基本不等式“1”的妙用即可得到的最小值；对于C，由题意设各点的坐标，再由两点斜率公式即可得到；对于D，先由各点坐标结合椭圆方程可得到，从而可证得，由此可知.【详解】由椭圆C：得，则，对于A，设将圆C的右焦点为，如图，连接，由椭圆与的对称性可知，则四边形为平行四边形，故，故A正确；.对于B，当且仅当，且，即时，等号成立，故的最小值为，故B错误；对于C，设，故直线B

19、E的斜率，故C正确；对于D，设，直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，则，又点P和点A在椭圆C上，故，两式相减得，则，故，易知，则，得，所以，故，故D错误.故选：AC17【分析】由双曲线的方程可得，的坐标，设的坐标，代入双曲线的方程可得的横纵坐标的关系，求出直线，的方程，令，分别求出，的纵坐标，求出的表达式，整理可得为定值【详解】由双曲线的方程可得，设，则，可得，直线的方程为：，令，则，可得，直线的方程为，令，可得，即，故答案为：另解：双曲线方程化为，只是将的替换为，故答案也是只需将中的替换为即可.故答案为：.18【分析】设点，结合线段AB的中点为，求出，即可得到结论.【详解】设，则，可得，设分

20、别为双曲线的渐近线方程分是的点，所以有，从而有，又，所以，则，所以渐近线方程为.故答案为：.19【分析】设出直线的方程，联立双曲线的渐近线方程求出、的坐标，利用向量的坐标运算即可求出取值范围.【详解】设，, ，即 ，直线的方程为，其中，即，分别将代入与 得点、的坐标分别为，M 与N 不重合，的取值范围是 .故答案为：.20【分析】设的斜率分别为，由题意可得，则可得，设，然后利用点差法可求出的值，从而可求出渐近线方程【详解】设的斜率分别为，当时，可得，从而直线的斜率之积.设，则，所以，.所以，所以.所以的渐近线方程为.故答案为：21【分析】由直线与双曲线交于两点即可判断正确；根据，得可判断正确；

21、由得，进而得时，P在椭圆上，当，则点P在圆上，可判断；当点P在椭圆的上下顶点时，直线PA与双曲线的渐近线平行【详解】解：由直线与双曲线交于两点，则：或，故正确；由点M在双曲线C上，故设，则，即，因为，则又因为，所以，故正确；，因为 ，所以，即设，则，整理得故当时故点P在椭圆上；若，则点P在圆上，故错误；由点P在椭圆的上下顶点时，则：，故此时直线PA与双曲线的渐近线平行，与直线PA与双曲线有两个焦点矛盾，故AM与BN的交点不可能位于椭圆的上下顶点，故不成立.故答案为：22【分析】由题意写出明确两曲线的焦点，可求得P点坐标，进而求出P点处的切线方程，利用圆的切线性质结合双曲线几何性质求出三角形 内

22、切圆圆心的横坐标，再表示出直线的方程，联立解得N点横坐标，即可求得答案.【详解】由题意得，为曲线的左、右焦点，点为曲线与曲线在第一象限的交点，即C,E有相同的焦点，则，联立,消去，得，对于椭圆，设为椭圆上一点，令，则椭圆化为圆 ，即为，由圆上一点处的切线方程可知在处的切线方程为，故可得椭圆在处的切线方程为，即，故由直线为曲线在点处的切线，P点在第一象限，则，可得直线方程为 ，设三角形内切圆半径为，则由等面积可得， ，又由于P在双曲线上，设三角形内切圆圆心，各边上的切点分别为，如图：由圆的切线性质可得，则 ,即 ，即M点横坐标为1，由可得直线的方程为，联立，化简可得；又，故答案为：【点睛】本题考

23、查了椭圆和双曲线的几何性质的应用，综合性强，涉及到知识面比较广，计算量大，解答时要能熟练掌握切线的求解，以及圆的几何性质的应用，并能熟练应用椭圆以及双曲线的几何性质.23【分析】对于，其解题的关键是正确地理解直线的倾斜角与斜率之间的关系；对于，其解题的难点是能推出的分析与应用；对于，其解题的关键是正确地运用双曲线的简单几何性质和定义对其进行求解【详解】对于，因为直线，所以其斜率为，所以，所以，即是错误的；对于，设过抛物线焦点的直线为，于是联立直线与抛物线的方程并整理可得：，所以由韦达定理可得进而得出，即是正确的；对于，设的内切圆分别与切于点，与切于点，则，又因为点在双曲线的右支上，所以，即，所

24、以，而，设点，因为，所以，即，又因为内切圆的圆心与点的连线垂直于轴，所以的内心始终在一条直线上，所以是正确的故答案为:248【分析】设的内切圆与三边分别相切于，利用切线长相等求得内切圆圆心横坐标为，又由得在的平分线上，进而得到即为内心，应用双曲线的定义求得面积差即可.【详解】如图，设的内切圆与三边分别相切于，可得，又由双曲线定义可得，则，又，解得，则点横坐标为，即内切圆圆心横坐标为.又，可得，化简得，即，即是的平分线，由于，可得即为的内心，且半径为2，则.故答案为：8.【点睛】本题关键点在于先利用切线长定理求得内切圆圆心横坐标为，再由得到在的平分线上，结合的横坐标为进而得到即为内心，利用双曲线

25、定义及面积公式即可求解.25(1)(2)【分析】（1）在直角三角形中,根据可以求出的长,利用双曲线的定义得到等式,可以求出,也就能求出，最后写出双曲线的方程即可.（2）设出直线l与点A，B，联立方程，利用韦达定理及中点横坐标求得k，根据判别式范围进行取舍即可得解.(1)在直角三角形中,因为所以有,解得.由双曲线的定义可知：，,所以双曲线C的方程是.(2)由题可知，直线的斜率存在，设：，A、B中点的横坐标为1，联立l与C，整理得，因为有两个交点，所以且，解得且，化简为，解得或（舍），所以的方程为：26(1)；(2)存在，常数为【分析】（1）由离心率得出，再代入已知点坐标求得得双曲线方程；（2）设

26、，直线的方程为，代入双曲线方程，消去得的一元二次方程，由相交可得的范围，由韦达定理得，设存在符合条件的定点，计算出并代入化为关于的分式，由它是常数可求得，得定点坐标（1）因为双曲线的离心率为，所以，化简得.将点的坐标代入，可得，解得，所以的方程为.（2）设，直线的方程为，联立方程组消去得（1-，由题可知且，即且，所以.设存在符合条件的定点，则，所以.所以，化简得.因为为常数，所以，解得.此时该常数的值为，所以，在轴上存在点，使得为常数，该常数为.【点睛】方法点睛：本题考查求双曲线的标准方程，考查双曲线中的定点问题，定点问题的解题方法是：设直线方程（或点斜式方程），设交点坐标为，直线方程代入双曲

27、线方程消元化为一元二次方程（可由相交得参数范围或不等关系），应用韦达定理得，对定点问题可假设定点存在，设出定点坐标，计算定点满足的关系，并代入韦达定理的结论化简后，利用常数、定值得参数值，从而说明定点存在，否则不存在27（1）；（2）0.【分析】（1）设，由得点坐标，由双曲线的对称性，得，结合四边形的面积得可得答案.（2）当直线的斜率不存在时，由圆与的方程联立求出坐标可得答案；当直线的斜率存在时，设，得直线与圆相切，可得，再由直线与双曲线方程联立，结合韦达定理可得答案.【详解】（1）设，由直线是双曲线的一条渐近线，得，因为双曲线的准线方程为，由得，所以，由双曲线的对称性，得，由四边形的面积为4

28、，可得，即，结合得，所以双曲线的方程为.（2）当直线的不斜率存在时，对于圆，不妨考虑，则由得，所以，所以.当直线的斜率存在时，设，因为直线与相交于，两点，所以.因为直线与圆相切，所以，即（*），设，由消得，结合（*），有，所以，所以，.结合（*），得.综上，.28(1)，离心率为(2)【分析】（1）依题意用点到直线的距离公式列方程可得c，然后由渐近线斜率和几何量关系列方程组可解；（2）设直线方程联立双曲线方程消元，利用韦达定理表示出直线，的斜率可得直线的方程，数形结合可解.（1）由题意知焦点到渐近线的距离为，则因为一条渐近线方程为，所以，又，解得，所以双曲线的标准方程为，离心率为（2）设直线：

29、，联立则，所以，由解得或（舍去），所以，：，令，得，所以的面积为29(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据渐近线方程得到，结合点到直线距离公式求出，利用求出，写出双曲线方程；（2）联立直线与双曲线方程，写出两根之和，两根之积，表达出直线AM与BN的方程，联立后求得交点横坐标满足.（1）双曲线的渐近线方程为，所以.又焦点到直线的距离，所以，又，所以，所以双曲线C的标准方程为.（2）证明：联立方程组消去y，并整理得.设，则，.设，（），则得直线AM的方程为，直线BN的方程为，两个方程相减得，因为，把上式代入得：，所以，因此直线AM与BN的交点在直线上.【点睛】直线与双曲线结合的题目，一般处理思路

30、，设出直线方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理得到两根之和，两根之积，再利用题干条件列出方程，将问题转化为两根之和与两根之积问题，代入求解.30(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据渐近线方程得到，结合点到直线距离公式求出，利用求出，写出双曲线方程；（2）联立直线与双曲线方程，写出两根之和，两根之积，表达出直线AM与BN的方程，联立后求得交点横坐标满足.（1）双曲线的渐近线方程为，所以.又焦点到直线的距离，所以，又，所以，所以双曲线C的标准方程为.（2）证明：联立方程组消去y，并整理得.设，则，.设，（），则得直线AM的方程为，直线BN的方程为，两个方程相减得，因为，把上式代入得：，所以，因此直线AM与BN的交点在直线上.【点睛】直线与双曲线结合的题目，一般处理思路，设出直线方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理得到两根之和，两根之积，再利用题干条件列出方程，将问题转化为两根之和与两根之积问题，代入求解.