八省名校2021届高三下学期5月新高考冲刺大联考数学试题 WORD版含答案.docx

1、秘密启用前八省名校2021届高三下学期5月新高考冲刺大联考数学注意事项：1.本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效.4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合，则（ ）A.B.C.D.2.若，则（ ）A.2B.-2C.D.3.设为原点，直

2、线与圆相交于，两点，当面积最大值时，（ ）A.B.C.D.4.在等差数列中，则（ ）A.165B.160C.155D.1455.已知命题，命题，若是成立的必要不充分条件，则区间为（ ）A.B.C.D.6.函数的图象的一部分如图所示，则函数表达式可写成（ ）A.B.C.D.7.平行四边形中，垂足为，是中点，则（ ）A.B.C.D.8.已知函数，若函数有三个极值点，则实数的取值范围为（ ）A.B.C.D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.甲、乙两名高中同学历次数学测试成绩（百分制）分别服从

3、正态分布，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是（ ）附：若随机变量服从正态分布，则.A.乙同学的平均成绩优于甲同学的平均成绩B.甲同学的平均成绩优于乙同学的平均成绩C.甲同学的成绩比乙同学成绩更集中于平均值附近D.若，则甲同学成绩高于80分的概率约为0.158710.如图，已知四棱锥中，平面，为中点，在上，则下列结论正确的是（ ）A.平面B.与平面所成角为30C.四面体的体积为D.平面平面11.已知，是双曲线上关于原点对称的两点，点是双曲线的右支上位于第一象限的动点，记，的斜率分别为，且满足，则下列说法正确的是（ ）A.双曲线的离心率为2B.双曲线的渐近线方程为C.若的最小值为4

4、，则双曲线方程为D.存在点，使得12.定义在上的函数满足，且时，时，.令，若函数的零点有8个，则的可能取值为（ ）A.2.5B.2.6C.2.8D.3三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数在上的单调递增区间是_.14.，则_.15.如图，已知曲线，焦点，点在轴上运动，为上的动点，若的中点落在轴上，则_；斜率为的直线与的交点为，与轴的交点为，若，则_.16.如图，二面角的平面角的大小为120，则四面体的外接球表面积为_.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知数列是等差数列，其前项和为，数列的前项和为，且，.（）求数列，

5、的通项公式；（）求数列的前项和.18.（12分）在中，分别是角，的对边，且，.（）求的大小；（）若，求的面积.19.（12分）在空间直角坐标系中，以坐标原点为圆心，为半径的球体上任意一点，它到坐标原点的距离，可知以坐标原点为球心，为半径的球体可用不等式表示.还有很多空间图形也可以用相应的不等式或者不等式组表示.记满足的不等式组，表示的几何体为.（）当表示的图形截所得的截面面积为时，求实数的值；（）请运用祖暅原理求证：记满足的不等式组，所表示的几何体，当时，与的体积相等，并求出体积的大小.（祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是：所有等高处横截面积相等的两个同高立体，其体积也必然相等）20.

6、（12分）当前，全国上下正处在新冠肺炎疫情“外防输入，内防反弹”的关键时期，为深入贯彻落实习近平总书记关于疫情防控的重要指示要求，始终把师生生命安全和身体健康放在第一位.结合全国第32个爱国卫生月要求，学校某班组织开展了“战疫有我，爱卫同行”防控疫情知识竞赛活动，抽取四位同学，分成甲、乙两组，每组两人，进行对战答题.规则如下：每次每位同学给出6道题目，其中有一道是送分题（即每位同学至少答对1题）.若每次每组答对的题数之和为3的倍数，原答题组的人再继续答题；若答对的题数之和不是3的倍数，就由对方组接着答题.假设每位同学每次答题之间相互独立，无论答对几道题概率都一样，且每次答题顺序不作考虑，第一次

7、由甲组开始答题.求：（）若第次由甲组答题的概率为，求；（）前4次答题中甲组恰好答题2次的概率为多少？21.（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一动点，当的面积最大时，其内切圆半径为，椭圆的左、右顶点分别为，且.（）求椭圆的标准方程；（）过的直线与椭圆相交于点，（不与顶点重合），过右顶点分别作直线，与直线相交于，两点，以为直径的圆是否恒过某定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由.22.（12分）（）求证：；（）已知，求的根的个数；（）求证：若，则.数学答案详解123456789101112DDBDBDCCACDACDBCBC1.D 【解题思路】基础性考查落实，试题以集合为背景，

