专题突破卷15 三角形的“四心”及奔驰定理（解析版）.docx

1、专题突破卷15三角形的“四心”及奔驰定理1.内心问题1已知点是所在平面上的一点，的三边为，若，则点是的（）A外心B内心C重心D垂心【答案】B【分析】在，上分别取点，使得，以，为邻边作平行四边形，即可得到四边形是菱形，再根据平面向量线性运算法则及共线定理得到，三点共线，即可得到在的平分线上，同理说明可得在其它两角的平分线上，即可判断.【详解】在，上分别取点，使得，则以，为邻边作平行四边形，如图，则四边形是菱形，且为的平分线，即，三点共线，即在的平分线上同理可得在其它两角的平分线上， 是的内心故选：B2已知点O是的内心，则（）ABC2D【答案】D【分析】连接并延长交于点，连接，则由角平分线定理得到

2、的长度关系，再由平面向量基本定理，利用三点共线，得到关系式，比较系数可得答案.【详解】连接并延长交于点，连接，因为O是的内心，所以为的平分线，所以根据角平分线定理可得，所以,因为三点共线，所以设，则，因为，所以，故选：D3三角形的四心是指三角形的重心外心内心垂心.三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点（或三角形外接圆的圆心），三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点（或内切圆的圆心），三角形的垂心是三角形三边上的高所在直线的交点，三角形的重心是三角形三条中线的交点.三角形的四心具有丰富的数学知识与内在联系.当且仅当三角形是正三角形的时候，重心垂心内心外心四心合一，称作正三角形的中心.如图，

3、是的垂心，分别交于，则是的（）A内心B外心C重心D垂心【答案】A【分析】根据题意，结合圆内接四边形的性质，分别证得和四点共圆，得到，即平分，同理证得平分，平分，即可得到答案.【详解】因为是的垂心，所以，所以，所以四点共圆，所以，又因为是的垂心，所以所以，所以四点共圆，所以，即平分.同理：平分，平分，所以是的内心.故选：A.4校考期末）已知为的内心，且满足，若内切圆半径为2，则其外接圆半径的大小为（）AB3CD4【答案】A【分析】取边的中点，根据给定条件可得，求出，进而求出及，再利用正弦定理求解作答.【详解】在中，取边的中点，连接，则，而，有，因此点共线，由为的内心，得平分，即有，因此，有，令内

4、切圆与边切于点，连接，则，在中，令外接圆半径为，由正弦定理得.故选：A5在中，是的内心，若，其中，则动点的轨迹所覆盖图形的面积为（）ABCD【答案】D【分析】利用向量加法的平行四边形法则可判断点的轨迹，由余弦定理求解边长，即可由等面积法求解内切圆半径，即可由三角形面积公式求解.【详解】由，根据向量加法的平行四边形法则可知：动点的轨迹是以，为邻边的平行四边形及其内部，其面积为的面积的2倍.在中，设内角所对的边分别为，由余弦定理，得.设的内切圆的半径为，则，所以，解得，所以.故动点的轨迹所覆盖图形的面积为.故选：D.6设为的内心，则（）ABCD【答案】B【分析】取的中点，连，则为内切圆的半径，利用

5、面积关系求出，得，再根据得，由平面向量基本定理求出可得答案.【详解】取的中点，连，因为，所以，所以的内心在线段上，为内切圆的半径，因为，所以，所以，得，所以，所以，又，所以，又已知，所以，所以.故选：B.【点睛】关键点点睛：利用面积关系求出内切圆半径,进而得到是本题解题关键.2.外心问题7 中，为边上的高且，动点满足，则点的轨迹一定过的（）A外心B内心C垂心D重心【答案】A【分析】设，以为原点，、方向为、轴正方向建立空间直角坐标系，根据已知得出点的坐标，设，根据列式得出点的轨迹方程为，即可根据三角形四心的性质得出答案.【详解】设，以为原点，、方向为、轴正方向如图建立空间直角坐标系，则，则，设，

6、则，即，即点的轨迹方程为，而直线平分线段，即点的轨迹为线段的垂直平分线，根据三角形外心的性质可得点的轨迹一定过的外心，故选：A.8M为ABC所在平面内一点，且，则动点M的轨迹必通过ABC的（）A垂心B内心C外心D重心【答案】C【分析】设边的中点为，结合向量的线性运算法则化简向量等式可得，由数量积的性质可得，由此可得结论.【详解】设边的中点为，因为，所以，所以，所以，所以，所以，又点为边的中点，所以点在边的垂直平分线上，所以动点M的轨迹必通过ABC的外心，故选：C.9已知点O为所在平面内一点，在中，满足，则点O为该三角形的（）A内心B外心C垂心D重心【答案】B【分析】由，利用数量积的定义得到，从

