人教版高中数学必修二第四章圆与方程4.3空间直角坐标系（教师版）【个性化辅导含答案】.docx

1、空间直角坐标系_通过用类比的数学思想方法得出空间直角坐标系的定义、建立方法、以及空间的点的坐标确定方法；通过空间中两点的距离解决问题一、空间直角坐标系 1. 从空间某一定点引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系.如右图所示. 点叫做坐标原点，、和三轴分别叫做横、纵轴和竖轴，通过每两个轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面、平面、平面. 通常建立的坐标系为右手直角坐标系，即右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，中指指向轴的正方向.2空间特殊平面与特殊直线：每两条坐标轴分别确定的平面yOz、xOz、xOy，叫做坐标平面xOy平面(通过x轴和y轴的平面)是坐标形如(x，y

2、,0)的点构成的点集，其中x，y为任意的实数；xOz平面(通过x轴和z轴的平面)是坐标形如(x,0，z )的点构成的点集，其中x，z为任意的实数；yOz平面(通过y轴和z轴的平面)是坐标形如(0，y，z)的点构成的点集，其中y，z为任意的实数；x轴是坐标形如(x,0,0)的点构成的点集，其中x为任意实数；y轴是坐标形如(0，y,0)的点构成的点集，其中y为任意实数；z轴是坐标形如(0,0，z)的点构成的点集，其中z为任意实数3空间结构：三个坐标平面把空间分为八部分，每一部分称为一个卦限在坐标平面xOy上方，分别对应该坐标平面上四个象限的卦限，称为第、第、第、第卦限；在下方的卦限称为第、第、第、

3、第卦限二、关于一些对称点的坐标求法1.关于坐标平面对称2.关于坐标轴对称三、空间两点间的距离公式 一般地，空间中任意两点间的距离为 特殊地，任一点到原点的距离为类型一 空间点的坐标例1：已知棱长为2的正方体ABCDABCD，建立如图所示不同的空间直角坐标系，试分别写出正方体各顶点的坐标解析：由空间直角坐标系定义求解答案：对于图一，因为D是坐标原点，A、C、D分别在x轴、y轴、z轴的正半轴上，又正方体的棱长为2，所以D(0,0,0)、A(2,0,0)、C(0,2,0)、D(0,0,2)因为B点在xDy平面上，它在x轴、y轴上的射影分别为A、C，所以B(2,2,0)同理，A(2,0,2)、C(0,

4、2,2)因为B在xDy平面上的射影是B，在z轴上的射影是D，所以B(2,2,2)对于图二，A、B、C、D都在xDy平面的下方，所以其z坐标都是负的，A、B、C、D都在xDy平面上，所以其z坐标都是零因为D是坐标原点，A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，D在z轴的负半轴上，且正方体的棱长为2，所以D(0,0,0)、A(2,0,0)、C(0,2,0)、D(0,0，2)同得B(2,2,0)、A(2,0，2)、C(0,2，2)、B(2,2，2)练习1：如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1、D1B1的中点，棱长为1，求E、F点的坐标答案：建立如图所示的空间直角坐标系E点在xOy

5、面上的射影为B(1,1,0)，且z坐标为，E.F点在xOy面上的射影为BD的中点G，G，且z坐标为1，F.练习2：点(2,0,3)位于()Ay轴上Bx轴上CxOz平面内DyOz平面内答案：C例2：已知VABCD为正四棱锥，O为底面中心，AB2，VO3，试建立空间直角坐标系，并求出各顶点的坐标 解析：本题中由于所给几何体是正四棱锥，故建系方法比较灵活，除答案所给方案外，也可以正方形ABCD的任一顶点为原点，以交于这一顶点的两条边所在直线分别为x轴、y轴建系如以A为顶点AB、AD所在直线分别为x轴、y轴建系，等等答案：因为所给几何体为正四棱锥，其底面为正方形，对角线相互垂直，故以O为原点，互相垂直

