北师大版八年级上册7.5.2　三角形内角和定理(教案）.docx

1、7.5.2三角形内角和定理(教案）教学目标知识与技能：掌握三角形内角和定理的两个推论及其证明.过程与方法：体会几何中不等关系的简单证明过程,引导学生从内和外、相等和不相等的不同角度对三角形做更全面的思考.情感态度与价值观：通过积极参与课堂练习,培养学生积极思考及与他人交流合作的学习习惯,同时培养学生大胆猜想、勇于探索数学问题的兴趣和信心.教学重难点【重点】掌握三角形内角和定理的两个推论及其证明.【难点】灵活应用三角形内角和定理的推论解决简单的问题.教学准备【教师准备】教材引例和例题的投影图片.【学生准备】复习、总结三角形内角和定理的证明过程.教学过程一、导入新课导入一:【问题】三角形有几个内角

2、?把ABC的内角ACB的一边BC延长得到ACD,这个角叫做ABC的外角.这节课我们就来研究它的性质.(多媒体出示三角形的外角定义)三角形的外角定义:三角形的一边与另一边的延长线所组成的角,叫做三角形的外角.(板书课题)处理方式教师先提出问题.学生都知道有三个内角,直接问,学生一起回答就可以了.教师讲解外角,展示外角定义,这样教师就可以很自然地引入到本课.设计意图利用问题一问一答,让学生自然而然地认识三角形的外角.激发学生学习的热情,提起学生的学习兴趣.导入二:(播放视频,学生观看思考)师:足球天才梅西在E处射门时受到多人阻挡,可不知是将球传给在B处还是在C处的队友,才能使进球的希望更大,需要大

3、家的帮助.生1:传给在B处的队友.生2:传给在C处的队友.(学生的意见不统一)师:究竟应该传给哪位队友?你想知道理由吗?本节课让我们继续学习三角形内角和定理.(教师板书课题)设计意图通过现实情境的展示,调动学生的情绪,激发学生的求知欲,吸引学生的注意力,为新知的学习做铺垫.二、 新知构建(1) 、外角的定义过渡语同学们,我们知道三角形有三个内角,除了内角以外,三角形还有外角,那么什么是三角形的外角,它又有什么性质呢?处理方式请自主学习教材第181页议一议前的内容,然后在小组内交流什么样的角是三角形的外角,并举例说明.学生自主学习外角的定义,教师巡视指导.学生在小组内交流后,学生代表展示.【展示

4、交流】生:ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角,称为ABC的外角.如右图所示,1是ABC的外角.(教师多媒体出示图,同时板书外角的定义)师:根据外角的定义,你能说出1是ABC哪条边与哪条边的反向延长线组成的外角吗?生:(思考后)1是ABC的边BA与边BC的反向延长线组成的外角.师:三角形还有其他外角吗?生:有.师:你能在图中画出ABC的其他外角吗?与同伴交流一下.学生画图展示:师:对以上两个同学所画的图你有什么看法?生:学生2画得比较全面.师:你说得很好,一个三角形有几个外角?一个顶点处有几个外角?生:一个三角形有6个外角,一个顶点处有2个外角.二、三角形外角的性质思路一师:如图所

5、示(多媒体出示),我们知道1是ABC的一个外角,猜一猜1与ABC的内角之间有什么等量关系,理由是什么?在小组内交流.处理方式学生在小组内合作探究,教师巡视,及时点拨引导.学生探究完成后,让学生代表展示.【展示交流】生1:我们小组同学发现1+4=180,依据是平角的定义.生2:我们小组同学发现1=2+3.理由是:2+3+4=180(三角形内角和定理),1+4=180(平角的定义),1=2+3.师:这两位同学表现得非常棒!由以上内容你们能得出什么结论?生:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.(板书)师:你能确定1与4的大小关系吗?与同伴交流.生1:14.生2:1与4的大小关系不能确定.师

