专题训练(五)　证明三角形全等四种添加辅助线的方法.docx

1、专题训练(五)证明三角形全等四种添加辅助线的方法方法一直接连线构造全等三角形1如图5ZT1所示，ABAD，BCDC.求证：ABCADC.图5ZT12如图5ZT2，ABAE，ABCAED，BCED，AFCD.求证：F是CD的中点图5ZT23如图5ZT3，AC，BD相交于点O，且ABDC，ACDB.求证：ABODCO.图5ZT3方法二倍长中线构造全等三角形4如图5ZT4，AD是ABC的边BC上的中线，AB4，AC8，求中线AD的取值范围图5ZT45如图5ZT5，CE，CB分别是ABC，ADC的中线，且ABAC.求证：CD2CE.(提示：等腰三角形的两底角相等)图5ZT5方法三作垂直构造全等三角形6

2、如图5ZT6，四边形ABCD中，BCBA，ADCD，BD平分ABC.求证：AC180.图5ZT67如图5ZT7，AOB90，OM平分AOB，将直角三角板的顶点P在射线OM上移动，两直角边与OA，OB分别交于点C，D，PC与PD相等吗？试说明理由图5ZT7方法四翻折构造全等三角形8如图5ZT8所示，BE平分ABC，E为AD的中点，且BCBACD.求证：CE平分BCD.图5ZT892019南京二模命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”)已知：如图5ZT9，ABC中，BC.求证：ABAC.三名同学作出了三种不同的辅助线，并完成了命题的证明小刚的方法：作BAC的平分线AD，可证AB

3、DACD，得ABAC；小亮的方法：作BC边上的高AD，可证ABDACD，得ABAC；小莉的方法：作BC边上的中线AD.(1)请你写出小刚与小亮的方法中ABDACD的理由：_；(2)请你按照小莉的思路完成命题的证明图5ZT9详解详析1证明：连接AC，在ABC与ADC中，ABCADC，(SSS)ABCADC.2证明：如图，连接AC，AD.在ABC和AED中，ABCAED，(SAS)ACAD.AFAD，AFCAFD90.在RtACF和RtADF中，RtACFRtADF，(HL)CFDF，F是CD的中点3证明：连接BC.在ABC和DCB中，ABCDCB，(SSS)ABCDCB，ACBDBC，ABCDB

4、CDCBACB，即ABODCO.4解析 通过作辅助线，把AB，AD，AC转化到同一个三角形中，如图，证ADBEDC，推出ECAB，在ACE中，利用三角形的三边关系求解解：如图，延长AD到点E，使ADDE，连接CE.D是BC的中点，BDCD.在ADB和EDC中，ADBEDC，(SAS)ECAB4，ACECACAB844，ACECACAB12.在ACE中，根据三角形的三边关系，得4AE12.AE2AD，2AD6.5证明：延长CE到点F，使EFCE，连接FB.CE是ABC的中线，AEEB.在AEC和BEF中，AECBEF，(SAS)AEBF，ACBF.ABAC，ABCACB，CBDAACBEBFAB

5、CCBF.CB是ADC的中线，ABBD，又ABAC，ACBF，BFBD.在CBF和CBD中，CBFCBD，(SAS)CDCFCEEF2CE.6证明：如图，过点D作DEBA于点E，DFBC交BC的延长线与点F.BD平分ABC，DBEDBF.DEAB，DFBC，BEDBFD90.在DBE和RtDBF中，DBEDBF，(AAS)DEDF.在RtDEA和RtDFC中，RtDEARtDFC，(HL)ADCF.BCDDCF180，ABCD180.7解：PC与PD相等理由如下：过点P作PEOA于点E，PFOB于点F.OM平分AOB，POEPOF.在OPE与OPF中，OPEOPF，(AAS)PEPF.AOB9

6、0，PEOPFO90，EPF90，EPCCPF90.又CPD90，CPFFPD90，EPCFPD90CPF.在PCE与PDF中，PCEPDF，(ASA)PCPD.8解析 在BC上截取BFBA.根据SAS证明BAEBFE，再证明CEFCED即可证明：如图，在BC上截取BFBA，连接EF.BE平分ABC，ABEFBE.在BAE和BFE中，BAEBFE，(SAS)AEFE.E是AD的中点，DEAEFE.又BCBACD，BABF，CDCF.在CED和CEF中，CEDCEF，(SSS)FCEDCE，即CE平分BCD.9解：(1)AAS(2)证明：过点D作DEAB于点E，DFAC于点F.AD是BC边上的中线，BDCD.在BDE和CDF中，BDECDF，(AAS)BECF，DEDF.在RtAED和RtAFD中，RtAEDRtAFD，(HL)AEAF，AEBEAFCF，即ABAC.