2013版高中全程复习方略数学（理） 7.7 空间向量及其运算.ppt

1、第七节空间向量及其运算三年10考高考指数:1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.1.空间向量的坐标表示是用空间向量解决空间平行、垂直、角问题的基础2.以向量及其运算为工具证明平行、垂直以及求空间角是高考的热点；题型多以解答题的形式出现，考查学生的运算能力及分析问题、解决问题的能力1.空间向量的有关概念及线性运算(1)空间向量的概念名称概念表示零向量单位向量相等向量相反向量共线向量共面向量模为_的向量长度（模）为_的向量方向_

2、且模_的向量方向_且模_的向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相_的向量平行于同一个_的向量的相反向量为01相同相等相反相等平行或重合平面(2)空间向量的加、减、数乘运算空间向量的加、减、数乘运算是平面向量运算的推广如图，设a,b是空间任意两向量，若POC，加法：=_，减法：=_,数乘：=_(R).a+ba-ba(3)空间向量加法、数乘运算满足的运算律交换律：a+b=_，结合律：(a+b)+c=_，(a)=_(R,R)，分配律：(a+b)=_(R).b+aa+(b+c)()aa+b【即时应用】判断下列命题的正误(请在括号内填“”或“”)(1)空间任意五边形ABCDE，则=0 ()(2)若ab

3、，则a所在直线与b所在直线平行()(3)空间任意两非零向量a、b共面()(4)空间向量a平行于平面，则a所在直线平行于平面()【解析】由向量加法知(1)正确；当ab时，a与b所在直线平行或重合，故(2)是错误的；由于向量可平移，因此空间任意两向量都可平移到同一起点，故空间任意两向量共面，即(3)是正确的；a所在的直线可能在平面内，故(4)是错误的答案：(1)(2)(3)(4)2空间向量的有关定理名称内容共线向量定理对于空间任意两个向量a,b(b0)，ab的充要条件是存在实数，使_共面向量定理如果两个向量a,b不共线，则向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y)，使_空间向

4、量基本定理如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x,y,z，使得_把a,b,c叫做空间的一个基底，a,b,c叫做_a=bp=xa+ybp=xa+yb+zc基向量【即时应用】(1)已知a=(2，-1,3)，b(-1,4，-2)，c(7,5，)，若a,b,c三个向量共面，则实数=_(2)已知a=(+1,0,2),b=(6,2-1,2)，若ab，则=_(3)已知向量a,b,c是空间的一个单位正交基底，向量a+b,a-b,c是空间的另一组基底，若向量p在基向量a+b,a-b,c下的坐标为()，则向量p在基底a,b,c下的坐标为_【解析】(1)由于a,b,c三向量共面，所以存

5、在实数m,n使得c=ma+nb，即解得(2)由ab得a=kb，从而得解得(3)由条件得p=，故向量p在基底a,b,c下的坐标为(1,2,3)答案:(1)(2)(3)(1,2,3)3空间向量的数量积及运算律_称为与的夹角记作_ =_(1)结合律：(2)交换律：(3)分配律：夹角夹角范围数量积运算律AOB0 ABO（特殊情形=）【即时应用】(1)思考：对于实数a,b，若ab=0，则一定有a=0或b=0，而对于向量a,b，若ab=0，则一定有a=0或b=0吗？提示：不一定，因为当a0且b0时，若ab，也有ab=0(2)已知向量a与b的夹角为120，且a=b=4，那么b(2a+b)等于_【解析】b(2

6、a+b)=2ba+b2=244cos120+42=0答案:04空间向量的坐标运算a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).(a,b均为非零向量)空间向量坐标运算垂直夹角模数量积共线a1b1+a2b2+a3b3=0 a1b1+a2b2+a3b3【即时应用】(1)已知空间三点A(1,1,1),B(-1,0,4),C(2,-2,3)，则与的夹角的大小是_(2)已知a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t)，则b-a的最小值为_.【解析】(1)由题意知故所以(2)由题意得：b-a=(1+t,2t-1,0)，b-a=当t=时，b-a取得最小值为.答案:(1)(2)空间向量的线性运算【方法点

7、睛】空间向量线性运算的方法几何表示坐标表示加法满足三角形法则和平行四边形法则对应坐标相加减法满足三角形法则对应坐标相减数乘与平面向量数乘类似把每个坐标同乘以常数空间向量的加法与数乘满足的运算律与平面向量的对应运算满足的运算律相同【提醒】进行向量的加法运算时，若用三角形法则，必须使两向量首尾相接；若用平行四边形法则，必须使两向量共起点进行向量减法时，必须使两向量共起点【例1】(1)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点化简=_；用表示，则=_.(2)(2012中山模拟)向量a=(3,5,-4),b=(2,1,8)计算2a+3b,3a-2b的值.【解题指南】(1)用已知向量表示

8、未知向量时，在转化时要结合向量的线性运算.(2)根据向量坐标运算的法则解题即可；【规范解答】(1)=方法一：方法二：=答案：(或)(2)2a+3b=2(3,5,-4)+3(2,1,8)=(6,10,-8)+(6,3,24)=(12,13,16)；3a-2b=3(3,5,-4)-2(2,1,8)=(9,15,-12)-(4,2,16)=(5,13,-28)【反思感悟】1空间向量的坐标运算，关键是要注意向量坐标与点的坐标间的关系，并熟练掌握运算公式2用不共面的向量表示某一向量时，关键是结合图形将已知向量和未知向量转化到三角形或平行四边形中，然后根据三角形法则或平行四边形法则，把未知向量用已知向量表