6、:你的理由是什么?生2:因为当4是锐角时,14;当4是直角时,1=4;当4是钝角时,12,13.师:理由是什么?生:由前面我们知道1=2+3,所以12,13.师:由此你能得到什么结论?生:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.(板书)师:以上两个结论的推导过程中,我们主要依据的是哪个定理?生:三角形内角和定理.师总结:在这里,我们通过三角形的内角和定理直接推导出两个新定理.像这样,由一个基本事实或定理直接推出的定理,叫做这个基本事实或定理的推论.推论可以当做定理使用.师:现在能告诉梅西将球传给谁了吧?生:能,传给C处的队友.师:为什么呢?生:因为DCA是ABC的外角,所以DCAB,因此

7、应传给C处队友.师:真不错,你可以给梅西做教练了哦!我们运用三角形内角和定理的推论解决了梅西的问题,接下来就看同学们能否运用所学知识解决问题,请看例题.设计意图学生主动探索、积极思考、踊跃交流,通过交流,让学生用自己的语言清楚地表达解决问题的过程,通过学生思考、探索、交流来培养学生解决问题的能力.思路二问题1【课件1】如图所示,ABC中,A=70,B=60,ACD是ABC的一个外角,能由A,B求出ACD吗?如果能,ACD与A,B有什么关系? 问题2【课件2】任意一个ABC的一个外角ACD与A,B的大小是否还有上面的关系呢?处理方式留时间让学生分析这些问题,这里可以相互讨论,然后找学生回答,问题

8、1学生能计算出ACD的度数,从而得到ACD=A+B,ACDA,ACDB的关系.问题2中引导学生用与问题1类似的方法及三角形内角和定理、平角的定义得到相同的结论.设计意图让学生感受三角形外角与内角之间的关系.归纳三角形外角的性质:推论1:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.推论2:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.处理方式在老师的引导下对三角形外角与内角之间的关系加以归纳,从而得到推论.设计意图让学生明确三角形外角与内角之间的关系.问题3【课件3】证明三角形外角的性质.推论1:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.已知:如图所示,1是ABC的一个外角. 求证:1=2

9、+3.推论2:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.已知:如右图所示,1是ABC的一个外角.求证:12,13.处理方式留时间让学生分析这些问题,这里可以相互讨论,然后找学生回答并通过多媒体展示过程.设计意图在理论上明确三角形外角与内角之间的关系.(3)、例题解析,应用新知(教材例2)已知:如图所示,在ABC中,B=C,AD平分外角EAC. 求证:ADBC.解析要证明ADBC,只需证明“同位角相等”或“内错角相等”或“同旁内角互补”.学生证明过程展示:证明:EAC=B+C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),B=C(已知),B=12EAC(等式的性质).AD平分EAC(已知)

10、,EAD=12EAC(角平分线的定义),EAD=B(等量代换),ADBC(同位角相等,两直线平行).证明:EAC=B+C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),B=C(已知),C=12EAC(等式的性质).AD平分EAC(已知),DAC=12EAC(角平分线的定义),DAC=C(等量代换).B+BAC+C=180(三角形的内角和定理),B+BAC+DAC=180(等量代换),即B+DAB=180.ADBC(同旁内角互补,两直线平行).师:大家对于三角形的外角与内角之间的等量关系基本掌握.那么你知道不等关系有什么应用吗?我们继续看例3.【课件展示】(教材例3)已知:如图所示,P是ABC

11、内一点,连接PB,PC.求证:BPCA.(教师板演示范)证明:如图所示,延长BP,交AC于点D.BPC是PDC的一个外角(外角的定义),BPCPDC(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角).PDC是ABD的一个外角(外角的定义),PDCA(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角).BPCA.师:你还有其他的证明方法吗?与同伴进行交流.学生证明过程展示:证明:延长CP,交AB于点D.(过程同上) 证明:如图,连接AP,并延长AP,交BC于点D.3是ABP的一个外角(外角的定义),31(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角).4是ACP的一个外角(外角的定义),42(三角形的

12、一个外角大于任何一个和它不相邻的内角).3+42+1,BPCBAC.设计意图通过学生的探索活动,使学生进一步了解辅助线的作法及重要性,理解并掌握三角形的内角和定理及推论.教师引导学生分析解题思路,师生共同完成.在解题的同时,要明确每题用到的知识点,只有明确问题考查的知识点,才能正确运用知识解决问题.本例题可以巩固多边形的内角和定理,培养学生灵活运用知识的能力,同时要规范学生解题步骤的规范性.知识拓展三角形的外角实质上就是三角形一个内角的邻补角.三角形外角的顶点是三角形的顶点,一条边是三角形内角的一边,另一条边是该内角另一条边的反向延长线.三、课堂总结四、课堂练习1.三角形的一个外角等于的两个内

13、角的和.答案:和它不相邻2.三角形的一个外角任何一个和它不相邻的内角.答案:大于3.如下图,在1至9中,ABC的外角共有() A.5个B.6个C.7个D.8个答案:B4.如图,1是ABC的一个外角,则下列说法正确的是() A.1大于ABC中的任一内角 B.1大于B+CC.1大于A+B D.1等于A+B答案:D5.如图,在ABC中,1是它的一个外角,E为AC边上一点,延长BC到D,连接DE.求证12.证明:13,32,12.五、板书设计第2课时1.外角的定义2.三角形外角的性质3.例题解析,应用新知六、布置作业(1)、教材作业【必做题】教材随堂练习第1,2题.【选做题】教材习题7.7第4题.(2

14、)、课后作业【基础巩固】1.下面四个图形中,能判断12的是()2. 如图所示,已知直线ABCD,C=125,A=45,则E的度数为()A.70B.80C.90D.1003.如图所示,点B是ADC的边AD的延长线上一点,DEAC,若C=50,BDE=60,则CDB的度数等于() A.70B.100C.110D.1204.如图所示,A,1,2的大小关系是() A.A12B.21A C.A21D.2A1【能力提升】5.如图所示,在ABC中,C=70,若沿图中虚线截去C,则1+2的度数是() A.360B.250C.130D.1406.一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示,若3=50,则1+2的度

15、数是() A.90B.100C.130D.180【拓展探究】7.如图所示,在ABC中,ABC的平分线和ACD的平分线相交于点E. (1)如果A=60,ABC=50,求E的大小;(2)如果A=70,ABC=60,求E的大小;(3)根据(1)和(2)的结论,试猜测一般情况下,E和A的大小关系,并说明理由.【答案与解析】1.D(解析:A.1与2是对顶角,相等,故本选项错误;B.由图可知,12,故本选项错误;C.1是锐角,2是直角,12,故本选项正确.故选D.)2.B(解析:ABCD,C=125,BFE=125,E=BFE-A=125-45=80.故选B.)3.C(解析:DEAC,BDE=60,BDE

16、=A=60,又C=50,BDC=A+C=60+50=110.故选C.)4.B(解析:1是ACD的外角,1A.2是CDE的外角,21,21A.故选B.)5.B(解析:先利用三角形内角与外角的关系,得出1+2=(C+4)+(3+C),再根据三角形内角和定理即可得出结果.1,2是CDE的外角,1=4+C,2=3+C,即1+2=(C+4)+(3+C)=C+(C+3+4)=70+180=250.故选B.)6.B(解析:设围成的小三角形为ABC,分别用1,2,3表示出ABC的三个内角,再利用三角形的内角和等于180列式整理即可得解.BAC=180-90-1=90-1,ABC=180-60-3=120-3,

17、ACB=180-60-2=120-2,在ABC中,BAC+ABC+ACB=180,90-1+120-3+120-2=180,1+2=150-3,3=50,1+2=150-50=100.故选B.)7.解:(1)A=60,ABC=50,ACD=A+ABC=110,BE平分ABC,CE平分ACD,EBC=12ABC=25,ECD=12ACD=55.E=ECD-EBC=55-25=30.(2)A=70,ABC=60,ACD=A+ABC=70+60=130.BE平分ABC,CE平分ACD,EBC=12ABC=30,ECD=12ACD=65,E=ECD-EBC=65-30=35.(3)猜测E=12A.理由如下:BE平分ABC,CE平分ACD,EBC=12ABC,ECD=12ACD.由题意得E=ECD-EBC=12ACD-12ABC=12A.