人教版九年级数学上册思维特训(十七)　分类讨论思想在圆中的应用.docx

1、思维特训(十七)分类讨论思想在圆中的应用方法点津 分类讨论的数学思想：当面临的问题存在一些不确定因素，解答方法或结论不能给予统一表述的数学问题我们往往将问题划分为若干类或若干个局部问题来解决具体步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体范围；其次要确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥(没有重复)；再对所分类别逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳，综合得出结论典题精练 类型一由点的位置的不确定性引起的分类讨论当题中给出的某个点的位置不确定时，要考虑到这个点的所有可能位置，进而画出符合题意的图形并求解1已知O的半径为5，直线l上有一点P满足PO5，则直

2、线l与O的位置关系是()A相切 B相离 C相离或相切 D相切或相交2已知点P到O上的点的最大距离是7 cm，最小距离是1 cm，则O的半径是()A4 cm B3 cmC4 cm或3 cm D6 cm3如图171，AB，AC分别与O相切于点B，C，A50，P是圆上异于B，C的一动点，则BPC的度数是()图171A65 B115C65或115 D130或5042019潍坊A，C是半径为3的圆周上两点，B为的中点，以线段BA，BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为()A.或2 B.或2 C.或2 D.或2 52019荆州如图172，A，B，C是O上的三点，且四边形

3、OABC是菱形若D是O上异于A，B，C的另一点，则ADC的度数是_图1726如图173，已知AB是O的弦，半径OA2 cm，AOB120，点P在O上(不与点A，B重合)，当SPOASAOB时，求的长图1737如图174，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是(1，0)，(7，0)对于坐标平面内的一点P，给出如下定义：如果APB45，则称点P为线段AB的“等角点”显然，线段AB的“等角点”有无数个，且A，B，P三点共圆(1)设A，B，P三点所在圆的圆心为C，直接写出点C的坐标和C的半径(2)在y轴的正半轴上是否存在线段AB的“等角点”？如果存在，求出“等角点”的坐标；如果不存在，请说明

4、理由图174类型二由圆的对称性引起的分类讨论当圆中给出两条弦的长度，但是没有给出图形时，通常根据圆的对称性分两弦在圆心的同侧和两弦在圆心的两侧两种情况进行讨论8已知O的直径AB13，C为O上的一点，已知CDAB，垂足为D，并且CD6，求AD的长9在直径为50的O中，有两条弦AB和CD，ABCD，且AB为40，弦CD为48，求AB与CD之间距离类型三由外心与三角形的形状的关系引起的分类讨论锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形外部，直角三角形的外心在斜边的中点处10若点O是ABC的外心，且BOC70，则BAC的度数为()A35 B110 C35或145 D35或14011若点O是

5、等腰三角形ABC的外心，且BOC60，底边BC2，求ABC的面积类型四由图形的运动引起的分类讨论图形的运动问题，要抓住在图形变化过程中几种特殊静态位置的关键要素，从而进行逐一讨论122019烟台 如图175，RtABC的斜边AB与量角器的零刻度线恰好重合，点B与零刻度线的一端重合，ABC40，射线CD绕点C转动，与量角器外沿交于点D.若射线CD将ABC分割出以BC为边的等腰三角形，则点D在量角器上对应的度数是()A40 B70 C70或80 D80或140图175 图17613.如图176，已知一动圆的圆心P在抛物线yx23x3上运动若P的半径为1，点P的坐标为(m，n)，当P与x轴相交时，点

6、P的横坐标m的取值范围是_14如图177，平面直角坐标系的长度单位是厘米，直线AB分别与x轴、y轴相交于B，A两点若OA6厘米，ABO30，点C在射线BA上以3厘米/秒的速度运动，以点C为圆心作半径为1厘米的C.点P以2厘米/秒的速度在线段OA上来回运动，过点P作直线lx轴若点C与点P同时从点B、点O开始运动设运动时间为t秒，则在整个运动过程中直线l与C相切时t的值为_图17715问题情境：老师给出了这样一道题：如图178，已知ABC是O的内接三角形，且ABAC，P是劣弧BC上的动点，连接PB并延长到点E，连接PC并延长到点F.鹏鹏同学发现FPAEPA，理由是ABCFPA，ACBEPA.又因为

7、ABAC，所以ABCACB，所以FPAEPA.请你说出鹏鹏运用的是圆周角的哪个性质：_.深入探究：爱钻研的程程将动点P放到了劣弧AC上，连接CP并延长到点F，如图所示，其他条件不变请你判断FPA与EPA之间还相等吗？并证明拓展提高：当点P与点C重合，点E与点B重合时，过点P作FPAEPA，如图所示，其他条件不变请你判断射线PF是不是O的切线，并说明理由图17816如图179，在ABC中，AB10，AC8，BC6，M是AB的中点，点D在线段AC上，且D是MN的中点，E是AC的中点，NFAC于点F.设ADx，MDy.(1)求NF；(2)确定x与y的数量关系；(3)若N的半径为AN，那么x取何值时，

8、N与ABC的边相切图179典题讲评与答案详析1D解析 当PO垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d5r，O与直线l相切；当PO不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d5r，O与直线l相交故直线l与O的位置关系是相切或相交2C3.C4D解析 设圆的圆心为O.过点B作O的直径，连接AC交BO于点E.B为的中点，BDAC.(1)如图.D恰在该圆直径的三等分点上，BD232，ODOBBD1.四边形ABCD是菱形，DEBD1，OE2.连接OC.CE，CD.(2)如图，BD234.同理可得OD1，OE1，DE2.连接OC.CE2 ，CD2 .560或120解析 如图，连接OB.四边形OABC是菱形，A