7、而得到点O在边AB的中垂线上，同理得到点O在边AC的中垂线上判断.【详解】解：根据题意，即，所以，则向量在向量上的投影为的一半，所以点O在边AB的中垂线上，同理，点O在边AC的中垂线上，所以点O为该三角形的外心故选：B10在中，设，那么动点的轨迹必通过的（）A垂心B内心C重心D外心【答案】D【分析】设线段的中点为，推导出，结合外心的定义可得出结论.【详解】设线段的中点为，则、互为相反向量，所以，因为，即，所以，即，即，即，所以，垂直且平分线段，因此动点的轨迹是的垂直平分线，必通过的外心.故选：D.11已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P的轨迹一定经过的 (从

8、“重心”，“外心”，“内心”，“垂心”中选择一个填写）【答案】外心【分析】为中点，连接，计算，得到，得到答案.【详解】如图所示：为中点，连接，故，即，故的轨迹一定经过的外心.故答案为：外心12在中，动点P满足，则P点轨迹一定通过的（）A外心B内心C重心D垂心【答案】A【分析】由变形得，设的中点为，推出，点P在线段AB的中垂线上，再根据外心的性质可得答案.【详解】因为，所以，所以，设的中点为，则，则，所以，所以点P在线段AB的中垂线上，故点P的轨迹过的外心.故选：A3.垂心问题13（多选）已知，在所在的平面内，且满足，则下列结论正确的是（）A为的外心B为的垂心C为的内心D为的重心【答案】BD【分

9、析】由平面向量数量积的运算，线性运算及三角形五心的性质即可判断出答案【详解】由题意，所以，即0，所以，同理可得：，所以M为的垂心；A错误,B正确；因为所以，所以，设AB的中点D，则，所以，所以C，N，D三点共线，即N为的中线CD上的点，且，所以N为的重心,C错误,D正确.故选:BD.14（多选）已知为的垂心，面积为，则一定有（）ABCD【答案】ABC【分析】对于A，由正弦定理边化角，结合三角形的内角和以及三角恒等变换即可求出角；对于B，根据已知条件将转化为，运用数量积公式求出，再根据面积公式求出的面积；对于C，根据余弦定理以及重要不等式即可求解；对于D，取的中点，连接，假设成立，得出三点共线，

10、进而结合以上选项得出结论.【详解】依题意，如图所示，对于A，由正弦定理，得，即，又，A正确；对于B，即，为的垂心，即，B正确；对于C，由余弦定理得，当且仅当时，等号成立，此时，C正确；对于D，取的中点，连接，则，假设成立，则，此时三点共线，又，为等边三角形，与题意不符，D错误. 故选：ABC.15已知为的垂心（三角形的三条高线的交点），若，则 .【答案】/【分析】由题可得，利用，得，可得， 再利用平方关系结合条件即得.【详解】因为，所以，同理，由H为ABC的垂心，得，即，可知，即，同理有，即，可知，即，所以， ，又，所以故答案为：.16已知的垂心为点，面积为15，且，则 ；若，则 .【答案】

11、30 25【分析】利用向量的运算表示出，利用数量积运算可得答案；先利用面积及第一空结果求出，对平方可求模长.【详解】如图，是的边上的高，则；设，因为，面积为15，所以，即；.由第一空可知，所以；所以，由可得，即；因为，所以；故答案为：3025.17若是内一点，且，则为的（）A垂心B重心C外心D内心【答案】A【分析】根据条件，可得，即，从而可得答案.【详解】因为，所以，即，则，即是三条高线的交点，为的垂心.故选：A.4.重心问题18若是内一点，则是的（）A内心B外心C垂心D重心【答案】D【分析】利用向量的加法法则，结合重心定义判断作答.【详解】取线段的中点，连接，则，而，因此，即三点共线，线段是

12、的中线，且是靠近中点的三等分点，所以是的重心.故选：D19已知为所在平面内一点，是的中点，动点满足，则点的轨迹一定过的（）A内心B垂心C重心D边的中点【答案】C【分析】由动点满足，且，得到三点共线，进而得到答案.【详解】由动点满足，且，所以三点共线，又因为为的中点，所以为的边的中线，所以点的轨迹一定过的重心.故选：C.20边长为2的等边三角形ABC的重心为G，设平面内任意一点P，则的最小值为 【答案】【分析】由题意，建立直角坐标系，表示出坐标，利用数量积的坐标表示，建立函数关系，可得答案.【详解】由题意，设等边的边长为，以的中点为原点，以分别为轴建立直角坐标系，可作图如下：由为等边的重心，则，

