培优专题18 直线与圆的位置关系的判断与证明-解析版.docx

1、培优专题18 直线与圆的位置关系的判断与证明【方法讲解】由直线与圆的公共点的个数，得出以下直线和圆的三种位置关系：（1）相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交这时直线叫做圆的割线（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离直线与圆的位置关系的数量特征1、迁移：点与圆的位置关系（1）点P在O内dr2、归纳概括：如果O的半径为r ，圆心O到直线l的距离为d，那么(1)直线l和O相交dr【巩固训练】1（2022全国九年级专题练习）在中，O是上的一点，的半径为r，当r与m满足怎样的关系时，（1）

2、与相交？（2）与相切？（3）与相离？【答案】（1）；（2）；（3）【分析】根据圆心到直线的距离与半径r的大小关系解答即可若，则直线与圆相交；若，则直线与圆相切；若，则直线与圆相离【详解】解：如图，过点O作于，（1）当时，与相交；（2）当时，与相切；（3）当时，与相离【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟练掌握圆心到直线的距离与半径r的大小关系来确定直线与圆的位置关系是解决本题的关键2（2022全国九年级课时练习）在中，（1）斜边上的高为_；（2）以点C为圆心，r为半径作C若直线与C没有公共点，直接写出r的取值范围；若边与C有两个公共点，直接写出r的取值范围；若边与C只有一个公共点，直接写出

3、r的取值范围【答案】（1）2.4；（2）；或【分析】（1）勾股定理求得斜边，进而根据等面积法求得斜边上的高；（2）根据圆心到直线的距离与半径比较，根据直线与圆的位置关系以及点与圆的位置关系，即可求得的取值范围【详解】（1）中，设斜边上的高为,故答案为：（2）若直线与没有公共点，则相离，则r的取值范围是；若边与有两个公共点，点在圆外或者圆上，则r的取值范围是；若边与只有一个公共点，则相切，或者点在圆内，则r的取值范围是或【点睛】本题考查了勾股定理，直线与圆的位置关系以及点与圆的位置关系，理解直线与圆的位置关系以及点与圆的位置关系是解题的关键3（2022全国九年级专题练习）如图，已知AB是O的直径

4、，点D在O上，C是O外一点若，直线BC与O相交，判断直线CD与O的位置关系，并说明理由【答案】相交，理由见解析【分析】根据平行线的性质即圆的性质，证明，从而得，根据已知条件直线BC与O相交，即可判断与O的位置关系【详解】相交，理由如下：如图，连接， ，（SAS），直线BC与O相交，直线与O相交线CD与O的位置关系是：相交【点睛】本题考查了圆的性质，三角形全等的性质与判定，直线与圆的位置关系，掌握直线与圆的位置关系是解题的关键4（2022全国九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，的半径为，则直线与的位置关系怎样？【答案】相切，理由见详解【分析】首先画出直线，并过点作，垂足为，再根据函数关系式

5、求得，进而利用勾股定理得到，然后根据直角三角形的面积求得，从而得到结论圆心点到直线的距离等于的半径，可见直线与的位置关系是：相切【详解】解：结论：直线与的位置关系是：相切理由：画出直线，过点作，垂足为，如图：直线的解析式为令，解得；令，解得，在中，根据勾股定理得的半径为 圆心点到直线的距离等于的半径，即直线与的位置关系是相切【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、一次函数图像上点的坐标特征、勾股定理、利用三角形的面积求线段长等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键5（2022全国九年级课时练习）如图，点在上，且，以为圆心，为半径作圆（1）讨论射线与公共点个数，并写出对应的取值范围；（2）若是上一点

6、，当时，求线段与的公共点个数【答案】（1）见解析（2）0个【分析】(1) 作于点,由，可得点到射线的距离,根据直线与圆的位置关系的定义即可判断射线OA与圆M的公共点个数；(2) 连接可得,由可得,得到,故当时，可判断线段与的公共点个数【详解】（1）如图，作于点，点到射线的距离当时，与射线只有一个公共点；当时，与射线没有公共点；当时，与射线有两个公共点；当时，与射线只有一个公共点（2）如图，连接,.当时，线段与的公共点个数为0【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离判断位置关系是解题的关键.6（2021江苏宿迁九年级期中）在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），B（4，4）

7、，C（6，2）(1)请确定经过点A，B，C的圆弧所在圆的圆心M的位置，并写出点M的坐标；(2)若一个点D（7，0），试判断直线CD与圆M的位置关系，并说明理由【答案】(1)（2，0）(2)直线CD与圆M相切，理由见解析【分析】（1）作AB和BC的垂直平分线，两线交于一点M，点M即为所求，由图形可知：这点的坐标是（2，0）；（2）利用勾股定理和勾股定理的逆定理求解即可(1)解：如图，点M即为所求M（2，0）；(2)直线CD与圆M相切，理由：连接CM圆M的半径CM=，D（7，0），M（2，0），OD=7，OM=2，DM=7-2=5，CD=，CM2+CD2=20+5=25=52=DM2，MCD=90