9、BOAOBBCOC，AOB，BOC都是等边三角形，AOBBOC60，AOCAOBBOC120，ADCAOC60，ADC180ADC120.6.解：OAOB，OABOBA.又AOB120，OABOBA30.如图，延长BO交O于点P1.OP1OB，SAOP1SAOB，此时1(22)2.过点P1作P1P2OA交O于点P2，此时SAOP2SAOB.AOB120，AOP160，OP1P2AOP160.OP1OP2，OP1P2是等边三角形，即P1OP260，BOP2120，2.过点B作BP3OA交O于点P3，此时SAOP3SAOB.AOB120，P3BO60.OP3OB，OBP3是等边三角形，即P3OB6

10、0，.综上可得，的长为2，或.7解：(1)如图，在x轴的上方，作以AB为斜边的等腰直角三角形ACB，易知A，B，P三点在C上，圆心C的坐标为(4，3)，半径为3 .根据对称性可知点C(4，3)也满足条件综上所得，点C的坐标为(4，3)或(4，3)，C的半径为3 .(2)在y轴的正半轴上存在线段AB的“等角点”如图所示，当圆心为C(4，3)时，过点C作CDy轴于点D，则D(0，3)，CD4.C的半径r3 4，C与y轴相交设交点为P1，P2，此时P1，P2在y轴的正半轴上，连接CP1，CP2，则CP1CP2CAr3 .CDy轴，CD4，CP13 ，DP1DP2，P1(0，3)，P2(0，3)即“等

11、角点”的坐标为(0，3)或(0，3)8解：分两种情况：(1)如图，当CD靠近点A时，连接OC，则OD，所以ADOAOD4.(2)如图，当CD靠近点B时，同理可得OD，所以ADOAOD9.综上可得，AD的长为4或9.9解：分两种情况：(1)如图所示，当两弦位于圆心的同侧时，过点O作OMAB于点M，交CD于点N，连接OB，OC.ABCD，ONCD.在RtBMO中，OB25.由垂径定理，得BMAB4020，OM15.同理可求ON7，MNOMON1578.(2)如图所示，当两弦位于圆心的两侧时，同理可得MNOMON15722.综上可得，AB与CD之间的距离为8或22.10C解析 (1)当点O在三角形的

12、内部时(如图所示)，BACBOC35；(2)当点O在三角形的外部时(如图所示)，BAC(36070)145.综上可得，BAC的度数为35或145.11解：如图所示，存在两种情况：(1)当ABC为A1BC时，连接OB，OC.点O是等腰三角形ABC的外心，且BOC60，底边BC2，OBOC，OBC为等边三角形，OBOCBC2，OA1BC，设垂足为D，CD1，OD，SA1BCBCA1D2(2)2.(2)当ABC为A2BC时，同理可得OA2OB2，OD，SA2BCBCA2D2(2)2.综上可得，ABC的面积为2或2.12全品导学号：04402485D13全品导学号：044024863m2或4m3142

13、或或解析 过点C作CDx轴于点D.在RtBCD中，CBD30，BC2CD.OA6，ABO30，AB12.在点P向点A运动的过程中，如图，直线l与C第一次相切由题意，得OP2t，BC3t，CD2t1，3t2(2t1)，解得t2.如图，当点P到达点A返回点O处时，C在直线l下方与直线l第二次相切由题意，得OP6(2t6)122t，CD122t1，3t2(122t1)，解得t.如图，当点P到达点A返回点O处时，C在直线l上方与直线l第三次相切由题意，得OP6(2t6)122t，BC3t，CD122t1，3t2(122t1)，解得t.综上可得，直线l与C相切时，t的值为2，或.15解：问题情境：同弧所

14、对的圆周角相等深入探究：FPA与EPA相等证明：在圆内接四边形ABCP中，APCABC180，APCFPA180，ABCFPA.ABCACB，ACBEPA，EPAABCFPA，即FPAEPA.拓展提高：射线PF是O的切线理由如下：如图，连接PO并延长，交O于点D，连接AD.易得DAP90，ADPDPA90.ABCACB，ACBFPA，ABCADP，FPAADP，FPADPA90，即DPF90.DC是O的直径，射线PF是O的切线16解：(1)AB10，AC8，BC6，AB2AC2BC2，ACB90.易得ME是ABC的中位线，MEBC，且MEBC63，AEMACB90，MEF90.D是MN的中点，

15、MDND.NFAC于点F，NFE90MEF.在MED和NFD中，MEDNFD，NFME3.(2)E是AC的中点，AC8，AECEAC4，DEx4.在RtMED中，由勾股定理，得MD2ME2DE2，即y232(x4)2，整理，得y2x28x25.(3)延长MA到点P，使APMA，过点P作PQAC交MC的延长线于点Q.由(1)知NFME，又ACPQ，可得AC与PQ之间的距离总等于ME，则不论x取何值，点N总在PQ上过点A作AN1AC(如图(a)，交PQ于点N1，则N1与AC相切于点A.设MN1与AC交于点D1，可得AN1D1MED1，所以xAE42.过点A作AN2AB(如图(b)，交PQ于点N2，则N2与AB相切于点A.设MN2与AC交于点D2.D2是MN2的中点，MD2AD2D2N2x.AE4，D2E4x.在RtMD2E中，有32(4x)2x2，解得x.取点N3(如图(c)，使N3到BC的距离等于AN3，则N3与BC相切于点K.设MN3与AC交于点D3，过N3作N3HAC于点H，易得四边形N3HCK是矩形，N3KHCAN3.由于N3HME3，HD3ED34x，AHAD3HD3x(4x)2x4，AN3HCACAH8(2x4)122x.在RtAHN3中，有32(2x4)2(122x)2，解得x.综上可得，当x的值为2，或时，N与ABC的边相切14