四川省成都市第七中学高考一轮复习提升竞赛数学讲义：19导数分析单调性与极值（含解析）.docx

1、A19.导数分析单调性与极值一、基础知识1.导数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间内,如果那么在这个区间内单调递增,如果那么在这个区间内单调递减.2.函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小,而且在点附近的左侧右侧我们把点叫做函数的极小值点,叫做函数的极小值.函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大,而且在点附近的左侧右侧我们把点叫做函数的极大值点,叫做函数的极大值.3.极大值和极小值统称为极值,极值反映了函数在某一点附近的大小情况,刻画的是函数的局部性质. 二、典型例题与基本方法1.函数的单调减区间为 2函数的单调递增区间是( )A. B. C. D. 3.函数的极大

2、值为,那么的值是 4.函数在区间上的最小值为 5.已知函数在上单调递增,则实数的取值范围为 6.函数若对恒成立,则的取值范围是 7.已知函数,若关于的方程恰好有个不相等的实根,则的取值范围是 8.已知是定义域为的单调函数，若对任意的，都有，且方程在区间上有两解，则实数的取值范围是 9.已知函数 (1)求的极值；(2)若在区间上单调递减，求实数的取值范围10.已知函数. (1)若函数有两个零点，求的取值范围；(2)证明：当时，关于的不等式在上恒成立.11.已知函数f(x)=alnx+x-1x，其中a为实常数(1)若x=12是的极大值点，求的极小值；(2)若不等式alnx-1xb-x对任意-52a

3、0，12x2 恒成立，求b的最小值B19.练习 姓名： 1.函数fx=2x-1ex（e为自然对数的底数）的递增区间为( )A. -,+ B. 12,+ C. -,-12 D. -12,+2.若函数在区间单调递增，则的取值范围是 3.函数，则( )A. 为函数的极大值点 B. 为函数的极小值点C. 为函数的极大值点 D. 为函数的极小值点4.已知函数(k是常数，e是自然对数的底数，e2.71828)在区间内存在两个极值点，则实数k的取值范围是 5.已知是实数,函数(1)若求的值及曲线在点处的切线方程;(2)求在区间上的最小值.6.已知函数 .(1)当时，求的图象在处的切线方程；(2)若函数与的图

4、象在上有两个不同的交点，求实数的取值范围.A19.导数分析单调性与极值一、基础知识1.导数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间内,如果那么在这个区间内单调递增,如果那么在这个区间内单调递减.2.函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小,而且在点附近的左侧右侧我们把点叫做函数的极小值点,叫做函数的极小值.函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大,而且在点附近的左侧右侧我们把点叫做函数的极大值点,叫做函数的极大值.3.极大值和极小值统称为极值,极值反映了函数在某一点附近的大小情况,刻画的是函数的局部性质. 二、典型例题与基本方法1.函数的单调减区间为 解析的定义域是，2函数的

5、单调递增区间是( )A. B. C. D. 解析.令，解得，故选D.3.函数的极大值为,那么的值是 解析：函数，导数，可得导数在的左侧大于0,右侧小于0.故为极大值导数在的左侧小于0,右侧大于0,故为极小值故 4.函数在区间上的最小值为 解析由题意，得，所以当时，当时，所以函数在处取得最小值，且最小值为. 5.已知函数在上单调递增,则实数的取值范围为 解析令，当时单调递增，满足题意；当时在单调递增，所以；当时在非负，所以；综上实数的取值范围为6.函数若对恒成立,则的取值范围是 解析令，则， ，即对恒成立，因为是R上的奇函数，也是增函数，所以即，令，则，求其最大值可得，所以，故填.7.已知函数,

6、若关于的方程恰好有个不相等的实根,则的取值范围是 解析当时， ，当时, ， 递增，当时， ， 递减，当时， ， ，即递减，注意时， 且，可作出函数的图象（简图）如图， ， ，由得或，从图象知有三个不同的根，因此或无实根，即，所以或8.已知是定义域为的单调函数，若对任意的，都有，且方程在区间上有两解，则实数的取值范围是 解析由题意知必存在唯一的正实数，满足， ， ，由得： ，解得故，由方程在区间上有两解，即有在区间上有两解，由，可得，当时， ， 递减；当时， ， 递增 在处取得最大值， ， ，分别作出，和的图象，可得两图象只有一个交点，将的图象向上平移，至经过点，有两个交点，由，即，解得，当时，