6、的对角线AC、BD所在直线为x轴、y轴，OV为z轴建立如图所示坐标系正方形ABCD边长AB2，AOOCOBOD，又VO3，A(0，0)，B(，0,0)，C(0，0)，D(，0,0)，V(0,0,3)练习1：如图所示，棱长为a的正方体OABCDABC中，对角线OB与BD相交于点Q，顶点O为坐标原点，OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，试写出点Q的坐标答案：OB与BD相交于Q点，Q点在xOy平面内的投影应为OB与AC的交点，Q点坐标为.同理可知Q点在xOz平面内的投影也应为AD与OA的并点，Q点坐标为.练习2：在如图所示的空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,

7、2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)，给出编号为、的四个图，则该四面体的正视图和府视图分别为()A和B和C和D和答案：D例3：在平面直角坐标系中，点P(x，y)的几种特殊的对称点的坐标如下：(1)关于原点的对称点是P(x，y)，(2)关于x轴的对称点是P(x，y)，(3)关于y轴的对称点是P(x，y)，那么，在空间直角坐标系内，点P(x，y，z)的几种特殊的对称点坐标：(1)关于原点的对称点是P1_；(2)关于横轴(x轴)的对称点是P2_；(3)关于纵轴(y轴)的对称点是P3_；(4)关于竖轴(z轴)的对称点是P4_；(5)关于xOy坐标平面的对称点是P5_；(6)关于yOz坐标平面的对称

8、点是P6_；(7)关于zOx坐标平面的对称点是P7_.解析：由空间直角坐标系定义，类比平面直角坐标系得出结论答案：(1)(x，y，z)(2)(x，y，z)(3)(x，y，z)(4)(x，y，z)(5)(x，y，z)(6)(x，y，z)(7)(x，y，z)练习1：求点A(1,2，1)关于坐标平面xOy及x轴对称的点的坐标答案：如图所示，过A作AMxOy交平面于M，并延长到C，使AMCM，则A与C关于坐标平面xOy对称，且C(1,2,1)过A作ANx轴于N并延长到点B，使ANNB，则A与B关于x轴对称，且B(1，2,1)A(1,2，1)关于坐标平面xOy对称的点C(1,2,1)；A(1,2，1)关

9、于x轴对称的点B(1，2,1)练习2：点关于坐标平面对称点的坐标是（ ） A. B. C. D.答案：B类型二 空间两点间距离公式例4：证明以A(4,3,1)、B(7,1,2)、C(5,2,3)为顶点的ABC是等腰三角形解析：运用两点间距离公式答案：由两点间距离公式：|AB|，|BC|，|AC|，|BC|AC|，ABC为等腰三角形练习1：求下列两点间的距离(1)A(1，2,3)、B(3,0,1)；(2)M(0，1,0)、N(3,0,4)答案：(1)d(A，B)2.(2)d(M，N).练习2：2点P(a，b，c)到坐标平面xOy的距离是()A|a| B|b|C|c| D以上都不对答案：C例5：如

10、图所示，在河的一侧有一塔CD5m，河宽BC3m，另一侧有点A，AB4m，求点A与塔顶D的距离AD.解析：建立合适的空间直角坐标系解决问题答案：以塔底C为坐标原点建立如下图所示的坐标系则D(0,0,5)，A(3，4,0)，d(A，D)5，即点A与塔顶D的距离为5m. 练习1：已知空间三点A(1,2,4)、B(2,4,8)、C(3,6,12)，求证A、B、C三点在同一条直线上答案：d(A，B)，d(B，C)，d(A，C)2，ABBCAC，故A、B、C三点共线练习2：以三点为顶点的三角形是（ C ） A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形答案：C 例6：求到两点A(2,3

