四川省成都市第七中学高考一轮复习提升竞赛数学讲义：14三角函数的图象与性质（含解析）.docx

1、A14.三角函数的图象与性质(2)一、基础知识1.的图象与性质与三角恒等变形及正余弦定理的综合应用.二、典型例题与基本方法1.要得到函数的图象,只要将函数的图象( )A. 先向左平移个单位,再将各点横坐标变为原来的倍B. 先向右平移个单位,再将各点横坐标变为原来的2倍C. 先向左平移个单位,再将各点横坐标变为原来的倍D. 先向右平移个单位,再将各点横坐标变为原来的2倍2.为实数,表示不超过的最大整数,若函数则下列四个结论中：函数是最小正周期为的周期函数；函数在上递增,在上递减；函数为奇函数；函数值域为.其中正确结论的序号是 3.已知函数的图象与直线有三个交点的横坐标分别为那么的值是 4.若将函

2、数的图象向左平移个单位长度,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为偶函数,则的最小值为 5.已知是函数在内的两个零点,则 6.已知函数,若函数有四个零点,且,则的取值范围是 7.已知.(1)若,求的值. (2)若,求函数的周期及单调区间.8.函数的部分图象如图所示.(1)求函数的解析式, (2)当时,函数的最小值为3,求函数的最大值.9.已知函数.(1)求的单调增区间；(2)设的内角的对边分别为,且,若,求的值.10.在中,分别为内角的对边.已知的外接圆半径为(1)求角； (2)求的面积的最大值.11.在平面直角坐标系中,为坐标原点,三点满足.(1)求证：三点

3、共线；(2)已知的最小值为,求实数的值.B14.练习 姓名： 1. 将函数的图象向左平移个单位长度,所得图象对应的函数解析式为 2.设,的图象向右平移个单位后与原图象重合,则的最小值是 3.已知在上有且只有两个零点,则实数的取值范围为 4.已知,若对,都有,则实数的取值范围为 5.函数的最大值为 6.函数的所有零点之和为 7.已知向量.(1)若,求的值；(2)记,在中,角的对边分别是,且满足,求函数的取值范围.8.已知向量.(1)若,求向量与的夹角； (2)当时,求函数的最大值,并求此时的值.A14.三角函数的图象与性质(2)一、基础知识1.的图象与性质与三角恒等变形及正余弦定理的综合应用.二

4、、典型例题与基本方法1.要得到函数的图象,只要将函数的图象( )A. 先向左平移个单位,再将各点横坐标变为原来的倍B. 先向右平移个单位,再将各点横坐标变为原来的2倍C. 先向左平移个单位,再将各点横坐标变为原来的倍D. 先向右平移个单位,再将各点横坐标变为原来的2倍解：C2.为实数,表示不超过的最大整数,若函数则下列四个结论中：函数是最小正周期为的周期函数；函数在上递增,在上递减；函数为奇函数；函数值域为.其中正确结论的序号是 解：当则当,则当则当则当,则所以正确,正确.函数非奇非偶,错误.函数 值域为,错误.所以答案为.3.已知函数的图象与直线有三个交点的横坐标分别为那么的值是 解：函数在

5、和处取得最大值和最小值,由对称性可故4.若将函数的图象向左平移个单位长度,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为偶函数,则的最小值为 解：将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象.再将图象上各点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变),得到函数的图象.因为函数为偶函数,故解得因为所以的最小值为5.已知是函数在内的两个零点,则 解：是函数在内的两个零点,可得 m=2sin2x1+cos2x1=2sin2x2+cos2x2,即为 2sin2x1-sin2x2=-cos2x1+cos2x2,即有 4cosx1+x2sinx1-x2=-2sinx2+x1sinx2-x1

6、,由 x1x2,可得 sinx1-x20,可得 sinx2+x1=2cosx1+x2,由 sin2x2+x1+cos2x1+x2=1,可得 sinx2+x1=255,由x1+x20,即有 sinx2+x1=255.6.已知函数,若函数有四个零点,且,则的取值范围是 解：由题意,画出函数 y=fx 的图象,如图所示,又函数 gx=a-fx 有四个零点 x1,x2,x3,x4,且 x1x2x3x4,所以 0a2,且 log2-x1=-log2-x2=2-x3=x4-2,所以 x1x2=1,x3+x4=4,所以 ax1x2=a, x3+x4a=4a,所以 ax1x2+x3+x4a=a+4a2a4a=

7、4,当且仅当 a=2 时“=”成立；所以 ax1x2+x3+x4a 的取值范围是 4,+.7.已知.(1)若,求的值. (2)若,求函数的周期及单调区间.解： (1) fx=ab=sinx+2cosx,由 ab=sinx+2cosx=0 得 sinx=-2cosx,所以 sinx+cosxsinx-cosx=-2cosx+cosx-2cosx-cosx=13.(2) gx=sin-2x+2cos-2x-cos-2x=-sin2x+cos2x=-2sin2xcos4-cos2xsin4=-2sin2x-4. 周期 T=22=,由 -2+2k2x-42+2k 得 -8+kx38+k,kZ,即 gx

