人教版高数选修4-4第1讲：坐标系（教师版）.docx

1、坐标系_1会建立极坐标系，并会在极坐标下表示点.2能区别极坐标系和平面直角坐标系,并记下极坐标与直角坐标的互化公式.3.会求圆心不同的圆的极坐标方程。4.会在极坐标系中求出任意直线的方程。5.能把柱坐标与直角坐标点的坐标互化。6.掌握球坐标与直角坐标中点坐标的互化。一.平面直角坐标系在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系它使平面上任一点P都可以由唯一的实数对(x，y)确定二坐标法根据几何对象的特征，选取适当的坐标系，建立它的方程，通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系，这就是研究几何问题的坐标法三伸缩变换设P(x，y)是平面

2、直角坐标系中任意一点，在变换：的作用下，点P(x，y)对应点P(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换四极坐标系的建立在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和一个角度单位及其正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系(其中O称为极点，射线Ox称为极轴)设M为平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫作点M的极径，记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫作点M的极角，记为，有序实数对(，)叫作点M的极坐标，记作M(，)，一般地，不作特殊说明时，我们认为0，可取任意实数五直角坐标与极坐标的互化以直角坐标系的O为极点，x轴正半轴

3、为极轴，且在两坐标系中取相同的单位长度，平面内的任一点P的直角坐标和极坐标分别为(x，y)和(，)，则或注意:互化公式的三个前提条件（1）极点与直角坐标系的原点重合;（2）极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;（3）两种坐标系的单位长度相同.六圆的极坐标方程(1)圆心在(a，0)(a0)半径为a的圆的极坐标方程为2acos(2)圆心在极点，半径为r的圆的极坐标的方程为r七直线的极坐标方程1.直线l经过极点，从极轴到直线l的角为，则直线l的极坐标方程为，R2.过点A(a，0)(a0)且垂直于极轴的直线l的极坐标方程为cos13.直线l过点P(1，1)且与极轴所成的角为，则直线l的极坐标方程为sin

4、1八柱坐标系建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意一点，在Oxy平面的射影为Q，用(，)(0，02)表示点Q在平面Oxy上的极坐标，这时点P的位置可用有序数组(，z)(zR)表示把建立上述对应关系的坐标系叫作柱坐标系有序数组(，z)叫作点P的柱坐标，记作P(，z)，其中0，02，zR.空间点P的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(，z)之间的变换关系为：九球坐标系建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|r，OP与Oz轴正向所夹的角为，P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为，点P的位置可以用有序数组(r，)表示我们把建立上述对应关

5、系的坐标系叫球坐标系(或空间极坐标系)有序数组(r，)叫作点P的球坐标，其中r0，0，02.空间点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，)之间的变换关系为：类型一.平面直角坐标系中的伸缩变换例1：由曲线ytanx得到曲线y3tan2x的伸缩变换为_解析：(1)设变换为则y3tan2x，即ytan2x，与ytanx比较，则有3，所以例2：求圆x2y24经过伸缩变换后的图形的方程解析：由得代入x2y24得4，即1，所以圆x2y24在此伸缩变换下的方程为1.答案：1.练习1：在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换：(1)求点A(，2)经过变换所得的点A的坐标；(2)点B经过变换后得到点B(3，)，求

6、点B的坐标；解析：(1)设点A(x，y)由伸缩变换：得到又已知点A(，2)于是x31，y(2)1.变换后点A的坐标为(1，1)(2)设B(x，y)，由伸缩变换：得到由于B(3，)，于是x(3)1，y21，B(1,1)为所求答案：(1)(1，1)(2)(1,1)类型二.求曲线的极坐标方程例3：ABC中，底边BC10，AB，以B为极点，BC为极轴，求顶点A的轨迹的极坐标方程解析：如图，设A(，)，在ABC内，则B，A，又|BC|10，|AB|.于是由正弦定理，得，即sin10sin，.化简，得A点轨迹的极坐标方程为1020cos.答案：1020cos练习1：求经过O(0,0)，A，B三点的圆的极坐

7、标方程解析：O，A，B的直角坐标分别为(0,0)，(0,6)，(6,6)，如图，AOB是以OB为斜边的等腰直角三角形，过这三点的圆的圆心为OB的中点(3,3)， 半径r|OB|3.圆的直角坐标方程为(x3)2(y3)218，即x2y26x6y0，xcos，ysin，圆的极坐标方程为26(sincos)0，即6cos答案：6cos答案：类型三.极坐标与直角坐标的互化例4：(1)极坐标方程2cos22cos1表示的曲线是()A圆B椭圆C抛物线D双曲线解析：(1)由方程2cos22cos1，得2(cos2sin2)2cos1，又由互化公式得x2y22x1，即(x1)2y22，此方程表示以(1,0)为

8、中心，焦点为F1(1,0)，F2(3,0)的等轴双曲线答案：D例5：根据下列点的柱坐标，求(2，3)直角坐标：解析：设点的直角坐标为(x，y，z)(1)因此所求点的直角坐标为(，1,3)答案：(，1,3)例6：已知点M的球坐标为(2，)，求它的直角坐标解析：设点的直角坐标为(x，y，z)则答案：点M的直角坐标为(1,1，)练习1：根据下列点的柱坐标，求(，5)直角坐标：解析：故所求点的直角坐标为答案：(1,1,5)练习2：点M的球坐标改为M(3，)，试求点M的直角坐标解析：设M的直角坐标为(x，y，z)则点M的直角坐标为(，)答案：M的直角坐标为(，)练习3：在极坐标系中，P是曲线12sin上

9、的动点，Q是曲线12cos上的动点，试求PQ的最大值解析：12sin，212sin.x2y212y0，即x2(y6)236.又12cos，212x2y26x6y0，即(x3)2(y3)236.|PQ|max6618.答案：181.原点与极点重合，x轴正半轴与极轴重合，则点(5，)的极坐标是()ABCD答案：B设点P的直角坐标为(4,4,)，则它的球坐标为()ABCD答案：A曲线的极坐标方程为4cos，化成直角坐标方程为()Ax2(y2)24Bx2(y2)24C(x2)2y24D(x2)2y24答案：C已知点P的极坐标为(1，)，则过点P且垂直极轴的直线方程是()A1BcosCD答案：C将极坐标

10、方程cos2sin化为直角坐标方程为()Ax2y2x2y0Bx2y2x2y0Cx2y22xy0Dx2y22xy0答案：A已知点M的直角坐标为(0,0,1)，则点M的球坐标可以是()A(1,0,0)B(0,1,0)C(0,0,1)D(1，0)答案：A. 在极坐标系中，点到直线sin2的距离等于_解析：由题意知，点的直角坐标是(，1)，直线sin2的直角坐标方程是y2，所以所求的点到直线的距离为1.答案：1. 已知圆的极坐标方程为4cos，圆心为C，点P的极坐标为，则|CP|_.解析：圆4cos的直角坐标方程为x2y24x，圆心C(2,0)点P的直角坐标为(2,2)，所以|CP|2.答案：2已知点

11、M的球坐标为(4，)，则它的直角坐标是_，它的柱坐标是_解析：设M的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(，z)则xrsincos4sincos2，yrsinsin4sinsin2，zrcos4cos2.点M的直角坐标为(2,2,2)又解之得2，z2.点M的柱坐标为(2，2)答案：(2,2,2)(2，2)_基础巩固1.已知点P的柱坐标为，则它的直角坐标为()A(，1,1)来源:学,科,网Z,X,X,KB(1,1,1)C(，1)D(1,0,1)答案：B2.极坐标方程(0)的直角坐标方程是()AyxByxCyx(x0)Dyx(x0)答案：C3.圆(cos sin )的圆心的极坐标是()ABCD答案：

12、A4.在极坐标系中，与圆4sin 相切的一条直线方程为()Asin2Bcos2Ccos4Dcos4答案：B5.在极坐标系中，设圆3上的点到直线(cos sin )2的距离为d，则d的最大值为()A5B6C4D3答案：C6从极点作圆2asin的弦，则各条弦中点的轨迹方程为_答案：asin7极坐标方程分别为2cos和sin的两个圆的圆心距为_答案：8已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为cos3，4cos，则曲线C1与C2交点的极坐标为_答案：能力提升极坐标方程表示的曲线是（）A双曲线B椭圆C抛物线D圆答案：D圆的圆心坐标是（）ABCD答案：A在极坐标系中，与圆相切的一条直线方程为（）ABCD答案：B.已知点则为（）A、正三角形B、直角三角形C、锐角等腰三角形D、直角等腰三角形答案：D1.表示的图形是（）A一条射线B一条直线C一条线段D圆答案：.直线与的位置关系是A、平行B、垂直C、相交不垂直D、与有关，不确定答案：B.与曲线关于对称的曲线的极坐标方程是_.答案：.的底边以B点为极点，BC 为极轴，求顶点A 的轨迹方程.答案：解:设是曲线上任意一点,在中由正弦定理得:得A的轨迹是: