人教版高中数学必修二第四章圆与方程4.1圆的方程（教师版）【个性化辅导含答案】.docx

1、圆的方程_掌握圆的标准方程会求圆的标准方程；圆的一般方程和代入法的掌握、应用一、圆的标准方程1平面内到定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆，定点是圆心，定长是半径2确定圆的几何要素：(1)不共线三点确定一个圆，圆心在任意两点连线段的中垂线上，三点确定的三角形叫该圆的内接三角形，该圆叫做这个三角形的外接圆，圆心叫做三角形的外心(2)圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，只要圆心和半径确定下来，圆也就确定下来了，因此求圆的方程必须具备三个独立条件3圆心为(a，b)半径为r(r0)的圆的方程为：(xa)2(yb)2r2，称作圆的标准方程特别地，圆心在原点、半径为r的圆方程为x2y2r2.4点P(x0

2、，y0)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系P在圆外(x0a)2(y0b)2r2，P在圆上(x0a)2(y0b)2r2，P在圆内(x0a)2(y0b)20时，方程表示以为圆心，为半径的圆；(2)当D2E24F0时，方程表示一个点；(3)当D2E24F0 3点P(x0，y0)与圆x2y2DxEyF0(D2E24F0)的位置关系是：P在圆内x02+y02+Dx0+Ey0+F0.4求轨迹方程的五个步骤：(1)建系：建立适当的坐标系，用(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；(2)设点：写出适合条件P的点M的集合PM|p(M)；(3)列式：用坐标(x，y)表示条件p(M)，列出方程F(x，y)0；(4

3、)化简：化方程F(x，y)0为最简形式；(5)查漏、剔假：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点类型一 圆的标准方程例1：写出下列方程表示的圆的圆心和半径(1)x2y22；(2)(x3)2y24；(3)x2(y1)29；(4)(x1)2(y2)28.解析：用圆的标准方程的公式解决答案：(1)圆心(0,0)，半径为.(2)圆心(3,0)，半径为2.(3)圆心(0,1)，半径为3.(4)圆心(1，2)，半径为2.练习1：已知圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)，试根据下列条件，分别写出a、b、r应满足的条件：(1)圆心在x轴上；(2)圆与y轴相切；(3)圆过原点且与y轴相切；(4)圆

4、与两坐标轴均相切答案：(1)b0.(2)r|a|(a0)(3)r|a|(a0，b0)(4)|a|b|r(a0，b0)练习2：已知圆的方程为，试判断点是在圆上，圆内，还是在圆外？答案： 点在圆上 点在圆外 点在圆内例2：过两点P(2,2)、Q(4,2)，且圆心在直线xy0上的圆的标准方程是()A(x3)2(y3)22B(x3)2(y3)22C(x3)2(y3)2D(x3)2(y3)2解析：解法一：点P(2,2)不在选项B、C、D中的圆上，排除B、C、D，故选A.解法二：设圆心坐标为(a，a)，半径为R，由题意得(a2)2(a2)2(a4)2(a2)2，解得a3.R2(32)2(32)22，故选A

5、.答案：A练习1：求经过点A(10,5)、B(4,7)，半径为10的圆的方程答案：解法一：设圆心为(a，b)整理得7ab150，即b7a15，将代入得a26a80.a2或a4，则b1或b13.故所求圆的方程为(x2)2(y1)2100或(x4)2(y13)2100.解法二：A、B的垂直平分线方程为y6(x3)即y7x15.设圆心为(a，b)，由于圆心在AB的垂直平分线上，b7a15，又(a10)2(b5)2100，将代入可得a2或a4.(以下同解法一)练习2：求满足下列条件的方程（1）圆心在原点，半径是； （2）圆心在点上，半径半径是；（3）圆心在直线上，又圆与坐标轴相切答案：（1）； （2）

6、（3）设所求的方程为： 由题意知，即或 又圆心在直线上， 或 解得：或 所求方程为或练习3：求以A(2,2)、B(5,3)、C(3，1)为顶点的三角形的外接圆的标准方程答案：设所求圆的标准方程是(xa)2(yb)2r2.由题意得，解得.故ABC的外接圆的标准方程为(x4)2(y1)25.类型二 圆的一般方程例3：m是什么实数时，关于x、y的方程(2m2m1)x2(m2m2)y2m20表示一个圆？解析：形如x2y2DxEyF0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有两种方法：由圆的一般方程的定义，若D2E24F0，则表示圆，否则不表示圆；将方程配方，根据圆的标准方程的特征求解应用这两种方法时，要注

7、意所给方程是不是x2y2DxEyF0这种标准形式若不是，则要化为这种形式再求解答案：由题意，得2m2m1m2m2，即m22m30，解得m3或m1.当m1时，原方程化为2x22y230.不合题意舍去；当m3时，原方程化为14x214y210，即x2y2，表示以原点为圆心，以为半径的圆练习1：已知方程x2y22mx2ym25m0表示圆，求：(1)实数m的取值范围；(2)圆心坐标和半径答案：(1)由题意，得D2E24F(2m)2(2)24(m25m)0，即4m244m220m0，解得m，故m的取值范围为(，)(2)将方程x2y22mx2ym25m0写成标准方程为(xm)2(y1)215m，故圆心坐标