8、，MCCD，MC是圆M的半径，直线CD与圆M相切【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，作图-复杂作图，垂径定理，勾股定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用线段的垂直平分线的性质确定圆心7（2021江苏宿迁九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，的半径是1，B是上一动点，将点绕着点B逆时针旋转90得到点C(1)当点B运动到x轴的负半轴上时，则直线AC与的位置关系是_(2)当直线AB与相切时求AB的长；求点C的坐标【答案】(1)相离(2)；（，）或（，）【分析】（1）利用三角形的面积，计算出圆心O到AC的距离，与半径1比较，判断即可（2）连接OB，得到直角三角形AOB，根据OA=2，

9、OB=1，利用勾股定理，求解即可；过点C作CDx轴，垂足为D，求得OAB=OCD=30，根据30所对直角边等于斜边的一半，计算DO，DC，根据点所在象限确定坐标(1)当点B在x轴的负半轴时，BCx轴，设AC与y轴交于点D，ABC是等腰直角三角形，AOD是等腰直角三角形，AO=OD=2，AD=，设圆心O到AC的距离为h，则h=1，的半径是1，AC与相离，故答案为：相离(2)连接OB，AB是的切线，OBA=90，点A（2，0）AO=2，的半径是1，OB=1，AB=如图，过点C作CDx轴，垂足为D，AB是的切线，OBA=90，点A（2，0）AO=2，的半径是1，OB=1，OAB=30，OBA=ODC

10、= 90，OAB=OCD=30，AB=BC=，ABC= 90，O、B、C三点一线，OC=OB+BC=+1，DO=，OCAB=AOCD，DC=，点C在第一象限，点C的坐标为（，）；过点C作CDx轴，垂足为D，AB是的切线，OBA=90，点A（2，0）AO=2，的半径是1，OB=1，OAB=30，OBA=ODC= 90，OAB=OCD=30，AB=BC=，ABC= 90，O、B、C三点一线，OC=BC-OB=-1，DO=，DC=，点C在第二象限，点C的坐标为（，）；此时坐标为（，）；故点C的坐标为（，）或（，）【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，切线的性质，勾股定理，直角三角形的性质，圆的对称性

11、，熟练掌握切线的性质，直角三角形的性质是解题的关键8（2022广东广州九年级期末）在平面直角坐标系中，以坐标原点为圆心的O半径为3(1)试判断点A（3，3）与O的位置关系，并加以说明(2)若直线yx+b与O相交，求b的取值范围(3)若直线yx+3与O相交于点A，B点P是x轴正半轴上的一个动点，以A，B，P三点为顶点的三角形是等腰三角形，求点P的坐标【答案】(1)点A在外(2)(3)或【分析】（1）由勾股定理求出AO的长，再与圆的半径比较即可得出结论；（2）求出直线与相切时OB的长度即可得到b的取值；（3）分，和三种情况求解即可(1)点A在外(2)如图，当直线与相切于点C时，连接OC，则OC=3

12、直线与相交时，；(3)直线与相交于点A，B，当时，点P坐标为：，（舍去）当时，轴当时，点P与点O重合，（舍去）综上，点P的坐标为：或【点睛】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，切线的判定和性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用特殊位置解决问题9（2021全国九年级专题练习）如图，在ABC中，C90，BAC的平分线交BC于点D， 点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC、AB于点E、F（1）试判断直线BC与OD的位置关系，并说明理由.（2）若BD，BF3，求O的半径.【答案】（1）线BC与O的位置关系是相切，理由见

13、解析；（2）O的半径是3【分析】（1）连接OD，由OAOD得到OADODA，由AD平分CAB得到OADCAD，则ODACAD，求出OD/AC，进而得到ODBC，根据切线的判定得出即可；（2）根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可【详解】（1）线BC与O的位置关系是相切，理由是：连接OD，OAOD，OADODA，AD平分CAB，OADCAD，ODACAD，OD/AC，C90，ODB90，即ODBC，OD为半径，线BC与O的位置关系是相切；（2）设O的半径为R，则ODOFR，在RtBDO中，由勾股定理得：OB2BD2+OD2，即(R+3)2()2+R2，解得：R3，即O的半径是3【点睛】本题考查圆

14、与直线的位置关系和勾股定理，解题的关键是掌握圆与直线的位置关系和勾股定理.10（2019江苏南通九年级期中）如图，MAN30，点O为边AN上一点，以O为圆心，4为半径作O交AN于D、E两点 当O与AM相切时，求AD的长； 如果AD2，那么AM与O又会有怎样的位置关系？并说明理由【答案】(1)4;(2) AM与O相交,理由见解析【分析】(1)在RtAOF中，由OF求得AO，即可求解；(2)在RtAOF中，由AO求得OF的长，比较它与圆的半径之间的大小.【详解】解：如图1，设切点为F，连接FO，O与AM相切于点F，OF为半径，FOAM，AFO90.A30，OF4，AO2OF，ADAODO844AM与O相交理由：如图2，过点O作OFAM于F，AFO90，AD2，DO4；AOADDO6，又A30，OFAO634，AM与O相交【点睛】本题主要考查了勾股定理和直线与圆的位置关系，直线和圆相离时，dr；直线和圆相交时，dr；直线和圆相切时，dr(d为圆心到直线的距离)，反之也成立.