8、考查集合的交集运算以及一元二次不等式、对数不等式的解法，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养.由得，所以集合，由得，即，解得，所以集合，所以，故选D.2.D 【解题思路】基础性考查落实，试题以复数为背景，考查共轭复数、复数的模、复数的除法运算，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养.，故选D.3.B 【解题思路】基础性考查落实，试题以直线与圆的位置关系为背景，考查直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式，考查化归与转化思想和运算求解能力，考查直观想象、数学运算核心素养.设圆心到直线的距离为，则.由弦心距公式得，所以，当且仅当，即时，取最大值2，故选B.【一题多解】显然点是直线与圆的交点.设，

9、则，当时，有最大值2，此时点是圆与轴的交点，易知，所以，故选B.4.D 【解题思路】基础性考查落实，试题以等差数列为背景，考查等差数列的通项公式、前项和公式，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养.设等差数列的公差为，由题意得解得，故选D.5.B 【解题思路】基础性考查落实，试题以充分必要条件为载体，考查解不等式，考查推理论证能力，考查数学运算、逻辑推理核心素养.设，由题可知，关于的不等式的解集不是空集，即在上有解，则，解得或，故选B.6.D 【解题思路】基础性考查落实，试题以三角函数为背景，考查三角函数的图象和性质，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养.由题图知，令，则，取，则.当时，则，

10、当时，故选D.7.C 【解题思路】基础性考查落实，试题以平行四边形为背景，考查平面向量的线性运算与数量积，考查推理论证能力、运算求解能力，考查逻辑推理与数学运算核心素养.因为，所以，所以在中，易得，于是.又，所以，故选C.【一题多解】解法一：因为，所以，所以，又，则易得，于是，故选C.解法二：因为，所以，所以.又，则易得，所以，故选C.8.C 【解题思路】综合性考查落实，试题以函数极值点为背景，考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想，考查数学运算、逻辑推理核心素养.由题意，令，则或.令，则.当时，；当时，当从0的右侧趋向于0时，当时，所以且，故选C.9

11、.ACD 【解题思路】基础性考查落实，试题以正态分布曲线为背景，考查正态分布曲线及参数的意义，考查推理论证能力、数据处理能力，考查逻辑推理、数据分析、数学运算核心素养.由题图可知，甲同学的图象关于直线对称，乙同学的图象关于直线对称，所以，所以，故选项A正确，选项B错误；又甲同学的图象比乙同学的图象更“高瘦”，所以甲同学成绩比乙同学成绩更集中于平均值附近，故选项C正确；当时，故选项D正确，故选ACD.10.ACD 【解题思路】综合性考查落实，试题以四棱锥的线面位置关系为背景，考查线面平行的判定定理、直线与平面所成角、面面垂直的判定定理、锥体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力，考查数学运算、逻

12、辑推理核心素养.，.又，.，即为中点.连接.为中点，.，平面平面，所以平面，故选项A正确；在中，则.平面，为直线与平面所成角，且，故选项B错误；在中，.，平面，平面.，故选项C正确；，平面，平面平面，故选项D正确.综上所述，故选ACD.11.BC 【解题思路】基础性考查落实，试题以双曲线为背景，考查双曲线的方程及几何性质、直线与双曲线的位置关系，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数学运算、逻辑推理核心素养.设，.因为，都在双曲线上，所以，两式相减得，即，所以，所以，即，故选项B正确；又，故选项A错误；因为的最小值为4，所以，所以，所以双曲线的方程为，故选项C正确；因为，当且仅当时等号成立，所

13、以，故选项D错误.综上，故选BC.12.BC 【解题思路】综合性考查落实，试题以函数零点为背景，考查函数的图象与性质、分段函数，考查运算求解能力与数形结合、化归与转化思想，考查数学抽象、逻辑推理核心索养.由题意，当时，；当时，.，且函数满足，即自变量每增加2个单位，函数图象纵坐标伸长为原来的2倍，分别画出当时，函数和的图象，如图所示，由图象可知，当函数与在上有8个交点时，故选BC.13.， 【解题思路】基础性考查落实，试题以三角函数为背景，考查三角恒等变换及正弦函数的性质，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养.由题意，由得，所以函数的单调递增区间为，所以在上的单调递增区间为，.14.-9 【

14、解题思路】综合性考查落实，试题以二项式为背景，考查二项式展开式，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养.由题可知，.15. 【解题思路】基础性考查落实，试题以抛物线为背景，考查直线与抛物线的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力及数形结合思想，考查逻辑推理、数学运算核心素养.如图，延长至点，使，连接，.因为为中点，易知四边形是平行四边形，且，所以四边形为菱形，所以.设直线：，.联立消去得，由韦达定理得，.因为，所以将代入得，将，代入抛物线的方程得，所以.16. 【解题思路】综合性考查落实，试题以空间几何体生成外接球为背景，考查球的表面积，考查空间想象能力、运算求解能力，考查数学运算、逻辑推理

