2012高考总复习数学文科新人教A版浙江专版课件第6单元 第4节 数列求和.ppt

1、第四节数列求和基础梳理n2数列求和的常用方法:（1）公式法直接用等差、等比数列的求和公式求.掌握一些常见的数列的前n项和.1+2+3+n=;1+3+5+(2n-1)=.等差(2)倒序相加法如果在一个数列an中，与首末两端等“距离”的两项的和相等或能构成易于求和的数列，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如数列的前n项和即是用此法推导的.（3）错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如数列的前n项和就是用此法推导的.等比（4）裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.常见的

2、拆项公式有：=;=;=;=.(5)分组求和法有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或其他常见数列，即先分别求和，然后再合并，形如：an+bn,其中an是等差数列，bn是等比数列；基础达标1.（2011威海模拟)设f(n)=2+24+27+23n+1(nN*),则f(n)等于()A.(8n-1)B.(8n+1-1)C.(8n+2-1)D.(8n+3-1)解析:由题意发现，f(n)是一个以2为首项，公比q=23=8，项数为n+1的等比数列的和.由公式可得f(n)=Sn+1=(8n+1-1).2.(教材改编题)数列an的前n项和为Sn，若an=则S5等

3、于()A.1 B.C.D.解析：anS5=(1-)+(-)+(-)=1-=.3.数列an的通项公式是an=(nN*)，若前n项的和为10，则项数n为（）A.11 B.99 C.120 D.121解析:an=,a1=-1,a2=-,an=,Sn=-1=10，n=120.4.数列1,1+2,1+2+22,1+2+22+2n-1,的前n项和为.解：该数列的前n项和Sn=a1+a2+an,而an=1+2+22+2n-1=.Sn=(21-1)+(22-1)+(23-1)+(2n-1)=(2+22+2n)-n=题型一利用错位相减法求和【例1】在数列an中，a1=1,an+1=2an+2n.(1)设bn=,

4、证明:数列bn是等差数列；（2）求数列an的前n项和Sn.分析:(1)求bn+1，观察bn与bn+1的关系.（2）由an=n2n-1的特点可知，运用错位相减法求Sn.（1）证明：由已知an+1=2an+2n,得bn+1=又b1=a1=1,bn是首项为1，公差为1的等差数列.（2）由(1)知=n,即an=n2n-1，Sn=1+221+322+n2n-1,两边乘以2得:2Sn=2+222+n2n,两式相减得Sn=-1-21-22-2n-1+n2n=-(2n-1)+n2n=(n-1)2n+1.变式1-1已知数列an是首项a1=1的等比数列，且an0,bn是首项为1的等差数列，又a5+b3=21,a3

5、+b5=13.(1)求数列an和bn的通项公式；（2）求数列的前n项和Sn.解：（1）设an的公比为q,bn的公差为d,则由已知条件得：解得d=2,q=2或q=-2(舍去),an=2n-1,bn=1+2(n-1)=2n-1.(2)由(1)知得：-题型二利用裂项相消法求和【例2】(2011重庆南开中学月考)已知公差不为零的等差数列an的前6项和为60,且a6是a1和a21的等比中项.（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足:bn+1=bn+an(nN*)且b1=3,求数列的前n项和为Tn.分析:设出基本量，利用累加法求出bn,然后写出Tn.解：（1）设an的公差为d，则an=2n+3(n

6、N*).(2)bn+1-bn=2n+3,b2-b1=21+3,b3-b2=22+3,bn-bn-1=2(n-1)+3,叠加得bn=n(n+2),变式2-1已知等比数列an中，a1=2,公比q=2,又等差数列bn中，b2=a1,b8=a3.(1)求数列bn的通项公式bn及前n项和Sn;(2)若cn=,求数列cn的前n项和Tn.解：(1)由已知a3=a1q2=8，则设bn的首项为b1,公差为d,则解得b1=1,d=1,故bn=1+(n-1)1=n,Sn=n1+1=(2)由(1)知cn=Tn=c1+c2+cn题型三利用倒序相加法求和【例3】设函数f(x)=图象上有两点P1(x1,y1),P2(x2,

7、y2)，若P为P1P2的中点，且P点的横坐标为.(1)求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个值；（2）求f()+f()+f().分析:（1）由已知函数图象上两点P1,P2可得设P(x,y),根据中点坐标公式去求y=.(2)根据（1）的结论：若x1+x2=1，则由f(x1)+f(x2)=1可以得到f()+f()=1，利用倒序相加法进行求解.解:(1)证明:P为P1P2的中点，x1+x2=1,yP=又yP=题型四利用分组法求和(2)由x1+x2=1,得y1+y2=f(x1)+f(x2)=1,f(1)=设又即【例4】已知数列an的首项a1=,an+1=,n=1,2,.(1)求证：数列是等比数列；（2）

8、求数列的前n项和Sn.分析:(1)由已知条件利用等比数列的定义证明，即从an+1=得到与的等式关系.（2）充分利用（1）的结论得出欲求数列的前n项和Sn可先求出的值.解:(1)证明：an+1=又a1=数列是以为首项，为公比的等比数列.（2）由(1)知即设,则,变式4-1-得数列的前n项和又1+2+3+n=，(2011海淀区期中考试)已知在等比数列an中，a1=1,且a2是a1和a3-1的等差中项.（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足bn=2n-1+an(nN*)，求bn的前n项和Sn.易错警示(1)设等比数列an的公比为q,a2是a1和a3-1的等差中项，2a2=a1+(a3-1)

9、=a3,q=2,an=a1qn-1=2n-1(nN*).(2)bn=2n-1+an,Sn=(1+1)+(3+2)+(5+22)+(2n-1+2n-1)=1+3+5+(2n-1)+(1+2+22+2n-1)【例】求和:错解Sn错解分析等比数列的求和公式应分q=1和q1两种情况讨论.上述解答只求了x1且y1的一种情况.链接高考正解:(1)当x1且y1时，(2)当x1且y=1时,(3)当x=1且y1时，(4)当x=1且y=1时，Sn=2n.(2010山东)已知等差数列an满足:a3=7,a5+a7=26,an的前n项和为Sn.(1)求an及Sn;(2)令bn=(nN*)，求数列bn的前n项和Tn.知识准备：1.会用等差数列的通项公式与前n项和公式；2.会用裂项法求数列的和.(1)设等差数列an的公差为d,因为a3=7,a5+a7=26,所以有所以an=3+2(n-1)=2n+1;(2)由(1)知an=2n+1,所以bn=即数列bn的前n项和解得