13、即，设，则，对于，故.故答案为：.21已知是平面上的4个定点，不共线，若点满足，其中，则点的轨迹一定经过的（）A重心B外心C内心D垂心【答案】A【分析】设边的中点为，则，进而结合题意得，再根据向量共线判断即可.【详解】解：根据题意，设边的中点为，则，因为点满足，其中所以，即，所以，点的轨迹为的中线，所以，点的轨迹一定经过的重心.故选：A22O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：，则直线AP一定通过ABC的（）A外心B内心C重心D垂心【答案】C【分析】取线段BC的中点E，则动点P满足：，则即可判断出结论【详解】取线段BC的中点E，则动点P满足：，则则.则直线AP一定

14、通过ABC的重心故选：C23O是平面内一定点，A，B，C是平面内不共线三点，动点P满足，则P的轨迹一定通过的（）A外心B垂心C内心D重心【答案】D【分析】根据向量线性关系可得，结合的几何意义判断所过的点，即可得答案.【详解】由题设，而所在直线过中点，即与边上的中线重合，且，所以P的轨迹一定通过的重心.故选：D5.奔驰定理24设点在内部，且，则与的面积之比为 .【答案】【解析】本题可根据奔驰定理以及得出结果.【详解】因为点在内部，满足奔驰定理，且，所以与的面积之比为，故答案为：.【点睛】本题考查奔驰定理在解决向量问题中的应用，奔驰定理可用来解决三角形中的面积比值问题，考查计算能力，是简单题.25

15、已知点A，B，C，P在同一平面内，则等于（）A143B194C245D296【答案】B【分析】先根据向量的线性运算得到，然后再利用奔驰定理即可求解.【详解】由可得：,整理可得：，由可得，整理可得：，所以，整理得：，由奔驰定理可得：，故选：.26已知是内的一点，若的面积分别记为，则.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（）ABCD【答案】A【分析】延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，利用同底的两个三角形面积比推得即可求解作答.【详解】是的垂心，延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，如图，则，

16、因此，同理，于是得，又，即，由“奔驰定理”有，则，而与不共线，有，即，所以.故选：A27如图所示，点是内一点，若，且，则 .【答案】【分析】方法一：根据三角形的面积利用奔驰定理可得，然后利用平面向量的线性运算得出，进而求解即可.方法二：以为重心，在内作，根据重心的性质和平面向量的线性运算即可求出，进而求解即可.【详解】方法一：因为，所以，由奔驰定理可得：，即，整理可得：，即，所以，则，故答案为：.方法二：在上取一点，使得，在上取一点，使得，连接，所以，所以为的重心，所以，也即，所以，即，整理可得：，即，所以，则，故答案为：.28（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对

17、应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，的面积分别为，则.若是锐角内的一点，是的三个内角，且点满足.则（）A为的外心BCD【答案】BCD【分析】由根据数量积的运算律可得,可得为的垂心；结合与三角形内角和等于可证明B选项；结合B选项结论证明即可证明C选项，利用奔驰定理证明可证明D选项【详解】解：因为，同理，故为的垂心，故A错误；，所以，又，所以，又，所以，故B正确；故，同理，延长交与点，则，同理可得，所以，故C正确；，同理可得，所以，又，所以，故D正确故选：BCD29奔驰定理：已知是内的一点，的面积分别为，则“奔驰定理

18、”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若是锐角内的一点，是的三个内角，且点满足，则必有（）ABCD【答案】C【分析】利用已知条件得到为垂心，再根据四边形内角为及对顶角相等，得到，再根据数量积的定义、投影的定义、比例关系得到，进而求出的值，最后再结合“奔驰定理”得到答案.【详解】如图，因为，所以，同理，所以为的垂心。因为四边形的对角互补，所以，同理，又由奔驰定理得.故选C1已知点O是边长为的等边ABC的内心，则 【答案】1【分析】根据正三角形，求出|的值，及，的两两夹角大小，将所求表达式展开

19、，利用向量的数量积定义求解即可【详解】设D为BC的中点，因为点O是边长为的等边ABC的内心，所以 ，两两夹角为120，且|AD|所以221.故答案为：12已知点是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则点的轨迹一定通过的（ ）A外心B内心C重心D垂心【答案】B【分析】由题设条件得到，从而判断出点P在的平分线上，由此得到点的轨迹一定通过的内心.【详解】分别表示方向的单位向量，令，则，即，又，以为一组邻边作一个菱形，则点P在该菱形的对角线上，所以点P在，即的平分线上，故动点P的轨迹一定通过的内心.故选：B.3在中，点D，E分别在线段，上，且D为中点，若，则直线经过的（）.A内心B外心C重