11、,0)、B(5,1,0)距离相等的点P的坐标满足的条件解析：运用两点间距离公式.答案：设P(x，y，z)，则PA，PB.PAPB，.化简得6x4y130.点P的坐标满足的条件为6x4y130.练习1：若点P(x，y，z)到A(1,0,1)、B(2,1,0)两点的距离相等，则x，y，z满足的关系式是_；答案：2x2y2z30练习2：若点A(2,1,4)与点P(x，y，z)的距离为5，则x、y、z满足的关系式是_；答案：(x2)2(y1)2(z4)225练习3：已知空间两点A(3，1,1)、B(2,2,3)在Oz轴上有一点C，它与A、B两点的距离相等，则C点的坐标是_答案：1下列说法：在空间直角坐

12、标系中，在x轴上的点的坐标一定可记为(0，b，c)；在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定可记为(0，b，c)；在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标一定可记为(0,0，c)；在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标一定可记为(a,0，c)其中正确的个数是()A1B2C3D4答案：C2在空间直角坐标系Oxyz中，点(3,4，5)关于z轴对称的点的坐标是()A(3，4,5)B(3，4，5)C(3,4,5)D(3,4,5)答案：B3设点B是点A(2，3,5)关于xOy坐标平面的对称点，则|AB|等于()A10B.C.D38答案：A4已知三点A(1,0,1)、B(2,4,3)、C(5,

13、8,5)，则()A三点构成等腰三角形B三点构成直角三角形C三点构成等腰直角三角形D三点构不成三角形答案：D5点(1,1，2)关于yOz平面的对称点的坐标是_答案：(1,1，2)6空间直角坐标系中的点A(2,3,5)与B(3,1,4)之间的距离是_答案：7. 在空间直角坐标系中，点M(2,4，3)在xOz平面上的射影为M点，则M关于原点对称点的坐标是_答案：(2,0,3)_基础巩固1点P(1,2,0)位于()Ay轴上Bz轴上CxOy平面上DxOz平面上答案：C2点P(1,2,3)关于xOy坐标平面对称点的坐标是()A(1,2,3)B(1，2,3)C(1,2，3)D(1，2，3)答案：C3已知A(

14、1,0,2)、B(1，3,1)，点M在z轴上且到A、B两点的距离相等，则M点坐标为()A(3,0,0)B(0，3,0)C(0,0，3)D(0,0,3)答案：C4已知正方体的每条棱都平行于坐标轴，两个顶点为A(6，6，6)、B(8,8,8)，且两点不在正方体的同一个面上，正方体的对角线长为()A14B3C5D42答案：A5.已知一长方体ABCDA1B1C1D1的对称中心在坐标原点O，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，其中顶点A1、B1、C1、D1分别位于第、卦限，且棱长AA12，AB6，AD4.求长方体各顶点的坐标答案：由题意，可建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，A1(3,2,1)

15、、B1(3,2,1)、C1(3，2,1)、D1(3，2,1)，A(3,2，1)、B(3,2，1)、C(3，2，1)、D(3，2，1).能力提升6点A(3,1,5)、B(4,3,1)的中点坐标是()A. B.C. D.答案B7. 以正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB、AD、AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为一个单位长度，则棱CC1的中点的坐标为()A. B.C. D.答案：C8. 点M(2，3,5)到x轴的距离d等于()A. B. C. D.答案：B9. 如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB4，点E在CC1上且C1E3EC.试建立适当的坐标系，写出点B、C、E、A1的坐标答案：以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标Dxyz.依题设，B(2,2,0)、C(0,2,0)、E(0,2,1)、A1(2,0,4)10. 在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD2，AA14，点M在A1C1上，|MC1|2|A1M|，N在D1C上且为D1C中点，求M、N两点间的距离答案：建立如图所示空间直角坐标系，据题设条件有：|A1C1|2，|MC1|2|A1M|，|A1M|，M(，4)又C(2,2,0)，D1(0,2,4)，N为CD1中点N(1,2,2)，|MN|.