8、为(m,1)，半径r.练习2：表示一个圆，则的取值范围是（ ） A B C D答案：C例4：已知ABC的三个顶点为A(1,4)、B(2，3)、C(4，5)，求ABC的外接圆的一般方程解析：设PQ的中点为M，则由中点坐标公式得M(1,0)点M在直线axyb0上，ab0.又PQ所在直线与直线axyb0垂直，a1，a2.故b2.答案：设ABC的外接圆的一般方程为x2y2DxEyF0，A、B、C三点在圆上，解得.ABC的外接圆的一般方程为x2y22x2y230.练习1：求过点C(1,1)和D(1,3)且圆心在直线yx上的圆的一般方程答案：设圆的方程为x2y2DxEyF0，则圆心为(，)，.所求圆的一般

9、方程为x2y22x2y20.练习2：的三个顶点坐标分别为，求其外接圆的方程答案：设圆的方程为由题意知 解得所求方程为例5：等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个端点是B(3,5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么解析：利用等腰三角形性质两腰相等答案：设另一端点C的坐标为(x，y)依题意，得|AC|AB|.由两点间距离公式，得，整理得(x4)2(y2)210.练习1：自圆x2y24上的点A(2,0)引此圆的弦AB，求弦AB的中点轨迹方程答案：设AB的中点P(x，y)，B(x1，y1)，则有xy4，且x，y.x12x2，y12y.(2x2)2(2y)24，即(x1)2y21. 当A

10、、B重合时，P与A点重合，不合题意，所求轨迹方程为(x1)2y21(x2)练习2：已知动点到定点的距离等于到的距离的倍，那么点的轨迹方程是（ ） A BC D答案：B1已知圆的方程是(x2)2(y3)24，则点P(3,2)满足()A是圆心B在圆上C在圆内D在圆外答案：C2圆(x1)2(y2)24的圆心坐标和半径分别为()A(1,2)，2B(1，2)，2C(1,2)，4D(1，2)，4答案：A3已知A(3，2)，B(5,4)，则以AB为直径的圆的方程是()A(x1)2(y1)225B(x1)2(y1)225C(x1)2(y1)2100D(x1)2(y1)2100答案：B4圆x2y22xy0的圆心

11、坐标和半径分别是()A(1，)；1B(1，)；1C(1，)；D(1，)；答案：B5方程x2y2ax2ay2a2a10表示圆，则a的范围是()AaBa2C2a0D2a答案：D6圆x2y22x6y80的周长等于()A.B2C2D4答案：C7. 若点P(1，)在圆x2y2m2上，则实数m_.答案：28. 点P(1，2)和圆C：x2y2m2xym20的位置关系是_ 答案：在圆C外部9.求经过点P(5,1)，圆心为点C(8，3)的圆的标准方程答案：由题意知，圆的半径r|CP|5，圆心为点C(8，3)圆的标准方程为(x8)2(y3)225._基础巩固1点P与圆x2y21的位置关系是()A在圆内B在圆外C在

12、圆上D与t有关答案：|PO|1，故点P在圆上C2圆(x2)2y25关于原点(0,0)对称的圆的方程是()A(x2)2y25Bx2(y2)25C(x2)2(y2)25Dx2(y2)25答案：圆(x2)2y25的圆心为(2,0)，圆心关于原点的对称点为(2,0)，即对称圆的圆心为(2,0)，对称圆的半径等于已知圆的半径，故选A.3方程2x22y24x8y100表示的图形是()A一个点B一个圆C一条直线D不存在答案：A4已知点P是圆C：x2y24xay50上任意一点，P点关于直线2xy10的对称点在圆C上，则实数a等于()A10B10C20D20答案：B. 由题意知，直线2xy10过圆C的圆心(2，

13、)，2(2)10，a10.能力提升5过点A(1,2)，且与两坐标轴同时相切的圆的方程为()A(x1)2(y1)21或(x5)2(y5)225B(x1)2(y3)22C(x5)2(y5)225D(x1)2(y1)21 答案：A6圆(x3)2(y1)225上的点到原点的最大距离是()A5B5C.D10答案：B7. 一束光线从点A(1,1)出发经x轴反射到圆C：x2y24x6y120上的最短路程是()A4B5C31D2答案：A8.经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径等于的圆的方程是_答案：(x)2y229.经过两点P(2,4)、Q(3，1)，且在x轴上截得的弦长为6的圆的方程答案：设圆的方程为x2y

14、2DxEyF0，将P、Q两点的坐标分别代入，得又令y0，得x2DxF0.由已知，|x1x2|6(其中x1，x2是方程x2DxF0的两根)，D24F36，、联立组成方程组，解得，或.所求圆的方程为x2y22x4y80或x2y26x8y0.10圆C通过不同三点P(k,0)、Q(2,0)、R(0,1)，已知圆C在点P的切线的斜率为1，试求圆C的方程答案：设圆C的方程为x2y2DxEyF0，点P(k,0)、Q(2,0)在圆上，k、2为方程x2DxF0的两根k2D,2kF.即，又因圆过点P(0,1)，故1EF0.EF12k1，故圆的方程为x2y2(k2)x(2k1)y2k0.圆心C的坐标为.又圆在点P的切线斜率为1，1，即k3，从而D1，E5，F6.即圆的方程为x2y2x5y60.