20、心D垂心【答案】A【分析】根据题意，可得四边形为菱形，即可得到平分，从而得到结果.【详解】因为，且D为中点，则，又因为，则可得四边形为菱形，即为菱形的对角线，所以平分，即直线经过的内心故选:A4在平行四边形中，为的重心，则 【答案】【分析】设与相交于点，根据为的重心，化简得到，结合，求得和的值，即可求解.【详解】如图所示，设与相交于点，由为的重心，可得为的中点，且，则，因为，所以，故.故答案为：.5设点O在的内部，且，则的面积与的面积之比是 【答案】5【分析】由题意可得，再根据奔驰定理即可解出【详解】由变形可得：，整理可得：，根据奔驰定理可得：，则.故答案为：5.6（多选）已知点是所在平面内任

21、意一点，下列说法中正确的是（）A若，则为的重心B若，则为的内心C若为的重心，是边上的中线，则D若，则【答案】AD【分析】取的中点，则，得，即可判断A；若，则为的外心，不一定是内心，即可判断B；由题意，则，即可判断C；取的中点，则，得，即可判断D.【详解】取的中点，连接，则，若，则，则三点共线，且，则为的重心，故A正确；若，则为的外心，不一定是内心，故B错误；若为的重心，是边上的中线，则，则，故C错误；取的中点，连接，则，若，则，则三点共线，且，则，故D正确.故选：AD.7已知点，在所在平面内，且，则点，依次是的（）A重心、外心、垂心B重心、外心、内心C外心、重心、垂心D外心、重心、内心【答案】

22、A【分析】根据向量的运算逐个分析判断即可【详解】由，得，所以，设的中点为，连接，则，所以，所以点在边上的中线上，同理可得也在的中线上，所以点是的重心，由，得，所以到的三个顶点的距离相等，所以为的外心，由，得，所以，所以，所以，同理得，所以为的垂心，故选：A8ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，G是平面ABC上一点，且满足abc，则G是ABC中的（）A内心B外心C重心D垂心【答案】A【分析】用表示出，结合图形即可得出G在BAC的角平分线上【详解】解：abc，ab（）+c（），（a+b+c）bc，即，G在BAC的角平分线上，同理可得：G在ABC的角平分线上，G是ABC的内心故选：A9（多

23、选）中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，O为其重心，分别是边a，b，c上的高若，则下列结论正确的是（）ABCD是钝角三角形【答案】BCD【分析】由点为的重心，得到，求得，进而得到，可判定A错误；再结合面积公式，余弦定理求得的值，可判定B、C、D正确.【详解】由点为的重心，可得，因为，可得，可得，即，由正弦定理可得，所以A错误；因为，分别是边上的高，可得面积满足，可得，所以，所以B正确；不妨设，由余弦定理得，所以C正确；由，因为，可得，所以为钝角三角形，所以D正确.故选：BCD.10在平面直角坐标系中，ABC的顶点坐标分别为，点C在直线上运动，O为坐标原点，G为ABC的重心，则、中正数的个

24、数为n，则n的值的集合为（）ABCD【答案】A【分析】利用重心的坐标公式，找出点，再结合平面向量数量积的坐标运算法则，解不等式，分类讨论即可.【详解】设，因为G为ABC的重心，则点，令，则；令则；令，则，不等式恒成立，所以当或时，；当时，.综上：n的值的集合为.故选：A.11如图所示，已知点是的重心.(1)求；(2)若过的重心，且，求证：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据向量加法的运算，结合重心的性质即可求解，（2）根据向量的线性运算，即可根据共线求解.【详解】（1）如图所示，延长交于点，则是的中点，是的重心，； （2）是边的中点，又是的重心， ，而，、三点共线，有且只有一个实

25、数，使得， ， 与不共线，且消去，得.12设点P在内且为的外心，如图.若的面积分别为，x，y，则的最大值是 .【答案】/【分析】根据奔驰定理可得，等式两边同时平方，结合题意和外心的定义可得，利用基本不等式计算即可求解.【详解】根据奔驰定理得，即，平方得，又因为点P是的外心，所以，且，所以， ，解得，当且仅当时取等号.所以.故答案为：.13（多选）已知的重心为，外心为，内心为，垂心为，则下列说法正确的是（）A若是中点，则B若，则C与不共线D若，则【答案】ABD【分析】连接交于点，得，根据三角形相似可判断A；取的中点得，所以，再可判断B；点为垂心得， 利用得，可得与共线可判断C；分别做、交、于、点，设内切圆半径为得，利用得，得，从而求出，再由余弦定理可得，再利用，求出可判断D.【详解】对于A，连接交于点，则点是的中点，是中点，连接，所以，所以，可得，故A正确；对于B，取的中点，连接、，因为点为外心，所以，所以，若，则，所以，故B正确；对于C，因为点为垂心，所以， 因为，所以，而，所以与共线，故C错误；对于D，分别做、交、于、点，连接延长交于点，可得，设内切圆半径为，则，所以，所以， 即，所以， 即，由可得，在中由余弦定理可得，因为，可得，所以，故D正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：在选项D中，解题的关键点是利用、求出，考查了学生的思维能力及运算能力.