8、 的单调减区间为 -8+k,38+k,kZ,由 2+2k2x-432+2k 得 38+kx78+k,kZ,即 gx 的单调增区间为 38+k,78+k,kZ,所以 gx 的单调减区间为 -8+k,38+k,增区间为 38+k,78+k,kZ.8.函数的部分图象如图所示.(1)求函数的解析式,(2)当时,函数的最小值为3,求函数的最大值.解： (1) 由题意,得 A=2,T=438-8=.由 2=,解得 =2.所以 fx=2sin2x-4.(2) 由 x-4,4,得 -342x-44,所以 -1sin2x-422.由 gxmin=-2+m=3,解得 m=5.所以 gxmax=2+m=5+2.9.

9、已知函数.(1)求的单调增区间；(2)设的内角的对边分别为,且,若,求的值.解： (1) fx=32sin2x-cos2x-12=32sin2x-1+cos2x2-12=32sin2x-12cos2x-1=sin2x-6-1. 由 -2+2k2x-62+2k,kZ,得 -6+kx3+k,kZ,所以函数 fx 的单调增区间为 -6+k,3+kkZ.(2) 由 fC=0,得 sin2C-6=1.因为 0C,所以 -62C-6116,所以 2C-6=2,C=3,又 sinB=2sinA,由正弦定理得 ba=2. 由余弦定理,得 c2=a2+b2-2abcos3,即 a2+b2-ab=3, 由 解得

10、a=1,b=2.10.在中,分别为内角的对边.已知的外接圆半径为(1)求角； (2)求的面积的最大值.解： (1) 因为 22sin2A-sin2C=a-bsinB ,且外接圆半径为 2 ,所以 a=22sinA,b=22sinB,c=22sinC .代入上式消去 sinA,sinB 和 sinC ,得 a2-c2=a-bb ,即 a2+b2-c2=ab .由余弦定理,得 cosC=a2+b2-c22ab=12 .因为 0C12,即 m0 时,当 sinx=0 时,fxmin=2+m2,由 fxmin=5 得 m=3,又 m0,m=3.综上所述：m 的值为 -3 或 B14.练习 姓名： 1.

11、 将函数的图象向左平移个单位长度,所得图象对应的函数解析式为 解：依题意得, 2.设,的图象向右平移个单位后与原图象重合,则的最小值是 解：853.已知在上有且只有两个零点,则实数的取值范围为 解：函数 fx=sinx-3cosx,化简可得：fx=2sinx-3,因为 x0, 时,可得：x-3-3,-3.要使函数 fx 有且只有两个零点,则 -32,解得 4373. 43,734. 已知,若对,都有,则实数的取值范围为 解： 74,94 5.函数的最大值为 解：由 fx=1+sinx2+cosx,得 sinx-y-1cosx=2y-1,所以 1+y-1211+y-12sinx-y-11+y-1

12、2cosx=2y-1,即 sinx-=2y-11+y-12tan=y-1,由 2y-11+y-121,得 3y2-6y+20,解得：3-33y3+33所以函数 fx=1+sinx2+cosx 的最大值与最小值分别为 3+33,3-33,和为 26.函数的所有零点之和为 解：由题意,问题转化为 y=12x-1 与 y=-2cosx 在 -4x6 的交点的和,因为两个函数均关于 x=1 对称,所以直线 x=1 两侧的点关于 x=1 对称,那么对称的点的横坐标之和为 2,分别画出两个函数的图象,知图象在直线 x=1 的两侧各有 5 个交点,所以零点之和为 52=107.已知向量.(1)若,求的值；(

13、2)记,在中,角的对边分别是,且满足,求函数的取值范围.解： (1) mn=3sinx4cosx4+cos2x4=32sinx2+1+cosx22=sinx2+6+12,因为 mn=1,所以 sinx2+6=12. cosx+3=1-2sin2x2+6=12, cos23-x=-cosx+3=-12.(2) 因为 2a-ccosB=bcosC,由正弦定理得 2sinA-sinCcosB=sinBcosC,所以 2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC.所以 2sinAcosB=sinB+C.因为 A+B+C=,所以 sinB+C=sinA0.所以 cosB=12,因为 0B,所以

14、 B=3,所以 0A23.所以 6A2+62,sinA2+612,1.又因为 fx=sinx2+6+12,所以 fA=sinA2+6+12.故函数 fA 的取值范围是 1,32.8.已知向量.(1)若,求向量与的夹角； (2)当时,求函数的最大值,并求此时的值.解：(1) 设 a 与 c 夹角为 ,当 x=6 时,a=32,12,cos=acac=32-1+120322+122-12+02=-32.因为 0,所以 =56.(2) fx=2ab+1=2-cos2x+sinxcosx+1=2sinxcosx-2cos2x-1=sin2x-cos2x=2sin2x-4,因为 x2,98,所以 2x-434,2,故 sin2x-4-1,22,所以当 2x-4=34,即 x=2 时,fxmax=1.