15、、直观想象核心素养.如图，过和的外接圆圆心分别作两平面的垂线确定球心，设两外接圆半径分别为，为的中点，连接，则是二面角的平面角，且点，共圆，是圆的直径，由已知条件得，弦心距，弦心距，.设四面体的外接球的半径为，则，.17.【解题思路】综合性考查落实，试题以数列为背景，考查等差、等比数列的通项公式与前项和、错位相减法求数列的前项和，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养.（I）由，令，可求出，当时，两式相减再结合等比数列的定义即可求出数列的通项公式.利用等差数列的通项公式及已知条件即可求出数列的通项公式；（）由（）求出，再利用错位相减法即可求解解：（）设等差数列的公差为，因为，当时，所以；当时，

16、整理得，所以数列是首项为，公比为的等比数列，故.（4分）由，得，解得.又，所以.（）由（）可知，所以，则，-得，所以.18.【解题思路】综合性考查落实，试题以向量为背景，考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式、平面向量的坐标运算，考查运算求解能力，考查逻辑推理核心素养.（I）利用平面向量的坐标运算及两向量的关系，结合两角和的余弦公式即可求解；（）利用正弦定理求出的值，再利用余弦定理求出的值，最后利用三角形的面积公式即可求解.解：（I），即，.，.（），.，.又，即，（10分）.19.【解题思路】综合性考查落实，试题以祖暅原理为背景，考查立体几何的基本知识、球的体积公式，考查运算求解能力、空间

17、想象能力和推理论证能力，考查直观想象逻辑推理核心素养.（I）由已知条件结合球的特征即可求解；（）由祖暅原理结合球的体积公式即可求解.解：（1）当时，截面为圆面，则，解得.又，所以.（6分）（）在中，平面所截的截面为圆，其面积为，在中，平面所截的截面为圆环，其面积为，即截，所得面积均相等，从而由祖暅原理知，体积相等，由为半球知其体积.（12分）20. 【解题思路】应用性考查落实，试题以防控疫情知识竞赛活动为背景，考查古典概型、独立事件、数列的递推公式，考查数据分析、逻辑推理、数学运算核心素养.（）先求出第次由甲组答题的概率，再结合数列的递推公式即可求解；（）先列出所求概率的等式，再结合（）问即可

18、求解.解：（）若第次由甲组答题，则包括第次由甲组答题，第次继续由甲组答题，以及第次由乙组答题，第次由甲组答题.答对的题数之和为3的倍数分别为，其概率为，则答对的题数之和不是3的倍数的概率为，所以第次由甲组答题，第次继续由甲组答题的概率为，第次由乙组答题，第次由甲组答题的概率为，因此，则.（5分）因为第一次由甲组开始，则，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，即.（）由于第1次由甲组答题，则只要第2次、第3次、第4次这3次中再由甲组答题一次即可，所以所求概率，由（）可知，所以.（12分）21.【解题思路】综合性考查落实，试题以椭圆为背景，考查圆的方程、椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，考查推

19、理论证能力、运算求解能力和化归与转化思想，考查逻辑推理和数学运算核心素养.（）根据已知条件列出关于，的等式，即可求得椭圆的标准方程；（）设出直线的方程，与椭圆方程联立，建立，坐标间的关系，表示出直线，求出点的坐标，同理求出点的坐标，利用端点圆方程，写出以为直径的圆的方程，利用方程与无关，即可找到定点坐标.解：（）由题意及三角形内切圆的性质可得，化简得.又，所以，所以椭圆的标准方程为.（）由（）知，由题意，直线的斜率不为0，设直线的方程为，代入椭圆的方程，整理得.设，则，直线.令，得，同理可得，（8分）所以以为直径的圆的方程为，即，由得，代入得圆的方程为.（10分）若圆过定点，则（11分）解得或

20、所以以为直径的圆恒过两定点，.22.【解题思路】综合性考查落实，试题以不等式证明与函数零点为背景，考查利用导数研究函数的单调性、最值、零点存在性定理，考查推理论证能力和化归与转化思想，考查数学抽象与逻辑推理核心素养.（）根据的取值范围，构建平方和，即可得证；（）分与进行讨论，利用导数研究函数的单调性，再结合的取值范围，分别求解即可；（）由（）将不等式转化，构造新函数，利用导数研究函数的单调性，再结合零点存在性定理即可得证.解：（）证明：当时，.（）当时，恒成立，函数没有零点；当时，.令，则，易知，当时，是减函数；当时，是增函数，函数在上的最小值为.显然，当时，是函数的唯一的零点；当时，函数没有零点；当时，函数有两个零点.（6分）（）证明：由（）知当时，只需证当时，.设，则.令，则，易知在上单调递减，在上单调递增.，在上只有一个零点，即，在上单调递减，在上单调递增，.又，.