四川省成都市第七中学高考一轮复习提升竞赛数学讲义：4二次函数与幂函数（含解析）.docx

1、A4.二次函数与幂函数一、基础知识1.二次函数满足,也即对称轴为若则其顶点为2.函数是常数,是自变量)叫做幂函数.若在单调递增,恒过定点若在单调递减,恒过定点3.一元二次方程的根的分布.一看开口,二看,三看对称轴,四看端点值.二、典型例题与基本方法1.已知幂函数的图象过点则 2.已知则实数的取值范围为 3.若函数在上是单调函数,则实数的取值范围是 4.函数的值域为 5.函数,若的定义域为时,实数的取值范围为若的值域为时,实数的取值范围为则 6.若正实数满足则的最大值为 7.已知函数当时,且则 8.已知关于的方程的两个不相等的实数根都大于2,则实数的取值范围是 9.设函数.若对任意实数方程有两个

2、相异的实根,求实数的取值范围.10.已知二次函数在时取得最小值且满足(1)求函数的解析式. (2)当函数在上的最小值是时,求的值.11.设二次函数方程的两个根满足(1)当时,证明： (2)设函数的图象关于直线对称,证明：12.已知函数其中均为实数.(1)若,判断函数的奇偶性,并说明理由.(2)若,求的范围.(3)若,且,是否存在,使得对于恒成立,若有,求的解析式?若无,说明理由.B4.练习 姓名： 1.函数则的最小值为 2.已知幂函数则 3.若则实数的取值范围是 4.已知幂函数与幂函数的图象都与轴没有公共点,且幂函数的图象关于轴对称,则实数 5.设是一个二次函数,函数满足则 6.已知函数在上的

3、最小值为则实数的值为 7.已知幂函数满足(1)求的值. (2)是否存在正常数使得函数在区间上的值域为?8.已知函数且(1)求实数的值. (2)若不等式在上恒成立,求实数的取值范围.A4.二次函数与幂函数一、基础知识1.二次函数满足,也即对称轴为若则其顶点为2.函数是常数,是自变量)叫做幂函数.若在单调递增,恒过定点若在单调递减,恒过定点3.一元二次方程的根的分布.一看开口,二看,三看对称轴,四看端点值.二、典型例题与基本方法1.已知幂函数的图象过点则 解：2.已知则实数的取值范围为 解：是上的减函数,即为于是或或解得实数的取值范围为或3.若函数在上是单调函数,则实数的取值范围是 解：对称轴或,

4、所以实数的取值范围是4.函数的值域为 解：令则由指数函数的图象知.5.函数,若的定义域为时,实数的取值范围为若的值域为时,实数的取值范围为则 解：若的定义域为时,则对任意的实数恒成立.显然于是.所以若的值域为时,因为所以要取遍内的所有数.才能保证的值域为.当时,当时,可以取遍内的所有数.当时, 当时可以取遍内的所有数.即当时, 有最大值,所以不可能取遍内的所有数. 所以.于是6.若正实数满足则的最大值为 解：令则代入得整理得因为总存在正实数使得成立.若,因为,所以此时满足题意.若,则即解得当此时又所以则的最大值为7.已知函数当时,且则 解：于是所以由于又所以于是函数的对称轴所以即所以,因为所以

5、从而8.已知关于的方程的两个不相等的实数根都大于2,则实数的取值范围是 解：法1：或所以所以实数的取值范围是法2： 所以实数的取值范围是法3：令则在有两个不同的实数根.于是即实数的取值范围是9.设函数.若对任意实数方程有两个相异的实根,求实数的取值范围.解：方程有两个相异的实根,所以且即且对任意的实数都有于是且所以解得.于是实数的取值范围为10.已知二次函数在时取得最小值且满足(1)求函数的解析式. (2)当函数在上的最小值是时,求的值.解：由已知可设将点代入解得所以(2)函数的对称轴为 若即时,函数在单调递减,所以解得或所以若即时,函数在单调递减,在单调递增,所以所以此时不存在.若即时,已知

6、,所以即,函数在单调递增,所以解得或所以综上所述,或11.设二次函数方程的两个根满足(1)当时,证明： (2)设函数的图象关于直线对称,证明：证明：(1)因为于是所以即因为于是所以即所以(2)因为的对称轴又是的两个根.于是即所以因为所以即12.已知函数其中均为实数.(1)若,判断函数的奇偶性,并说明理由.(2)若,求的范围.(3)若,且,是否存在,使得对于恒成立,若有,求的解析式?若无,说明理由.解：(1)因为所以所以所以为上的奇函数.(2)法1：设则,解得所以法2：设则于是所以于是因为所以(3)又令则所以于是可解得从而恒成立,恒成立.解得解得所以所以存在B4.练习 姓名： 1.函数则的最小值

7、为 解：当时,当时,当时,.所以的最小值为2.已知幂函数则 解：所以或3.若则实数的取值范围是 解：是上的减函数,即于是解得实数的取值范围是为4.已知幂函数与幂函数的图象都与轴没有公共点,且幂函数的图象关于轴对称,则实数 解：为偶数,所以5.设是一个二次函数,函数满足则 解：设于是整理得于是所以6.已知函数在上的最小值为则实数的值为 解：令则,所以在上的最小值为若,则所以若,则所以7.已知幂函数满足(1)求的值. (2)是否存在正常数使得函数在区间上的值域为?解：(1)即所以所以或(2)因为所以开口向下.对称轴所以若则此时所以存在8.已知函数且(1)求实数的值. (2)若不等式在上恒成立,求实数的取值范围.解：(1)(2) 于是从而令则于是所以于是实数的取值范围为