2012高考总复习数学文科苏教版课件第6单元 第3节 等比数列.ppt

1、第三节 等比数列基础梳理1.等比数列的定义一般地，如果一个数列_，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的_，通常用字母_表示从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数公比q2.等比数列的通项公式一般地，对于等比数列an的第n项an，有公式an_，即等比数列an的通项公式，其中a1为首项，q为公比a1qn13.等比中项如果_，那么G叫做a与b的_a，G，b成等比数列等比中项4.等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam_(n，mN*)(2)若an为等比数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则_qnmakalaman(3)若an，bn(项数相同)是等比数列，则an，an2

2、，an bn，(bn0)仍是等比数列5.等比数列的前n项和公式等比数列an的公比为q(q0)，其前n项和为Sn，当q1时，Sn_；当q1时，Sn_，即Sn或Sn.na1a1a1qa1qn16.等比数列前n项和的性质等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n(均不为零)仍成等比数列基础达标1.(2010江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学高三调研测试)设等比数列an 的公比q 前n项和为Sn，则_.解析：2.(2011金陵中学月考)等差数列an的公差d0，且2a3a722a110，数列bn是等比数列，且b7a7，则b6b8_.解析：由等差数列的性质得a3a112a7，

3、结合已知2a3a722a110得4a7a720，解得a74(a70舍去)再由等比数列的性质知b6b8b72，而b7a7，故b6b816.3.(必修5P52习题7改编)设则a3b的最大值为_b是1a和1a的等比中项，解析：方法一：由条件知3b21a2，即3b2a21，设xb，ya，则x2y21，令za3byx，则原题可转化为单位圆与直线有公共点，方法二：由条件知3b2a21，设acos，bsin，则a3bcossin2cos 2.4.(必修5P59习题7改编)设an为公比q1的等比数列，若a2004和a2 005是方程4x28x30的两根，则a2007a2008_.解析：由题意得a2 004a2

4、 0052，a2 004a2 005 又q1，a2004，a2005，q3，a2 007a2 008(a2 004a2 005)q354.5.(2010北京)已知an为等差数列，且a36，a60.(1)求an的通项公式；(2)若等比数列bn满足b18，b2a1a2a3，求bn的前n项和公式.解析：(1)设等差数列an的公差为d,因为a36，a60，所以解得所以an10(n1)22n12.(2)设等比数列bn的公比为q，因为b2a1a2a324，b18，所以8q24，即q3，所以bn的前n项和公式为Sn经典例题题型一 等比数列的基本运算【例1】(2010浙江改编)设Sn为等比数列an的前n项和，

5、8a2a50，则分析 设出关于a2，q的方程然后解之解：设公比为q，8a2a50，8a2a2q30，q2，变式11(2010陕西)已知an是公差不为零的等差数列，a11，且a1，a3，a9成等比数列(1)求数列an的通项；(2)求数列2an的前n项和Sn.解析：(1)由题设知公差d0，由a11，a1，a3，a9成等比数列得解得d1(d0舍去)，故an的通项an1(n1)1n.(2)由(1)知2an2n，由等比数列前n项和公式得Sn222232n题型二 等比数列的判定【例2】已知数列an满足a11，an12an1(nN*)(1)求证：数列an1是等比数列；(2)求通项公式an.分析 利用等比数列

6、的定义证明为非零常数即可解：(1)证明：an12an1，an112(an1)，2，an1是以a112为首项，2为公比的比数列(2)由(1)知an122n12n，an2n1.变式21(2011合肥质检)已知数列an的前n项和为Sn，数列是公比为2的等比数列求证：数列an成等比数列的充要条件是a13.解析：数列是公比为2的等比数列，即Sn1(a11)4n1.显然，当n2时，充分性：当a13时，所以对nN*，都有即数列an是等比数列必要性：因为an是等比数列，所以即解得a13.题型三 等比数列的性质【例3】(1)在等比数列an中，a1a2324，a3a436，求a5a6的值；(2)等比数列an中，a

7、44，求a2a6的值分析(1)利用等比数列的性质求解(2)利用等比中项求解解：(1)由等比数列的性质，知a1a2，a3a4，a5a6也成等比数列，则(a3a4)2(a1a2)(a5a6)，a5a64.(2)数列an为等比数列，a2a64216.变式31(1)在等比数列an中，S41，S83，求a17a18a19a20的值；(2)在等比数列an中，已知a3a4a58，求a2a3a4a5a6的值解析：(1)S4，S8S4，S12S8，S16S12，S20S16成等比数列，而S41，S8S42，a17a18a19a20S42412416.(2)a3a5，a3a4a58，a42.又a2a6a3a5，a

8、2a3a4a5a632.题型四 等比数列的最值问题【例4】等比数列an的首项为a12 008，公比q(1)设f(n)表示该数列的前n项的积，求f(n)的表达式；(2)当n取何值时，f(n)有最大值？分析(1)求出等比数列的通项公式an，然后根据f(n)a1a2a3an求f(n)的表达式(2)先判断f(n)的符号，然后根据|f(n)|的单调性，进一步解决问题解：(1)an2008f(n)2008n(2)当n10时，|f(11)|f(10)|f(1)|；当n11时，|f(11)|f(12)|.f(11)0，f(10)0，f(9)0，f(12)0，f(n)的最大值为f(9)和f(12)中的最大者，当

9、n12时，f(n)有最大值为变式41(2011金陵中学月考)设数列an是公差不为0的等差数列，Sn为其前n项和，数列bn为等比数列，且a1b12，S25b2，S425b3.(1)求数列an和bn的通项公式an及bn；(2)设数列cn满足cnbnSn，问当n为何值时，cn取得最大值？解析：(1)设数列an的公差为d，数列bn的公比为q.则S22a1d4d，S44a16d86d，b2b1q2q，b32q2.由题意得消去d得，25q230q80，解得q或q代入得d4或d0，d0，an24(n1)4n2，bn2qn12(2)Snna1d2n2，cnSnbn4n2假设cn最大，c14，c2c1c2，当n

10、2时，由cn最大，得即化简得解得4n5.4 5，所以8n10，即n9.当n9时，c9最大易错警示【例】已知一个等比数列的前四项之积为第3项的和为第2项、求这个等比数列的公比错解 依题意，设这四个数为aq，aq3，则由得a 代入并整理，得q22q10，解得q1或q1.故原等比数列的公比为q232 或q232 正解：依题意，设这四个数为a，aq，aq2，aq3，则解得q32 或q52 链接高考1.(2010广东)已知数列an为等比数列，Sn是它的前n项和，若a2a32a1，且a4与2a7的等差中项为则S5_.知识准备：1.知道等比数列通项公式、前n项和公式；2.会用等差中项解析：a2a3a1qa1q22a1a42，a42a4q32 24q3qa1故S52.(2010天津)已知an是首项为1的等比数列，Sn是an的前n项和，且9S3S6，则数列的前5项和为_知识准备：1.会用等比数列的前n项和公式；2.知道等比数列的性质：若an是公比为q的等比数列，则是公比为 的等比数列是首项为1，公比为的等比数列，解析：显然q1，所以由9S3S6得1q39q2，所以其前5项和T5