四川省成都市第七中学高考一轮复习提升竞赛数学讲义：2函数的基本性质（含解析）.docx

1、A2.函数的基本性质一、基础知识1.设是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系,使对于集合中的任意一个数在集合中都有唯一确定的数和它对应,那么就称为从集合到集合的一个函数,记作2.单调性：设函数的定义域为如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,当时,都有那么就说函数在区间上是增函数,区间称为的单增区间.减函数类似定义. 3.最值：设函数的定义域为如果存在实数满足则称是函数的最大值.类似定义最小值.4.奇偶性：如果对于函数的定义域内的任意一个数都有那么函数为偶函数,如果对于函数的定义域内的任意一个数都有那么函数为奇函数.5.周期性：如果对于函数的定义域内的任意一个数存在非零常数使得那么函

2、数叫做周期函数.非零常数称为函数的周期.二、典型例题与基本方法1.已知函数且则实数的值为 2.已知函数的定义域为值域为则满足条件的整数对共有 个.3.设是定义在上的以5为周期的奇函数,若则实数的取值范围是 4.已知定义在上的函数,对任意的实数,均有且 5.函数的值域为 6.已知函数则 7.已知函数是定义在上的单调递增函数,且满足对任意的实数都有则 8.已知关于的方程恰好有两个不同的实数根,则实数的取值范围为 9.已知函数是定义在上的偶函数,且,当时,若在区间上方程恰有四个不相等的实数根,则实数的取值范围是 10.已知函数由下表给出其中等于中出现的次数,则 11.定义在上的函数,对任意的有且(1

3、)判断函数的奇偶性. (2)若存在非零常数使得试问函数是否是周期函数？12.设函数其中求实数的取值范围,使得函数在区间上是单调函数.13.已知是定义在上的严格递增函数,且当时,求的值.B2.练习 姓名： 1.已知函数是定义在上的偶函数,是定义在上的奇函数,且则 2.已知定义在上的奇函数满足且当时,则 3.函数是上的奇函数,是上周期为4的周期函数,已知且则 4.设函数满足且对任意都有则 5.奇函数在定义域内是单调递增的,已知则实数的取值范围是 6.设是连续的偶函数,且当时,是单调递减的,则满足的所有的和为 7.设是上的不减函数,且满足求的值.8.设是定义在区间上的函数,满足且对任意的都有其中常数

4、满足求实数的值.A2.函数的基本性质一、基础知识1.设是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系,使对于集合中的任意一个数在集合中都有唯一确定的数和它对应,那么就称为从集合到集合的一个函数,记作2.单调性：设函数的定义域为如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,当时,都有那么就说函数在区间上是增函数,区间称为的单增区间.减函数类似定义. 3.最值：设函数的定义域为如果存在实数满足则称是函数的最大值.类似定义最小值.4.奇偶性：如果对于函数的定义域内的任意一个数都有那么函数为偶函数,如果对于函数的定义域内的任意一个数都有那么函数为奇函数.5.周期性：如果对于函数的定义域内的任意一个数存在非

5、零常数使得那么函数叫做周期函数.非零常数称为函数的周期.二、典型例题与基本方法1.已知函数且则实数的值为 解：令则于是所以所以2.已知函数的定义域为值域为则满足条件的整数对共有 个.解：是上的偶函数,是上的减函数,且所以定义域可能是,所以满足条件的整数对共有7个.3.设是定义在上的以5为周期的奇函数,若则实数的取值范围是 解：所以所以或所以实数的取值范围是4.已知定义在上的函数,对任意的实数,均有且 解：即于是即所以即所以5.函数的值域为 解：定义域为或当时,在上单调递增,所以当时,在单调递增,所以函数的值域为6.已知函数则 解：则因为所以即也就是令则即所以7.已知函数是定义在上的单调递增函数

6、,且满足对任意的实数都有则 解：令则因为是定义在上的单调递增函数,所以有唯一解.即所以于是令则因为所以因为是定义在上的单调递增函数,所以于是注意到是奇函数,于是,所以8.已知关于的方程恰好有两个不同的实数根,则实数的取值范围为 解：方法1 显然根不为0,于是令,则是定义域上的偶函数,如图,数形结合知道实数的取值范围为或方法2 令显然是上的偶函数,所以的恰好有两个不同的实数根也就是有且只有1个正实数根.当若则在单调递增,所以有且只有1个正实数根.若,有且只有1个正实数根.若,在上单调递减,在上单调递增.且.所以所以所以实数的取值范围为或9.已知函数是定义在上的偶函数,且,当时,若在区间上方程恰有

7、四个不相等的实数根,则实数的取值范围是 解：令则于是所以是周期为2的周期函数.因为是偶函数,所以当时,方程可化为所以与的图象在区间上恰有四个不同的交点.所以实数的取值范围是10.已知函数由下表给出其中等于中出现的次数,则 解：因为总共5个,从次数的角度看可得因为表示中所有出现的的和,所以从数值和的角度看于是其中若存在某个不妨设即出现5次,于是于是矛盾.所以因为所以或1.若,则中出现1次,又所以在中恰好有1个的值为4.因为,所以于是若则矛盾.若则出现4次,又,即出现1次,所以矛盾.于是所以还表明4出现的次数为0,0至少出现1次,即显然或1.若则且出现1次.于是只能是所以解得即矛盾.所以则因为所以

8、于是若不然矛盾.所以此时11.定义在上的函数,对任意的有且(1)判断函数的奇偶性. (2)若存在非零常数使得试问函数是否是周期函数？解：(1)令令则所以又的定义域为所以是偶函数.(2)令则即又所以即所以函数是否是周期函数,且是它的一个周期.12.设函数其中求实数的取值范围,使得函数在区间上是单调函数.解：若函数在区间上是单调函数.设则恒为正数或恒为负数.因为所以所以若,则于是此时在区间上是单调递减.若,显然当的解为于是,所以在区间上不单调.所以实数的取值范围为13.已知是定义在上的严格递增函数,且当时,求的值.解：若则矛盾,若则不矛盾.若则于是矛盾.所以因为注意到又是定义在上的严格递增函数,所

9、以B2.练习1.已知函数是定义在上的偶函数,是定义在上的奇函数,且则 解：所以2.已知定义在上的奇函数满足且当时,则 解：的周期为又是奇函数,所以3.函数是上的奇函数,是上周期为4的周期函数,已知且则 解：因为是上的奇函数,所以因为是上周期为4的周期函数,所以4.设函数满足且对任意都有则 解：于是即令则所以5.奇函数在定义域内是单调递增的,已知则实数的取值范围是 解：解得所以实数的取值范围是6.设是连续的偶函数,且当时,是单调递减的,则满足的所有的和为 解：所以于是即也就是因为均存在两个实数根,所以则满足的所有的和为7.设是上的不减函数,且满足求的值.解：解因为是上的不减函数,所以 因为所以注意到所以于是8.设是定义在区间上的函数,满足且对任意的都有其中常数满足求实数的值.解：令则令则令则令则于是因为所以解得于是