7、两图象有两个交点，即方程两解故9.已知函数 (1)求的极值；(2)若在区间上单调递减，求实数的取值范围解析，1和4别是的两根，根据单调性可知极大值为，极小值为.由上得，由故的单调递减区间为，解得：m的取值范围： 10.已知函数. (1)若函数有两个零点，求的取值范围；(2)证明：当时，关于的不等式在上恒成立.解析（1）令，；令，令，解得，令，解得，则函数在上单调递增，在上单调递减，.要使函数有两个零点，则函数的图象与有两个不同的交点，则，即实数的取值范围为.（2），.设， ，设，则在上单调递增，又， ，使得，即，.当时， ， ；当时， ， ；函数在上单调递增，在上单调递减， .设，当时， 恒成

8、立，则在上单调递增，即当时， ，当时，关于的不等式在上恒成立.11.已知函数f(x)=alnx+x-1x，其中a为实常数(1)若x=12是f(x)的极大值点，求f(x）的极小值；(2)若不等式alnx-1xb-x对任意-52a0，12x2 恒成立，求b的最小值解析（1）f(x)=x2+ax+1x2， 因为x0由f(12)=0，得(12)2+12a+1=0 ，所以a=-52 , 此时f(x)=-52lnx+x-1x 则f(x)=x2-52x+1x2=(x-2)(x-12)x2所以f(x)在12,2上为减函数，在2,+)上为增函数 所以x=2为极小值点，极小值f(2)=32-5ln22（2）不等式

9、alnx-1xb-x即为f(x)b所以bfmax(x) ）若1x2，则lnx0，f(x)=alnx+x-1xx-1x2-12=32当a=0,x=2时取等号； ）若12x1，则lnx0，f(x)=alnx+x-1x-52lnx+x-1x 由（1）可知g(x)=-52lnx+x-1x在12,1上为减函数所以当12x1时，g(x)g(12)=52ln2-32 因为52ln2-3252-32=10恒成立,所以当f(x)0时,x-12,则增区间为. (-12,+),故选择D.2.若函数在区间单调递增，则的取值范围是 解由函数在区间单调递增可得： 在区间恒成立， ，故3.函数，则( )A. 为函数的极大值

10、点 B. 为函数的极小值点C. 为函数的极大值点 D. 为函数的极小值点解析，当时， ，当时， ，函数递增，当时， ，函数递减，所以当时， 取得极大值，则为函数的极大值点，故选择A.4.已知函数(k是常数，e是自然对数的底数，e2.71828)在区间内存在两个极值点，则实数k的取值范围是 解析由函数的解析式可知： ，函数的极值点满足： ，很明显 是函数的一个极值点，函数的另外一个极值点满足： ，函数存在两个极值点，则函数 的图象与函数 的图象在区间 有一个交点，故： .5.已知是实数,函数(1)若求的值及曲线在点处的切线方程;(2)求在区间上的最小值.解析：（1） 因为所以当时, 所以曲线在点

11、处的切线方程为（2）由（1）可知, .令解得当即 在上单调递增,从而当即 在上单调递减,从而当即 在上单调递减,在上单调递增,从而综上所述, .6.已知函数 .(1)当时，求的图象在处的切线方程；(2)若函数与的图象在上有两个不同的交点，求实数的取值范围.解析（1）当时，f(x)2lnxx22x，则f (x)2x2， 所以切点坐标为(1,1)，切线的斜率kf (1)2， 则切线方程为y12(x1)，即y2x1. （）由题意可得：2lnxx2m=0有两个不同的根，令h(x)2lnxx2m，则h(x)2x，x，h(x)0时，x1. 当x1时，h(x)0；当1xe时，h(x)0.故h(x)在x1处取得极大值h(1)m1. 又m2，h(e)m2e2，则，在上的最小值为，在上有两个零点的条件是，解得，实数的取值范围是.