9、示出来共线向量定理、共面向量定理的应用【方法点睛】1.证明点共线的方法证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题，如证明A,B,C三点共线，即证明共线，亦即证明2.证明点共面的方法证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明P,A,B,C四点共面，只要能证明或对空间任一点O，有或(x+y+z=1)即可共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件【例2】已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,用向量法证明：(1)E，F，G,H四点共面；(2)BD平面EFGH.【解题指南】(1)证明，根据共面向量定理即可得到结论；或证明FGEH，即可得到FG,E

10、H确定一平面，故得四点共面(2)证明与共线，然后根据线面平行的判定定理解题即可；【规范解答】(1)方法一：E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边的中点，E,F,G,H四点共面方法二：E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边的中点，FGEH且FG=EH，四边形EFGH为平行四边形故E,F,G,H四点共面(2)由题意知BDEH,又BD 平面EFGH,EH 平面EFGHBD平面EFGH【反思感悟】1.利用向量证明点共线或点共面时常用的方法是直接利用定理向量方法为几何问题的解决提供了一种新的思路2.向量的平行与直线的平行是不同的：直线平行是不允许重合的，而向量平行，它们所在的直线可以平行也可以重

11、合空间向量的数量积及其应用【方法点睛】1.空间向量数量积的计算方法(1)定义法：设向量a,b的夹角为，则ab=abcos；(2)坐标法：设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2)，则ab=x1x2+y1y2+z1z2解题时可根据条件灵活选择方法2.数量积的应用(1)求夹角设向量a,b所成的角为，则cos=进而可求两异面直线所成的角；(2)求长度(距离)运用公式a2=aa，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题；(3)解决垂直问题利用abab=0(a0,b0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题【提醒】用ab=abcos求向量的数量积时，关键是确定向量的长度及夹角【例3】

12、(1)(2012 广州模拟)已知向量a=(2，4，x)，b=(2，y，2),若|a|=6,且ab，则x+y的值为_.(2)如图，在平行四边形ABCD中，AB=AC=CD=1，ACD=90，把ADC沿对角线AC折起，使AB与CD成60角，求BD的长.【解题指南】(1)利用|a|=6及两向量数量积等于零，列出方程求解即可；(2)由图形折叠的相关知识得到折叠后图形中线段的位置关系和数量关系，然后用表示，根据求解【规范解答】(1)a=(2,4,x).|a|=x=4.又ab,ab=22+4y+2x=0 或x+y=1或x+y=-3.答案：-3或1(2)AB与CD成60角，=60或120，又AB=AC=CD

13、=1，ACCD，ACAB，=|=2或.BD的长为2或.【反思感悟】1向量数量积为解决立体几何中的夹角、长度、垂直等问题提供了一种工具，使几挝侍庾化为数的计算问题2.解题中注意最后要将计算问题再转化为几何问题，同时要特别注意向量的夹角与两异面直线所成角之间的关系【满分指导】空间向量解答题的规范解答【典例】(12分)(2012 长沙模拟)已知空间中三点A(-2，0，2)，B(-1，1，2)，C(-3,0,4),设(1)若c=3,且c ,求向量c的坐标；(2)若m(a+b)+n(a-b)与2a-b垂直，求m,n应满足的关系式.【解题指南】(1)求的坐标，由c=得c的坐标，根据c=3求得,可得所求.(

14、2)根据条件得到m(a+b)+n(a-b)和2a-b的坐标，根据垂直的充要条件可求得m,n满足的条件.【规范解答】(1)由条件得a=(1，1，0)，b=(-1，0，2)，=(-2,-1,2).2分c ,c=(-2,-1,2)=(-2,-,2).4分c=3=3,=1或=-1.c=(-2,-1,2)或c=(2,1,-2).6分(2)由条件得a+b=(0,1,2),a-b=(2,1,-2),2a-b=(3,2,-2).m(a+b)+n(a-b)=(2n,m+n,2m-2n).8分m(a+b)+n(a-b)与2a-b垂直，m(a+b)+n(a-b)(2a-b)=3 2n+2(m+n)-2(2m-2n)

15、=12n-2m=0.m=6n.11分即当m=6n时，可使m(a+b)+n(a-b)与2a-b垂直.12分【阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示与备考建议：失分警示解答本题时有两点容易造成失分：(1)不能用的坐标表示c的坐标，进而使解题思路受阻；(2)计算中由于粗心造成向量的坐标运算不准确，导致结果错误.备考建议解答空间向量的计算问题时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：(1)对向量运算法则特别是坐标运算的法则掌握不熟练导致失误；(2)不能熟练地运用向量共线、垂直的充要条件将问题转化.另外，平时要重视运算的训练，强化计算速度及准确度的训练以及熟练掌握向量运算的

16、方法.1.(2012 珠海模拟)已知空间向量a、b，若|a|=3,|b|=2，|a-b|=，则a,b的夹角为_.【解析】|a|=3,|b|=2,|a-b|=,(a-b)2=7,a,b=,即所求角为.答案：2.(2012 锦州模拟)在空间直角坐标系中，以点A(4，1，9)、B(10，-1，6)、C(x,4,3)为顶点的ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，则实数x的值为_.【解析】由题意知=(6,-2,-3),=(x-4,3,-6).又可得x=2.答案：23.(2012 梅州模拟)给出下列命题：=0；a-b=a+b是a,b共线的充要条件；若a与b共面，则a与b所在的直线在同一平面内；若，则P,A,B三点共线其中正确命题的序号是_【解析】由向量的运算法则知正确；只有当向量a，b共线反向且|a|b|时成立，故不正确；当a与b共面时，向量a与b所在的直线平行、相交或异面，故不正确；由 1知，三点不共线，故不正确综上可得正确答案: